Một Số Phương Trình Và Hệ Phương Trình Vi - Tích Phân Tự Tham Chiếu.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN VĂN NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TỰ THAM CHIẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN VĂN NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TỰ THAM CHIẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN VĂN NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TỰ THAM CHIẾU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Phạm Kỳ Anh Thanh Hóa, 2013 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Văn Ngọc ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành trường Đại học Hồng Đức-Thanh Hóa hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Nhân dịp em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Phạm Kỳ Anh, người bảo cho nhận xét quí báu giúp em hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Hồng Đức, ban lãnh đạo Khoa KHTN, thầy, cô giáo, người tận tình giảng dạy giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu khoa học Ban giám hiệu trường THPT Nông Cống II, gia đình, bạn đồng nghiệp, bạn học viên, người động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành khóa học Do khả thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn chưa đầy đủ có thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Thanh Hóa, tháng 11 năm 2013 Học viên Nguyễn Văn Ngọc iii Bảng cơng thức kí hiệu Các kí hiệu C(R, R) Không gian hàm số liên tục R L∞ (R, R) Không gian hàm số bị chặn cốt yếu R Lip(R, R) Không gian hàm số thỏa mãn điều kiện Lipschitz R Bảng công thức phương trình t   R ∂u (x, t)   =u u (x, s) ds, t ∂t  u (x, 0) = u (x) (1.2.1)  t   R ∂   u(x, t) = u u(x, τ ), t ∂t t0  u(x, 0) = u (x) (1.2.2) 0 !  x+δ(s) t R R  ∂   u(x, t) = u u (ξ, s) dξds, t ∂t 2δ(s) x−δ(s)   u(x, 0) = u (x), x ∈ R, t ∈ [0; α] t   R ∂   u(x, t) = u u(x, s)ds + ψ (u(x, t)) , t ∂t  u(x, 0) = u (x) (1.2.3) (1.2.4) iv   ∂2    u(x, t) = u    ∂t2 x+δ(x,t) R x−δ(x,t) ! ∂ u(x, t)dξ, t ∂t u(x, 0) = α(x)      ∂   u(x, 0) = β(x) ∂t    ∂2 ∂    u(x, t) = k1 u u(x, t) + k2 u(x, t), t   ∂t2  ∂t2 u(x, 0) = α(x)     ∂   u(x, 0) = β(x) ∂t (1.2.5) (1.2.6) Bảng cơng thức hệ phương trình   t 
R  ∂   u(x, t) = u v u(x, τ ), dτ, t , t   ∂t    0t 
R ∂ v(x, t) = v u v(x, τ )dτ, t , t   ∂t     u(x, 0) = u0 (x); v(x, 0) = v0 (x) (2.1)   t  ! R  ∂u   (x, t) = u αv(x, t) + v u(x, s)ds, t , t   ∂t     t  ! R ∂v (x, t) = v βu(x, t) + u v(x, s)ds, t , t   ∂t      u(x, 0) = u (x); v(x, 0) = v (x); α ≥ 0; β ≥ 0 (2.11)   t  !
R  ∂   u(x, t) = u f (u(x, t)) + v u(x, s)ds + ϕ u(x, t) , t , t   ∂t t0     t  !
∂ 1R v(x, t) = v g(v(x, t)) + u v(x, s)ds + ψ v(x, t) ,t ,t   ∂t t0      u(x, 0) = u (x); v (x, 0) = v (x) 0 (2.17) v Mục lục Mở đầu 1 Sự tồn nghiệm phương trình vi - tích phân tự tham chiếu 1.1 Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số định lý tồn nghiệm cho toán Cauchy phương trình tự tham chiếu 1.2.1 Sự tồn nghiệm phương trình 1.2.1 1.2.2 Sự tồn nghiệm phương trình 1.2.2 10 1.2.3 Sự tồn nghiệm phương trình 1.2.3 11 1.2.4 Sự tồn nghiệm phương trình 1.2.1 16 1.2.5 Sự tồn nghiệm phương trình 1.2.4 19 1.2.6 Sự tồn nghiệm phương trình 1.2.5 23 1.2.7 Sự tồn nghiệm phương trình 1.2.6 28 Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi - tích phân tự tham chiếu 35 2.1 Sự tồn nghiệm hệ phương trình 2.1 36 2.2 Sự tồn nghiệm hệ phương trình 2.11 42 2.3 Sự tồn nghiệm toàn cục hệ phương trình 2.11 47 2.4 Sự tồn nghiệm hệ phương trình 2.17 52 2.5 Sự tồn nghiệm toàn cục hệ phương trình 2.17 59 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 Mở đầu Hiện tượng di truyền tự tham chiếu đóng vai trị quan trọng khoa học ứng dụng, đặc biệt trình nghiên cứu tiến hóa sinh vật học Xét mặt tốn học tượng mơ tả phương trình dạng   Au (x, t) = u Bu (x, t) , t (i) Trong u = u (x, t) , với (x, t) ∈ R × [0, +∞) , hàm số chưa biết thỏa mãn số điều kiện ban đầu t = 0, A B toán tử vi phân tích phân Ví dụ : ∂u (x, t) ; Bu (x, t) = Au (x, t) = ∂t Zt u (x, τ ) dτ (ii) Khi B gọi "tốn tử di truyền" Vì nghiệm cần