ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ VẦN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 8 46 01 12 LUẬ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - HOÀNG THỊ VẦN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ii Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Trương Minh Tun người thầy ln tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thiện luận văn Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô khoa Toán– Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Trường Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt suốt q trình học tập viết luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn không gian Hilbert 11 1.2.1 Ánh xạ không giãn 11 1.2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 15 1.2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 15 1.3 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert 16 Chương Hai phương pháp chiếu giải toán điểm bất động chung tách 21 2.1 Phát biểu toán 21 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 23 2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 27 2.4 Ứng dụng 31 2.4.1 Bài toán (MSCFPP) 31 2.4.2 Bài toán (MSCNPP) 32 Kết luận Tài liệu tham khảo 34 35 iv Một số ký hiệu viết tắt h., i tích vơ hướng không gian Hilbert H k.k chuẩn không gian Hilbert H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách (SFP-Split Feasibility Problem) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C ∩ T −1 (Q) (0.1) Một dạng tổng quát Bài toán (0.1) toán chấp nhận tách đa tập (MSSFP-Multiple sets Split Feasibility Problem), toán phát biểu sau: Cho Ci , i = 1, 2, , N Qj , j = 1, 2, , M tập lồi đóng H1 H2 tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ ∩N (∩M i=1 Ci ∩ T j=1 Qj ) 6= ∅ (0.2) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [5] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khơi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trị chơi Bài tốn chấp nhận tách (0.1) trường hợp đặc biệt toán điểm bất động chung tách Dạng tổng quát toán điểm bất động chung tách phát biểu sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, , N Sj : H2 −→ H2 , j = 1, 2, , M ánh xạ không giãn H1 H2 , tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ ∩N ∩M ∅ i=1 Fix(Ti ) ∩ T j=1 Fix(Sj ) = (0.3) Thời gian gần đây, lớp Bài toán (0.3) thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Năm 2019, tác giả Reich S Tuyen T.M đưa phương pháp lặp dựa phương pháp chiếu lai ghép (Hybrid projection method) để giải Bài tốn (0.3) (xem [8, Định lý 4.2]) Mục đích luận văn trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 [8] trình bày lại kết tác giả Ha M.T.N phương pháp chiếu co hẹp [6] để xấp xỉ nghiệm Bài toán (0.3) cho trường hợp M = N = Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert, phép chiếu mêtric, ánh xạ không giãn phương pháp chiếu lai ghép hay chiếu co hẹp để tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ Mục cuối chương đề cập đến khái niệm toán tử đơn điệu số tính chất Chương Hai phương pháp chiếu giải toán điểm bất động chung tách Chương tác giả trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 [8] trình bày lại kết tác giả Ha M.T.H [6] Ngồi ra, cách sử dụng tính chất điểm bất động ánh xạ trung bình hay tính chất tốn tử giải tốn tử đơn điệu, tác giả đưa số phương pháp giải Bài tốn (0.3) tốn khơng điểm chung tách Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ không giãn, với phương pháp chiếu lai ghép chiếu thu hẹp tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ Mục 1.3 trình bày số khái niệm tính chất tốn tử đơn điệu không gian Hilbert Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Mệnh đề 1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x 6= λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến hx, yi tính Giả sử y 6= 0, với λ = , bất đẳng thức trở thành kyk2 |hx, yi| < kxk.kyk, điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ P∞ 2 R: n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 ≤ kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } không hội tụ 0, ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf (kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi) n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ (1.2) Do đó, ta nhận lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn * x kxn k → kxk, xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, tồn phần tử x∗ ∈ C cho kx∗ k ≤ kxk với x ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kxk Khi đó, tồn {xn } ⊂ C cho x∈C kxn k −→ d, n −→ ∞ Từ đẳng thức hình bình hành, ta có kxn − xm k2 = 2(kxn k2 + kxm k2 ) − 4k xn + xm k ≤ (kxn k2 + kxm k2 ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {xn } dãy Cauchy H Suy tồn x∗ = lim xn ∈ n→∞ C (do {xn } ⊂ C C tập đóng) Do chuẩn hàm số liên tục nên kx∗ k = d Tiếp theo ta tính Giả sử tồn y ∗ ∈ C cho ky ∗ k = d Ta có x∗ + y ∗ kx − y k = 2(kx k + ky k ) − 4k k ∗ ∗ ∗ ∗ 22 trọng khơi phục hình ảnh Y học, khơi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay áp dụng cho việc giải tốn cân kinh tế, lý thuyết trò chơi (xem [9]) Khi Ci Qj tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti Sj , tương ứng tốn (MSFP) trở thành tốn điểm bất động tách ánh xạ không giãn Dạng tổng quát toán điểm bất động chung tách phát biểu sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, , N Sj : H2 −→ H2 , j = 1, 2, , M ánh xạ không giãn H1 H2 , tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ Ω3 := ∩N ∩M i=1 Fix(Ti ) ∩ T j=1 Fix(Sj ) 6= ∅ (MSCFPP) Khi Ci Qj tập khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Ai Bj , tương ứng, tốn (MSFP) trở thành tốn khơng điểm chung tách Dạng tổng quát toán phát biểu sau: Cho Ai : H1 −→ 2H1 , i = 1, 2, , N Bj : H2 −→ 2H2 , j = 1, 2, , M toán tử đơn điệu cực đại H1 H2 , tương ứng −1 −1 M −1 Tìm phần tử x∗ ∈ Ω4 := ∩N A (0) ∩ T ∩ B (0) ∅ = i=1 i j=1 j (MSCNPP) Trong luận văn này, trước hết đề cập đến hai phương pháp chiếu giải trường hợp riêng toán (MSCFPP) N = M = 1, tức toán sau: Cho H1 H2 không gian Hilbert thực Cho S1 : H1 −→ H1 S2 : H2 −→ H2 , ánh xạ không giãn H1 H2 , tương ứng Xét tốn: Tìm phần tử x† ∈ H1 cho x† ∈ Ω5 := Fix(S1 ) ∩ T −1 (Fix(S2 )) 6= ∅, (SCFPP) T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn từ H1 vào H2 Tiếp đó, cách sử dụng Mệnh đề 1.15 Chú ý 1.5, 1.6, đưa phương pháp giải cho toán (MSCFPP) (MSCNPP) 23 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép Để giải Bài toán (SCFPP), tác giả Reich S Tuyen T.M đề xuất thuật toán đây: Thuật toán 2.1 Với x0 = x ∈ H1 , xác định dãy {xn } yn = S1 (xn ), zn = S2 (T yn ), Cn = {z ∈ H1 : kyn − zk ≤ kxn − zk}, Dn = {z ∈ H1 : kzn − T zk ≤ kT yn − T zk}, Wn = {z ∈ H1 : hz − xn , x0 − xn i ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ), n ≥ Ta bắt đầu phân tích hội tụ mạnh Thuật tốn 2.1 thơng qua mệnh đề đây: Mệnh đề 2.1 Trong Thuật toán 2.1, dãy {xn } hoàn toàn xác định Chứng minh Trước hết, ta Cn , Dn Wn tập lồi, đóng H1 với n ≥ Để thấy điều này, ta viết, với số nguyên n ≥ 0, tập Cn , Dn Wn dạng tương ứng sau: Cn = {z ∈ H1 : hxn − yn , zi ≤ (kxn k2 − kyn k2 )}, Dn = {z ∈ H1 : hT yn − zn , T zi ≤ (kT yn k2 − kzn k2 )}, = {z ∈ H1 : hT ∗ (T yn − zn ), zi ≤ (kT yn k2 − kzn k2 )}, Wn = {z ∈ H1 : hx0 − xn , zi ≤ hxn , x0 − xn i}, Dễ thấy Cn , Dn Wn tập lồi đóng H1 với n ≥ Tiếp theo, ta chứng minh Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Wn với n ≥ Thật vậy, lấy p ∈ Ω5 , ta có S1 (p) = p S2 (T p) = T p Từ tính khơng giãn S1 S2 suy kyn − pk = kS1 (xn ) − S1 (p)k ≤ kxn − pk, 24 kzn − T pk = kS2 (yn ) − S2 (T p)k ≤ kyn − T pk Do đó, từ định nghĩa Cn Dn suy Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn với n ≥ Bây ta Ω5 ⊂ Wn với n ≥ Rõ ràng W0 = H1 , nên ta có Ω5 ⊂ W0 Giả sử Ω5 ⊂ Wn với n ≥ Từ xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ) đặc trưng phép chiếu mêtric (xem Mệnh đề 1.8), ta nhận hz − xn+1 , x0 − xn+1 i ≤ với z ∈ Cn ∩ Dn ∩ Wn Vì Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Wn p ∈ Ω5 , nên ta có hp − xn+1 , x0 − xn+1 i ≤ Điều suy p ∈ Wn+1 Ω5 ⊂ Wn+1 Vậy quy nạp tốn học, ta nhận S ⊂ Wn với n ≥ Do Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn ∩ Wn với n ≥ Cn ∩ Dn ∩ Wn tập lồi, đóng, khác rỗng H1 với n ≥ Điều suy dãy {xn } hoàn toàn xác định Mệnh đề chứng minh Chú ý 2.1 Dưới đây, ta đưa cách để tìm hình chiếu x0 lên Cn ∩ Dn ∩ Wn Thuật toán 2.1 Với n, đặt an1 = xn − yn , an2 = T yn − zn , an3 = T ∗ (T yn − zn ), đặt 1 bn1 = (kxn k2 − kyn k2 ), bn2 = (kT yn k2 − kzn k2 ), bn3 = hxn , x0 − xn i 2 Khi phần tử xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ) nghiệm toán tối ưu toàn phương sau: kx − x0 k2 , (2.1) x∈H1 với ràng buộc hani , xi ≤ bni , i = 1, 2, Đặt L={ X i=1 λi ani : λi ∈ R, i = 1, 2, 3} 25 Khi L khơng gian tuyến tính đóng H1 Do đó, theo định lý phân tích trực giao1 , với x ∈ H1 , x − x0 biểu diễn dạng P3 x = u + h, u ∈ L h ∈ L⊥ Vì u ∈ L, u = i=1 λi ani h ∈ L⊥ , nên hani , hi = với i = 1, 2, Do đó, Bài toán (2.1) trở thành toán sau: (k h,λ1 ,λ2 ,λ3 X λi ani k2 + khk2 ), (2.2) i=1 với ràng buộc hani , X λi ani i ≤ bni − hani , x0 i, i = 1, 2, i=1 Dễ thấy nghiệm Bài tốn (2.2), ta có h = Do vậy, λi , i = 1, 2, nghiệm tối ưu tốn cực tiểu tồn phương không gian R3 với ba ràng buộc bất đẳng thức Ta biết có nhiều phương pháp khác để giải tốn ta sử dụng gói “Quadratic Programming Algorithms” MATLAB để xấp xỉ nghiệm Sự hội tụ mạnh Thuật tốn 2.1 cho định lý Định lý 2.1 Dãy {xn } xác định Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh PΩ5 (x0 ) Chứng minh Ta chia chứng minh định lý thành bước nhỏ sau Bước kxn+1 − xn k → n → ∞ Đặt x† = PΩ5 (x0 ) Trước hết, ta có x† ∈ S ⊂ Wn với n ≥ Tiếp theo, từ định nghĩa Wn đặc trưng phép chiếu mêtric ta nhận xn = PWn (x0 ) Do đó, từ định nghĩa phép chiếu mêtric ta có kxn − x0 k ≤ kx† − x0 k (2.3) với n ≥ Điều suy dãy {xn } bị chặn Vì xn+1 ∈ Wn xn = PWn (x0 ), nên từ Mệnh đề 1.1 ta nhận kxn+1 − xn k2 ≤ kxn+1 − x0 k2 − kxn − x0 k2 (2.4) Cho H không gian Hilbert L không gian tuyến tính đóng H Khi x ∈ H biểu diễn dạng x = y + z với y ∈ L z ∈ L⊥ 26 Do dãy {kxn − x0 k} đơn điệu tăng Vì {kxn − x0 k} bị chặn, nên giới han limn→∞ kxn − x0 k tồn hữu hạn Từ (2.4) suy lim kxn+1 − xn k = 0, n→∞ khẳng định chứng minh Bước kxn − yn k → kzn − T yn k → n → ∞ Từ xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ) ∈ Cn định nghĩa Cn , ta có kxn+1 − yn k ≤ kxn+1 − xn k Do đó, từ limn→∞ kxn+1 − xn k = 0, ta thu kxn+1 − yn k → (2.5) Vì kxn − yn k ≤ kxn+1 − yn k + kxn+1 − xn k, nên kxn − yn k → 0, (2.6) khẳng định thứ chứng minh Từ xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ) ∈ Dn định nghĩa Dn , ta có kzn − T xn+1 k ≤ kT yn − T xn+1 k ≤ kT kkxn+1 − yn k Từ (2.5) suy kzn − T xn+1 k → Do đó, áp dụng (2.5) đánh giá kzn − T yn k ≤ kzn − T xn+1 k + kT xn+1 − T yn k ≤ kzn − T xn+1 k + kT kkxn+1 − yn k, (2.7) 27 ta nhận kzn − T yn k → 0, (2.8) khẳng định thứ hai đươc chứng minh Bước xn → PΩ5 (x0 ) n → ∞ Vì dãy {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnk } {xn } cho xnk * x∗ k → ∞ Vì T tốn tử tuyến tính bị chặn, nên ta có T xnk * T x∗ Sử dụng (2.6) (2.8), ta nhận kxnk − S1 (xnk )k → kT ynk − S2 (T ynk )k → (2.9) Từ Bổ đề 1.13 suy x∗ ∈ Fix(S1 ) T x∗ ∈ Fix(S2 ), tức là, x∗ ∈ Ω5 = Fix(S1 ) ∩ T −1 (Fix(S2 )) Từ x† = PΩH51 x0 , x∗ ∈ Ω5 , (2.3) Mệnh đề 1.4, suy kx0 − x† k ≤ kx0 − x∗ k ≤ lim inf kxnk − x0 k k→∞ ≤ lim sup kxnk − x0 k ≤ kx0 − x† k k→∞ Sử dụng tính điểm gần x† nhất, ta nhận x† = x∗ Ta có kxnk − x0 k → kx† − x0 k từ Mệnh đề 1.5 ta thu xnk → x† k → ∞ Một lần sử dụng tính x† , ta suy xn → x† n → ∞ Định lý chứng minh 2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp Bằng cách sử dụng phương pháp chiếu co hẹp, tác giả Ha M.T.N [6] xây dựng thuật toán để giải Bài toán (SCFPP) Thuật toán 2.2 Với x0 = x ∈ H1 , C0 = D0 = H1 , xác định dãy {xn } yn = S1 (xn ), zn = S2 (T yn ), 28 Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kxn − zk}, Dn+1 = {z ∈ Dn : kzn − T zk ≤ kT yn − T zk}, xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Sự hội tụ mạnh Thuật toán 2.2 cho định lý đây: Định lý 2.2 Dãy {xn } xác định Thuật toán 2.2 hội tụ mạnh PΩ5 x0 Chứng minh Ta chia chứng minh định lý thành bốn bước Bước Dãy {xn } hoàn toàn xác định Trước hết, ta Cn Dn tập lồi đóng H1 với n ≥ Để thấy điều này, với số nguyên n ≥ 0, ta viết lại tập Cn+1 Dn+1 dạng Cn+1 = Cn ∩ {z ∈ H1 : hxn − yn , zi ≤ (kxn k2 − kyn k2 )}, Dn+1 = Dn ∩ {z ∈ H1 : hT yn − zn , T zi ≤ (kT yn k2 − kzn k2 )}, = Dn ∩ {z ∈ H1 : hT ∗ (T yn − zn ), zi ≤ (kT yn k2 − kzn k2 )}, tương ứng Bây giờ, quy nạp tốn học C0 = D0 = H1 , nên ta có Cn Dn tập lồi đóng H1 với n ≥ 0, khẳng định chứng minh Tiếp theo ta Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn với n ≥ Rõ ràng Ω5 ⊂ C0 ∩ D0 = H1 Giả sử Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn với n ≥ Lấy p ∈ Ω5 , ta có S1 (p) = p S2 (T p) = T p Từ tính khơng giãn S1 S2 suy kyn − pk = kS1 (xn ) − S1 (p)k ≤ kxn − pk kzn − T pk = kS2 (T yn ) − S2 (T p)k ≤ kT yn − T pk Do đó, từ định nghĩa tập Cn+1 , Dn+1 giả thiết quy nạp S ⊂ Cn ∩Dn suy Ω5 ⊂ Cn+1 ∩ Dn+1 Do đó, quy nạp toán học ta nhận Ω5 ⊂ Cn ∩ Dn với n ≥ Cn ∩ Dn tập lồi, đóng khác rỗng H1 với số nguyên n ≥ Điều suy dãy {xn } hoàn toàn xác định, khẳng định 29 chứng minh Bước kxn+1 − xn k → n → ∞ Trước hết, ta dãy {xn } bị chặn Thật vậy, đặt x† = PΩ5 x0 Từ S ⊂ Cn ∩ Dn suy x† ∈ Cn ∩ Dn với n ≥ Do đó, sử dụng xn = PCn ∩Dn x0 , ta thu kx0 − xn k ≤ kx0 − x† k (2.10) với n ≥ Vì dãy {xn } bị chặn Tiếp theo, từ xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 ∈ Cn ∩ Dn , xn = PCn ∩Dn x0 Mệnh đề 1.1, ta nhận kxn − x0 k2 ≤ kxn+1 − x0 k2 − kxn+1 − xn k2 ≤ kxn+1 − x0 k2 Điều suy dãy {kxn − x0 k} đơn điệu tăng Từ tính bị chặn dãy {xn } suy giới hạn dãy {kxn − x0 k} tồn hữu hạn Ta dãy {xn } hội tụ mạnh đến phần tử p ∈ H1 Thật vậy, với m ≥ n, ta có Cm ∩ Dm ⊂ Cn ∩ Dn Do đó, xm ∈ Cn ∩ Dn Từ Mệnh đề 1.1, ta nhận kxm − xn k2 ≤ kxm − x0 k2 − kxn − x0 k2 → m, n → ∞ Suy {xn } dãy Cauchy Vì tồn giới hạn limn→∞ xn = q Do đó, ta có kxn+1 − xn k ≤ kxn+1 − qk + kxn − qk → 0, điều suy kxn+1 − xn k → n → ∞, khẳng định chứng minh Bước kxn − yn k → kzn − T yn k → n → ∞ Từ xn+1 = PCHn1∩Dn x0 ∈ Cn định nghĩa tập Cn , ta có kxn+1 − yn k ≤ kxn+1 − xn k Do đó, từ limn→∞ kxn+1 − xn k = 0, ta nhận kxn+1 − yn k → (2.11) 30 Vì kxn − yn k ≤ kxn+1 − yn k + kxn+1 − xn k, nên ta suy kxn − yn k → (2.12) Từ xn+1 = PCn ∩Dn x0 ∈ Dn định nghĩa tập Dn ta có kzn − T xn+1 k ≤ kT yn − T xn+1 k ≤ kT kkxn+1 − yn k Từ (2.11) suy kzn − T xn+1 k → (2.13) Do đó, sử dụng (2.11) đánh giá kzn − T yn k ≤ kzn − T xn+1 k + kT xn+1 − T yn k ≤ kzn − T xn+1 k + kT kkxn+1 − yn k, ta thu kzn − T yn k → (2.14) Bước xn → x† = PΩ5 x0 n → ∞ Vì xn → q T tốn tử tuyến tính bị chặn, nên T xn → T q Từ (2.12), (2.14), tính liên tục S1 S2 suy q ∈ Ω5 Cho n → ∞ (2.10), ta nhận kx0 − pk ≤ kx0 − x† k Từ tính x† suy p = x† Định lý chứng minh 31 2.4 2.4.1 Ứng dụng Bài toán (MSCFPP) Bằng cách sử dụng Mệnh đề 1.15 Định lý 2.1, Định lý 2.2, ta nhận định lý cho toán (MSCFPP) Định lý 2.3 Cho , i = 1, 2, , N bj , j = 1, 2, , M số thực dương PN PM PN PM thỏa mãn i=1 = j=1 bj = Đặt Ξ = i=1 Ti Φ = i=1 bj Sj Cho {xn } dãy xác định sau: a) Với x0 = x ∈ H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn = {z ∈ H1 : kyn − zk ≤ kxn − zk}, Dn = {z ∈ H1 : kzn − T zk ≤ kT yn − T zk}, Wn = {z ∈ H1 : hz − xn , x0 − xn i ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ), n ≥ b) Với x0 = x ∈ H1 , C0 = D0 = H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kxn − zk}, Dn+1 = {z ∈ Dn : kzn − T zk ≤ kT yn − T zk}, xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Khi dãy {xn } hội tụ mạnh PΩ3 x0 Ta có hệ cho toán chấp nhận tách đa tập (MSFP) 32 Hệ 2.1 Cho , i = 1, 2, , N bj , j = 1, 2, , M số thực dương PN PM PN PM thỏa mãn i=1 = j=1 bj = Đặt Ξ = i=1 PCi Φ = i=1 bj PQj Cho {xn } dãy xác định sau: a) Với x0 = x ∈ H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn = {z ∈ H1 : kyn − zk ≤ kxn − zk}, Dn = {z ∈ H1 : kzn − T zk ≤ kT yn − T zk}, Wn = {z ∈ H1 : hz − xn , x0 − xn i ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ), n ≥ b) Với x0 = x ∈ H1 , C0 = D0 = H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kxn − zk}, Dn+1 = {z ∈ Dn : kzn − T zk ≤ kT yn − T zk}, xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Khi dãy {xn } hội tụ mạnh PΩ2 x0 2.4.2 Bài toán (MSCNPP) Sử dụng Chú ý 1.5 i), Mệnh đề 1.15 Định lý 2.1, Định lý 2.2, ta nhận định lý cho toán (MSCNPP) Định lý 2.4 Cho ri , i = 1, 2, , N sj , j = 1, 2, , M số thực dương Cho , i = 1, 2, , N bj , j = 1, 2, , M số thực dương thỏa mãn 33 PN i=1 = PM j=1 bj = Đặt Ξ = PN Ai i=1 Jri Φ = Bj i=1 bj Jsj PM dãy xác định sau: a) Với x0 = x ∈ H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn = {z ∈ H1 : kyn − zk ≤ kxn − zk}, Dn = {z ∈ H1 : kzn − T zk ≤ kT yn − T zk}, Wn = {z ∈ H1 : hz − xn , x0 − xn i ≤ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Wn (x0 ), n ≥ b) Với x0 = x ∈ H1 , C0 = D0 = H1 , yn = Ξ(xn ), zn = Φ(T yn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : kyn − zk ≤ kxn − zk}, Dn+1 = {z ∈ Dn : kzn − T zk ≤ kT yn − T zk}, xn+1 = PCn+1 ∩Dn+1 x0 , n ≥ Khi dãy {xn } hội tụ mạnh PΩ4 x0 Cho {xn } 34 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert; • Các kết Reich S Tuyen T.M tài liệu [8] phương pháp chiếu lai ghép, tác giả Ha M.T.N tài liệu [6] phương pháp chiếu thu hẹp cho toán điểm bất động chung tách khơng gian Hilbert; • Xây dựng số ứng dụng kết biết cho số toán tổng quát hơn, tốn (MSCFPP) (MSCNPP) 35 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] C Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18(2), pp 441-453 (2002) [4] C Byrne, A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems, 18, pp 103-120 (2004) [5] Y Censor and T Elfving, A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space, Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221-239, (1994) [6] Ha M.T.N (2019), “A Shrinking projection method for solving the split common fixed point problem in Hilbert spaces”, Thai Nguyen University, Journal of Science and Technology, 203(10), pp 31–35 [7] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [8] Reich S., Tuyen T M (2020), “A new algorithm for solving the split common null point problem in Hilbert spaces”, Numerical Algorithms, 83, pp 789–805 [9] Shehu Y., Agbebaku D F (2018), “On split inclusion problem and fixed point problem for multi-valued mappings”, Comp Appl Math., 37, pp 1807–1824 36 [10] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 341, pp 276–286