Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại i dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

1Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mnh Mục lục Mở đầu Chương Phương trình toán tử loại I 1.1 Toán tử đơn điệu 1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh Chương 2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại I 20 21 25 27 27 32 Mét phương pháp lặp cho nghiệm hiệu chỉnh 34 34 35 2.1.1 Sù héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 2.1.2 Tèc ®é hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Xấp xỉ hữu hạn chiỊu nghiƯm hiƯu chØnh 2.2.1 Sù héi tơ cđa nghiƯm hiệu chỉnh hữu hạn chiều 2.2.1 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều 2.3 11 20 Hiệu chỉnh dựa toán tử tuyến tính đơn điệu m¹nh 2.2 2.3.1 Sù héi tô 2.3.2 Ví dụ Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyn tớnh n iu mnh Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình cô giáo TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp q b¸u cđa c¸c gi¸o s­ cđa ViƯn To¸n häc, Viện Công nghệ Thông tin thuộc viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô giáo Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đà quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đà theo sát động viên vượt qua khó khăn sống để có điều kiện tốt học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010 Tác giả Vũ Đình Chiến S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Mét sè ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X không gian liên hợp Rn không gian Euclide tập rỗng X n chiều x := y x định nghĩa y x với x tồn I ánh xạ đơn vị AB x x A giao với B AT ma trận chuyển vị ma trận ab a tương đương với b A toán tử liên hợp toán tư D(A) R(A) xk → x xk * x miỊn xác định toán tử miền giá trị toán tư d·y A A A A {xk } héi tơ m¹nh tíi x d·y {xk } héi tơ u tíi x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn t tuyn tớnh n iu mnh Mở đầu Cho hợp X không gian Banach thực phản xạ, X không gian liên X , hai có chuẩn kí hiệu k.k, A : X X toán tử đơn điệu đơn trị Xét phương trình toán tử loại I: với f X ∗, t×m x0 ∈ X cho A(x0 ) = f Khi toán tử A (0.1) tính chất đơn điệu đơn điệu mạnh, toán (0.1) nói chung toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Nhiều toán thùc tiƠn, khoa häc, c«ng nghƯ, kinh tÕ dÉn tới toán đặt không chỉnh Những người có công đặt móng cho lý thuyết toán đặt không chỉnh nhà toán học A N Tikhonov, M M Lavrentiev, V K Ivanov Do tính không ổn định toán nên việc giải số gặp khó khăn Lí sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số nghiệm Để giải loại toán này, ta phải sử dụng phương pháp ổn định, cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Năm 1963, A N Tikhonov [7] đà đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng kể từ lý thuyết toán đặt không chỉnh phát triển sôi động có mặt hầu hết toán thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (0.1) không gian Hilbert thực tìm phần tử cực tiểu xh, H dựa viƯc cđa phiÕm hµm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + αkx∗ − xk2 ®ã α>0 lµ tham sè hiƯu chØnh phơ thc vµo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h (0.2) , x phần tử http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn iu mnh cho trước đóng vai trò tiêu chuẩn chän vµ (Ah , fδ ) lµ xÊp xØ cđa (A, f ) Hai vấn đề cần giải tìm phần tử cực tiểu phiếm hµm Tikhonov vµ chän tham sè hiƯu chØnh tư cùc tiểu xh, (h,) = (h, ) thích hợp để phần dần tới nghiệm xác toán (0.1) h dần tới không Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp toán phi tuyến Đối với lớp toán phi tuyến với toán tử đơn ®iÖu A : X → X ∗, F Browder [5] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu phương pháp F Browder đề xuất sử dụng toán tử B : X → X∗ cã tÝnh chÊt h- liªn tơc (hemicontinuous), đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Bằng phương pháp này, Nguyễn Bường [6] đà xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử loại I (0.1) sở giải phương trình Ah (x) + B(x) = f (0.3) Bản luận văn nhằm mục đích trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử loại I (0.1) không gian Banach phản xạ thực X dựa toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Trình bày phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều phương pháp lặp tìm nghiệm hiệu chỉnh Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương giới thiệu số kiến thức toán tử đơn điệu, phương trình toán tử đặt không chỉnh, tồn nghiệm tính chất tập nghiệm phương trình toán tử loại I Trong chương 2, trình bày phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov cho phương trình toán tử loại I dựa toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Trình bày hội tụ tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh sở tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm Chúng trình bày S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tớnh n iu mnh phương pháp xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh phần cuối chương phương pháp lặp cho nghiệm hiệu chỉnh víi vÝ dơ minh häa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chương Phương trình toán tử loại I Trong chương trình bày khái niệm kết phương trình toán tử loại I với toán tử đơn điệu Chúng trình bày khái niệm toán đặt không chỉnh đưa vài ví dụ phương trình toán tử đặt không chỉnh Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] [4] 1.1 Toán tử đơn điệu Cho X vào A : X X toán tử đơn trị từ không gian Banach thực phản xạ X với miền xác định D(A) X (thông thường ta coi không nói thêm) miền giá trị (miền ảnh) Toán tử Định nghĩa 1.1.1 D(A) X R(A) nằm X A gọi đơn ®iÖu nÕu hAx − Ay, x − yi ≥ 0, x, y X A gọi đơn điệu chặt dấu đạt x = y Khái niệm toán tử đơn điệu mô tả dựa đồ thị Gr(A) toán tử A không gian tích X ì X , theo định nghĩa Gr(A) = {(x, y) : y = Ax} Định nghĩa 1.1.2 Toán tử A gọi đơn điệu hx y ∗ , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ Ax, y ∗ ∈ Ay TËp Gr(A) gọi tập đơn điệu thoả mÃn bất đẳng thức S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh NÕu Định nghĩa 1.1.3 X ì X Gr(A) toán tử Nếu Định nghĩa 1.1.4 không bị chứa tập đơn điệu khác A gọi toán tử đơn điệu cực đại x X tử xác định không âm, kí hiệu ? Nhận xét: Nếu A ta có hAx, xi A gọi toán A toán tử tuyến tính không gian Banach X tính đơn điệu tương đương với tính xác định không âm toán tử Ví dụ 1.1.1 H Giả sử không gian Hilbert, A:HH toán tử không giÃn, tức kAx Ayk kx yk, Khi toán tử I −A kh«ng gian Hilbert VÝ dơ 1.1.2 ∀x, y X toán tử đơn điệu, I toán tử đơn vị H A : RM RM Toán tử tuyến tính xác định A = B T B, víi B lµ mét ma trận vuông cấp Định nghĩa 1.1.5 không âm Toán tử M , toán tử đơn điệu A gọi đơn điệu đều, tồn hàm (t), không giảm với t 0, (0) = vµ hAx − Ay, x − yi ≥ δ(kx − yk), NÕu δ(t) = cA t2 víi cA ∀x, y X số dương toán tử A gọi đơn điệu mạnh Định nghĩa 1.1.6 X d-liên Toán tử A(x + ty) * Ax A gọi t tục (demicontinuous) trªn X h-liªn víi mäi nÕu tõ tơc (hemicontinuous) trªn x, y ∈ X xn → x vµ suy A gọi Axn * Ax n ∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh VÝ dơ 1.1.3 Hµm hai biÕn: ϕ(x, y) =    xy (x2 + y )  0 liªn tơc theo biến riêng biệt Do (x, y) 6= (0, 0) nÕu (x, y) = (0, 0) (0, 0) không liên tục (0, 0) h-liên tục (0, 0) ? Nhận xét: Một toán tử đơn điệu h-liên tục X Định nghĩa 1.1.7 Toán tử A : X X d-liên tục gọi toán tử bức, hAx, xi = , x X kxk kxk lim Định nghĩa 1.1.8 ¸nh x¹ U s : X → X ∗ (nãi chung đa trị) xác định U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ ks1 kxk = kxks , s 2} gọi ánh xạ đối ngẫu tổng quát không gian Khi s = chuẩn tắc Us thường viết U X gọi ánh xạ đối ngẫu X ? Nhận xét: 1) Trong không gian Hilbert tử đơn vị 2) I H , ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc toán H ánh xạ đối ngẫu ví dụ toán tử đơn điệu, tồn kh«ng gian Banach X = Lp (Ω), < p < ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U có dạng Với Rn tập đo không gian (U x)(t) = kxk2p |x(t)|p2 x(t), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên t ∈ Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn 10Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Trong kh«ng gian Lp (), ánh xạ đối ngẫu U s có tính chất đơn điệu liên tục Holder, hU s (x) − U s (y), x − yi ≥ mU kx − yks , kU s (x) − U s (y)k C(R)kx yk , mU > 0, < ν ≤ 1, (1.1) (1.2) C(R) hàm dương đơn điệu tăng theo R = max{kxk, kyk} (xem [3]) (xem [4]) Nếu Định lý 1.1.1 đối ngẫu chuẩn tắc Hơn nữa, X X không gian Banach lồi chặt ánh xạ U : X X toán tử đơn điệu, không gian Banach lồi chặt U d-liên tục toán tử đơn điệu chặt Bổ đề 1.1.1 (xem [9]) Cho X không gian Banach thực, A toán tử h-liên tục từ X vào f X X Khi đó, nÕu cã hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X, th× A(x0 ) = f Nếu A toán tử đơn điệu X điều kiện tương đương với hA(x0 ) f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X Bổ đề 1.1.1 có tên bổ đề Minty, tên nhà toán học Mỹ, người đà chứng minh kết trường hợp không gian Hilbert Sau ông Browder đà chứng minh độc lập không gian Banach Định nghĩa 1.1.9 Cho X không gian Banach phản xạ, phiếm hàm lồi, thường ã Hàm f X gọi nửa liên tơc d­íi trªn lim inf f (y) ≥ f (x), y→x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 f :X →R X nÕu ∀x ∈ X http://www.lrc-tnu.edu.vn lµ 22Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Ta cã + hA(x) − A(), x i A toán tử đơn điệu; + hB(x), x i = hB(x), xi ≥ αmB kxk2 , mB > 0; + hA(θ), x − θi ≤ kA(θ)k.kxk Do ®ã h(A + αB)(x), xi ≥ αmB kxk2 − kA(θ)k.kxk, hay, h(A + αB)(x), xi αmB kxk2 − kA(θ)k.kxk ≥ kxk kxk = αmB kxk − kA(θ)k Suy h(A + αB)(x), xi = + kxk kxk+ lim Theo Định lý 1.2.1, phương trình (2.2) có nghiệm với > Bây ta chøng minh (2.2) cã nghiÖm nhÊt b»ng viÖc A+B toán tử đơn điệu mạnh Thật vËy, ta cã h(A + αB)(x) − (A + αB)(y), x − yi = hAx − Ay, x − yi + αhBx − By, x − yi ≥ αCB kx yk2 , CB số dương Ký hiệu nghiệm phương trình (2.2) hội tụ đến x1 x , ta {xδα } tho¶ m·n (2.4) ThËt vËy, tõ (2.1) vµ (2.2) ta cã hA(xδα ) − A(x) + f − fδ , x − xδα i + αhBx, x − xδα i = αhB(x − xδα ), x − xδα i, ∀x ∈ S0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 http://www.lrc-tnu.edu.vn 23Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mnh Do A toán tử đơn điệu B toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh nên mB kx − xδα k2 ≤ hA(xδα ) − A(x), x − xδα i + hf − fδ , x − xδα i + αhBx, x − xδα i ≤ kf − fδ kkx − xδα k + αhBx, x − x i Chia hai vế cho ta δ kx − xδα k + hBx, x − xδα i không gian Banach phản xạ X mB kx − xδα k2 ≤ Suy {xδα } giíi néi t¹i mét d·y cđa {xδα } x1 hội tụ yếu đến phần tử Không làm tÝnh tỉng qu¸t, ta cã thĨ coi xδα * x1 xδα ∈ D(B), tõ (2.2) ta cã (2.5) Khi ®ã, tån nµo ®ã cđa X δ α, → α Do hA(xδα ) + αBxδα − fδ , x − xδα i = 0, ∀x ∈ D(B) Do A + B toán tử đơn điệu nên từ đẳng thøc trªn ta suy hA(x) + αBx − fδ , x − xδα i ≥ 0, ∀x ∈ D(B) Cho , Thay cho ta hA(x) − f, x − x1 i ≥ 0, ∀x ∈ D(B) x b»ng tx + (1 − t)x1 , < t < vào bất đẳng thức sau ®ã chia t råi cho t → 0, A toán tử h-liên tục ta hA(x1 ) − f, x − x1 i ≥ 0, ∀x ∈ D(B) D(B) = X , suy x1 ∈ S0 Tøc δ nghiƯm cđa (2.1) Tõ (2.5) cho α, → ta cã α ≤ mB kx − x1 k2 ≤ hBx, x − x1 i, ∀x ∈ S0 Theo bổ đề Minty Do S0 tập lồi nên tx + (1 t)x1 S0 , < t < thøc trªn sau chia hai vế cho x1 Thay vào bất đẳng t cho t ta hBx1 , x x1 i 0, ∀x ∈ S0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 http://www.lrc-tnu.edu.vn 24Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Do phần tử mạnh đến x S0 thoả mÃn (2.4) dÃy {x } héi tô x1 NÕu thay cho A ta biết xấp xỉ Ah A thoả mÃn kAh (x) A(x)k hg(kxk) có tính chất A, g(t) (2.6) hàm giới nội Ta có kết sau (xem [2]) Định lý 2.1.2 Với > 0, h > f X phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + αBx = fδ cã nhÊt nghiÖm x ∈ S0 xτα , τ = (h, δ) NÕu (2.7) δ h α, , → α α th× {xτα } hội tụ đến thoả mÃn (2.4) Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.1.1, phương trình (2.7) cã nhÊt nghiƯm, ký hiƯu lµ Ta sÏ chøng minh {xτα } xτα , τ = (h, δ) héi tụ đến phần tử x1 h , , Cũng chứng minh Định lý 2.1.1 tõ (2.1) vµ (2.7) ta cã hAh (xτα ) − A(x) + f − fδ , x − xτα i + αhBx, x − xτα i = αhB(x − xτα ), x − xτα i, ∀x ∈ S0 Từ B toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh, A, A h có tính đơn ®iƯu nªn mB kx − xτα k2 ≤ hBx, x − xτα i   τ τ hAh (xα ) − Ah (x) + Ah (x) − A(x) + f − fδ , x − xα i + α hg(kxk) + δ ≤ hBx, x − xτα i + kx − xτα k α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 http://www.lrc-tnu.edu.vn 25Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Các lập luận lại tương tự chứng minh Định lý 2.1.1 2.1.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Giả sử hợp tức A, Ah , B cã c¸c tÝnh chÊt nh­ ë mơc 2.1 B toán tử tự liên B = B Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh ta sử dụng bất đẳng thức Young (xem [2] vµ tµi liƯu dÉn): a, b, c ≥ 0, k > t, ak ≤ bat + c =⇒ ak = O(bk/(k−t) + c) Qui ­íc viÕt v« cïng bÐ: Giả sử đại lượng h Nếu tồn mét sè α > vµ h»ng sè ρ(h) lµ mét v« cïng bÐ M > cho: | ρ(h) |≤ M.hα th× ta viÕt ρ(h) = O(hα ) đại lượng nhỏ Viết có nghĩa h nhỏ (h) h (h) tiến đến không chậm M h Ta có kết sau (xem [6]) Định lý 2.1.3 i) Giả sử điều kiện sau thỏa mÃn: A khả vi Fréchet lân cận S0 ; ii) Tồn sè L > tho¶ m·n kA0 (x) − A0 (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x ∈ S0 , y iii) Tồn phần tử iv) thuộc lân cận S0 ; z ∈ D(B) tho¶ m·n A0∗ (x1 )z = Bx1 ; Lkzk ≤ 2mB Khi ®ã, nÕu chọn cho (h + )à , < < 1,   µ τ θ kxα − x1 k = O((h + δ) ), θ = − µ, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 http://www.lrc-tnu.edu.vn 26Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chøng minh Tõ (2.1), (2.5) tính đơn điệu A, Ah B ta cã αmB kxτα − x1 k2 ≤ (hg(kxτα k) + δ)kxτα − x1 k + αhBx1 , x1 − xτα i Từ bất đẳng thức cuối điều kiện iii) ta nhận mB kx x1 k2 (hg(kxτα k) + δ)kxτα − x1 k + αhz, A (x1 )(x1 x )i (2.8) áp dụng công thøc khai triÓn Taylor A0 (x1 )(x1 − xτα ) = A(x1 ) − A(xτα ) + rατ víi krατ k ≤ L τ kxα − x1 k2 ta ®­ỵc hz, A(x1 ) − A(xτα )i = hz, f − fδ + Ah (xτα ) − A(xτα ) + fδ − Ah (xτα )i ≤ kzk(δ + hg(kxτα k)) + hz, Bx i Từ (2.8) bất đẳng thức cuối ta nhận mB kx x1 k2 ≤ (hg(kxτα k) + δ)kxτα − x1 k + αhz, A(x1 ) − A(xτα ) + rατ i ≤ (hg(kxτα k) + δ)kxτα − x1 k + αhz, A(x1 ) − A(xτα )i + αhz, rατ i ≤ (hg(kxτα k) + δ)kxτα − x1 k + αkzk(hg(kxτα k) + δ) L + αhz, αBxτα i + αkzk kxτα − x1 k2 Hay α(mB − L kzk)kxτα − x1 k2 ≤ (hg(kxτα k) + δ)kxτα − x1 k   τ τ + α kzk(hg(kxα k) + δ) + αkBzkkxα k Do tham sè hiÖu chØnh d·y x chọn thoả mÃn (h + )à , < < bị chặn nên từ bất đẳng thức ta nhận k xδα − x1 k2 ≤ C1 (h + δ)1−µ k xδα − x1 k +C2 (h + δ)µ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 http://www.lrc-tnu.edu.vn 27Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tớnh n iu mnh C1 , C2 số dương áp dụng bất đẳng thức Young cho bất đẳng thức cuối ta kx   µ − x1 k = O((h + δ) ), θ = − µ, θ 2.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh 2.2.1 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều Bây ta xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh x phương trình hiệu chỉnh (2.2) phương pháp Galerkin An (x) + B n (x) = fn , (2.9) An = Pn APn , B n = Pn∗ BPn , fδn = Pn f , Pn tính từ X lên không gian hữu hạn chiều X ), Pn toán tử đối ngẫu Pn X phép chiếu tun Xn cđa vµ Xn ⊂ D(B), Pn∗ BPn x (giả thiết bị chặn Bx, n + Ta có