tìm u vế phải phương trình (i) lại phụ thuộc vào nên (i) gọi phương trình tự tham chiếu Một vài trường hợp đặc biệt (i) lần Volterra nghiên cứu vào kỷ XX Một số tác giả khác nghiên cứu (i) biến x thay biểu thức phức tạp Trong trường hợp B tốn tử đồng Eder nghiên cứu tồn nghiệm phương trình u0 (t) = u (u (t)) Si Cheng nghiên cứu phương trình tổng quát hơn: u0 (t) = u (at + bu (t)) hay αt + βu0 (t) = u (at + bu0 (t)) Trong năm gần Pascali Miranda thu nhiều kết quan trọng liên quan đến phương trình vi tích - phân tự tham chiếu Có thể nói phương trình vi - tích phân tự tham chiếu ngày thu hút nhiều quan tâm nhà toán học ứng dụng Trong luận văn chúng tơi trình bày lại cách hệ thống số kết vừa công bố tạp chí tồn nghiệm phương trình vi - tích phân hệ phương trình vi - tích phân tự tham chiếu Luận văn chia thành hai chương Chương 1: Thiết lập tồn nghiệm số tốn Cauchy cho phương trình vi-tích phân tự tham chiếu, điều kiện đầu u(x, 0) = u0 (x) thỏa mãn điều kiện sau: Bị chặn liên tục Lipschitz Không âm, không giảm, bị chặn nửa liên tục R Chương 2: Mở rộng kết chương cho hệ phương trình tự tham chiếu Do phương trình vi - tích phân tự tham chiếu có độ phi tuyến cao, nên cơng cụ quen biết giải tích phi tuyến, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết bậc ánh xạ, lý thuyết toán tử đơn điệu, phương pháp lặp hội tụ nhanh dạng Newton, vv , khó áp dụng Việc chứng minh tồn nghiệm phương trình (hệ phương trình) thường tiến hành cách "thủ cơng" nhờ sử dụng kỹ thuật lặp điểm bất động Người ta xây dựng dãy lặp tìm cách chứng minh hội tụ dãy lặp tới nghiệm tốn xét Tính nghiệm khoảng thời gian đủ bé thiết lập nhờ việc đánh giá trực tiếp khoảng cách hai nghiệm Một số vấn đề mở đặt cuối luận văn Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi - tích phân tự tham chiếu 1.1 Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị Ta nhắc lại số khái niệm liên tục, liên tục Lipschitz, nửa liên tục, bị chặn bị chặn cốt yếu + Hàm số u(x) xác định tập hợp X ⊂ R gọi là: • Liên tục điểm tụ x0 ∈ X với  > 0, tồn δ > cho |u(x) − u(x0 )| <  với x ∈ X thỏa mãn |x − x0 | < δ • Bị chặn X ∃M > cho |u(x)| ≤ M, ∀x ∈ X • Thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x ∃L > cho ∀x, y ∈ X ta có |u(x) − u(y)| ≤ L |x − y|, L gọi số Lipschitz • Nửa liên tục dưới: (l.s.c) điểm tụ x0 ∈ X ∀ > 0, ∃δ > cho u(x0 ) − u(x) <  với x ∈ X thỏa mãn |x − x0 | < δ + Giả sử (X, Σ, µ) khơng gian với độ đo µ Một hàm f (t) đo X gọi bị chặn cốt yếu X tồn tập A ⊂ X, µ (A) = cho sup {|f (t)| : t ∈ XA} < ∞ v  u(x, s)ds, τ  − v  v(x, s)ds, τ  dτ 0 Zt ≤  Au,v (τ ) + Lv (τ ) Zt ≤ |u(x, s) − v(x, s)| ds dτ Zτ   Au,v (s)ds dτ Au,v (τ ) + Lv (τ ) 1.2  Zτ Một số định lý tồn nghiệm cho toán Cauchy phương trình tự tham chiếu 1.2.1 Sự tồn nghiệm phương trình 1.2.1 t   R ∂u (x, t)   =u u (x, s) ds, t ∂t  u (x, 0) = u (x) (1.2.1) Định lý 1.1 Giả sử X không gian hàm số hai biến liên tục miền R × [0, ∞); u0 ∈ Lip (R, R) ∩ L∞ (R, R) tức : • ∀x1 , x2 ∈ R, tồn L0 > cho |u0 (x1 ) − u0 (x2 )| ≤ L0 |x1 − x2 | • ||u0 ||∞ < +∞ Khi tồn α > hàm số u = u(x, t) ∈ X liên tục bị chặn R × [0; α], thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x, liên tục theo t nghiệm toán Cauchy (1.2.1) Chứng minh Bài toán Cauchy cho tương đương với phương trình tích phân:  τ  Zt Z u(x, t) = u0 (x) + u  u(x, s)ds, τ  dτ ; t ≥ 0, x ∈ R 0 Xét dãy (un )n xác định công thức truy hồi sau  u1 = Su0 u n+1 = Sun , n ≥ Ta có  Zt u1 (x, t) = u0 (x) + u0   Zτ Zt  u0 (x)ds dτ = u0 (x) + u0  u0 (x)τ dτ Suy ra, ∀x ∈ R, ∀t > 0, ta có: |u1 (x, t) − u0 (x)| ≤ ||u0 ||∞ t := A1,0 (t) ⇒ |u1 (x, t)| ≤ ||u0 ||∞ (1 + t) Mặt khác: Zt |u1 (x1 , t) − u1 (x2 , t)| ≤ L0 |x1 − x2 | + L0 |x1 − x2 | L0 τ dτ  Zt = |x1 − x2 | L0 +  L20 τ dτ    2t = |x1 − x2 | L0 + L0 t L20 ; A1,0 (t) = ||u0 ||∞ t Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh rằng:   t2 tn |un (x, t)| ≤ ||u0 ||∞ + t + + + ≤ ||u0 ||∞ eα , ∀α > n L1 (t) = L0 + Đặt suy : ||un ||L∞ (R×[0;α]) ≤ eα ||u0 ||∞ , với ∀n ∈ N, ∀t ∈ [0; α] , ∀x ∈ R Xét : t  τ   τ  Z Z Z |u2 (x, t) − u1 (x, t)| =