Định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————– NGUYỄN THU HUYỀN ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp hầu phức Cấu trúc phức 1.1.2 Nhận xét 1.1.3 Ví dụ 1.1.4 Cấu trúc hầu phức 1.1.5 Đa tạp hầu phức 1.1.1 6 8 1.2 Không gian dạng vi phân ánh xạ đạo hàm Định nghĩa 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 Định lý (Newlander - Nirenberg) 1.2.4 Nhận xét 1.2.1 1.3 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.3.2 Định nghĩa 1.3.3 Mệnh đề 1.3.1 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi đa tạp hầu phức Định nghĩa 1.4.2 Bổ đề 1.4.3 Bổ đề 1.4.4 Định nghĩa 1.4.5 Tính chất 1.4.6 Hệ 1.4.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 11 11 11 11 11 11 12 12 13 13 13 14 14 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.4.8 Định nghĩa 1.4.9 Mệnh đề 1.4.10 Định nghĩa 1.4.11 Định nghĩa 1.4.12 Định lý 1.4.13 Định nghĩa 1.4.14 Định nghĩa 1.4.15 Họ đồng liên tục 1.4.16 Định lý Ascoli họ đồng liên tục 1.4.7 15 15 15 15 15 16 16 16 16 17 1.5 Giả metric vi phân Royden-Kobayashi đa tạp hầu phức 17 Mệnh đề 1.5.2 Định nghĩa 1.5.3 Mệnh đề 1.5.4 Ví dụ 1.5.5 Định nghĩa 1.5.6 Nhận xét 1.5.1 1.6 Định lý tham số hoá Brody 17 18 18 18 19 19 19 Chương Một số định lý thác triển hội tụ ánh xạ giả chỉnh hình 2.1 Tổng quát hoá định lý Picard lớn Quỹ tích suy biến giả khoảng cách Kobayashi 2.1.2 Thác triển đường cong J-chỉnh hình 2.1.3 Sự thác triển đa tạp số chiều cao 2.1.1 2.2 Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.4 Bổ đề 2.2.5 Bổ đề 2.2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 22 22 26 30 32 32 34 36 37 38 http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 2.2.7 Định lý 2.2.6 39 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Một ứng dụng quan trọng khơng gian phức hyperbolic tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức Việc mở rộng định lý Picard lớn nghiên cứu định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trường hợp đa tạp phức đa tạp hầu phức Mục đích luận văn trình bày số kết gần F Haggui A Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày kết luận văn chương Cụ thể là: Đa tạp hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi đa tạp hầu phức, giả metric vi phân Royden-Kobayashi đa tạp hầu phức Chương 2: Là nội dung luận văn Phần đầu chương trình bày số kết thác triển đường cong giả chỉnh hình tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic đa tạp hầu phức Phần số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi ánh xạ giả chỉnh hình đa tạp hầu phức Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS.TS Phạm Việt Đức Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy mình, người bảo hướng dẫn suốt thời gian học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới tồn thể thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tận tình giảng dạy động viên tơi suốt thời gian học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp đặc biệt người thân gia đình động viên, ủng hộ mặt để hồn thành khóa học Trong q trình làm luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong độc giả đóng góp ý kiến Tôi xin trân trọng cảm ơn Thái nguyên, tháng năm 2011 TÁC GIẢ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp hầu phức 1.1.1 Cấu trúc phức Giả sử V R-không gian vectơ J : V −→ V R-đẳng cấu J gọi cấu trúc phức V J := J ◦ J = −Id Giả sử J cấu trúc phức R-không gian vectơ V , ta xây dựng V thành C-không gian vectơ cách đặt (α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv Giả sử V C-khơng gian vectơ có sở {v1 , v2 , , } Xem V R-không gian vectơ VR , xét J : VR −→ VR v 7−→ Jv = iv Khi J cấu trúc phức VR không gian phức mà cảm sinh trùng với khơng gian vectơ phức V ban đầu 1.1.2 Nhận xét VR có R-cơ sở {v1 , v2 , , , Jv1 , Jv2 , , Jvn } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Ví dụ a) Cn = {(z1 , , zn ) : zj = xj + iyj ∈ C} ∼ = R2n = {(x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn )} J : R2n → R2n cho bởi: J((x1 , y1 , , xn , yn )) = (−y1 , x1 , , −yn , xn ) Khi J cấu trúc phức R2n b) Giả sử M đa tạp phức m chiều Khi cảm sinh M0 đa tạp thực nhẵn 2m chiều Gọi Tx (M0 ) không gian tiếp xúc thực M0 x gọi Tx (M ) không gian tiếp xúc phức M x Giả sử (U, h) đồ địa phương M quanh x Ta có h : U −→ U ⊂ Cm h = (h1 , h2 , , hn ), cảm sinh e h : U −→ R2m cho e h(x) = (Reh1 (x), Imh1 (x), , Rehm (x), Imhm (x)) Ta có (U, e h) đồ địa phương M0 quanh x Gọi  Nó cảm sinh   ∂ ∂ ∂ ∂ v = α1 + β1 + + αn + βn ∈ Tx (M0 ) ∂x1 x ∂y1 x ∂xn x ∂yn x