định lý sau (xem [6]) Định lý 2.2.1 nghiệm xn Với > f X , điều kiện cần đủ để dÃy cđa (2.9) héi tơ ®Õn nghiƯm hiƯu chØnh hiƯu chØnh (2.2) x phương trình Pn x x, n → +∞, víi mäi x ∈ X Chøng minh ã Điều kiện cần: Lấy phần tử phương trình hiệu chỉnh (2.2) ta có x X Khi ®ã, tÝnh chÊt cđa xα → x, 0, x nghiệm phương trình A(x) + Bx = A(x) S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 (2.10) http://www.lrc-tnu.edu.vn 28Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh α cho víi mäi ε α < α th× kxα − xk ≤ Do víi > f X dÃy {xδαn } héi tơ δ ®Õn nghiƯm hiƯu chØnh xα cho nªn xαn → xα , n → +, xn Vì vậy, với đủ nhỏ ta chọn giá trị nghiệm phương trình An (x) + B n x = An (x), xấp xỉ Galerkin phương trình (2.10) Nh­ vËy, víi cã thĨ chØ ε kxα − xαn k ≤ Khi víi n ≥ N ta có kx Pn xk < Điều chứng tỏ Pn x x số nguyên đó, >0 N đủ lớn cho nN n + ã Điều kiện đủ: Từ (2.2) vµ (2.9) ta cã hA(xδα ) + αBxδα − fδ , xδαn − xδα i = hAn (xδαn ) + αB n xδαn − fδn , xδαn − Pn xδα i Suy hA(xδα ), xδαn − Pn xδα + Pn xδα − xδα i + αhBxδα , xδαn − Pn xδα + Pn xδα − xδα i − hfδ , xδαn − Pn xδα + Pn xδα − xδα i = hAn (xδαn ) + αB n xδαn − fδ , xδαn − Pn xδα )i Hay hA(xδα ) − A(Pn xδα ), xδαn − Pn xδα i + hA(xδα ), Pn xδα − xδα i + hfδ , xδα − Pn xδα i + αhBxδα , xδαn − xδα i − αhB n xδαn , xδαn − Pn xδα i ≥ Do ®ã, hA(xδα ) − A(Pn xδα ), xδαn − Pn xδα i + hA(xδα ), Pn xδα − xδα i + αhBxδα , Pn xδα − xδα i + αhBxδα − BPn xδα , xδαn − Pn xδα i + hfδ , xδα − Pn xδα i ≥ αhB(xδαn − Pn xδα ), xδαn − Pn xδα i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 http://www.lrc-tnu.edu.vn 29Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Hay kxδαn − Pn xδα k(kA(xδα ) − A(Pn xδα )k) + kxδα − Pn xδα k × (kA(xδα )k + kfδ k + αkBxδα k) + αhBxδα − BPn xδα , xδαn − (2.11) Pn xδα i ≥ αmB kxδαn − Pn xδα k2 Tõ tÝnh chÊt cđa to¸n tö B ta cã hBxδα − BPn xδα , Pn xδα − xδαn i ≤ C0 kxδαn − Pn xδα k, C0 số dương Từ hai bất đẳng thức cuối suy tính giới nội dÃy tụ yếu đến {xn } Không làm mÊt tÝnh chung, ta gi¶ thiÕt {xδαn } héi x0δα ∈ X DƠ dµng nhËn thÊy hAn (xn ) + αB n xn − fδn , xn − xδαn i ≥ 0, ∀xn ∈ Xn Do Pn∗ BPn x Bx, x X từ bất đẳng thức cuối ta hA(x) + Bx f , x − x0δα i ≥ 0, ∀x ∈ D(B) Khi đó, x0 = x dÃy {xn } (2.11) tính đơn điệu mạnh B hội tụ yếu ®Õn xδα Tõ bÊt ®¼ng thøc suy tÝnh hội tụ mạnh dÃy {xn } Bây ta xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều phương trình (2.7) sở giải phương trình Anh (x) + αB n x = fδn (2.12) Ta có kết sau (xem [6]) Định lý 2.2.2 Giả sử: i) Các điều kiện i) ii) Định lý 2.1.3 tháa m·n; ii) α = α(h, δ, n) → cho h/α, δ/α → vµ
γn (x) + Lk(I − Pn )xk2 α−1 → 0, ∀x ∈ S0 , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 http://www.lrc-tnu.edu.vn 30Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh n , n (x) định nghĩa bëi γn (x) = kA0 (x)(I − Pn )xk Khi ®ã, d·y {xh,δ αn } héi tô ®Õn x1 Chøng minh Tõ (2.1), (2.12) vµ tÝnh chÊt cđa Anh , Pn , B suy n n h,δ Anh (xh,δ αn ) − Ah (xn ) + αB (xαn − xn ) = fδn − Anh (xn ) − B n xn fn + Pn A(x), đây, fn = Pn∗ f, xn = Pn x, x ∈ S0 Nhân hai vế đẳng thức với điệu Anh , B Pn2 = Pn xh, n xn sử dụng tính chất đơn ta nhận h, h, mB kxh, n xn k ≤ αhB(xαn − xn ), xαn − xn i h,δ = αhPn∗ (B(xh,δ αn − xn )), xαn − xn i ≤ hPn∗ (fδ − f + A(x) − A(xn ) + A(xn ) − Ah (xn )), xh,δ αn − xn i (2.13) + αhPn∗ Bxn , xn − xh,δ αn i ≤ (δ + hgkxk)kxh,δ αn − xn k + hA(x) − A(xn ), xh,δ αn − xn i + αhPn∗ Bxn , xn − xh,δ n i Mặt khác, A(xn ) A(x) = A0 (x)(Pn I)x + rn , rn L k(I − Pn )xk2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 http://www.lrc-tnu.edu.vn 31Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn iu mnh Do từ (2.13) ta nhận αmB kxh,δ αn − xn k ≤ δ + hgkxk + kA (x)(I − Pn )xk
L + k(I − Pn )xk2 kxh,δ αn − xn k + αhPn∗ Bxn , xn − xh,δ αn i hPn∗ Bxn , xn − xh,δ ˜kxh,δ αn ≤ c αn xn k với bất đẳng thức cuối suy dÃy tổng quát, giả sử xh, n * x1 (2.14) Kết hợp với điều kiện định lý {xh, n } bị chặn Không làm tính h, , n + Bây ta viết điều kiện đơn điệu toán tử An = Pn∗ APn h,δ hAn (xn ) − An (xh,δ αn ), xn − xαn i ≥ 0, ∀x X Vì Pn Pn = Pn , nên bất đẳng thức viết dạng h, hA(xn ) − An (xh,δ αn ), xn − xαn i ≥ Do ®ã, h,δ h,δ h,δ hA(xn ) − fδ + αB n xh,δ αn , xn − xαn i + hgkxαn k.kxn − xαn k ≥ 0, hay h,δ h,δ hA(xn ) − fδ + αB n xn , xn − xh,δ αn i + hgkxαn k.kxn − xαn k ≥ 0, ∀x ∈ D(B) Cho h, δ, α → vµ n → +∞ bÊt đẳng thức ta nhận hA(x) f, x − x1 i ≥ 0, ∀x ∈ D(B) Tõ bæ ®Ò Minty suy x ∈ S0 Tõ (2.14) ta nhận hBx, x x1 i ≥ 0, ∀x ∈ S0 Thay x bëi tx1 + (1 t)x bất đẳng thức sư dơng tÝnh chÊt tun tÝnh cđa B vµ tÝnh chất lồi đóng S0 ta nhận htBx1 + (1 − t)Bx, x − x1 i ≥ 0, ∀x ∈ S0 , t ∈ (0, 1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 http://www.lrc-tnu.edu.vn 32Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn iu mnh Cho t bất đẳng thức ta nhận hBx1 , x x1 i ≥ 0, ∀x ∈ S0 PhÇn tư Thay x1 x1 thỏa mÃn (2.4) nên dÃy xn = xn1 = Pn x1 {xh,δ αn } (2.14) ta suy d·y héi tơ u ®Õn {xh,δ n } x1 hội tụ mạnh đến h, , α → vµ n → +∞ 2.2.1 Tèc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều §Ỉt βn = kPn∗ BPn x1 − Bx1 k Ta chứng minh kết tốc độ hội tụ dÃy Định lý 2.2.3 {xh, n } Giả sử: i) Các điều kiện i)-iii) Định lý 2.1.3 thỏa mÃn; ii) chọn (h + + n )à1 + n , n = k(I Pn )x1 k Khi đó, à2 1/2 kxh,δ αn − x1 k = O (h + δ + n ) + n
n à1 o µ2 = − µ1 , Chøng minh Tõ kAh (x1 ) − Ah (xn1 )k ≤ hgkx1 k + δ + kfδ − Ah (xn1 )k, vµ ∗ n n h,δ hPn∗ Bxn1 , xn1 − xh,δ αn i = hPn Bx1 − Bx1 , x1 − xαn i + hBx1 , xn1 − xh,δ αn i n n h,δ ≤ βn kxh,δ αn − x1 k + hBx1 , x1 − xαn i, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 http://www.lrc-tnu.edu.vn 33Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh kÕt hỵp víi (2.14) ta nhËn ®­ỵc n αmB kxh,δ αn − x1 k ≤ (δ + hgkx1 k + γn + Lγn /2 αβn )kxh,δ αn + − xn1 k + αhBx1 , xn1 xh, n i (2.15) Mặt khác, n h, hBx1 , xn1 − xh,δ αn i = hBx1 , x1 − x1 i + hBx1 , x1 − xαn i ≤ kBx1 kγn + hBx1 , x1 − xh,δ αn i Do ®ã tõ (2.15) ta suy 2 h,δ n αmB kxh,δ αn − x1 k ≤ (δ + hgkx1 k + γn + Lγn /2 + αβn )kxαn − x1 k + αkBx1 kγ + αhBx1 , x1 xh, n i, h, hBx1 , x1 − xh,δ αn i = hz, A (x1 )(x1 − xαn )i αn = hz, A(x1 ) − A(xh,δ αn ) + rhδ i h,δ h,δ = hz, f − fδ + fδ − Ah (xh,δ αn ) + Ah (xαn ) − A(xαn ) αn + hz, rhδ i ∗ h,δ αn ≤ kzk(δ + hkxh,δ αn k) + αhB z, xαn i + hz, rhδ i, n krh k L h, kxn xn1 k2 + O(n ), ta nhận  L n h,δ n α mB − kzk kxh,δ αn − x1 k ≤ O(h + δ + γn + αβn )kxαn − x1 k + αO(h + δ + n + )  Vì n à2 1/2 kxh,δ αn − x1 k = O (h + δ + γn ) + βn
vµ
µ2 1/2 kxh,δ − x k = O (h + δ + γ ) + β n αn n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn 34Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyn tớnh n iu mnh 2.3 Một phương pháp lặp cho nghiƯm hiƯu chØnh 2.3.1 Sù héi tơ Trong mơc xét phương pháp lặp để tìm nghiệm phương trình F (x) Bx + A(x) = f Giả sử x1 phần tử tùy ý (2.16) D(B) DÃy lặp xây dựng sau xn+1 = xn − tn B −1 (F (xn ) − f )/τn , n = 1, 2, τn = hB −1 (F (xn ) − f ), F (xn ) f i1/2 , (2.17) {tn } dÃy số thực Định lý 2.3.1 Nếu dÃy số thực tn thỏa mÃn điều kiện tn > 0, tn & 0, ∞ X tn = +∞, n=1 th× d·y {xn } ∞ X t2n < +∞, n=1 hội tụ đến nghiệm x phương trình (2.16) n Chứng minh Đặt n := hB(xn − x˜), xn − x˜i DƠ dµng suy λn+1 = λn + 2hB(xn+1 − xn ), xn − x˜i + hB(xn+1 − xn ), xn+1 − xn i Từ bất đẳng thức (2.17) ta nhận ®­ỵc λn+1 ≤ λn − 2tn λn /τn + t2n Vì dÃy {n } bị chặn Suy dÃy {xn } dÃy {A(xn )} bị chặn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn 35Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Tõ τn2 = hB −1 (A(xn ) + Bxn − (A(˜ x) − B x˜)), A(xn ) + Bxn − (A(˜ x) − B x˜)i kA(xn ) − A(˜ x)k2 + 2kA(xn ) − A(˜ x)kkxn − x˜k + λ2n , ≤ mB vµ A bị chặn, nên dÃy C dương {n } bị chặn, nghĩa tồn số cho λn+1 ≤ λn − 2λn tn /C + t2n Từ suy n n → +∞ Do ®ã d·y {xn } héi tơ ®Õn x˜ 2.3.2 VÝ dơ VÝ dơ 2.3.1 XÐt ph­¬ng trình tích phân tuyến tính loại I K = f, f ∈ Lq [0, 1], < q < +∞, K (2.18) định nghĩa Z (Kϕ)(x) = k(x, s)ϕ(s)ds, tháa m·n hKϕ, ϕi ≥ 0, ∀ϕ ∈ Lp [0, 1], 1/p + 1/q = Giả sử Toán tử B (x) hai lần khả vi thỏa mÃn điều kiện (0) = (1) = trường hợp cho d2 (x) Bϕ(x) = − + p0 (x)ϕ(x), p0 (x) ≥ p0 > dx2 Khi ®ã Z −1 B ψ(x) = g(x, s)ψ(s)ds víi ( g(x, s) = u1 (x)u2 (s) , t ≤ s, u2 (x)u1 (s) , s ≤ t, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 http://www.lrc-tnu.edu.vn 36Vũ Đình Chiến - Hiệu chỉnh phương trình Tốn tử loại I dựa trờn Toỏn t tuyn tớnh n iu mnh u1 , u2 thỏa mÃn nghiệm không tầm thường phương trình Bu = u(0) = u(1) = Ví dụ 2.3.2 Xét toán tìm phần tö x ∈ Rn cho A(x0 ) = f0 , A ma trận vuông cấp định thức n, (2.19) đối xứng, xác định không âm có 0, f0 = Rn Khi (2.19) toán đặt không chØnh, x0 = θ lµ nghiƯm cã chn nhá nhÊt (2.19) Phương trình hiệu chỉnh (2.19) có dạng: Ah (x) + αx = fδ (2.20) n = 10, ma trận A cho   2      3 20      15 3 4 3 200   5 2500 12 2   A=  6  150 20     7 12 40000 6   8 15 8000 2     9  20 100000   8 Cụ thể, với ma trận đối xứng, xác định không âm detA = Xấp xỉ vÕ ph¶i f0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)T ∈ R10 bëi fδ = (10−4 , 10−4 , 10−4 , 10−4 , 10−4 , 10−4 , 10−4 , 10−4 , 10−4 , 10−4 )T ∈ R10 , vµ xÊp xØ A bëi Ah = A + hI , h = 10−4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn