Một số định lý thác triển của hàm chỉnh hình tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––– NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TÁCH Chun ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN - 2012 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! i MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.2 Hàm đa điều hòa không gian phức, miền giả lồi 1.3 Tập đa cực, tập đa quy địa phương 1.4 Chữ thập N - lá, ánh xạ chỉnh hình tách .8 1.5 Nguyên lý đồng 10 1.6 Định lý hàm ẩn 11 1.7 Định lý Grauert - Remmert 12 Chƣơng MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN 15 2.1 Một số kết liên quan 15 2.2 Một số định lý thác triển hàm chỉnh hình 20 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Thác triển ánh xạ chỉnh hình hướng nghiên cứu giải tích phức nhiều biến Hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu từ lâu thu nhiều kết quan trọng Đến cuối kỷ 20 đầu kỷ 21, tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình tách qua tập chữ thập quan tâm nghiên cứu Cụ thể là: Cho D j   kj miền giả lồi, A j  D j tập đa cực địa phương, j  1, , N Đặt N X :  A1   A j1  D j  A j1  A N   k  k N j1 Nếu U lân cận mở liên thông X , M Ø U tập giải tích  bao chỉnh hình X  X thỏa mãn tồn tập giải tích M  X  M M Vào năm 1998, 1999, O Oktem sau Siciak (2000) chứng minh kết sau: Cho hàm f chỉnh hình tách X \ M , tồn f chỉnh hình  \M  thỏa mãn f X X\M f Năm 2001, M Jarnicki, P Pflug chứng minh định lý sau: Cho D j   kj miền giả lồi, A j  D j tập đa quy địa phương, j  1, , N Cho M Ø U tập giải tích lân cận mở liên thơng U X =   A1 , ,A N ;D1 , ,DN  ( M rỗng) Khi  X  cho: tồn tập giải tích đối chiều túy M   U  M với lân cận mở U X , U  U , *M 0    \M  cho * Với f  s  X \ M  tồn hàm f  X f |X\M  f Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  , ta lấy M  hợp tất thành Hơn nữa, U  X phần bất khả quy đối chiều M Định lý xem tổng quát hóa kết nghiên cứu J Siciak (2000) trường hợp N  2, k1   k N  1, D1   DN   , M  P1   , P đa thức N biến phức khác không Đặc biệt, với M   , N  kết M Jarnicki, P Pflug kết O Alehyane - A Zeriahi (2001) Với mục đích tìm hiểu số định lý thác triển hàm chỉnh hình tách Luận văn tập trung nghiên cứu kết nghiên cứu M Jarnicki, P Pflug (2001) Vì nội dung luận văn gồm hai chương Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn như: Đa tạp phức, hàm đa điều hòa dưới, tập đa cực, tập đa quy địa phương, chữ thập N - lá, hàm chỉnh hình tách, … Phần cuối chương số kết liên quan Nguyên lý đồng nhất, Định lý hàm ẩn, Định lý Dloussky, Định lý Grauert - Remmert Chƣơng 2: Một số định lý thác triển hàm chỉnh hình tách Trong chương chúng tơi trình bày lại kết nghiên cứu Marek Jarnicki - Peter Pflug (2001) Cụ thể định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình tách Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên thầy cô tận tình giảng dạy chúng em suốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, học viên lớp Cao học Tốn K18A ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập q trình hồn thành, bảo vệ luận văn Thái nguyên, tháng 04 năm 2012 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Phương Thảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập mở  n f : X   hàm số Hàm f gọi khả vi phức x  X tồn ánh xạ tuyến tính  :  n   cho lim f  x0  h   f  x0     h  h 0 h 0  n 2 n h   h1, ,h n   h    h i   i1  1.1.1.2 Định nghĩa Hàm f gọi chỉnh hình x  X f khả vi phức lân cận x gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X Một ánh xạ f : X   m viết dạng f   f1, ,f m  , fi  i  f : X   ,i  1, ,m hàm tọa độ Khi f gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với i  1, ,m 1.1.1.3 Định nghĩa Ánh xạ f : X  f  X    n gọi song chỉnh hình f song ánh chỉnh hình f -1 ánh xạ chỉnh hình 1.1.2 Đa tạp phức 1.1.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian tô pô Hausdorff Cặp  U, gọi đồ địa phương X, U tập mở X  : U   n ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i,   U  tập mở  n ii,  : U    U  đồng phôi 1.1.2.2 Định nghĩa Họ    Ui , i iI đồ địa phương X gọi tập đồ giải tích(atlats) X điều kiện sau thỏa mãn i, U i iI phủ mở X ii, Với Ui , U j mà Ui  U j   , ánh xạ  j  i1 : i  Ui  U j    j  Ui  U j  ánh xạ chỉnh hình Xét họ tập đồ X Hai đồ 1, 2 gọi tương đương hợp 1  2 đồ Đây quan hệ tương đương tập atlats Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức X, X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều 1.2 Hàm đa điều hịa dƣới khơng gian phức, miền giả lồi 1.2.1 Hàm điều hòa 1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử D tập mở  n Hàm u : D   ,   , u   thành phần liên thơng D gọi điều hịa D u thỏa mãn hai điều kiện sau: supu  z   u  z  với i, u nửa liên tục D, tức lim z z z0  D ii, Với tập mở compact tương đối G D, với hàm h : G   điều hòa G liên tục G : u  h G u  h G Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ký hiệu   D  tập hàm hòa  1.2.1.2 Định nghĩa Giả sử  tập mở  n Hàm  :    ,   gọi đa điều hòa  nếu: i,  nửa liên tục     thành phần liên thông  ii, Với điểm z0  đường thẳng phức l     z0   qua z (ở   n ,   ), hạn chế  đường thẳng này, tức hàm   l    điều hòa   thành phần liên thông tập mở    : l      1.2.1.3 Định nghĩa Giả sử X khơng gian phức Một hàm đa điều hịa X hàm  : X   ,   thỏa mãn: Với x  X tồn lân cận U x ánh xạ song chỉnh hình h : U  V , với V khơng gian phức đóng miền G  n tồn hàm đa điều hòa  : G   ,   cho  U    h  Ký hiệu   X  tập tất hàm đa điều hòa không gian phức X 1.2.2 Miền giả lồi Định nghĩa: Miền D n gọi giả lồi, hàm  z    ln d  z, D , đa điều hịa D, d  z, D  khoảng cách Ơclit từ điểm z đến biên D Ví dụ: Một miền tùy ý mặt phẳng  giả lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Tập đa cực, tập đa quy địa phƣơng Ta giả thiết tất đa tạp phức hữu hạn chiều địa phương (tức thành phần liên thơng đa tạp có chiều hữu hạn) tất khơng gian giải tích phức giả thiết bất khả quy hữu hạn chiều Giả sử  đa tạp phức A tập  Đặt hA,:  sup{ u : u  (), u  , u  A} 1.3.1 Tập đa cực 1.3.1.1 Định nghĩa Tập A gọi đa cực nếu có u () cho u khơng đồng    thành phần liên thông  A  { z  : u(z)   } 1.3.1.2 Định nghĩa Tập A gọi đa cực địa phương  với z  A , có lân cận mở V z cho A  V đa cực V 1.3.1.3 Định nghĩa Tập A gọi không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương) khơng tập đa cực (tương ứng khơng tập đa cực địa phương) Theo kết cổ điển [[2], §5, §9],  miền Riemann đa tạp Stein A   đa cực địa phương đa cực 1.3.2 Tập đa quy địa phương 1.3.2.1 Định nghĩa Cho hàm h :    , hàm h * :    xác định bởi: h*  z  : lim suph  w  , z  gọi hàm quy hóa nửa liên tục h 1.3.2.2 Định nghĩa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tập hợp A   đa quy địa phương điểm a  A h*AU,U  a   với lân cận mở U a 1.3.2.3 Định nghĩa Tập A gọi đa quy địa phương đa quy địa phương điểm a  A Ta ký hiệu A*  A*là tập hợp tất điểm a  A mà A đa quy địa phương Nếu A khơng đa cực địa phương kết cổ điển [[2], §5, §6] A* khơng đa cực địa phương A \ A* đa cực địa phương Hơn nữa, A* đa cực địa phương kiểu   (tức với a  A* , có lân cận mở U a thỏa mãn A*  U giao đếm tập mở) A* đa quy địa phương (tức  A*   A* ) * 1.4 Chữ thập N - lá, ánh xạ chỉnh hình tách 1.4.1 Chữ thập N - Cho N   , N  ,   A j  D j   kj Với D j miền, j  1, , N Ta định nghĩa chữ thập N - X :   A1 , ,A N ;D1 , ,DN  N :  A1   A j1  D j  A j1   A N   k   k N j1 Khi đó, X tập liên thông Cho    n tập mở A   Đặt h A, : supu : u     ,u  , u  A    tập hàm đa điều hòa  Đặt * w A, : klim h  A   k k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30     Y :   A  a       b    ,H;  a,b    H Chú ý Y không giao M Đặc biệt, fˆ |Y  s  Y  Vì vậy, theo    Định lý 2.2.2, tồn hàm fˆ1   Y cho fˆ1  fˆ Y Lấy R   R ,R ,           , cho: i,  c    Ð  b0,q  R   ,   1, ,m ii,  c      c      với   , ,   1, ,m Khi đó, tồn    0,  cho: ˆ , H :   R \ m     a,b     H  Y b0,q 1 c Đặc biệt fˆ1     a,b'     H        Cố định 1, ,m Khi fˆ1     a,b'      c    \  c     và       fˆ1  z, w,.    c    \   z, w   , với  z, w     A   a       b    Sử dụng ánh xạ song chỉnh hình  : a,b       a,b      ,   z, w, w q  :  z, w, w q    z, w   , Ta hàm g : fˆ1  1 chỉnh hình  a,b          \      với số    0,         Hơn nữa, g  z, w,.       \ 0 với  z, w    A   a       b    dụng Định lý 2.2.2 chữ thập     A  a       b    ,     \     ;  a,b    ,     \ 0 , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Áp 31 Từ suy hàm g thác triển chỉnh hình với  a,b          \ 0  (vì h *0  \0,0  \ 0    ) Tương tự với  , với  , ta kết luận hàm fˆ1 thác triển chỉnh hình tới  a,b      b0,q  R  \ M , với số    0,  ; Đặc biệt fˆ1 thác triển chỉnh hình tới  a,b'      b0,q  R  \ M         R  \ A đa cực Viết: Bây giờ, ta chứng minh A b    M   a      b  R    b0,q  R     P : g      0, P Ð a     b  R   b 0 1 ,q R  đa đĩa g j   Pj  là hàm xác định cho M  Pj Đặt:   g  S :    ,  pq  P : g            pq     Theo Định lý 1.6.1, điểm tập        R  \ pr S  A    b 1 thỏa mãn (**) Điều chứng tỏ tập pr S  đa cực Cố định  Cho S thành phần bất khả quy S Ta chứng tỏ pr S  đa cực Nếu S có đối chiều  pr  S  chứa hợp đếm tập giải tích Do đó, pr  S  đa cực Vì vậy, ta giả thiết S đối chiều túy Lập luận tương tự ta có pr Sing(S)  đa cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Ta cần chứng minh pr  Reg(S)  đa cực Vì g  hàm xác định, với  Reg S tồn k 1, ,p  q  1 cho Reg  S  g      Vì  k p  q 1 T k k 1   g Tk :  Reg S :      0 Ta cần chứng minh k   tập pr  Tk  đa cực, k  1, ,p  q  Cố định k Để đơn giản hóa ký hiệu, ta giả sử k  Khi theo Định lý 1.6.1, ta viết    T1     Ql : 1   l   , ,  pq  , l1 Ql  P đa Ql  Ql  Ql     đĩa, pq 1 l : Ql  Ql chỉnh hình, l   Điều chứng tỏ rằng, hình chiếu   tập T1,l :   Ql : 1   l  2 , , pq  đa cực   Cố định l Vì g   l  2 , , pq  , 2 , , pq  0,  2 , , pq   Ql , ta suy  l   l khơng phụ thuộc vào pq pq   Vì pr  T1,l   1   l  2 , ,  pq 1  hình chiếu đa cực       R  \ A đa cực Vậy A b Sử dụng kết bước Ta suy fˆ thác triển chỉnh hình tới miền  \ M , đó: Y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33   :  z, w , w          R      R  : Y q a0 b0.q b h *A,a   b  R   z, w  h*  b0.q  R . b0.q  R    z, w, w q    a      b  R     b0.q  R  : h* ,a    z   h* b 0.q  R,b 0.q  R   w  1 q  w   1 q (Ở sử dụng tính chất hàm cực trị tương đối) R0  R Vì  ta tìm q   0,  hàm  fq  a  q    b  R    b0,q  R0  \ M cho 0 fq  fˆ  a  q    b0  R   \ M Nếu q  mâu thuẫn (vì R0  R*0 ) Cho q  Lặp lại cách lập luận tọa độ w  ,   1, ,q  1, ta tìm 0   0,  hàm f chỉnh hình  q  a  0      b0.1 , ,b0.1   R    b0.  R0    b , ,b   R   \ M 1 0.q  1  cho f  fˆ a  0    b0  R  \ M Gọi là bao hàm chỉnh hình q miền   1 b0.1 , ,b0.v 1   R   b 0.v  R    b0.v 1 , ,b0.q  R Áp dụng Định lý 1.7.4, ta thác triển f chỉnh hình tới ˆ ˆ a  0    \M , tức tồn hàm f  (a  0    \M ) cho f  f  q 1 a  0    b0  r  Ta thấy  b0  q R  R 0    Mặt khác ta có q q 1 R R0  R *0 ; mâu thuẫn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Chú ý Chứng minh bước điều kiện mạnh sau  ,A a (*), M (*) đúng: Cho   0,0  r  R, ,  tập giải tích đối chiều túy  (ta không xét trường hợp    ), Khi đó: M   \M Với R   r,R  tồn    0,  cho hàm f     f  a,.  b0  R  \ Ma ,a  A , mà  tồn thác  triển  fˆ   a0     b0  R  \ M cho fˆ  f a      b0  r  \ M 2.2.2 Chứng minh Định lý 2.2.1 trường hợp tổng quát Trước hàm fˆ xác định Định lý chứng minh phương pháp quy nạp theo N Cho D j,k  D j , D j,k Ð D j,k 1 Ð D j , D j,k miền giả lồi, với A j,k : A j  D j,k   Đặt: X k :   A1,k , ,A N,k ;D1,k , ,D N,k   X Ta chứng tỏ với k  điều kiện (***) sau thỏa mãn  k , cho hàm (***) Tồn miền U k ,X k  U k  U  X f  s  X \ M  tồn fk    Uk \ M  mà fk |Xk \M  f |Xk \M  k bao chỉnh Thật vậy, cố định k  , theo chứng minh bước 4, X k,  k X hình U k Do đó, theo Định lý 1.7.3, tồn tập giải tích M k \M  k bao chỉnh hình U \ M  k  U  M cho X M k k    k \M  k Đặc biệt, với f  s  X \ M  tồn hàm fk   X     k \M  k Theo Mệnh đề cho fk |Uk \M  fk Cho  k : {fk : f   s  X \ M }   X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 k X  k ,M k M k 3.4.5 [7], tồn tập giải tích đối chiều túy M  k kỳ dị đối với , tức là: cho điểm M k   k \M k i, Mỗi hàm fk thác triển thành hàm fˆk   X   k V lân cận mở a , V  X  k , tồn ii, Với a  M hàm f  s  X \ M  cho fˆk |V\Mˆ thác triển chỉnh hình k tồn V  k 1  X k M  k Từ suy M  :  M Đặc biệt, M  k1  k tập giải    U  M , với , M tích đối chiều túy X  k1 k  \M  với fˆ |  f f  s  X \ M  ,thì hàm fˆ :  k 1 fˆk chỉnh hình X X\M Vấn đề lại chứng minh (***) Cố định k  Với a   a1, ,a N   A1,k   A N,k lấy   k  a  cho a    D1,k   DN,k Nếu N  , ta định nghĩa chữ thập  N  2 - Yk , , :  (A1,k , ,A1,k ,A1,k , ,A1,k ,A1,k , ,A N,k D1,k , ,D1,k ,D1,k , ,D1,k ,D1,k , ,D N,k ),      N, ta giả sử  đủ nhỏ cho  a , ,a Vì 1 ,a 1 , ,a v 1 ,a 1 ,a N  a , ,a   D j1  j,k 1  k,,v ,    v  N,   Y     a j1, ,a N  Ð U Ta giả sử a , ,a     D j,k 1  a , ,a     U, j  1, , N j1 j 1 N (4) Ta định nghĩa chữ thập N -  Zk,a, j :  A1  a1    , ,A j1  a j1    ,A j,k 1,A j1  a j1    , , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36  A N  a N    : a1    , ,  a j1    ,D j,k 1,  a j1    , ,  a N    , j  1, , N  k,a, j  U Vì Chú ý Z  a , ,a   D   a j1 j,k j1   k ,a , j tồn , ,a N  Ð Z r  rk  a  ,0  r   đủ nhỏ cho  k,a, j , j  1, , N Vk,a, j :  a , ,a   r   D j,k  a , ,a   r   Z j1 j1 N Đặt Vk :  Vk,a, j , aA1,k  A N ,k j1, ,N  k chứa Chú ý X k  Vk Gọi U k thành phần liên thông Vk  X Xk  (đã chứng minh mục 2.2.1) Áp dụng (4) cho Định lý 2.2.1 với U  X ta suy với hàm f  s  X \ M  tồn thác triển    k,a, j \ M của f | fˆk,a, j  Z Zk ,a , j \M Dán hàm fk,a, j : fˆk,a, j |Vk ,a , j \M ,a  A1,k   A1,N , j  1, , N     hàm fk :  fk,a, j |Uk \M  thác triển cần tìm hàm  1,k  A N ,k  ajA1, ,N     f |Xk \M Ta trình dán Lấy a,b  A1,k   A N,k ,i, j 1, , N cho Vk,a, j  Vk,b, j   Có hai trường hợp sau: (a) i  j : Ta giả sử i  N  1, j  N Viết w   w, w    k1  k N 2   k N 1 k N Ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37   Vk,a,N1  Vk,b,N  a  rk  a     b  rk  b     b N 1  rk  b     a N  rk  a   Lấy c   c,c , đặt:  : w    Mc : w   k N 1 k N :  c, w   M , Mc k1   k N   :  w,c   M ; Mc Mc tập giải tích tương ứng tập sau:  : w    U c : w   k N 1 k N :  c, w   U , U c k1   k N   :  w,c   U ; Ta xét ba trường hợp nhỏ sau: * N  : Khi Vk,a,1  Vk,b,2   b1  rk  b     a  rk  a   Vì fk,a ,1  fk,b,2 tập không đa cực  A    r  b    A b1 k    a  rk  a   \ M nên theo Định lý 1.5.4, fk,a ,1  fk,b,2 Vk,a,1  Vk,b,2 \ M * N  : Khi   Vk,a,2  Vk,b,3  a1  rk  a     b1  rk  b     b2  rk  b    a  rk  a   Gọi C  tập   tất c  A   b2  rk  b    A3   a3  rk  a    điểm cho tập Mc có đối chiều   (tức với w   M c đối chiều Mc w  ) Chú ý C tập không đa cực Ta có fk,a,2 .,c   f .,c   fk,b,3 .,c   a1  rk  a     b1  rk  b   \ M c Bây giờ, lấy c   a1  rk  a     b1  rk  b   cho tập Mc có đối chiều  Khi đó, fk,a,2  c,.  fk,b,3  c,. C \ Mc Theo Định lý 1.5.4, fk,a,2  c,.  fk,b,3  c,.  b2  rk  b     a  rk  a   \ M c' Vậy, fk,a,2  fk,b,3 Vk,a,2  Vk,b,3 \ M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Nếu N 2,3 ta chuyển tiếp sang phần (b) kết luận Định lý 2.2.1 với N 2,3 * N  : Ở ta chứng minh quy nạp theo N Giả sử Định lý 2.2.1 với N   Tương tự trường hợp N  , gọi C tập tất điểm     c  A N1   bN 1  rk  b    A N   a N  rk  a   cho tập Mc có đối chiều  ; C tập không đa cực Hàm fc : f .,c chỉnh hình tách Yk,N1,N \ M c Theo giả thiết quy nạp hàm f c thác triển thành hàm     c  tập giải tích Y  k,N1,N \ M   c  , M  k,N1,N , fˆc   Y   c   Mc lân cận mở Y M k,N 1,N Mặt khác  k,N1,N  a  rk  a     b  rk  b    Y Vì fk,a,N 1 .,c   f c  a  rk  a    Yk,N 1,N \ M c fk,b,N .,c   f c  b  rk  b    Yk,N 1,N \ M c , nên ta kết luận fk,a,N 1 .,c   fˆc  fk,b,N .,c   a  rk  a     b  rk  b   \ M c Lấy c   a  rk  a     b  rk  b   cho tập M có đối chiều  , fk,a ,N1  c,.  fk,b,N  c,. C \ Mc Theo Định lý 1.5.4, ta có fk,a ,N 1  c,.  fk,b,N  c,.  b N 1  rk  b     a N  rk  a   \ M c Và fk,a ,N 1  fk,b,N Vk,a,N1  Vk,b,N \ M (b) i  j : Ta giả sử i  j  N Khi   Vk,a,N  Vk,b,N  a1 , ,a N 1   rk  a     b1 , ,bN 1   rk  b    DN,k Theo (a) ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 fk,a,N  fk,a,N 1 Vk,a,N  Vk,a.N1 \ M, fk,a ,N 1  fk,b,N Vk,a,N 1  Vk,b,N \ M Nên fk,a,N  fk,b,N Vk,a,N  Vk,a,N 1  Vk,b,N \ M     a1 , ,a N 1   rk  a     b1 , ,bN 1   rk  b     a N  rk  a   \ M Cuối cùng, theo Định lý 1.5.4, fk,a,N  fk,b,N Vk,a,N  Vk,b,N \ M Định lý 2.2.1 chứng minh Chú ý (a) M   : Có nhiều tác giả nghiên cứu định lý trường hợp N  (với giả thiết thay đổi) ví dụ như: J Siciak (1969), V P Zahariuta (1976), J Siciak (1981), J Siciak (1989), Nguyễn Thanh Vân - A Zeriahi (1991), Nguyễn Thanh Vân (1997), O Alehvane - A Zeriahi (2001) Trường hợp N  , k1   k N  chứng minh J Siciak (1981) Đến năm 1995, Nguyễn Thanh Vân A Zeriahi chứng minh trường hợp tổng quát N  , k1 , ,k N  (b) M   : J Siciak [10] chứng minh định lý trường hợp N  , k1   k N  1, D1   DN   , M  P1   , P đa thức N biến phức khác không Trong trường hợp đặc biệt N  , P  z,w  : z  w chứng minh O Oktem (1998) Trường hợp tổng quát cho N  , k1  k  chứng minh M Jarnicki - P Pflug (2001), O Oktem (1999) chứng minh cho trường hợp N  , k1 ,k  Vấn đề đặt cách tự nhiên ta thay giả thiết M tập kì dị giả thiết M tập đa cực đóng tương đối U Định lý 2.2.1 cịn hay khơng? Định lý sau xem tổng quát hóa kết nghiên cứu J Siciak (2000) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 2.2.3 Định lý Cho A,B   tập quy địa phương M   tập đa cực đóng đặt X :   A,B;  ,   Khi tồn tập đa cực đóng    A  A , B  B với A \ A , B \ B tập cực, cho M   f  s  X \ M  tồn hàm fˆ    \ M  thỏa mãn f |X\ M M  f |X\ M M , X :   A,B;  ,       Chứng minh Để chứng minh Định lý 2.2.3 ta cần dạng Định lý Hartogs sau: Ký hiệu E đĩa đơn vị 2.2.4 Định lý [3] Nếu A  E N1 tập đa quy địa phương, U  E N 1   lân cận mở A   M  U tập đóng tương đối cho M  E N   , với a A thớ M a : w   :  a, w   M tập đa cực Đặt X :   A,E;E N 1 ,   , tồn tập đa cực đóng tương đối S  E N1   ,S  E N   cho Sa  Ma ,a  A hàm f  s  X \ M   \ S  E N1   \ S thác triển chỉnh hình tới X Chứng minh Đặt  :  s  X \ M  Ta biết với hàm f  tồn miềnđơn diệp Gf  E N1   Gọi G thành phần liên thông int  f F Gf chứa E N đặt S : E N 1   \ G Ta phải chứng minh S tập đa cực Lấy a  A b  \ Ma , M a đa cực, nên tồn đường cong  : 0,1   \ Ma cho   0  0,  1  b Lấy   đủ nhỏ cho    a       0,1   b     U \ M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41   Đặt Vb : E   0,1   b    xét chữ thập Y :   A   a    ,E;  a    ,Vb  Khi đó, f  s  Y  với f  Từ suy theo Định lý 2.2.2,   G , với f  Y   G Đặc biệt, a    \ M   G Y f a Vậy Sa  Ma với a  A Theo Bổ đề [3], S đa cực Chứng minh định lý 2.2.3 Cố định điểm c   a,b   A  B \ M lấy   , cho c    M   Xét chữ thập Y :   A   a    , B   b    ;  a    ,  b     lấy 0r   c  r   Y cho Đặt A0 : A  a  r  ,B0 : B  b  r  Theo Định lý 2.2.2, với f  s  X \ M  tồn f     c  r   mà f  f A0  B0 Định nghĩa: U :   b  r  , V : a  r    Khi tập P : { z  : Mz không đa cực} Q : { w   : M w không đa cực} đa cực Thật vậy, cho v     , v   cho M  v1    Đặt u  z  : sup v  z, w  : w  E , z   Khi P  u 1    , u     u   Theo Định lý 2.2.4, tồn tập đa cực đóng tương đối S  U \ c  r  , T  V \ c  r  , cho với f  s  X \ M  tồn     f1    U \ S , f2    V \ T  với f1  f2  f c  r  Từ suy ra, hàm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42    f : f1  f2 xác định U  V \ S  T  Lưu ý R : S  T tập đa cực đóng tương đối W : U  V Hơn nữa,  bao chỉnh hình W   W  R    , cho M Theo [4], tồn tập đa cực đóng M ˆ bao chỉnh hình W \ R Từ suy ra, với cho  \ M    không đa cực} P : { z   :  M  M   mà fˆ  f A  B Định nghĩa f  s  X \ M  tồn fˆ    N \ M 0 z   Q : { w   : M  M  w không đa cực} A : A \ P,B : B \ Q,X : X  A,B;  ,   Ta lập luận     chứng minh Định lý 1.1 [10] ta có fˆ  f X \ M  M Định lý 2.2.3 chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 KẾT LUẬN Với mục đích bước đầu tìm hiểu kết nghiên cứu thác triển hàm chỉnh hình tách, nghiên cứu kết Marek Jarnicki - Peter Pflug (2001) số kết liên quan Với mục đích đó, luận văn đạt số kết sau: + Hệ thống số khái niệm kết liên quan + Trình bày lại chi tiết kết nghiên cứu Marek Jarnicki Peter Pflug (2001) thác triển ánh xạ chỉnh hình tách tập chữ thập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tham khảo tiếng Việt [5] Phạm Việt Đức, Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, NXB Đại học sư phạm, 2005 Tài liệu tham khảo tiếng Anh [1] O Alehyane, A Zeriahi, Une nouvelle du theoreme d’extension de Hartogs pour les applications separement holomorphes entree spaces analytiques, Ann Polon Math 76 (2001), 245-278 [2] E Bedford, B A Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math, 1982 149, 1-40 [3] E M Chirka, A Sadullave, On continuation of functions with polar singularities, Math USSR-Sb 60 (1988), 377-384 [4] E M Chirka, The extension of pluripolar singularity sets, Proc Steklov Inst Math 200 (1993), 369-373 [6] D Huybrechts, Complex Geometry an Introduction, Universite Paris, France, 11-12 [7] M Jarnicki, P Pflug, Extension of Holomorphic Functions, de Gruyter Expsi-tions in Mathematics 34, Walter de Gruyter, 2000 [11] M Jarnicki, P Pflug, Cross theorem, IMUJ Preprint 2001/08 (to appear in Ann Polon Math (2001)) [8] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Press, 1991 [9] J Siciak, Extrermal plurisubharmonic functions in  n , Ann Polon Math 39(1981), 175-211 [10] J Siciak, Holomorphic functions with singularities on algebraic sets, IMUJ Preprint 2000/21 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn