ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG TÚ HỒI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ: THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ : 60.46.36 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình đựoc hoàn thành : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THUỶ Phản biện 1: GS.TS Nguyễn Bường Phản biện 2: GS.TS Trần Vũ Thiệu Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUN Ngày 07 tháng 11 năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên thư viện Trường Đại học Khoa học Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN Nguyễn Thị Thu Thuỷ Đặng Tú Hồi (2010) “Kết số phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tốn tử đơn điệu” Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Thái Ngun, 70(08), tr.61 - 64 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Bài toán đặt không chỉnh phương trình toán tử đơn điệu 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 14 14 16 18 1.1.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 1.1.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh 1.2 Phương trình toán tử đơn điệu 1.2.1 Toán tử đơn điệu 1.2.2 Phương trình với toán tử đơn điệu 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Chương Nghiệm hiệu chỉnh tham số hiệu chỉnh 20 2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử ®¬n ®iƯu 20 2.2 Tham sè hiÖu chØnh 25 2.3 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 28 2.4 KÕt qu¶ sè 33 KÕt luËn 40 Tµi liƯu tham kh¶o 41 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lêi c¶m ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu giáo sư Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô giáo Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán -Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đà quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thuỷ, cô đà tận tình hướng dẫn, bảo tác giả suốt thời gian tác giả thực luận văn trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đà theo sát động viên, chia sẻ khó khăn sống, giúp tác giả có điều kiện tốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2010 Tác giả Đặng Tú Hồi S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Rất nhiều toán thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa toán (khi kiện thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Do tính không ổn định toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số lời giải Trong đề tài luận văn nghiên cứu toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tư (0.1) Ax = f, ®ã A : X X toán tử đơn điệu đơn trị h-liên tục từ không gian Banach phản xạ X vào không gian liên hợp X X Để giải loại toán này, ta phải sử dụng phương pháp ổn định, cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Năm 1963, A N Tikhonov [10] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng kể từ lý thuyết toán đặt không chỉnh phát triển sôi động có mặt hầu hết toán thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (0.1) không gian Hilbert thực tìm phần tử cực tiểu H dựa việc xh,δ α cđa phiÕm hµm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + αkx∗ − xk2 ®ã (0.2) α > lµ tham sè hiƯu chØnh phơ thuộc vào h , x phần tử cho trước đóng vai trò tiêu chuẩn chọn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (Ah , fδ ) lµ xÊp xØ (A, f ) http://www.lrc-tnu.edu.vn Hai vấn đề cần giải tìm phần tử cực tiểu cđa phiÕm hµm Tikhonov vµ chän tham sè hiƯu chØnh tử cực tiểu = (h, ) thích hợp để phần xh, (h,) dần tới nghiệm xác toán (0.1) h dần tới không Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp toán phi tuyến Đối với lớp toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X X , F Browder [8] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu phương pháp F Browder đề xuất sử dụng to¸n tư M : X → X ∗ cã tÝnh chất h-liên tục (hemicontinuous), đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh U s , ánh xạ đối ngẫu tổng quát X , toán tử có tính chất Bằng phương pháp này, Ya I Alber [2] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + αU s (x − x∗ ) = fδ (0.3) cho toán (0.1) Việc chọn tham số hiệu chỉnh chØnh (0.3) r»ng tham sè Ah ≡ A ®· nghiên cứu [2] người ta phụ thuộc vào đánh giá ®¼ng thøc ˜ p, ρ(α) = Kδ víi = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệu 1, < p < 1, K ρ(α) = αkxδα k Ph¬ng trình hiệu chỉnh (0.3) cách chọn tham số = () thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử không chỉnh (0.1) Năm 2005, Nguyễn Bường [6] đà nghiên cứu việc chọn giá trị tham số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng sở giải phương trình () = p q , 0 Ta có kết sau (xem [7]) Định lý 2.2.1 Cho U s : X → X∗ Ah : X X toán tử đơn điệu bị chặn ánh xạ đối ngẫu tổng quát X h-liên tục, thỏa mÃn (2.5) Giả sử điều kiện (2.3), (2.4) thỏa mÃn Khi đó: 1) Tồn Ýt nhÊt mét nghiƯm 2) NÕu 2.1) α ˜ cđa phương trình (2.15) h+δ → 0, xτα˜ → x0 ∈ S0 tháa mÃn (2.7) tồn số dương C1 , C2 > cho víi h, δ > đủ bé ta có 2.2) Nếu 0 ánh xạ x liên tục [0 ; +∞), α0 > ˜ q ρ(˜ α) liªn tôc Suy α ˜→α ˜ 1+q k U s (xτα˜ − x∗ ) k= α lim α ˜ q ρ(˜ α) = lim α ˜ q kAh (xτα˜ ) − fδ k = +∞, α ˜ →+∞ α ˜ →+∞ vµ lim α ˜ q ρ(˜ α) = Theo định lý giá trị trung gian, ta điều phải chứng minh 2) Khi 2.1) →0 lim α(h, δ) = víi τ = (h, δ) τ →0 ThËt vËy, gi¶ sư δk , hk → vµ αk = α(δk , hk ) → +∞ k → ∞, τk = (δk , hk ) Tõ (2.2) ta cã hAhk (xταkk ) − Ahk (x∗ ), xταkk − x∗ i + αk hU s (xταkk − x∗ ), xταkk − x∗ i = hfδk Ahk (x ), xkk x i Từ sử dụng tính chất đơn điệu bị chặn kxταkk − x∗ ks−1 ≤ Hay Ah ta suy kfδk − Ahk (x∗ )k → k → ∞ αk xταkk → x∗ k → ∞ MỈt kh¸c kAhk (xταkk ) − fδk k = ρ(αk ) = (δk + hk )p αk−p → 0, k → ∞ Cã nghÜa lµ Nh vËy A(x∗ ) = f , điều mâu thuẫn với (2.17) (, h) bị chặn , h Cho k , hk → vµ αk → c > k → ∞ V× (δk + hk )p αk−q = αk kU s (xταkk − x∗ )k, hay αk1+q kU s (xταkk − x∗ )k = (δk + hk )p Cho nªn kxταkk − x∗ )k → θ k → ∞ 27 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Suy xταkk → x∗ k → ∞ Tõ αk kU s (xταkk − x∗ )k = kfδk − Ahk (xταkk )k ta l¹i cã VËy A(x∗ ) = f lim α(h, δ) = δ,h→0 2.2) NÕu < p < q th× vËy, δ+h α(δ, h) p h+δ → 0, xταe → x0 ∈ S0 tháa m·n (2.7) ThËt α e = [(δ + h)p α−q (δ, h)]αq−p (δ, h) = ρ(α(δ, h))α q−p (2.19) (δ, h) KÕt hợp (2.19) với phần chứng minh 2.1) suy lim δ,h→0 δ+h = α(δ, h) Nh vËy theo Định lý 2.1.1 ta suy x x0 ∈ S0 τ → tháa m·n (2.7) B©y ta tồn số dương C1 , C2 > tháa m·n (2.18) ThËt vËy, v× (δ + h)p α−1−q (δ, h) = α−1 (δ, h)ρ(α(δ, h)) = kxτα(δ,h) − x∗ ks−1 Theo phÇn chứng minh dÃy tồn số dương tồn số {x(,h) } hội tụ đến x0 Vì C2 định lý Mặt khác kết hợp với (2.17) suy C1 2.3 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh ë mơc 2.1 ta ®· chØ r»ng nghiƯm hiƯu chØnh x thu từ phương trình (2.2) hội tụ đến phần tử x0 nghiệm (2.1), , 28 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn h+ http://www.lrc-tnu.edu.vn Vấn đề đặt hội tụ nhanh chậm nào, = (h, ) đà chọn? Hệ thức sau sử dụng đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu c số không âm đủ bé, p > q > Nếu ap ≤ baq + c th× ta cã ap = O bp/(p−q) + c (xem [1] vµ tµi liƯu dÉn) chØnh: cho a, b, Qui íc viÕt v« cïng bé: Giả sử đại lượng (h) vô bÐ h NÕu tån t¹i mét sè → α > vµ h»ng sè M > cho |ρ(h)| ≤ M hα th× ta viÕt ρ(h) = O(h ) Viết có nghĩa h nhỏ (h) đại lượng nhỏ h (h) tiến đến số không chậm M h Trong mục trình bày kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện toán tử A thoả m·n 0 kA(y) − A(x) − A (x)(y − x)k ≤ τ˜ky − xkkA (x)(y − x)k víi mäi (2.20) y thuộc lân cận S0 x S0 , > số (xem [5]) Định lý 2.3.1 Giả sử điều kiện sau thoả mÃn: i) A khả vi Fréchet lân cận S0 víi (2.20) x = x0 ; ii) Tån phần tử zX cho A (x0 )∗ z = U s (x0 − x∗ ); iii) Tham số hiệu chỉnh chọn cho ∼ δ p , < p < Khi ®ã, kxδα − x0 k = O(δ θ1 ), θ1 = 29 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 1−p p , s1 s http://www.lrc-tnu.edu.vn ii) định lý suy s mU kxδα − x0 k ≤ U s (xδα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xδα − x0 fδ − f, xδα − x0 + U s (x0 − x∗ ), x0 − xδα (2.21) ≤ α δ ≤ kxδα − x0 k + z, A (x0 )(x0 − xδα ) α Chøng minh Tõ (2.1), (2.2), (2.5) vµ điều kiện Mặt khác, z, A0 (x0 )(x0 − xδα ) ≤ kzkkA0 (x0 )(x0 − xδα )k, đây, 0 kA (x0 )(x x0 )k ≤ kA(xδα ) − A(x0 )k + τ˜kxδα − x0 kkA (x0 )(xδα − x0 )k ≤ kA(xδα ) − fδ k + δ + τ˜kxδα − x0 kkA (x0 )(xδα − x0 )k Khi α, δ ®đ nhá kx x0 k 21 , nên kA (x0 )(xδα − x0 )k ≤ αkxδα − x∗ ks−1 + δ V× vËy, tõ (2.22) (2.21), (2.22), điều kiện iii) p < δ < ta cã s mU kxδα − x0 k ≤ C˜1 δ 1−p kxδα − x0 k + C2 p Ci , i = 1, số dương Sử dụng hệ thøc a, b, c ≥ 0, p > q, ap ≤ baq + c ⇒ ap = O(bp/(p−q) + c) ta thu kx x0 k = O( ), định lý chứng minh Chú ý 2.2.1 §iỊu kiƯn (2.20) cã thĨ thay b»ng kA(y) − A(x) − A (x)(y − x)k ≤ τ˜kA(y) − A(x)k 30 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn víi y thc mét l©n cËn S0 x S0 Thật vậy, bất đẳng thức (2.22) thay kA0 (x0 )(xδα − x0 )k ≤ kA(xδα ) − f k + kA(xδα ) − A(x0 ) − A0 (x0 )(xδα − x0 )k δ ≤ (˜ τ + 1) kA(xα ) − fδ k + δ δ s−1 ≤ (˜ τ + 1) αkxα − x∗ k + δ vµ kÕt ln cđa định lý không thay đổi Bây ta nghiên cứu tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh trêng hợp toán tử A cho xấp xỉ Ah thỏa mÃn (2.4) thay điều kiện (2.20) 0 kAh (y) − Ah (x) − Ah (x)(y − x)k ≤ τ˜ky − xkkAh (x)(y − x)k (2.23) Khi ta có kết sau (xem [1]) Định lý 2.3.2 Giả sử điều kiện sau thoả mÃn: i) Ah khả vi Fréchet lân cận S0 với (2.23) x = x0 ; ii) Tồn phần tử zh X cho Ah (x0 )∗ zh = U s (x0 x ); iii) Tham số hiệu chỉnh chän cho α ∼ (δ + h)p , < p < Khi ®ã, ( kxτα − x0 k = O (δ + h)θ2 , 31 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên θ2 = ) 1−p p , 1−s s http://www.lrc-tnu.edu.vn ii) định lý ta có mU kxτα − x0 ks ≤ U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 ≤ fδ − Ah (xτα ), xτα − x0 + U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα α ≤ (δ + hg(kx0 k))kxτα − x0 k + zh , Ah (x0 )(x0 − xτα ) α Chøng minh Tõ (2.1), (2.8) điều kiện (2.24) Ta có zh , A0h (x0 )(x0 − xτα ) ≤ kzh kkA0h (x0 )(x x0 )k, kAh (x0 )(x − x0 )k ≤ kAh (xτα ) − Ah (x0 )k + τ˜kxτα − x0 kkAh (x0 )(xτα − x0 )k ≤ kAh (xτα ) − fδ k + δ + hg(kx0 k) + τ˜kxτα − x0 kkAh (x0 )(xτα − x0 )k Do kxτα − x0 k với , h đủ nhỏ, ta nhận kAh (x0 )(x0 x )k ≤ αkxτα − x∗ ks−1 + δ + hg(kx0 k) V× vËy, tõ (2.24) suy (δ + hg(kx0 k))kxτα − x0 k α + 2kzh k αkxτα − x∗ ks−1 + δ + hg(kx0 k) mU kxτα − x0 ks ≤ Do α ∼ (δ + h)p , < p < tõ bất đẳng thức cuối suy mU kx x0 ks ≤ C˜1 (δ + h)1−p kxτα − x0 k + C˜2 (δ + h)p Còng nh chứng minh Định lý 2.3.1 ta có kx x0 k = O ( + h)2 Định lý ®ỵc chøng minh 32 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn