Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm green đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THU TRANG LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ SỰ HỘI CỦA CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THU TRANG LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS DƯƠNG QUANG HẢI Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài "Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức" hoàn thành nhận thức tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình cơng bố Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Lê Thu Trang i Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Dương Quang Hải Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tình kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè ln động viên, khích lệ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Lê Thu Trang ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình 1.1 Một số khái niệm 1.2 Hàm Green đa phức 1.3 Họ iđêan hàm chỉnh hình hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình 1.4 1.5 Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình 15 Một số kết hội tụ hàm Green đa phức 19 iii Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức 25 2.1 Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình 26 2.2 Sự hội tụ hàm Green đa phức 29 2.3 Một số trường hợp đặc biệt hội tụ hàm Green đa phức 37 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iv Mở đầu Hàm Green đa phức giới thiệu nghiên cứu L Lempert năm 1981 Cụ thể, hàm Green đa phức nghiệm toán cực trị đặt cách tự nhiên hàm đa điều hồ âm Từ đó, cho dạng bổ đề Schwarz, tức kiểm sốt modun hàm chỉnh hình bị chặn mà triệt tiêu điểm cho trước Đặc biệt, miền siêu lồi, Lempert chứng minh hàm Green đa phức cực trùng với nghiệm toán cực trị nhận cách nghiên cứu đĩa giải tích qua điểm cực Từ đó, hàm Green đa phức đóng vai trị quan trọng lý thuyết vị phức Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit miền siêu lồi hàm Green đa phức với cực hữu hạn nhận quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả như: Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar, Thomas, Dan Coman, Khi nghiên cứu hàm Green đa phức, Lempert nghiệm toán tử Monge - Ampère phức Tuy nhiên, tốn tử Monge - Ampère phức khơng tuyến tính nên việc nghiên cứu tốn tử dẫn đến việc nghiên cứu hội tụ hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm miền siêu lồi bị chặn Cn Vấn đề nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu như: Demailly, Lempert, Lelong, Magnusson, Rashkovskii, Láruson, Sigurdsson, Thomas gần Nguyễn Quang Diệu, Dương Quang Hải, Theo hướng nghiên cứu này, lựa chọn đề tài "Luỹ thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức" Mục đích luận văn tìm hiểu nghiên cứu hội tụ hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm hội tụ điểm gốc nhờ vào việc nghiên cứu hội tụ họ iđêan lũy thừa hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan Luận văn trình bày lại số kết tác giả nêu trên, chủ yếu dựa vào tài liệu [2], [8] [11] Các kết nghiên cứu trình bày phạm vi 48 trang, có phần mở đầu, chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình" Luận văn trình bày kiến thức hàm đa điều hịa dưới, hàm đa điều hịa cực đại, tốn tử Monge - Ampère phức,hàm Green đa phức, họ iđêan hàm chỉnh hình, số kết hội tụ hàm Green đa phức Chương 2: "Lũy thừa họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức" Đây nội dung luận văn Nội dung chương trình bày kết hội tụ hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm hội tụ điểm gốc nhờ hội tụ họ iđêan lũy thừa hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan Chương Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị khái niệm hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình, hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình để phục vụ cho nghiên cứu chương sau Phần cuối chương số kết nghiên cứu hội tụ hàm Green đa phức với tập cực hữu hạn hội tụ điểm miền siêu lồi bị chặn Cn 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập mở {x ∈ X : u(x) < α} mở X Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω tập mở Cn u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục khơng trùng với −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ 7→ u(a + λb) điều hòa trùng −∞ thành phần tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω} Trong trường hợp này, ta viết u ∈ P SH(Ω) (Ở ký hiệu P SH(Ω) lớp hàm đa điều hòa Ω) Mệnh đề 1.1.3 [6] Hàm đa điều hòa thỏa mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức Ω tập mở liên thông bị chặn Cn u ∈ P SH(Ω), u với z ∈ Ω, u(z) < sup lim sup u(y) ω∈∂Ω y→ω y∈Ω Định nghĩa 1.1.4 Cho Ω tập mở Cn Giả sử u : Ω → R hàm đa điều hịa Khi đó, u gọi cực đại với tập compact G ⊂ Ω hàm nửa liên tục v G cho v ∈ P SH(G) v ≤ u ∂G, ta có v ≤ u G Ký hiệu M P SH(Ω) tập hợp hàm đa điều hòa cực đại Ω Cho miền Ω ⊂ Cn Ký hiệu U b Ω tập compact tương đối Ω Khi đó, ta có  

n + p − 1 ` Ma = 1, ` Mpa =   , với p > n Đặc biệt, quan tâm đến iđêan bình phương cực đại điểm không M20 : M20 tập hợp tất hàm chỉnh hình f ∈ O(Ω) cho f (0) = đạo hàm riêng f ,
` M20 = n + ∂f ∂zj (0) = 0, với j n Khi đó, với Chứng minh Thật vậy, ta có a ∈ Ω ⊂ Cn , a = (a1 , a2 , , an ), ⊂ C, i = 1, , n Xét ánh xạ tuyến tính F : O(Ω) → C, F(f ) := f (a) ∈ C Khi đó, I{a} = {f ∈ O(Ω) : f (a) = 0} Do đó, f ∈ I{a} F(f ) = Suy ra, f ∈ ker F ⇒ ker F = I{a} ⇒ O/I = O(Ω)/ ker F ∼ = ImF ⊂ C Vậy dim O/I = dim ImF = ⇒ `(Ma ) = Trong trường hợp với hai cực, ta có kết sau Ví dụ 1.3.3 Cho S = {a1 , a2 } ⊂ Ω; a1 , a2 ∈ Cn Khi đó, độ dài iđêan `(I(S)) = Chứng minh Xét ánh xạ tuyến tính F : O(Ω) → C2 , F(f ) := (f (a1 ), f (a2 )) Với f ∈ I(S) : f (a1 ) = f (a2 ) = ⇒ F(f ) = ⇒ f ∈ ker F ngược lại Suy ra, ker F = I(S) Hơn nữa, O/I = O(Ω)/ ker F ∼ = ImF ⊂ Cn ⇒ `(I(S)) = dim O/I = dim ImF Ta chứng minh, ImF = C2 tức cần C2 ⊂ ImF Giả sử, với x = (x1 , x2 ) ∈ C2 ta tồn f ∈ O(Ω) cho F(f ) = (x1 , x2 ) Vì a1 6= a2 nên tồn hai hướng 10 v~1 6= ~0, v~2 6= ~0 cho đường thẳng phức `1 (z) qua a1 không qua a2 , `2 (z) qua a2 không qua a1 Đặt F1 (z) := `2 (z) `1 (z) ∈ C2 [z1 , z2 ], F2 (z) := ∈ C2 [z1 , z2 ] `2 (a2 ) `1 (a1 ) Hiển nhiên, Fj ∈ O(Ω), (j = 1, 2), Fj hàm chỉnh hình Ω Với x = (x1 , x2 ) ∈ C2 , tồn hàm chỉnh hình f ∈ O(Ω) cho f := x1 F1 + x2 F2 Suy ra, F(f ) := (f (a1 ), f (a2 )) = (x1 F1 (a1 ) + x2 F2 (a1 ); x1 F1 (a2 ) + x2 F2 (a2 )) = (x1 ; x2 ) Vậy `(I(S)) = dim F = dim C2 = Tổng quát hai ví dụ 1.3.2 1.3.3, ta có kết sau Mệnh đề 1.3.4 Cho N ∈ N I họ iđêan hàm chỉnh hình triệt tiêu
N điểm phân biệt a1 , , aN Khi đó, ` I = N Chứng minh Xét ánh xạ tuyến tính F : O(Ω) → CN xác định F (f ) :=


f (a1 ), , f (aN ) , với f ∈ O Ω Rõ ràng, KerF = I Do đó, ` I = dim O(Ω)/I = dim ImF Vậy, ta cần rằng, ImF = CN Thật vậy, cho v hướng khác không Cn cho đường thẳng phức lj hướng v qua điểm aj điểm ak ∈ / lj , với k 6= j, k, j = 1, , N Đặt Fj := l1 (z) lˆj (z) lN (z) ∈ C[z1 , , zn ], j = 1, , N l1 (aj ) lˆj (aj ) lN (aj ) Khi đó, Fj (aj ) = Fj (ak ) = 0, với k 6= j, k, j = 1, , N Suy ra, với (x1 , , xN ) ∈ CN , tồn hàm chỉnh hình f ∈ O(Ω) xác định P f := N j=1 xj Fj Suy ra, f (ak ) = xk , với k = 1, , N 11 Tiếp theo, để nghiên cứu mối quan hệ độ dài iđêan bội Hillbert Samuell, theo Định nghĩa 1.3.1 ta có e(I) ≥ `(I) Dấu xảy số trường hợp đặc biệt Cụ thể, ta có kết sau Mệnh đề 1.3.5 [13] Giả sử V (I) = {a} Khi đó, e(I) = `(I) I iđêan giao đầy 1.3.3 Hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình Khái niệm hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình đưa nghiên cứu Rashkovskii Sigurdsson năm 2005 (xem [9]) Giả sử Ω miền siêu lồi bị chặn Cn , I iđêan hàm chỉnh hình Ω cho V (I) tập hữu hạn Định nghĩa 1.3.6 Với a ∈ Ω, giả sử (ψa,i )i họ hàm sinh chỉnh hình I Ω Khi đó, hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan I , ký hiệu GI , xác định GI (z) := sup{u(z) : u ∈ FI },
FI := sup{u(z) : u ∈ P SH_ Ω , u(z) max log |ψa,i |+O(1), ∀a ∈ Ω} (1.2) i Theo [9], hàm Green đa phức GI ∈ FI Hơn nữa, hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan I , GI (z) = max log |ψa,i (z)| + O(1), i 12 (1.3) thỏa mãn tính chất (ddc GI )n = Ω\V (I) V (I) b Ω GI (z) biên Ω Mặt khác, hàm Green đa phức GI hàm đa điều hoà thoả mãn tính chất Đặc biệt, với p ∈ N với iđêan luỹ thừa I p iđêan I , ta có GI p = p GI (1.4) Các điều kiện Định nghĩa 1.3.6 xét đến điểm cực a ∈ I Dễ thấy, từ Định nghĩa 1.3.6 ta có kết sau Mệnh đề 1.3.7 [8] Nếu I ⊂ J GI ≤ GJ Đặc biệt, S ⊂ Ω, S tập hợp hữu hạn Ω I = I(S), ta có Bổ đề 1.3.8 [8] GI(S) = GS Mối quan hệ trọng Monge-Ampère hàm Green đa phức GI với bội Hilbert-Samuel iđêan I cho kết sau
Mệnh đề 1.3.9 Cho a ∈ Ω Khi đó, V I = {a} ddc GI
n
= e I δa , δa độ đo Dirac a Chứng minh Trước hết, cách chọn số thích hợp, ta chuẩn hố tốn
n tử ddc cho ddc log |z| = δ0 với toán tử Monge-Ampère Cn Do độ dài iđêan hữu hạn Ω miền siêu lồi bị chặn Cn Theo Định lý B
Cartan, ta chọn phần tử sinh ψj ∈ O Ω iđêan I Với f ∈ I , P tồn hàm chỉnh hình hj ∈ O(Ω) cho f = j hj ψj ([3, tr 190]) 13
Theo giả thiết, V I = {a} mối quan hệ (1.3) suy trọng Monge-Ampère hàm Green đa phức GI điểm a trọng Monge-Ampère hàm P log |ψj |2 Từ đó, theo [1, Bổ đề 2.1] suy (ddc GI )n = e(I)δa Tiếp theo, để nghiên cứu hội tụ hàm Green đa phức, cần khái niệm sau quy hóa hàm đa điều hịa gần điểm kì dị Định nghĩa 1.3.10 [10] Cho hàm ϕ ∈ P SH− (Ω), quy hóa hàm ϕ điểm a ∈ Ω cận tất hàm quy hóa gϕ hàm sup{u ∈ P SH− (Ω) : u ≤ ϕ + O(1) gần a} Hàm gϕ hàm đa điều hòa cực đại Ω\{ϕ = −∞} Nếu ϕ bị chặn địa phương gần biên Ω gϕ = ∂Ω Rõ ràng, hàm ϕ ≤ gϕ Hơn nữa, ϕ bị chặn địa phương cực đại lân cận thủng a ϕ(z) = gϕ (z) + O(1), với z gần a, trường hợp ϕ trùng với hàm Green đa phức với tập điểm kì dị xác định ϕ (ddc gϕ )n (a) = (ddc ϕ)n (a) mà khơng cần giả thiết tính cực đại ϕ Chúng ta biết rằng, hàm Green đa phức ln nhỏ hàm Lempert Do đó, nghiên cứu trường hợp bất đẳng thức xảy nhỏ thực cho trường hợp cực đơn, dẫn đến toán phải xét tập cực 14 S = Sε phụ thuộc vào tham số ε điểm cực Sε hội tụ đến điểm ε → Điều dẫn đến nghiên cứu hội tụ hàm Green đa phức, limε→0 GSε Trước hết, có khái niệm hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình 1.4 Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình 1.4.1 Giới hạn họ iđêan hàm chỉnh hình Giả sử Ω miền siêu lồi bị chặn Cn , với ∈ Ω Ký hiệu O(Ω) tập hàm chỉnh hình Ω Đặt Sε = {a1 (ε), a2 (ε), , aN (ε)} ⊂ Ω tập hữu hạn điểm Ω phụ thuộc ε Giả sử lim aj (ε) = 0, ≤ j ≤ N Trong ε→0 [8], với tập hữu hạn Sε ⊂ Ω, kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình triệt tiêu điểm Sε , ký hiệu Iε := I(Sε ) = {f ∈ O(Ω) : f (aj (ε)) = 0, ≤ j ≤ N }, gọi họ iđêan hàm chỉnh hình kết hợp với Sε Khi đó, hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan Iε , ký hiệu Gε := GIε Tiếp theo, giả sử A ⊂ C cho ∈ A\A ε ∈ A Khi đó, quan tâm đến hội tụ Iε Gε , A ε → trường hợp tổng quát trường hợp đặc biệt ¯ Iε := I(Sε ) Sự hội tụ họ iđêan (Iε )ε∈A hàm chỉnh hình Ω hiểu hội tụ theo topo không gian Douady (Xem [8]) Cụ thể, có định nghĩa sau giới hạn họ iđêan hàm chỉnh hình 15 Định nghĩa 1.4.1 [8] Giả sử Ω miền siêu lồi bị chặn Cn Khi đó, giới hạn họ iđêan hàm chỉnh hình (Iε )ε∈A Ω định nghĩa sau: (i) Ta định nghĩa giới hạn infimum họ iđêan hàm chỉnh hình Iε
ε∈A O(Ω), ký hiệu lim inf Iε , tất hàm chỉnh hình f ∈ O(Ω) A3ε→0 cho tồn dãy hàm chỉnh hình (fε )ε cho fε ∈ Iε , với ε ∈ A ta có fε → f hội tụ địa phương Ω, tức là, fε → f hội tụ địa phương tập compact Ω, A ε → (ii) Ta định nghĩa giới hạn supremum họ iđêan hàm chỉnh hình Iε
ε∈A O(Ω), ký hiệu lim sup Iε , iđêan O(Ω) sinh tất A3ε→0 hàm chỉnh hình f Ω cho tồn dãy fj ∈ Iεj fj → f địa phương j → ∞, dãy εj → A (iii) Nếu lim inf Iε = I = lim sup Iε ta nói họ iđêan hàm chỉnh A3ε→0 hình (Iε )ε∈A O(Ω) hội tụ đến I ta viết lim Iε = I A3ε→0 Theo Định nghĩa 1.4.1, dễ thấy với f ∈ lim inf Iε f ∈ lim sup Iε Do đó, ta có hệ sau Hệ 1.4.2 lim inf Iε ⊂ lim sup Iε A3ε→0 A3ε→0 Mặt khác, (Iε )ε∈A họ iđêan hàm chỉnh hình với độ dài hữu hạn O(Ω), ta ln có `(lim Iε ) = lim `(Iε ) ε→0 ε→0 16 (1.5)
Tiếp theo, đặt I∗ := lim inf Iε Hơn nữa, giả sử V I∗ = {0} Khi đó, ta ε→0 ln có đẳng thức giới hạn hàm Green đa phức giới hạn hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình tương ứng, trước hết ta có kết sau
Mệnh đề 1.4.3 [8] Giả sử V I∗ = {0} Khi đó, ta có GI∗ lim inf GIε + O(1) ε→0 Trong trường hợp hàm Green đa phức GI∗ hội tụ tập compact Ω\{0}, từ Mệnh đề 1.4.3 suy GI∗ g Hơn nữa, [8, Mệnh đề 1.2] chứng minh kết sau Mệnh đề 1.4.4 (i) Nếu GIε hội tụ tập compact Ω\{0} tới hàm g Glim sup Iε g ε→0
(ii) Đặc biệt, họ iđêan hàm chỉnh hình Iε hội tụ ta có G lim Iε lim GIε ε→0 1.4.2 ε→0 Điều kiện giao đầy họ iđêan hàm chỉnh hình Trong phần này, để nghiên cứu xảy đẳng thức Mệnh đề 1.4.4 trên, tức hàm Green đa phức kết hợp với iđêan giới hạn họ iđêan hàm chỉnh hình Ω với giới hạn họ hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan Và họ hàm Green đa phức hội tụ họ iđêan kết hợp với thỏa mãn điều kiện giao đầy Khái niệm điều kiện giao đầy họ iđêan hàm chỉnh hình định nghĩa sau 17 Định nghĩa 1.4.5 [8] Họ iđêan hàm chỉnh hình (Iε ) gọi thỏa mãn điều kiện giao đầy với ε ∈ A, tồn hàm chỉnh hình Ψ0 hàm chỉnh hình Ψε lân cận Ω ⊂ Cn cho Ψ0 ánh xạ chỉnh hình riêng Ω lên Ψ0 (Ω) thỏa mãn điều kiện sau: (i) {aj (ε), ≤ j ≤ N } = Ψ−1 ε ({0}), với ε ∈ A; (ii) Với ∀ε ∈ A, ε 6= 0, với z thuộc lân cận aj (ε), ≤ j ≤ N , ta có |log |Ψε (z)| − log |z − aj (ε)|| ≤ C(ε) < +∞; (iii) lim Ψε (z) = Ψ0 =: (Ψ10 , , Ψn0 ), hội tụ Ω A3ε→0 Từ điều kiện (i) (ii) Định nghĩa 1.4.5 suy Iε = I(Sε ) = < Ψ1ε , , Ψnε > Tiếp theo, có kết Định lý 1.4.6 [8] Giả sử (Iε )ε∈A họ iđêan hàm chỉnh hình Ω thỏa mãn điều kiện giao đầy Đặt Sε = V (Iε ) I0 =< Ψ10 , , Ψn0 > Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) lim Iε = I0 ; ε→0 (ii) lim Gε = GI0 hội tụ địa phương Ω\{0} ε→0 Sau đây, có ví dụ giới hạn họ iđêan hàm chỉnh hình giới hạn hàm Green đa phức song đĩa đơn vị C2 , với tập cực hữu hạn Sε gồm bốn điểm hội tụ điểm gốc Ví dụ 1.4.7 Cho tập Sε ⊂ D2 ⊂ C2 gồm bốn điểm hội tụ điểm gốc sau Sε = {aε1 = (0, 0), aε2 = (ε, 0), aε3 = (0, ε), aε4 = (ε, ε)} Cho (Iε ) họ 18 iđêan hàm chỉnh hình D2 cho V (Iε ) = Sε Dễ dàng thấy họ (Iε ) thoả mãn điều kiện giao đầy Iε =< Ψ1ε (z), Ψ2ε (z) >, Ψ1ε (z) = z1 (z1 −ε), Ψ2ε (z) = z2 (z2 −ε) Theo Định lý 1.4.6, suy tồn giới hạn lim Iε = I0 =< z12 , z22 > lim Gε = GI0 = max{2log |z1 | , 2log |z2 |}, A3ε→0 A3ε→0 hội tụ địa phương tập compact D2 1.5 Một số kết hội tụ hàm Green đa phức Trong phần này, nghiên cứu số kết hội tụ hàm Green đa phức với tập cực S thuộc hình cầu đơn vị Cn Ký hiệu || · || P chuẩn Euclide, a·b := aj bj , B(a, r) = {z ∈ Cn : ||z −a|| ≤ r}, Bn = B(0, 1) Trước hết, có hai kết sau cần thiết cho việc chứng minh hội tụ hàm Green đa phức Mệnh đề 1.5.1 [11] Cho Ω miền siêu lồi, bị chặn Cn , K ⊂ Bn \{0}, N ∈ N cho với η1 > 0, tồn δ1 > phụ thuộc vào η1 , z1 , z2 ∈ K, ||z1 − z2 || ≤ δ1 S ⊂ B(0, δ1 ) tồn ánh xạ chỉnh hình Φ xác định Bn thỏa mãn Φ|S = id|S , Φ(z1 ) = z2 Φ(Bn ) ⊂ B(0, + η1 ) Chứng minh Đặt P (z) := Y a∈S (z −a)· z1 P (z) , Φ(z) := z + (z2 −z1 ), z ∈ Bn ||z1 || P (z1 ) Chọn δ1 ≤ minK kzk Khi đó, |P (z1 )| ≥ 2−N minK ||z|| Mặt khác, N |P (z)| ≤ , ∀z ∈ Bn Suy ra, ||z1 − z2 || ≤ 2−2N ||z1 ||N η1 =: δ1 Mệnh đề 1.5.2 [11] Cho K ⊂ Bn \0 tập compact Khi đó, với η > 0, tồn δ > phụ thuộc vào η, N K cho: Nếu z1 , z2 ∈ 19 K, ||z1 − z2 || ≤ δ S ⊂ B(0, δ) |GS (z1 ) − GS (z2 )| < η Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.5.1, vai trò z1 z2 đối xứng nên cần đủ để GS (z1 ) GS (z2 ) − η, z2 đủ gần z1 Tiếp theo, ta cần xây dựng hàm đa điều hòa âm B(0, + η1 ) hàm đa điều hòa định nghĩa hàm Green X X Ga (z) = log||Φa (z)||, đa phức GS Trước hết, ta nhận thấy GS (z) ≥ a∈S a∈S Φa phép tự đẳng cấu hình cầu đơn vị thay đổi a Ta có đẳng cấu Φa thỏa mãn (1 − ||a||2 )(1 − ||z||2 ) − ||Φa (z)|| = |1 − z · a|2 Vì |1 − z · a|2 ≥ (1 − ||a||)2 nên ta xét ||a| ≤ δ ≤ ||Φa (z)||2 ≥ − + ||a|| (1 − ||z||2 ) ≥ − 2(1 − ||z||2 ) − ||a|| 1 Giả sử − ||z||2 ≤ , ta có ||Φa (z)||2 ≥ log||Φa (z)|| ≥ −(1 − ||Φa (z)||2 ) ≥ −2(1 − ||z||2 ) ≥ −4(1 − ||z||) ≥ 4log||z|| Giả sử với η1 < Khi đó, đặt v(z) = GS (z), với ||z|| ≤ e−2η1 = max(GS (z), η1 + log||z|| + 4N log||z||), e−2η1 ≤ ||z|| ≤ = η1 + log||z|| + 4N log||z||, ≤ ||z|| < + η1 20 Vì GS (z) > η1 + log||z|| + 4N log||z||, với ||z|| = e−2η1 GS (z) = < η1 , với ||z|| = 1, nên ta có v ∈ P SH(B(0+η1 )) Đặt v1 := v−(1+4N )log(1+η1 )−η1 ∈ P SH− (B(0 + η1 )) Rõ ràng, v1 ◦ Φ ∈ P SH− (Bn ) Vì v1 = GS + O(1)) nằm hình cầu cố định chứa S Φ cố định S nên ta có v1 ◦ Φ ≤ GS Áp dụng kết điểm z1 , ta có v1 (z2 ) = v1 ◦ Φ(z1 ) ≤ GS (z1 ) Tiếp theo, chọn η1 đủ nhỏ cho K ⊂ B(0, e−2η1 ) cho v1 (z2 ) = GS (z2 ) − (1 + 2N )log(1 + η1 ) − η1 > GS (z2 ) − η, với kak δ(η, η1 , N ) < δ1 Trong hình cầu đơn vị Cn , hàm Green đa phức hội tụ theo L1loc bên tập cực hội tụ tập compact Cụ thể, có kết Mệnh đề 1.5.3 [11] Cho Sε = {aε1 , , aεN } ⊂ Bn , với lim aεj = 0, ≤ j ≤ N ε→0 Giả sử lim GSε = g L1loc (Bn \{0}) Khi đó, hội tụ hàm Green đa ε→0 phức GSε tập compact Bn \{0} Đặc biệt, g hàm đa điều hòa cực đại Bn \{0} Chứng minh Do hội tụ tập compact đo được, ta dãy {GSεj } dãy hội tụ Trước tiên, ta xét tập compact cố định K ⊂ Bn \{0} Khi đó, {GSεj } hội tụ L1 (K) Vì vậy, tồn dãy con, kí hiệu {Gj } hội tụ hầu khắp nơi K Để đánh giá đối 21 với hàm Green đa phức K, cần tất hàm Green đa phức GSε bị chặn K, g bị chặn K Trước hết, cần dãy {Gj } thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ Cauchy Thật vậy, cho δ > 0, η0 := min(minK ||z||, − maxK ||z||) Áp dụng kết Mệnh đề 1.5.2 cho {z : d(z, K) ≤ η0 /2} Khi đó, tồn η = η(δ) ≤ η0 /2 J1 = J1 (δ) cho với j ≥ J1 , dao động Gj hình cầu bán kính η Ta có, Gj (z) ≤ δ/4, với z thuộc phủ compact K hình cầu B(ck , η), ≤ k ≤ m(δ) Sự hội tụ hầu khắp nơi cho thấy, với k, tồn c0k ∈ B(ck , η) cho lim Gj (c0k ) = g(c0k ) Vì tồn số hữu j→∞ hạn c0k nên tồn J2 ≥ J1 cho với j ≥ J2 với k ≤ m(δ), ta có |Gj (c0k ) − g(c0k ) ≤ δ/4 Do đó, với j, l ≥ J2 với z ∈ K, chọn k cho z ∈ B(ck , η) ta có |Gl (z) − Gj (z)| ≤ |Gl (z) − Gl (c0k )| + |Gl (c0k ) − g(c0k )| + |g(c0k ) − Gj (c0k )| + |Gj (c0k ) − Gj (z)| ≤ δ Để nhận hội tụ tập compact bất kì, ta lặp lại chứng minh cho dãy vét cạn {Km } tập compact Ω Cuối chương này, có kết mở rộng hội tụ hàm Green đa phức miền siêu lồi, bị chặn Cn Định lý 1.5.4 [11] Giả sử Ω miền siêu lồi, bị chặn Cn Cho Sε = {aε1 , , aεN }, với lim aεj = a, ≤ j ≤ N Giả sử lim GSε = g ε→0 ε→0 L1loc (Ω\{a}) Khi đó, ta có hội tụ hàm Green đa phức GSε hội tụ 22 tập compact Ω\{a} (ddc g)n = N δa Đặc biệt, g hàm đa điều hòa cực đại Ω\{a} Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử a = Theo định nghĩa hàm Green đa cực, ta có Ga ≥ GS ≥ a∈S X Ga a∈S Để chứng minh hội tụ hàm Green đa phức, từ [8, Bổ đề 4.5], ta cần rằng, tồn g, δ0 > cho ∀δ < δ0 , |GΩ Sε | ≤ C, với ||z|| = δ, |ε| < ε(δ) Chọn δ0 đủ nhỏ cho B(0, δ0 ) b Ω Dễ dàng nhận thấy B(0,δ0 ) |GΩ Sε − GSε | ≤ C(δ, Ω) B(0,δ0 ) B(0, δ0 ) Theo Mệnh đề 1.5.2, {GSε } hội tụ tập compact B(0, δ0 )\{0}, đặc biệt, hình cầu bán kính δ Để chứng minh kết luận độ đo Monge - Ampère, hội tụ tập compact (hoặc hội tụ điểm) nên cách sử dụng nguyên lý cực đại, suy g hàm đa điều hòa cực đại Ω\{a} (ddc )n g = Cδa , với C ≤ N (theo [8, Mệnh đề 1.13]) Để kết thúc chứng minh định lý, cần (ddc )n g(Ω) = N Giả sử hàm u ≤ Ω m ∈ N∗ Đặt Tm (u) := max(−m, u) Khi đó, {g ≤ −m} b Ω {GΩ Sε ≤ −m} b Ω, c n Ω (ddc )n Tm (g)(Ω) = (ddc )n g(Ω), (ddc )n Tm (GΩ Sε )(Ω) = (dd ) GSε (Ω) = N Với aj (ε) → a, m cố định, tồn rm > 0, εm > cho B(a, rm ) ⊂ {g ≤ −m − 1} B(a, rm ) ⊂ {GΩ Sε ≤ −m − 1}, với |ε| ≤ εm Với tập compact 23 K ⊂ Ω, K\B(a, rm ) tập Ω\{a} Do vậy, GΩ Sε hội tụ đến g , Tm (GΩ Sε ) hội tụ đến Tm (g) K, điều tương đương (ddc )n Tm (g)(Ω) = lim(ddc )n Tm (GΩ Sε )(Ω) = N ε→0 Lưu ý rằng, hội tụ theo tiêu chuẩn Monge - Ampère chứng minh hội tụ tập compact Ω\{a} hay hội tụ đảm bảo cho hội tụ theo tiêu chuẩn Monge - Ampère tương ứng (xem [2]) 24