Một số định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN CỦA CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TÁCH VỚI KỲ DỊ ĐA CỰC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái nguyên -2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình tách biến hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức nhiều biến Các kết đạt theo hướng nghiên cứu ngày nhiều đẹp đẽ Ngày nhiều nhà toán học giới tiếp tục quan tâm đến vấn đề với cách tiếp cận khác Lịch sử phát triển việc nghiên cứu hàm chỉnh hình tách vơ phong phú, đa dạng thu kết vơ đẹp, có ứng dụng lớn giải tích đại Nó chia làm ba giai đoạn cụ thể sau Đầu tiên giai đoạn từ năm 1899 đến năm 1967 với đóng góp quan trọng nhà bác học tiếng như: Osgood, Hartogs, Hukuhara, Shimoda, Terada… Đặc trưng chủ yếu giai đoạn nghiên cứu chữ thập 2-lá Trước tiên vào năm 1899, Osgood khẳng định hàm chỉnh hình tách giới nội miền D chỉnh hình miền Tiếp vào năm 1906, Hartogs khẳng định hàm chỉnh hình miền D chỉnh hình tách miền Bước đột phá quan trọng nghiên cứu Hukuhara vào năm 1930 Ông khẳng định hàm chỉnh hình tách giới nội địa phương tập X(A1,A2; D1,D2) chỉnh hình D1  D2 (trong A1  D1 , A2  D2 ) với điều kiện A2 có điểm tụ D2 Nhưng ông lại mở rộng vấn đề câu hỏi: “Với điều kiện A2 khẳng định đúng” Và phải đến 30 năm sau Terada trả lời câu hỏi với điều kiện A2 không đa cực Giai đoạn từ năm 1969 đến năm 1997 với nghiên cứu nhà bác học Siciak năm 1969 P Zahariuta năm 1976 ông phát minh sở chung không gian Hilber Sau phương pháp Zahariuta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cải tiến Nguyễn Thành Vân Zeriahi cơng trình hai ơng vào năm 1991, 1995 1997 Đến năm 2001 với định lý chữ thập cổ điển Alehyane Zeriahi đưa cơng thức tổng qt cho giải tích phức Giai đoạn thứ ba từ năm 1998 đến năm 2001 Đặc trưng giai đoạn nghiên cứu thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích, bắt đầu với nghiên cứu Oktem sau tổng quát hóa Siciak Kết tổng quát định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích kỳ dị đa cực Jarnicki Pflug Với mục đích nghiên cứu vài kết thác triển hàm chỉnh hình tách, luận văn gồm nội dung sau: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm đa tạp phức, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi, bao chỉnh hình, hàm cực trị tương đối, tập đa cực, đa cực địa phương, đa quy địa phương hàm chỉnh hình tách, tập kỳ dị Tiếp chúng tơi trình bày số kết bổ trợ thác triển hàm chỉnh hình tách tính chất tập đa cực, đa cực đóng tương đối, đa quy địa phương để chuẩn bị cho việc trình bày chương Chƣơng Định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực Phần đầu chương chúng tơi trình bày sơ lược kết nghiên cứu hàm chỉnh hình tách qua giai đoạn phát triển hướng nghiên cứu Tiếp định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực Phần cuối chương, chúng tơi trình bày chứng minh định lý trường hợp chữ thập 2-lá trường hợp tổng quát Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình cô giáo TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Em xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Ngun thầy giáo tận tình giảng dạy chúng em suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Kinh tế Tài Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa Bộ mơn Tốn quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè động viên khích lệ tơi suốt q trình hồn thành, bảo vệ luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Ánh xạ chỉnh hình Giả sử X tập mở  n f : X   hàm số Hàm f gọi khả vi phức x0  X tồn ánh xạ tuyến tính  :  n   cho: lim f  x0  h   f  x0     h  h 0 h 0 1/2  n 2 h   h1 , , hn   h    hi   i 1  n Hàm f gọi chỉnh hình x0  X f khả vi phức lân cận x0 gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X Một ánh xạ f : X   m viết dạng f   f1, , f m  fi   i  f : X   , i  1, , m hàm tọa độ Khi f gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với i=1,…,m Ánh xạ f : X  f  X    n gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f 1 ánh xạ chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Đa tạp phức Giả sử X không gian tô pô Hausdorff  Cặp U ,  gọi đồ địa phương X , U tập mở X  : U   n ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: i)  U  tập mở  n ii)  :U   U  đồng phôi  Họ = U ,  i i iI đồ địa phương X gọi tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau thỏa mãn: i) Ui iI ii) Với U i ,U j mà Ui  U j   , ánh xạ phủ mở X  j  i 1 : i U i  U j    j U i  U j  ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas X Hai atlas 1,2 gọi tương đương hợp 1  2 atlas Đây quan hệ tương đương tập atlas Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức X X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều 1.2 Hàm đa điều hòa dƣới 1.2.1 Hàm điều hòa Giả sử D miền  Hàm u : D   ,   gọi điều hòa miền D u thỏa mãn hai điều kiện sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i) u nửa liên tục D, tức tập  z  D; u  z   s tập mở với số thực s ii) Với tập mở compact tương đối G D hàm h : X   điều hịa G liên tục G ta có: u  h G u  h G 1.2.2 Hàm đa điều hòa Giả sử G tập mở  n Một hàm  : G   ,   gọi đa điều hòa nếu: i)  nửa liên tục  không đồng với  thành phần liên thông G ii) Với z0  G a   n mà a  0, với ánh xạ  :    n ,   z   z0  az , hàm    thành phần liên thông  1  G  (là miền  )  điều hòa 1.2.3 Hàm đa điều hịa khơng gian phức Giả sử X khơng gian phức Một hàm đa điều hịa X hàm  : X   ,   thoả mãn: Với x  X tồn lân cận U mở x cho với ánh xạ song chỉnh hình h : U  V lên khơng gian phức đóng V miền G   m hàm đa điều hòa  : G   ,   cho  U    h Kí hiệu   X  tập tất hàm đa điều hòa X 1.3 Miền giả lồi Định nghĩa 1.3.1 G   n miền (tập mở liên thông) Ta nói G giả lồi tồn hàm đa điều hòa liên tục  G cho tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  z  G :   z   x tập compact tương đối G với số thực x Bổ đề 1.3.2 [2, tr 73] Giả sử D   n miền giả lồi Khi tồn dãy miền giả  lồi compact tương đối Dk Ð Dk 1 Ð D với D   k 1 D k 1.4 Bao chỉnh hình, miền chỉnh hình  (đơn diệp khơng) gọi bao chỉnh hình Định nghĩa 1.4.1 Miền D miền D   n nếu: i)  chứa D D ii) Hàm f  H  D  tùy ý thác triển thành hàm chỉnh hình  D iii)    mà hạn chế  tùy ý, tồn hàm f  H D Đối với điểm z  D  ) không thác triển chỉnh đa trịn U  z , r  r   ( z ,  D hình đa tròn U  z , R  nào, R  r Định nghĩa 1.4.2 Miền trải  D,   gọi miền chỉnh hình tồn hàm f  H  D  cho có miền  D ,     D,   hàm f1  H  D1   - mở rộng hàm f  D1 ,   tương đương với  D,   (tức  đơn trị hai chiều D lên D1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.5 Hàm cực trị tƣơng đối Định nghĩa 1.5.1 Giả sử    n h :    xác định bởi: h*  z   limsup h  w , w  w z gọi hàm quy hóa nửa liên tục h Định nghĩa 1.5.2 Giả sử    n tập mở A   Đặt hA, : sup { u : u    , u  trªn , u  trªn A } Hàm h* A, gọi hàm cực trị tương đối, kí hiệu * quy hóa nửa liên tục Định nghĩa 1.5.3 Ta định nghĩa: A, : klim h* A ,  k k  k k 1 dãy tập mở compact tương đối, k  k 1 Ð  với  k 1 k   Chú ý: i) Định nghĩa không phụ thuộc vào dãy vét cạn  k k 1  ii)  A,     iii) Nếu  giới nội A,  h* A, Mệnh đề 1.5.4 (Tính chất hàm cực trị tương đối) [2, tr 9] Giả sử 1   n    m miền A1  1 , A2  2 tập Khi đó: h* A  A ,    z1 , z2   max h* A ,   z1  , h* A ,  z2  ; 2 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2  z , z     2 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.6 Tập đa quy địa phƣơng Định nghĩa 1.6.1 Tập A   đa quy địa phương điểm a  A h* AU ,U  a   với lân cận mở U a Định nghĩa 1.6.2 Tập A gọi đa quy địa phương đa quy địa phương điểm a  A 1.7 Tập cực, tập đa cực Định nghĩa 1.7.1 Tập A  n ( n  ) gọi tập cực tồn hàm đa điều hòa khác u  n cho: A   x : u  x    Định nghĩa 1.7.2 Tập A gọi đa cực  tồn hàm đa điều hịa cho u khơng đồng  thành phần liên thông  A   z   : u  z    Định nghĩa 1.7.3 Tập A gọi đa cực địa phương  với z  A có lân cận mở V z cho A  V đa cực V Định lý 1.7.4 (Định lý Chirka) [9, tr 1254]  bao chỉnh hình D Giả sử S Giả sử D   n miền D tập đa cực đóng tương đối D Khi tồn tập đa  \ S bao chỉnh hình  cho S  D  S D cực đóng tương đối S D D \ S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Đổi vai trò z w, ta tìm S b , j vµ f b , j , b  B  G j Từ việc chứng minh định lý 2.2.1 với N = tổng quát bổ đề 1.9.10 sau Định lý 2.2.2 [9, tr 1263] Giả sử D   p , G   q miền giả lồi, A  D tập đa quy địa phương, B  G tập mở khác  giả sử M  U tập đóng tương đối lân cận mở U chữ thập X := X(A, B; D, G) cho M   D  B    với a  A sợi M(a,.) đa cực Khi tồn tập   đa cực đóng tương đối M X cho:  X M M  ) với  Với hàm f  Os(X\M) , tồn f  O(  X \M f  f X\M  kỳ dị họ { f : f  Os(X\M)}  Tập M Trong trường hợp G   q  X  D   q Do định lý tổng quát định lý 1.9.6 Bƣớc 2: Chứng minh định lý trƣờng hợp tổng quát: Trước hết, theo bổ đề 1.7.8(b), tập X  \ M không đa cực hàm f xác định Chúng ta tiếp tục phép quy nạp theo N Trường hợp N = chứng minh bước Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Lấy D j ,k  D j , D j ,k Ð D j ,k 1 Ð D j , D j ,k miền giả lồi với Aj ,k : Aj  Dj ,k  , j  1, , N Đặt: Xk := X  A1,k , , AN ,k ; D1,k , , DN ,k   X  j ,k :   A1,k   Aj -1,k  Aj 1,k   AN ,k    j ; j  1, , N X k :   A1,k , , AN ,k ; D1,k , , DN ,k ; 1,k , ,  N ,k  X k Ta có với k  N điều kiện (*) sau không đổi X k tập đa cực đóng tương (*) tồn miền U k , X k  U k   đối M k  U k cho:  M k  X k  M  Với f  Os(X\M), tồn  f k  O (U k \ M k ) với  fk  f X k \ M X k bao chỉnh hình Thực vậy, cố định k  N theo bổ đề 1.9.7,  U k Theo định lý Chirka (định lý 1.7.4), tồn tập đa cực đóng  k  U  M cho   k   k bao chỉnh hình Xk \M X k ,M tương đối M k k U k \ M k Trong trường hợp đặc biệt, với f  Os(X\M), tồn f  O (   k ) với f Xk \M k kU k \Mk  f k Giả sử  k kỳ dị họ M { f k : f  Os(X\M)}  k 1    k Do Xk M Trường hợp đặc biệt, M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41  :  M M  k 1  k tập đa cực đóng tương đối X với   X  M M   Với hàm f  Os(X\M), hàm f :  k 1 f k chỉnh hình   với f  f X  \ M X \M  kỳ dị họ{ f : f  Os(X\M)}  Tập M Còn lại ta chứng minh điều kiện (*) Cố định k  N Với a   a1 , , aN   A1,k   AN ,k \ M Giả sử    k  a  cho a    D1,k   DN ,k \ M đặt Ya : X  A1   a   , , AN   a   ;  a   , ,  a    N N Vì hàm thuộc Os(X\M) thuộc Os(Ya) nên theo định lý 1.8.3, hàm thuộc Os(X\M) thác triển chỉnh hình Y a Giả sử  =k  a    0,  cho  a     Y a Nếu N  , ta định nghĩa chữ thập (N-2)-lá : Yk ,  , : X ( A1,k , , A -1,k , A 1,k , , A -1,k , A 1,k , , AN ,k ; D1,k , , D -1,k , D 1,k , , D -1,k D 1,k , , DN ,k ),     N giả sử  đủ nhỏ cho:   a , ,a  -1 , a 1 , a -1 , a 1 , , a N      Y k ,  , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ,     N http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Cho j 1, , N , định nghĩa chữ thập 2-lá:   Z k,a , j : {  z, z j , z    A1   a       Aj -1   a  Z k ,a , j :  A j 1  a  A   a1   Aj 1   a j 1        A N        A j -1 N     D    a     :  z, z    j N  a        A j 1 j -1 j -1     D }     a j , k 1  a     a    N j ,k 1  Áp dụng định lý 2.2.2 cho chữ thập 2-lá Z k,a , j tập M ta tìm tập k ,a , j  Z  k ,a , j cho: đa cực đóng tương đối Sk ,a , j  Z  Sk ,a , j  Z k,a , j  M  k ,a , j \ S )  Với hàm f  Os(X\M), tồn hàm f k ,a , j  O( Z k ,a , j cho f k ,a , j  f Zk,a , j \ M  Sk ,a , j kỳ dị không gian { f k ,a , j : f  Os(X\M)} Vì  a , , a   D   a j ,k j -1 j 1  , , aN  Ð Z k ,a , j nên ta tìm r  rk  a   0,   cho : Vk ,a , j : a , ,a Đặt j -1 r   D j ,k  a Vk : j 1 , ,aN  r   Z  k ,a , j ; j  1, , N Vk ,a , j a A1,k   AN ,k \ M j1, , N  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Xk Lưu ý X k  Vk Giả sử U k thành phần liên thông Vk   chứa X k Ta dán tập Sk ,a , j hàm f k ,a , j Khi đó: S k :  a A1,k   AN ,k \ M j1, , N  S k ,a , j  U k , f k :  a A1,k   AN ,k \ M j1, , N  f k ,a , j V k ,a , j U k \ Sk thỏa mãn (*) Để kiểm tra a, b  A1,k   AN ,k \ M , trình dán thỏa mãn ta giả sử i, j 1, , N cho Vk ,a , j  Vk ,b, j   Ta có trường hợp sau: (a) i  j : Giả sử i = N – 1, j = N Viết w   w, w   n  n   n N -1   nN N -2 Ta có:   Vk ,a , N -1  Vk ,b , N   a  rk  a    b  rk  b    b N -1  r b      r  a   k aN k Chúng ta xét trường hợp nhỏ sau: (a1) N = (xem minh chứng bổ đề 1.9.8): Khi Vk ,a ,1  Vk ,b ,2   b  rk  b     a  rk  a   Vì fk ,a ,1  fk ,b ,2 tập không đa cực  A    r b  \     A    r  a  \   \ M b1 k 2 a2 k nên theo nguyên lý đồng tập không đa cực ta có f k ,a ,1  f k ,b ,2 Vk ,a ,1  Vk ,b ,2 \  S k ,a ,1  S k ,b ,2  Do đó, tập Sk ,a ,1 , Sk ,b ,2 hàm f k ,a ,1 , f k ,b ,2 dán với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 (a2) N = 3: Khi   Vk ,a ,2  Vk ,b ,3   a  rk  a    b  rk  b     b  rk  b     a  rk  a   1 Giả sử  C  A2  b  r b    A    r  a  \  k a3 k Ta có với c C sợi M .,c đa cực f k ,a ,2 ., c   f ., c   f k ,b ,3 ., c   a  rk  a    b  rk  b   \ M .,c 1 Kí hiệu C  tập tất c   a  rk  a     b  rk  b   cho sợi S k , a ,2  Sk ,b,3 c,. đa cực Theo bổ đề 1.7.8(a) thành phần C  đa cực Nếu c  C f k ,a ,2  c,.  f k ,b ,3  c,. C \  Sk ,a ,2  Sk ,b ,3 c,. Nên theo nguyên lý đồng tập không đa cực ta có f k ,a ,2  c,.  f k ,b ,3  c,. b  rk  b     a  rk  a   \  Sk ,a ,2  Sk ,b,3 c,. ; c  C f  k , a ,2  f k ,b ,3 Vk ,a ,2  Vk ,b ,3 \  S k ,a ,2  S k ,b ,3  Do tập Sk ,a ,2 , Sk ,b ,3 hàm f k ,a ,2 , f k ,b ,3 dán với Nếu N 2,3 xét trực tiếp trường hợp (b) Vì định lý 2.2.1 với N 2,3 (a3) N  : Giả sử định lý với N -1  Đặt   C : c  AN -1  b N -1  r b   A k N  a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên N  r  a  :   k s ,c đa cực, s 1, , N - http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Theo bổ đề 1.7.8(a), C không đa cực Với c  C , hàm fc : f ., c chỉnh hình tách Yk , N -1, N \ M .,c Hơn nữa, tập M .,c thỏa mãn tất giả thiết định lý 2.2.1 Thật vậy,  A 1, k s    A , , AN -2,k ; M .,c  s 1, k , , AN ,k ; M   .,c  s  ,c  s  1, , N - Bằng giả thiết quy nạp, hàm f c thác triển tới hàm f  O( Y k , N -1, N \ M   c ) c    c  tập đa cực đóng tương đối Y k , N -1, N cho M   c   Y  M  M .,c Lưu ý  a  rk  a     b  rk  b    Y k , N -1, N k , N -1, N Vì f k ,a , N -1 ., c   f c  a  rk  a    Yk, N -1, N \ M .,c f k ,b , N ., c   f c b  rk  b    Yk, N -1, N \ M .,c nên f     k , a , N -1 ., c   f c  f k ,b , N ., c   a  rk  a    b  rk  b   \ M .,c Lấy c   a  rk  a     b  rk  b   cho sợi  Sk ,a , N -1  Sk ,b, N c,. đa cực Khi f k ,a , N -1  c,.  f k ,b , N  c,. C \  Sk ,a , N -1  Sk ,b, N .,c Theo nguyên lý đồng tập khơng đa cực ta có f k ,a , N -1  c,.  f k ,b , N  c,. V    r b     r  a  \  S k , a , N -1 bN 1 k aN k k , a , N -1 f k ,a , N -1   f k ,b , N  Sk ,b , N c   Vk ,b , N  \  S k ,a , N -1  S k ,b , N  Do đó, tập Sk ,a , N -1 , Sk ,b , N hàm f  k , a , N -1 , f k ,b , N dán với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 (b) i = j: Giả sử i= j = N Lưu ý  Vk ,a , N  Vk ,b , N   a , ,a N -1   r  a     k b1 , ,bN -1   r b   D k N ,k Vì theo (a) ta có f  k , a , N  f k , a , N -1 Vk , a , N  Vk , a , N -1 \  S k , a , N  S k , a , N -1  f  k , a , N -1  f k ,b , N Vk , a , N -1  Vk ,b , N \  S k , a , N -1  S k ,b , N  nên (chúng ta viết w   w, wN    n  n   n ) N -1 N f  k , a , N  f k ,b , N  Vk ,a , N  Vk ,a , N -1  Vk ,b , N \  Sk ,a , N -1  Sk ,a , N  Sk ,b , N     a  rk  a     b  rk  b     a  rk  a   \  S k ,a , N -1  S k ,a , N  S k ,b , N  N theo nguyên lý đồng tập khơng đa cực ta có f  k , a , N  f k ,b , N Vk , a , N  Vk ,b , N \  S k , a , N  S k ,b , N  Do tập Sk ,a , N , Sk ,b , N hàm f k ,a , N , f k ,b , N dán với Định lý chứng minh 2.3 Hệ Hệ sau suy trực tiếp từ định lý Hệ [2, tr 68] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Cho Dj, Aj , j=1,…,N, X U cho phần định lý 2.2.1 Giả sử M  U tập đóng tương đối cho với  a1 , , aN   A1   AN j 1, , N , sợi M  a , ,a j -1 ,, a j 1 , , aN  đa cực Khi tồn tập đa cực   đóng tương đối M X cho:   X  M M  ) với  Với f  Os ( X \ M ) tồn hàm f  O (  X \M f  f X \ M  ) giả lồi  Miền (  X \M 2.4 Ví dụ Sau hai ví dụ minh họa vai trị tập  j chứng tỏ điều khẳng định định lý 2.2.1 tối ưu Ví dụ 2.4.1 Giả sử D1 = D2 :=ℂ giả sử A1= A2 :=E hình cầu đơn vị ℂ Đặt X := X(A1, A2; D1, D2) = (E  ℂ)  (ℂ  E) Giả sử M : 0  E   0  ℂ Trong trường hợp đặc (M đóng) Khi theo định lý 2.2.1 ta có M biệt, có:  Với  f  Os ( X \ M ) tồn hàm f    với f  f X  \ M X  =X(E\{0},E; ℂ,ℂ) O     \ M   X  M M  kỳ dị họ { f : f  Os ( X \ M ) } M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48  miền giả lồi      \ M Chứng minh Vì {0} đa cực nên   E khơng đa cực nên không đa cực Ly : w A2 : M .,w không đa cùc tập rỗng  : z  A1 : M  z ,. X  =X(E\{0},E;ℂ,ℂ) Áp dụng định lý 2.2.1 ta có   0  ℂ M        \ M  Đặt: X \M W : = X(E\{0} ,E; ℂ \{0}, ℂ) Chú ý W  M   Hơn nữa, E E\{0} đa quy địa phương, ℂ ℂ \{0} miền chỉnh hình Theo định lý chữ thập cổ điển,  Vì w hàm hàm chỉnh hình tách W thác triển chỉnh hình W E , nguyên đa điều hòa giới nội tập đa quy địa phương E nên wE , =0 Và E\{0} đa quy địa phương nên wE \0, \0      \ 0   Vì W     \ 0      Trong X \M ℂ \{0} Do W   0   trường hợp đặc biệt M Xét hàm f0 : X \ M   xác định 1 / z nÕu z  f  z , w  :  1 nÕu z  vµ w  Khi f0 chỉnh hình tách X\M f  Os(W) Do f0 thác     \ 0   Vì f0(z, w)= 1/z tập mở  E \ 0   E nên triển W Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 theo nguyên lý đồng nhất, f0 thác triển chỉnh hình thành f với f (z, w):= 1/z f chỉnh hình  z , w     \ 0    Vì 0   kỳ dị f nên  0     M   0   M  kỳ dị Do M Ví dụ 2.4.2 Giả sử D1 = D2 = ℂ giả sử A1 := E hình cầu đơn vị ℂ   A2 :=E\r E, r   0,1 Đặt X : = X(A1, A2; D1, D2)=  E       E \ r E  M : 0  w   : w  r (M đóng) Khi theo định lý 2.2.1 ta có với hàm f  Os ( X \ M ) tồn hàm f  O      với f  f X  \ M X  = X(E\{0} ,E \ r E ; ℂ, ℂ)  định lý 2.2.1 tập rỗng Trong trường hợp đặc biệt, M Chứng minh Vì {0} đa cực nên    : w  E \ r E : M .,w không đa cực l rỗng   r   w   : w  r không đa cực nên    : z  E : M z ,. không đa cực Giả sử X  = X(E \ {0}, E \ rE ; ℂ, ℂ)     =  E \ 0      E \ rE Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 =X \ 0  rE   0    \ E     Chú ý X   M   Vì Áp dụng định lý 2.2.1 ta có M E \ 0 E \ rE mở nên chúng đa quy địa phương Theo định lý chữ thập cổ điển, hàm f  Os  X   có thác triển tới X  Vì wE \0, wE \ r E , hàm giới nội E \ rE nên ta có wE , =0 Do   X      , M KẾT LUẬN CHUNG Thác triển hàm chỉnh hình tách ln tốn nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học Đặc biệt kỳ dị đa cực, hướng nghiên thu nhiều kết đẹp Với mục đích bước đầu tìm hiểu hướng nghiên cứu này, luận văn nghiên cứu định lý thác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực theo kết nghiên cứu M Jarnicki P Pflug Với mục đích đó, luận văn đạt kết sau: + Hệ thống kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu + Trình bày sơ lược kết nghiên cứu hàm chỉnh hình tách + Trình bày định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D.H Armitage and S J Gardiner, Classical Potential Theory, Springer – Verlag, New York, 2001 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 [2] J C Ziems, Extension of separately holomorphic functions with singularities, Diplomstudiengang Mathematik, universitat Oldenburg, 2005 [3] E M Chirka and A Sadullaev, On continuation of functions with polar singularities, Math USSR-Sb 60(1988), 377-384 [4] E M chirka, The extension of pluripolar singularity sets, Proc Steklov Inst Math 200(1993), 369-377 [5] M Jarnicki and P Pflug, Extension of Holomorphic Functions, de Gruyter Expositions in Mathematics 34, Walter de Gruyter, 2000 [6] M Jarnicki and P Pflug, Cross theorem, Ann Polon Math 77 (2001), 295-302 [7] M Jarnicki and P Pflug, An extension theorem for separately holomorphic functions with singularities, IMUJ Preprint 2001/27 (2001) [8] M Jarnicki and P Pflug, An extension theorem for separately holomorphic functions with analytic singularities, Ann Polon Math, to appear [9] M Jarnicki and P Pflug, An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities, American Mathematical Society, 1251-1267 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 [10] M V Kazaryan, On holomorphic continuation of functions with pluripolar singularities, Dokl Akad Nauk Arm SSR 87 (1998), 106110 (in Russian) [11] Nguyen Thanh Van, Separate ananlyticty and related subjects, Vietnam J.Math 25 (1997), 81-90 [12] Nguyen Thanh Van and J Siciak, Fontions plurisousharmoniques extrémales et systèmes doublement orthogonaux de fontions analytiques, Bull Sci Math 115 (1991), 235-244 [13] Nguyen Thanh Van and A Zeriahi, Une extension du théorème de Hartogs sur les fontions séparément analytiques inAnalyse Complexe Multivariables, Récents Dévelopments, A.Meril, EditEl, Rende1991, 183-194 [14] Nguyen Thanh Van and A Zeriahi, sysèmes doublement othogonaux de fontions holomorphes et applications, Banach Center Publ 31 (1995), 281-297 [15] O Oktem, Extension of Separate ananlytic functions and applications to range characterization of exponential Radon transform, Ann Polon Math 70 (1998), 195-213 [16] Phạm Việt Đức, Mở đầu lý thuyết khơng gian phức hyperbolic, NXB ĐH Sư phạm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn