Phương trình vi tích phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH Sinh viên: Bùi Thị Lan Anh Lớp:K17A - ĐHSP Toán Giảng viên hướng dẫn: Lê Anh Minh THANH HÓA, 2018 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn thầy Lê Anh Minh tận tâm hướng dẫn, động viên tơi suốt q trình thực đề tài khóa luận Xin trân thành cảm ơn quý thầy mơn Tốn, Khoa Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức tận tâm truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho tơi suốt khóa học Cảm ơn tất bạn khóa học giúp đỡ chân tình người Thanh Hóa, tháng năm 2018 Bùi Thị Lan Anh ii LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN iii MỞ ĐẦU Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM 13 Chương NGUYÊN LÍ RÚT GỌN VÀ HÀM GIẢI 40 KẾT LUẬN 46 Tài liệu tham khảo 47 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN • R: tập hợp số thực; • B(t, s): ma trận n × n hàm liên tục với ≤ s ≤ t < α α ≤ ∞ • C(t, s): ma trận n × n hàm liên tục với ≤ s ≤ t < α • A(t): ma trận n × n hàm liên tục [0, α) • A: số • C: dạng tớch chp ã P: ma trn hng s n ì n • D(t): ma trận hàm liên tục [0, ∞) • x: nghiệm phương trình • h(t): hàm vecto • L: biến đổi Laplace • V (t): hàm vơ hướng • K: số dương • λ : hàm vơ hướng khơng tăng • f , g, h: Là phiếm hàm tuyến tính MỞ ĐẦU Nhiều vấn đề toán học, học, vật lí ngành kĩ thuật khác dẫn đến phương trình hàm chưa biết chứa dạng vi phân, dấu tích phân Những loại phương trình gọi phương trình vi phân phương trình tích phân (hay phương trình vi - tích phân) Phương trình vi - tích phân cơng cụ hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm, tính chất nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm, xấp xỉ nghiệm, Ngành vi tích phân phát triển nhà khoa học người Anh tên Issac Newton nhà khoa học người Đức Gottfried Lebniz, hai nhà khoa học nghiên cứu cách độc lập với đại lượng biến thiên vào khoảng cuối kỷ 17 Đã có tranh cãi người phát triển ngành vi - tích phân, hai nhà khoa học nghiên cứu độc lập với nên có hịa lẫn khơng ý ký hiệu cách diễn đạt dùng vi tích phân Từ Lebniz, ta có ký hiệu dy dx R Sự phát triển đồng hồ chạy xác giây vào kỷ 17 mang lại nhiều ý nghĩa quan trọng khoa học nói chung tốn học nói riêng, đỉnh cao phát triển ngành vi - tích phân Đối với hàm thơng thường, nghiệm giá trị số (thực, phức ) Còn phương trình vi phân, mục tiêu tìm cơng thức hàm chưa biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề Thơng thường, họ phương trình, sai lệch số C Hàm xác định xác có thêm điều kiện ban đầu điều kiện biên Lý thuyết tổng quát loại phương trình tích phân tuyến tính xây dựng buổi giao thời kỉ XIX, XX, chủ yếu cơng trình Volterra, Fredholm Hilbert Trong tài liệu [2], [3], [4], [5], tác giả trình bày cách tổng qt phương trình tích phân tuyến tính Với đề tài Phương trình vi - tích phân tuyến tính, tơi khảo sát tồn tại, tính chất nghiệm, tích chập biến đổi Laplace, xét tính ổn định, phiếm hàm Liapunov nhân nhỏ, dáng điệu tiệm cận nghiệm, nguyên lý rút gọn hàm giải Với vấn đề đặt ra, đề tài khóa luận tơi bao gồm nội dung sau: Chương 1:Sự tồn tính chất nghiệm Trong chương này, tơi tìm hiểu tồn nghiệm, tính chất tuyến tính nghiệm, tích chập biến đổi Laplace Chương 2: Dáng điệu tiệm cận nghiệm Trong chương này, tơi tìm hiểu tính ổn định, phiếm hàm Liapunov nhân nhỏ, tính ổn định tiệm cận Chương 3: Nguyên lý rút gọn hàm giải Trong chương này, nghiên cứu phương trình rút gọn tìm hiểu hàm giải Chương 1.1 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM Sự tồn nghiệm Xét phương trình Z t x(t) = f (t) + B(t, s)x(s) ds (1.1) đó: f : [0, α) → Rn liên tục B(t, s) ma trận cấp n × n hàm liên tục với ≤ s ≤ t < α α ≤ ∞ Hàm số B(t, s) thường gọi hạt nhân Nếu B(t, s) biểu diễn B(t, s) = D(t − s) (1.4) nói kiểu quấn lại Phần lớn viết yêu cầu tính liên tục B, hầu hết công việc thường yêu cầu quy (1.4) phương trình vi phân Như vậy, ta thường cần phải yêu cầu f có đạo hàm Xét phương trình vi phân có dạng: Z t C(t, s)x(s) ds + F(t), x’(t) = A(t)x(t) + (1.2) F : [0, α) → Rn liên tục , C(t, s) ma trận n × n hàm liên tục với ≤ s ≤ t < α, A(t) ma trận n × n hàm liên tục [0, α) Đặt (1.2) dạng (1.4), cho định lý tồn áp dụng cho hai Phương trình (1.2) cần hàm ban đầu φ : [0,t ] → Rn với φ liên tục t0 nghiêm không (1.2) Nghiệm (1.2) hàm liên tục x(t) khoảng [t0 , T ), cho x(t) = φ (t) với ≤ t ≤ t0 Thu được: x (t) = A(t)x(t) + Z t0 C(t, s)φ (s) ds Z t + F(t) + C(t, s)x(s) ds t0 tịnh tiến y(t) = x(t + t0 ) kết quả: y0 (t) = x0 (t + t0 ) = A(t + t0 )y(t) + Z t0 + C(t0 + t, s)φ (s) ds + F(t + t0 ) Z t0 +t C(t0 + t, s)x(s) ds Z t = A(t + t0 )y(t) + + Z t0 0 C(t0 + t, s + t0 )y(s) ds C(t0 + t, s)φ (s) ds + F(t + t0 ) Ta viết là: y0 (t) = A(t)y(t) + Rt C(t, s)y(s) ds + F(t), dạng tiếp (1.2) Hàm ban đầu φ bị hấp thụ để thành hàm cưỡng phương trình cuối cùng, điều kiện ban đầu: y(0) = x(t0 ) = φ (t0 ), cho lấy tích phân từ đến t thu được: Z t Z t y(t) = φ (t0 ) + A(s)y(s) ds + Z tZ u F(s) ds + 0 C(u, s)y(s) dsdu (1.3) Đổi chỗ thứ tự phép lấy tích phân số hạng cuối ta phương trình có dạng (1.4) Như tồn định lí áp dụng từ (1.2)cho hàm ban đầu Bổ đề 1.1.1 ( Bất đẳng thức Gronwall’s ) Giả sử f , g : [0, α] → [0, ∞) liên tục giả sử c số không âm Nếu f (t) ≤ c + Z t g(s) f (s) ds ≤ t < α f (t) ≤ c exp Z t g(s) ds ≤ t < α Chứng minh Giả sử c > Phân chia c + được: ," Z t f (t)g(t) c+ Rt g(s) f (s) ds nhân g(t) thu g(s) f (s) ds ≤ g(t) Lấy tích phân từ đến t ta có: ( Z , ) Z t t ln c + g(s) f (s) ds c ≤ g(s)ds 0 hay f (t) ≤ c + Z t g(s) f (s) ds ≤ c exp Z t g(s) ds Nếu c = lấy giới hạn c → đến giá trị dương Định lý 1.1.2 Cho < α ≤ ∞ giả sử f : [0, α) → Rn liên tuc B(t, s) ma trận n × n hàm liên tục ≤ s ≤ t < α Nếu < T < α có nghiệm x(t) là: Z t x(t) = f (t) + B(t, s)x(s) ds [0, T ) (1.4) Chứng minh Xác định dãy hàm xn (t) [0, T ] x1 (t) = f (t) Z t xn+1 (t) = f (t) + B(t, s)xn (s) ds n≥1 (1.5) gọi xấp xỉ Picard Có thể chứng minh quy nạp: Với xn (t) xác định [0, T ] liên tục Cho M = max0≤s≤t≤T | B(t, s) | K = max0≤t≤T | f (t) | Xét chuỗi: ∞ x1 (t) + ∑ (xn+1 (t) − xn (t)) (1.6) n=1 điển hình riêng tổng xn (t) Chứng minh quy nạp: | xn+1 (t) − xn (t) |≤ [K(Mt)n ]/n! Theo dạng (1.5) với n = 1: | x2 (t) − x1 (t) | =| f (t) + ≤ Z t Z t B(t, s) f (s) ds − f (t) | | B(t, s) f (s) | ds ≤ MKt, cho (1.7) với n = Giả thiết | xk+1 (t) − xk (t) |≤ [K(Mt)k ]/k! (1.7) xét x(s) ds (2.18) Trong K số dương Nó có đạo hàm riêng đầu liên tục để biến đổi (khi x 6= 0) thỏa mãn kiện Lipschitz tồn cục x(t) Để tính đạo hàm (2.18) nghiệm x(t) (2.13) 20 Với x 6= 0, ta có: V (t, x(·)) = (xT Bx)0 /2[xT Bx]1/2 Z ∞ Z t +K C(u,t) du x − K