Ánh xạ chỉnh hình chuẩn tắc và một số định lý cổ điển của lý thuyết hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HOÀNG VĂN THI NH Ạ CH NH H NH CHU N TẮC VÀ M T S Đ NH C ĐI N CỦ THU T HÀM UẬN VĂN THẠC SĨ TO N HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HOÀNG VĂN THI NH Ạ CH NH H NH CHU N TẮC VÀ M T S Đ NH C ĐI N CỦ THU T HÀM Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 UẬN VĂN THẠC SĨ TO N HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i ỜI C M ĐO N Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chƣa đƣợc công bố cơng trình Tác giả Hồng Văn Thi Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii ỜI CẢM ƠN Luận văn đƣợc thực hồn thành khoa Tốn, trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC, ngƣời hƣớng dẫn khoa học, ngƣời gợi ý đề tài, định hƣớng nghiên cứu tận tình hƣớng dẫn tác giả suốt trình nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo cơng tác Viện Tốn học Việt Nam; khoa Tốn, Phịng Đào tạo (Bộ phận quản lý Sau đại học) Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, thầy cô tạo điều kiện trang bị cho tác giả kiến thức, học liệu kinh nghiệm nghiên cứu nhƣ thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Do thời gian nghiên cứu lực thân nhiều hạn chế, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp q báu, bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Tác giả Hoàng Văn Thi Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC ỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chƣơng M T S KI N THỨC CHU N B 1.1 Đa tạp phức 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.3 Metric vi phân Kobayashi 1.4 Không gian phức Hyperbolic 1.5 Không gian phức nhúng Hyperbolic 1.6 Định lý Picard lớn m rộng giải tích hyperbolic 1.7 Các hàm đ c trƣng Nevanlinna 10 1.8 Các định lý phân bố giá trị hàm phân hình 12 Chƣơng Đ NH C NH Ạ CH NH H NH CHU N TẮC VÀ M T S ĐI N CỦ THU T HÀM 13 2.1 Ánh xạ chỉnh hình chu n tắc 13 2.2 Một số ví dụ ánh xạ chỉnh hình chu n tắc 15 2.3 Ƣớc lƣợng hàm đ c trƣng 17 2.4 Tổng quát hóa định lý Picard lớn 21 2.5 Các giá trị tiệm cận 23 2.6 Tổng qt hóa định lý Lindel f giải tích hyperbolic 29 K T UẬN 31 TÀI IỆU TH M KHẢO 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết không gian phức hyperbolic đƣợc đƣa b i S.Kobayashi vào năm 1966 - 1970 có ảnh hƣ ng khơng nhỏ đến việc nghiên cứu phát triển ngành giải tích phức Khơng vậy, nhiều nhà toán học quan tâm có thành tựu đáng kể nhƣ Kiernan, Kwack, Joseph Noguchi Cộng thêm việc Montel đƣa khái niệm họ chu n tắc ánh xạ chỉnh hình làm cho giải tích phức hyperbolic có mối liên hệ mật thiết với lý thuyết họ ánh xạ chu n tắc Những đ c trƣng tính nhúng hyperbolic khơng gian phức đƣợc nghiên cứu từ cách nhìn ánh xạ chỉnh hình chu n tắc, tổng quát hóa số định lý m hƣớng ngành giải tích phức nhƣ ngành toán học đại Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết kết Ken-Ichi unahashi năm 1984 ánh xạ chỉnh hình chu n tắc không gian phức mối liên hệ với lý thuyết đa tạp hyperbolic lý thuyết Nevanlinna Luận văn gồm có hai chƣơng Chƣơng 1, chúng tơi trình bày vấn đề giải tích hyperbolic lý thuyết Nevanlinna Chƣơng nội dung luận văn Trong chƣơng chúng tơi trình bày số kết ánh xạ chỉnh hình chu n tắc m rộng số định lý cổ điển lý thuyết hàm nhƣ định lý Picard lớn định lý Lindelöf Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng M TS KI N THỨC CHU N B 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô Hausdorff (1) C p (U, j ) đƣợc gọi đồ địa phƣơng X U tập m X , j : U ® £ n điều kiện sau thỏa mãn (i) j (U ) tập m £ n (ii) j : U ® j (U ) đồng phơi (2) Họ A = {(Ui , j i )}iỴ I đồ địa phƣơng X đƣợc gọi tập đồ giải tích (atlas giải tích) X điều kiện sau thỏa mãn : (i) {Ui }iỴ I phủ m X (ii) Với Ui ,U j mà Ui Ç U j ¹ Ỉ ánh xạ j j oj - i : j i (Ui ầ U j ) đ j j (Ui Ç U j ) ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas giải tích X Hai atlas giải tích đƣợc gọi tƣơng đƣơng hợp chúng atlas giải tích Đây quan hệ tƣơng đƣơng tập atlas giải tích Mỗi lớp tƣơng đƣơng xác định cấu trúc khả vi phức X , X với cấu trúc khả vi phức đƣợc gọi đa tạp phức n chiều 1.1.2 Ví dụ D miền £ n , D đa tạp phức n chiều với đồ địa phƣơng {( D, IdD )} Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức (1) Cho M, N hai đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M ® N gọi chỉnh hình M với đồ địa phƣơng (U, j ) M đồ địa phƣơng ( V, y ) N cho f (U ) Ì V ánh xạ y o f oj - : j (U ) ® y ( V) chỉnh hình Ta kí hiệu H( M, N ) tập ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức M đến đa tạp phức N (2) Cho M, N hai đa tạp phức f : M ® N song ánh Nếu f , f - ánh xạ chỉnh hình f đƣợc gọi song chỉnh hình M N 1.1.4 Định nghĩa (1) Cho M đa tạp phức, không gian phức đóng X tập đóng M mà m t địa phƣơng đƣợc xác định b i hữu hạn phƣơng trình giải tích Tức là, với x0 Ỵ X tồn lân cận m V x0 M hữu hạn hàm chỉnh hình j 1, , j m V cho X ầ V = {x ẻ V j i ( x) = 0,i = 1, , m} (2) Cho M đa tạp phức, không gian phức đóng A M đƣợc gọi divisor M m t địa phƣơng điểm xác định b i phƣơng trình giải tích, tức điểm có lân cận V x M cho A Ç V đƣợc xác định b i phƣơng trình j = , với j hàm chỉnh hình V 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.2.1 Khoảng cách Bergman - Poincare đĩa đơn vị Giả sử D = {z Ỵ £ , z < 1} đĩa đơn vị m £ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Xét ánh xạ r D : D´ D ® ¡ + xác định b i: a- b 1- ba r D (a, b) = ln ; " a, b Î D a- b 11- ba 1+ Ta có r D khoảng cách D gọi khoảng cách Bergman - Poincare đĩa đơn vị 1.2.2 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.2.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X H( D, X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian phức X đƣợc trang bị tôpô compact m Xét dãy điểm p0 = x, p1, , pk = y X , dãy điểm a1, a2 , , ak D dãy ánh xạ f1, f2 , , fk H( D, X) thỏa mãn fi (0) = pi- 1, fi (ai ) = pi , " i = 1,2, , k Ta gọi dây chuyền chỉnh hình g nối x với y tập hợp : g = {p0 , , pk , a1, , ak , f1, , fk } thỏa mãn điều kiện k Ta đ t Lg = å r D (0, ) định nghĩa dX ( x, y) = inf Lg infimum i= lấy theo tất dây chuyền chỉnh hình g nối x với y Dễ thấy dX thỏa mãn tiên đề giả khoảng cách, tức là: i) dX ( x, y) ³ 0, " x, y Ỵ X ii) dX ( x, y) = dX ( y, x), " x, y Ỵ X iii) dX ( x, z) £ dX ( x, y) + dX ( y, z), " x, y, z Ỵ X Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Nói cách khác dX giả khoảng cách X Giả khoảng cách dX đƣợc gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X 1.2.2.2 Tính chất Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau dX : i) dD = r D dDn (( zi ),(wj )) = max r ( zi , wj ) với ( zi ),(wj ) Ỵ Dn j = 1,n ii) Nếu f : X ® Y ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức X Y dX ( p, q) ³ dY ( f ( p), f (q)), " p, q Ỵ X Từ suy f : X ® Y song chỉnh hình thì: dX ( p, q) = dY ( f ( p), f (q)), " p, q Î X iii) Đối với không gian phức X tùy ý , hàm khoảng cách dX liên tục X´ X iv) Nếu X Y khơng gian phức với x1, x2 Ỵ X y1, y2 Ỵ Y ta có: max {dX ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 )}= dX´ Y (( x1, y1 ),( x2 , y2 )) 1.3 Metric vi phân Kobayashi Giả sử M đa tạp phức Khi ta định nghĩa K M vi phân Kobayashi M đƣợc xác định b i : KM ( p, v) = inf {r > 0: j (0) = p, dj (0, re) = v; j Ỵ H( D, M)}trong p Ỵ M, v Ỵ Tp M ; dj ánh xạ tiếp xúc j e véc tơ đơn vị 0Ỵ D 1.4 Khơng gian phức Hyperbolic 1.4.1 Định nghĩa Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 19  B (t ) B   n 1 n n! n  2 n n1  (1  u ) u du (1  u ) n (n  1)! t t u n1 u n1 n  2  du  2 (n  1). du (1  u ) (1  u ) n t Sử dụng ƣớc lƣợng t u n1 udu n2 du  t 0 (1  u )2 0 (1  u )2 , t t du u n1 n 1 du  t 0  u 0  u t ta thấy n 1 n  B ( t ) B     n t 2n  (n  1) n t n1[log  log(1  t )] 1 t 1 t Do  dt  n 1      n   n 0 t n1  B(t ) B  r tdt du   n  1 1 t2  r   log  log  t   0   t dt r 1  log   n  1 C1 , 1 r2 1  C1   log  log 1  t  dt  2log  1 t  Bổ đề đƣợc chứng minh 2.3.3 Định nghĩa Cho B n , ( N , dsN2 ) đƣợc định nghĩa nhƣ f : B n  N ánh xạ chỉnh hình Ta định nghĩa hàm đ c trƣng f b i Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 20 T  r, f   dt  n 1  f *  n    B ( t ) B  0 t    n r n 1 2.3.4 Mệnh đề Cho F họ ánh xạ chuẩn t c Aut B n - b t biến t B n đến  N , dsN2  Khi tồn h ng số C (r ) phụ thuộc vào r cho T  r , f   C (r ),   r  1 với f  F Chứng minh Vì tồn số C cho f *dsN2  C.dsB2 n với f  F theo Định lý 2.1.4 ta chọn C r   C log   n  1 C1.C 1 r2 Theo bổ đề 2.3.2 ta suy mệnh đề đƣợc chứng minh 2.3.5 Hệ Nếu ánh xạ chỉnh h nh f : B n  N chuẩn t c th ta có   T  r , f g   O  log   1 r   r  1 với g  Aut B n 2.3.6 Nhận xét (i) Tính chất hàm đ c trƣng ánh xạ chỉnh hình chu n tắc mạnh   T  r , f   O  log   1 r  Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN  r  1 http://www.lrc.tnu.edu.vn 21 (ii) Nếu N không gian xạ ảnh P n , chiều ngƣợc lại mệnh đề Điều đƣợc suy từ định lý 5.1 H ujimoto [3], B n miền 2.4 Tổng quát hóa nh l Picard lớn Đ t   {w  , w  1} *  {w  ,0  w  1} Cho  :    * phủ phổ dụng với  ( w)  e( w1)/( w1) 2.4.1 Định nghĩa Một ánh xạ chỉnh hình f từ  * tới khơng gian giải tích phức N đƣợc gọi chu n tắc f  :   N ánh xạ chỉnh hình chu n tắc 2.4.2 Định l Cho N đa tạp phức paracompact Nếu f : *  N ánh xạ chỉnh h nh chuẩn t c, f thác triển thành ánh xạ chỉnh h nh t  tới N Chứng minh Trƣớc hết, ta chứng tỏ tồn dãy {zn }n1   * hội tụ tới cho {f (zn )}n1 hội tụ tới điểm p0 N Lấy dãy {zn }n1   * hội tụ đến điểm {wn } cho  (wn )  zn , lấy gn  Aut  thỏa mãn gn (0)  wn Xét họ F  {f  gn }n1 Theo giả thiết ta có F chu n tắc Ta lấy dãy {f  gnk }n1 {f  gn }n1 cho {f  gnk }k 1 hội tụ đến h  Hol (, N ) Đ c biệt f  gnk (0)  h(0)  p0 Ta đ t  gnk (0)  zk Khi f ( zk )  p0  N Tiếp theo, ta lấy metric Hermit dsN2 N Từ f  :   N chu n tắc, nên theo định lý 2.1.4 ta có ( f  ) * dsN2  C.ds2 (1) Với C số ds2  dzd z / (1  z )2 (1) kéo theo Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 22 f * dsN2  C.ds2* (2) dzd z Với ds2*  z (log1 / z ) Ta đ t rk  zk Ta giả sử dãy {rk }k 1 dãy giảm Kí hiệu d N khoảng cách N đƣợc định nghĩa b i dsN2 Khi đó: d N ( f ( z), p0 )  d N ( f ( z), f ( zk ))  d N ( f ( zk ), p0 ) (3) Khi z  rk , (2) kéo theo d N ( f ( z ), f ( zk ))  Vế bên phải hội tụ C  z zk dz   C dz log1 / z log1 / rk (4) k   Từ (3) (4) ta thấy với lân cận W p0 , k0 đủ lớn, f ({ z  rk }) bị chứa W với k  k0 Với cách chứng minh định lý 3.1 S Kobayashi [8], chƣơng VI, ta thấy rằng, lân cận U p0 ,   đủ nhỏ f ({z *, z   }) bị chứa U, ta xác định thác triển chỉnh hình f tới  b i f (0)  p0 Định lý đƣợc chứng minh 2.4.3 Nhận xét (i) Định lý N khơng gian giải tích phức liên thơng paracompact B i N có metric hermit h theo nghĩa thác triển mà sinh tôpô ban đầu N Áp dụng chứng minh ( N , h) [7] Ta có điều phải chứng minh (ii) Cho N khơng gian giải tích phức liên thông paracompact, M không gian nhúng hyperbolic N Khi ánh xạ chỉnh hình f : *  N Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 23 với f (*)  M chu n tắc Do đó, định lý 2.4.2 tổng qt hóa định lý Picard lớn trình bày S Kobayashi [8], chƣơng V, định lý 6.1 Các giá tr ti m cận Trong phần này, ta xem xét tổng quát hóa định lý Lindel f giá trị tiệm cận hàm chỉnh hình bị ch n 2.5.1 Định nghĩa Cho f ánh xạ chỉnh hình từ miền liên thơng đơn G  tới khơng gian giải tích phức N Ta định nghĩa góc với đỉnh z0 G miền A đƣợc xác định nhƣ sau: lấy điểm biên z1 ( z0 ) G số dƣơng  , ta đ t: A  {z;   w( z)    } , với w( z ) độ đo điều hòa cung nối z0 z1 ứng với G Ta nói f có giới hạn góc p0 z0 G với lân cận U p0 góc A có đỉnh z0 , tồn lân cận V z0 cho f (V  A)  U Định lý sau tổng quát định lý Lehto - Virtanen [9] 2.5.2 Định l Cho f ánh xạ chỉnh h nh t đĩa đơn vị  tới không gian giải tích phức N Giả sử f có giá trị tiệm cận p0  N điểm z0 G dọc theo đường cong Jordan  n m  f khơng có giới hạn góc p0 z0 Khi tồn lân cận nhỏ tùy ý U p0 cho với   có cung Jordan L  có điểm cuối z0 với f ( z ) dần tới p0 có dãy {zn }n1 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 24  hội tụ đến z0 thỏa mãn điều kiện f ( zn ) U d ( z, L)   với d  khoảng cách hyperbolic  Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề sau: 2.5.3 Bổ đề (M rộng định lý Lindel f) Cho r0 lớn ho c b ng D  {z; z  r0 ,  arg z  } Giả sử f ( z ) hàm chỉnh h nh bị ch n D, liên tục D  {r  , r  r0} limsup f (r )  Khi với   ta có r  lim sup{ f ( z ) ;  arg z     , z  }    Chứng minh Chứng minh sau đƣợc đƣa b i H ujimoto Ta sử dụng lý thuyết độ đo điều hịa ([10], III, §2) Lấy    Trƣờng hợp r0  tầm thƣờng Ta lấy r0 lớn , đ t  '  / Cho  ( z ) độ đo điều hòa { z  r0 ,Im z  0} D  {z; Imz  0, z >r0} Theo định lý nghiệm toán Dirichlet ([10], II, §1, trang 22-23) tồn r1  cho: ( z)  ' D '  {z; z  D, z  r1} Ta định nghĩa hàm điều hòa 1 , 2 , với r2 lớn r1 , r0 nhƣ sau: 1 ( z ) độ đo điều hòa {z  , z  r2} D, 2 ( z ) độ đo điều hòa {z  , z  r2} {Im z  0} Ta thấy 2 ( z)   arg( z  r2 ) /  Khi đó: '   2 ( z )  , z  r2   {   '.  arg z  0, z  r2}   Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 25 Ngoài 2 ( z )  1 ( z )   ( z ) D theo nguyên lý cực đại Vì 1 ( z )  2 ( z )   ( z ) , nên ' '   2 ( z )  , z  r2   {1 (z)> } D’   Do  '  {    arg z  0, z  r2}  1 ( z )   4  D’ Ta định nghĩa m(r2 ) , m *(r2 ) nhƣ sau: m(r2 )  sup{ f (r ) ; r thùc, r  r2} m *(r2 )  sup{ f (r ) ;    arg z  0, z  r2} Nếu f ( z )  M , theo định lý hai số ([10], III, §2, trang 41-42) ta có m *(r2 )  m(r2 ) '/4 M 1 '/4 Khi r2   , từ giả thiết m(r2 )  ta có m *(r2 )  Bổ đề đƣợc chứng minh Chứng minh nh l .2 Ta giả sử G  {z;0  arg z   / 2} z0   , b i khoảng cách hyperbolic bất biến bảo giác Giả sử  z  chia G thành hai phần G1 G2 Phần G1 đƣợc giới hạn b i  trục ảo Theo giả thiết ta có f khơng hội tụ đến p0 góc A :   arg z   /  2 (  0) Điều G1  A G2  A Ta giả sử G1  A Lấy U lân cận đủ nhỏ p0 , mà song chỉnh hình với đa tạp V miền bị ch n W biến p0 thành m m b i ánh xạ  Ta xét ánh xạ G1 lên góc phải  arg w   /  lên trục thực dƣơng  , giữ 0,  cố định Ảnh Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN G1  A nằm góc http://www.lrc.tnu.edu.vn 26  arg w   /  2 , cách áp dụng nguyên lý cực đại độ đo điều hòa trục thực  ứng với G G1 Xét f 1 (U ) thành phần liên thông U’ f 1 (U ) mà lân cận   {  z  R} với R đủ lớn đ t U’’ ảnh G1  U ' Ánh xạ  f viết dƣới dạng  f (w)  ( f1 (w), , f m (w)) f 1 (U ) , với fi ( w) (i  1, , m) thỏa mãn fi ( w)  M với M số Với U đó, phần biên U  { z  R} nằm phía đƣờng {arg w   /   , w  R} với R  , b i khơng nhƣ G1  A  { z  R} nằm f 1 (U ) với R đủ lớn f có giới hạn p0 G1  A theo bổ đề điều mâu thuẫn Ta đƣa họ đếm đƣợc tam giác đồng dạng {T } đƣợc định nghĩa nhƣ sau: đáy T nằm trục thực dƣơng, hai cạnh cịn lại góc đỉnh  / , với  '   đỉnh T (  ') nằm {0  arg w   /   }  U'' D T miền đơn liên chứa U’’ Đ t   T   Cho  (w, D) độ đo điều hòa ứng với D mà trục thực phần cịn lại biên Vì f ( z ) dần đến giới hạn p0 dọc theo  , nên fi ( w) dần tới dọc theo trục thực dƣơng Xét đƣờng L :  (w, D)   (0    1) Theo bổ đề trên, fi ( w) dần đến dọc theo L, tức f ( w) dần đến p0 dọc theo L w   Từ việc xây dựng ta lấy dãy {zn }n1  D tam giác Tn {T } với đỉnh zn cho f ( zn ) U Cho  ( w,Tn ) độ đo điều hòa Tn cho trục thực phần cịn lại biên Vì Tn nằm D, nên  (w, D)  (w,Tn ) Tn b i nguyên lý cực đại độ đo điều hòa Điều chứng tỏ đƣờng  (w, D)   nằm đƣờng  (w,Tn )   Tn Đ t zn  u  i.v Lấy Q1 (u  i.v1 ) Q2 (u  i.v2 ) giao Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 điểm tƣơng ứng đƣờng thẳng Re w  u với đƣờng cong  (w, D)    (w,Tn )   Khi v2  v1 Vì G1  G , ta thấy dG  dG với dG , dG tƣơng 1 ứng khoảng cách hyperbolic G, G1 dG ( zn , Q1 )  dG1 ( zn , Q1 )  zn Q1 u  v2 1 dw  u 2v 2 sin   zn Q1 dv v 1 v 1 v  log  log sin  v1 sin  v2 v / v2  k ( ) không phụ thuộc vào zn Vì k ( )    , nên {zn } , L chọn cho d ( zn , L)   với   Định lý đƣợc chứng minh Định lý sau m rộng kết Lehto – Virtanen [9] 2.5.4 Định l Cho f :   N ánh xạ chỉnh h nh chuẩn t c f giá trị tiệm cận p0  N điểm z0  dọc theo đường cong Jordan J n m  Khi f có giới hạn góc p0 điểm z0 Chứng minh Giả sử f khơng có giới hạn góc p0 z0 Theo định lý 2.5.3 với lân cận đủ bé U p0 , tồn đƣờng cong Jordan L  có điểm cuối z0 f ( z ) dần tới p0 L, dãy {zn }n1 hội tụ z0 , f ( zn ) U d ( zn , L)  M   Do tính compact U , ta lấy {zn }n1 cho f ( zn )  p ' U Kí hiệu z '  Sn ( z ) ánh xạ tự bảo giác U thỏa mãn điều kiện Sn (0)  zn Đ t K đƣờng tròn hyperbolic với tâm z  với bán kính hyperbolic M  Từ d  bất biến qua S n , Sn1 mà ánh xạ cung L tới K Kí hiệu Cn hợp cung nhƣ L với số thứ tự n Từ { f Sn } họ chu n tắc, nên dãy { f Snk }k 1 hội tụ đến ánh xạ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 chỉnh hình  :   N Ta có f (Sn (0))  f ( zn )  pn hội tụ đến p’ ( p0 ) ,  (0)  p ' Trong C  m1 n m Sn1 (Cn )  K liên tục với  ( z )  p0  ( z )  p0 Dẫn đến mâu thuẫn, định lý đƣợc chứng minh 2.5.5 Hệ Cho N khơng gian giải tích phức liên thông paracompact t ánh xạ chỉnh h nh f :   N không gian nh ng hyperbolic N với f ()  M Nếu f giá trị tiệm cận p0  N z0  dọc theo cung Jordan J n m  , th f có giới hạn góc p0 z0 Từ hệ ta thấy định lý Lindelưf với ánh xạ sau: 2.5.6 Ví dụ (i) f :   P n ánh xạ chỉnh hình bỏ qua D  {H i }i2n11 siêu phẳng n1 i 1 H i , vị trí tổng qt (ii) f :   T  n / L ánh xạ chỉnh hình bỏ qua D  T D siêu m t T không chứa xuyến phức thực 2.5.7 Ví dụ Cho (w0 , w1, w2 ) hệ tọa độ P Ta xác định ánh xạ (2, z  1, (1  z)e(1 z )/(1 z ) ) , chỉnh hình f :   P b i: z bốn đƣờng thẳng phức , , , P vị trí tổng quát nhƣ sau: : w0  0, : w1  0, : w1  w2  0, : w0  w1  w2  Có thể dễ dàng thấy f bỏ qua D  i 0 i Nhận xét Re (1  z) / (1  z)  {z ; z  1/  1/ 2} lim (1  r )e(1r )/(1r )   Do ta thấy f có giá r 10 trị tiệm cận (1,1,0)P z  dọc theo cung {z ; z  1/  1/ 2} , f có giới hạn bán kính (0,0,1)P z  Vì f khơng ánh xạ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 chỉnh hình chu n tắc theo định lý 2.5.4 Nhƣng ánh xạ f kiểu bị ch n (tức limsup T ( f , r )   ) r 1 Thật vậy, giả sử f * dsP22   ( f ( z ))2 dzd z , với dsP22 metric ubini-Study P ,  ( f ( z ))   / z z log f ( z ) với f ( z )   fi , f  ( f0 , f1, f ) 2 2 i 0 Và ta có: T ( f , r)    r dt  ( t )  ( f ( z )) dxdy  t 2 r  2 log f (rei ) d  log f (0) Sử dụng công thức 2  2 1 r2  rei d  (0  r  1) ta nhận đƣợc T ( f , r )  C với C số hữu hạn 2.6 Tổng qt hóa nh l indelưf giải t ch hyperbolic Cho M khơng gian giải tích phức liên thơng, d M giả khoảng cách Kobayashi M A( M ) tập điểm không hyperbolic tức A(M )  { p  M ; q  M , q  p, d M ( p, q)  0} Ta có d M ( p, q) liên tục p q 2.6.1 Mệnh đề Cho đa tạp phức liên thông compact ánh xạ chỉnh h nh f :   M Ta định nghĩa tập chùm toàn cục f sau: C ( f )  { p  M ;  dãy {zn}n1  , zn  1, f ( zn )  p} Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 Nếu C ( f )  A(M )   , th f ánh xạ chỉnh h nh chuẩn t c Chứng minh Giả sử f không chu n tắc Lấy dsM2 metric hermit M Thì tồn dãy {Gn }n1  Aut  cho: ( f Gn ) * dsM2 / ds2 (0,  ) z (n  ) (1) Gn (0)  n   Đ t gn  f Gn p  M điểm tụ {gn (0)}n1  M Từ (1) ta có: g n* ( với M  ) z 0 z , (2) M độ dài sinh b i dsM2 Giả sử U lân cận đủ nhỏ p Sử dụng đánh giá Cauchy ta thấy có số nguyên dƣơng n số m đủ lớn để: g n (( ))  U   , m với (1/ m) đĩa bán kính / m Do tồn dãy {xm}m1  U cho xm  gn ((1/ m)) Ta thấy: d M ( g n (0), xm )  d  (0, )  (m  ) m B i tính liên tục d M ( p, q) , tồn điểm q U cho d M ( p, q)  , nhƣ p  A(M ) Mâu thuẫn, mệnh đề đƣợc chứng minh Tiếp theo ta trình bày dạng m rộng khác định lý Lindelöf 2.6.2 Định l Cho f ánh xạ chỉnh h nh t  tới khơng gian giải tích phức liên thơng Giả sử f có giá trị tiệm cận p0  M z0  dọc theo cung Jordan  f khơng có giới hạn góc p0 z0 Khi p0  A(M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Chứng minh Theo định lý Barth ta thấy d M sinh tôpô M  A(M ) Giả sử p0  A(M ) Lấy 2  lân cận U ứng với d M nằm M  A(M ) Theo định lý 2.5.2, tồn cung Jordan L  với điểm cuối z0 dãy  zn n1 hội  tụ đến z0 cho f có giá trị tiệm cận p0 dọc theo L thỏa mãn điều kiện f  zn  U d  zn , L    Cho un điểm L thỏa mãn d  zn , un    Khi dM  f ( zn ), p0   d M  f ( zn ), f (un )   d M  f (un ), p0  Với n đủ lớn ta có d M  f (un ), p0    M t khác dM  f ( zn ), f (un )   d  zn , un  Do d M  f ( zn ), p0    với n đủ lớn Mà d M  f ( zn ), p0   2 , nên ta có mâu thuẫn, định lý đƣợc chứng minh 2.6.3 Hệ Cho không gian phức hyperbolic f :   M ánh xạ chỉnh h nh Nếu f có giá trị tiệm cận p0  M điểm z0  dọc theo cung Jordan n m  , f có giới hạn góc p0 z0 K T UẬN Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 Nội dung luận văn trình bày ánh xạ chỉnh hình chu n tắc m rộng số định lý cổ điển lý thuyết hàm Các kết đạt đƣợc luận văn bao gồm: Trình bày số kiến thức chu n bị không gian phức hyperbolic lý thuyết Nevanlinna Trình bày số kết ánh xạ chỉnh hình chu n tắc Trình bày đánh giá hàm đ c trƣng lý thuyết Nevanlinna Trình bày kết tổng quát hóa định lý Picard lớn thác triển ánh xạ chỉnh hình Trình bày số kết tổng quát hóa định lý Lindel f giá trị tiệm cận hàm chỉnh hình bị ch n lý thuyết hyperbolic TÀI IỆU TH M KHẢO TI NG VIỆT Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 Phạm Vi t Đức (2005), đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, Nhà xuất Đại học sƣ phạm TI NG NH T J Barth (1972), The Kobayashi distance induces the standard topology, Proc, Amer Math Soc., 35, 439-411 H Fujimoto (1974), On families of meromorphic maps into the complex projective space, Nagoya Math J., 54, 21-25 K Funahashi (1984), Normal holomorphic mappings and classical theorems of function theory, Nagoya Math J 94, 89-104 M L Green (1977), Holomorphic maps to complex tori, Amer J Math, 100, 615-620 M L Green (1977), The hyperbolicity of the complement of 2n+1 hyperplanes in general position in Pn and related result, Proc Amer Math Soc., 16, 109-113 P Kiernan (1973), Hyperbolically imbedded space and the big Picard theorem, Math Ann., 204, 203-209 S Kobayashi (1970) Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings, Marcel Dekker, Inc., New York O Lehto and K I Virtanen (1957), Boundary behaviour and normal meromorphic funtions, Acta Math., 97, 47-65 10 R Nevanlinna (1970), Analytic functions, Springer-Verlag, New YorkHeidelberg-Berlin 11 K Noshiro (1960), Cluster sets, Ergerbniss der Math., Heft 28, Springer-Verlag, Berlin -Gưttinggen-Heidelberg Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn