ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2020 Tai ng[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu i Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Tôi xin cảm ơn Thầy hướng dẫn tận tình, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian b–metric 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian b-metric 1.2 Không gian b-metric mở rộng 12 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty 15 2.1 Định lý điểm bất động Geraghty cho ánh xạ không gian metric 15 2.2 Trường hợp không gian b-metric 17 2.3 Trường hợp không gian b-metric mở rộng 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học Những kết biết đến nguyên lý ánh xạ co Banach lớp không gian metric đầy đủ Về sau có nhiều tác giả mở rộng nguyên lý với điều kiện khác không gian ánh xạ Vào năm 1973, nhà toán học Michael A Geraghty chứng minh dạng định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ đặc biệt (thường gọi ánh xạ kiểu Geraghty), mở rộng tự nhiên nguyên lí ánh xạ co Banach Trong vài năm trở lại đây, số nhà Toán học nghiên cứu trường hợp định lý lớp không gian khác nhau, đồng thời mở rộng số kết A Geraghty Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất số định lý điểm bất động không gian b-metric, b-metric mở rộng, thực nghiên cứu luận văn với tên gọi là: "Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b-metric mở rộng" Các nghiên cứu luận văn chia thành chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, tơi trình bày lại số khái niệm, ví dụ không gian metric, b-metric, b-metric mở rộng; Các tính chất hội tụ, số tính chất khác khơng gian • Chương 2: Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty Đây phần trọng tâm luận văn, phần trước tiên giới thiệu định lý điểm bất động Geraghty nhà toán học Geraghty công bố vào năm 1973, xem định lý gốc, cổ điển để so sánh với kết công bố số năm gần nhà tốn học Sau chúng tơi giới thiệu số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty lớp không gian b-metric, tác giả, đặc biệt A.Aghajani, M.ABBAS, J.R Roshan ([1]) Hamid Faraji, Dragana Savic, Stojan Radenovic ([3]) công bố vào năm 2014, 2019 Đồng thời, giới thiệu số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty lớp không gian b-metric mở rộng, tác giả Vahid Parvaneh, Zoran Kadelburg, R J Shahkoohi, Hasan Hosseinzadeh ([5]) số tác giả khác công bố năm gần Tôi cố gắng chọn lọc xếp để nội dung luận văn ngắn gọn phù hợp hơn, thời gian khuôn khổ luận văn có hạn nên trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Chính vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến từ phía thầy giảng viên, nhà nghiên cứu anh chị học viên Cao học để luận văn hoàn thiện Trong q trình thực luận văn này, tơi ln nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo Hà Trần Phương Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo anh chị học viên lớp Cao học Toán K26B trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Phạm Thị Hải Châu Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm, đưa số ví dụ cụ thể tập trung nghiên cứu số tính chất khơng gian metric, không gian b-metric, không gian b-metric mở rộng, tham khảo từ tài liệu [2], [3], [5], [6], [7] để làm sở cho việc trình bày Chương 1.1 Không gian b–metric 1.1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 (Không gian metric) Cho X tập khác rỗng, X ta trang bị hàm số d:X ×X →R (x, y) 7→ d (x, y) thỏa mãn điều kiện sau: d (x, y) ≥ với x, y ∈ X ; d (x, y) = ⇔ x = y ; d (x, y) = d (y, x) với x, y ∈ X ; d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với x, y, z ∈ X Khi d gọi metric hay khoảng cách X Cặp (X, d) gọi không gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, d (x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y X Ví dụ 1.1.2 Cho X = R X = C, ta xác định metric X sau: d (x, y) = |x − y| với x, y ∈ X Theo định nghĩa trên, (X, d) không gian metric Định nghĩa 1.1.3 (Sự hội tụ không gian metric) Trong không gian metric (X, d), {xn } dãy phần tử X , ta nói {xn } hội tụ đến x0 ∈ X nếu: lim d (xn , x0 ) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x0 xn → x0 n → ∞ Phần tử x0 gọi n→∞ giới hạn dãy {xn } Giới hạn dãy có Nếu lim xn = a; lim yn = b lim d (xn , yn ) = d (x, y) Tức hàm n→∞ n→∞ n→∞ khoảng cách hàm số liên tục x y Định nghĩa 1.1.4 Giả sử (X, d) không gian metric Dãy {xn } phần tử X gọi dãy Cauchy (hay dãy ) nếu: lim d (xm , xn ) = m,n→∞ Nghĩa là, với ε > 0, tồn số n0 ∈ N∗ cho với m, n ≥ n0 ta ln có: d (xm , xn ) < ε Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric X gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy phần tử X hội tụ Định nghĩa 1.1.6 Giả sử (X, d) không gian metric, x0 ∈ X r > Tập B (x0 , r) = {x ∈ X : d (x0 , x) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính r Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian metric (X, d), T ánh xạ từ tập X vào Ánh xạ T gọi có điểm bất động tồn x0 ∈ X : T x0 = x0 Nếu X khơng gian metric đầy đủ điểm bất động Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ T từ khơng gian metric (X, d) vào gọi ánh xạ co tồn số α ∈ [0, 1) cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) , với x, y ∈ X Định lý 1.1.9 (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T co X , tồn α ∈ [0, 1) cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) với x, y ∈ X T có điểm bất động với x0 ∈ X bất kì, dãy {T n (x0 )} hội tụ đến điểm bất động 1.1.2 Không gian b-metric Định nghĩa 1.1.10 (Xem [3]) (Định nghĩa không gian b-metric) Giả sử X tập khác rỗng s ≥ số thực cho trước Hàm d : X × X → [0; +∞) gọi b-metric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: d (x, y) = ⇔ x = y ; d (x, y) = d (y, x); d (x, y) ≤ s [d (x, z) + d (z, y)] (bất đẳng thức tam giác) Khi đó, tập X với b-metric X gọi không gian b-metric với tham số s, nói gọn khơng gian b-metric kí hiệu (X, d) X Từ định nghĩa M (x, y) giới hạn trên, ta có: lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , i→∞ d (xmi , T xmi ) d (xmi , T xni −1 ) + d (xni −1 , T xni −1 ) d (xni −1 , T xmi ) , + s [d (xmi , T xmi ) + d (xni −1 , T xni −1 )] d (xmi , T xmi ) d (xmi , T xni −1 ) + d (xni −1 , T xni −1 ) d (xni −1 , T xmi ) } + d (xmi , T xni −1 ) + d (xni −1 , T xmi ) = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , i→∞ d (xmi , xmi +1 ) d (xmi , xni ) + d (xni −1 , xni ) d (xni −1 , xmi +1 ) , + s [d (xmi , xmi +1 ) + d (xni −1 , xni )] d (xmi , xmi +1 ) d (xmi , xni ) + d (xni −1 , xni ) d (xni −1 , xmi +1 ) } + d (xmi , xni ) + d (xni −1 , xmi +1 ) ≤ ε Từ (1.3) bất đẳng thức trên, ta có ε ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) s i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ i→∞ ≤ ε lim sup β (M (xmi , xni −1 )) , i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) Mà β ∈ B nên {xn } dãy Cauchy s i→∞ Vì X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến điểm u ∈ X suy Bước 3: Chứng minh u điểm bất động T Vì T liên tục nên ta có: u = lim xn+1 = lim T xn = T u n→∞ n→∞ Bây giả sử (II) thỏa mãn Dùng giả thiết X , ta có xn u Theo Bổ đề 1.1.15, d (u, T u) ≤ lim sup d (xn+1 , T u) s n→∞ ≤ lim sup β (M (xn , u)) lim sup M (xn , u) , n→∞ n→∞ 28 = 0, lim M (xn , u) = lim max{d (xn , u) , n→∞ n→∞ d (xn , T xn ) d (xn , T u) + d (u, T u) d (u, T xn ) , + s [d (xn , T xn ) + d (u, T u)] d (xn , T xn ) d (xn , T u) + d (u, T u) d (u, T xn ) } + d (xn , T u) + d (xn , T u) = max {0, 0} = Vậy d (u, T u) = nên u = T u Cuối cùng, giả sử tập điểm bất động T tập thứ tự tốt Ta chứng minh T có điểm bất động Thật vậy, giả sử ngược lại u v hai điểm bất động T cho u 6= v Do (1.3) nên ta có: d (u, v) = d (T u, T v) ≤ β (M (u, v)) M (u, v) = β (d (u, v)) d (u, v) < d (u, v) , s d (u, T u) d (u, T v) + d (v, T v) d (v, T u) , + s [d (u, T u) + d (v, T v)] d (u, T u) d (u, T v) + d (v, T v) d (v, T u) } + d (u, T v) + d (v, T u) = max{d (u, v) , 0, 0} M (u, v) = max{d (u, v) , = d (u, v) nên ta thu được: d (u, v) < d (u, v) s 29 Điều mâu thuẫn Vậy u = v điểm bất động T Ngược lại, T có điểm bất động tập điểm bất động T nên thứ tự tốt Định lý 2.2.5 (Xem [7]) Giả sử (X, ) tập thứ tự phần giả sử tồn b-metric d X cho (X, d) không gian b-metric đầy đủ (với tham số s > 1) Giả sử T : X → X ánh xạ tăng cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 T (x0 ) Giả sử T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại III Nếu T liên tục (I) {xn } dãy không giảm X cho xn → u ∈ X , ta có xn u (II) với n ∈ N, T có điểm bất động Hơn nữa, tập điểm bất động T thứ tự tốt T có điểm bất động Chứng minh Đặt xn = T n (x0 ) Bước 1: Ta lim d (xn , xn+1 ) = Từ xn xn+1 với n→∞ n ∈ N (1.4) ta có: d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ β (M (xn−1 , xn )) M (xn−1 , xn ) ≤ β (d (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn ) < d (xn−1 , xn ) s ≤ d (xn−1 , xn ) , M (xn−1 , xn ) = max{d (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , T xn−1 ) d (xn , T xn ) , + s [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , T xn ) + d (xn , T xn−1 )] d (xn−1 , T xn ) d (xn−1 , xn ) } + sd (xn−1 , T xn−1 ) + s3 [d (xn , T xn−1 ) + d (xn , T xn )] 30 = max{d (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , xn ) d (xn , xn+1 ) , + s [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )] d (xn−1 , xn+1 ) d (xn−1 , xn ) } + sd (xn−1 , xn ) + s3 [d (xn , xn ) + d (xn , xn+1 )] d (xn−1 , xn ) s [d (xn , xn−1 ) + d (xn−1 , xn+1 )] ≤ max{d (xn−1 , xn ) , } s [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )] = d (xn−1 , xn ) Do {d (xn , xn+1 )} dãy giảm Lập luận tương tự Định lý 2.2.3, ta được: lim d (xn−1 , xn ) = n→∞ Bước 2: Tiếp theo ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử ngược lại, {xn } không dãy Cauchy Khi đó, tồn ε > 0, ta tìm hai dãy {xmi } {xni } {xn } cho ni số nhỏ cho: ni > mi > i, d (xmi , xni ) ≥ ε Điều có nghĩa d (xmi , xni −1 ) < ε Lập luận tương tự Định lí 2.2.3, ta có ε ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) s i→∞ Từ định nghĩa M (x, y) giới hạn trên, ta có: lim sup M (xmi , xni −1 ) ≤ ε i→∞ Từ (1.4) bất đẳng thức trên, ta có ε ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) s i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ i→∞ ≤ ε lim sup β (M (xmi , xni −1 )) , i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) Mà β ∈ B nên {xn } dãy Cauchy s i→∞ Vì X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến điểm u ∈ X suy 31 Bước 3: Chứng minh u điểm bất động T Vì T liên tục nên ta có: u = lim xn+1 = lim T xn = T u n→∞ n→∞ Bây giả sử (II) thỏa mãn Dùng giả thiết X , ta có xn u Theo Bổ đề 1.1.15, d (u, T u) ≤ lim sup d (xn+1 , T u) s n→∞ ≤ lim sup β (M (xn , u)) lim sup M (xn , u) , n→∞ n→∞ = 0, lim M (xn , u) = lim max{d (xn , u) , n→∞ n→∞ d (xn , T xn ) d (u, T u) , + s [d (xn , u) + d (xn , T u) + d (u, T xn )] d (xn , T u) d (xn , u) } + sd (xn , T xn ) + s3 [d (u, T u) + d (u, T xn )] = max{(0, 0)} = Vậy d (u, T u) = nên u = T u Cuối cùng, giả sử tập điểm bất động T tập thứ tự tốt Ta chứng minh T có điểm bất động Thật vậy, giả sử ngược lại u v hai điểm bất động T cho u 6= v Do (1.4) lập luận tương tự Định lý 2.2.3, ta thu u = v điểm bất động T Ngược lại, T có điểm bất động tập điểm bất động T nên thứ tự tốt 2.3 Trường hợp không gian b-metric mở rộng Giả sử BΩ lớp hàm β : [0; ∞) → 0; Ω−1 (1) thỏa mãn điều kiện: 32 lim sup β(tn ) = Ω−1 (1) tức tn → n → ∞ n→∞ Định lý 2.3.1 (Xem [5]) Cho (X, d, ) không gian b-metric mở rộng, đầy đủ, thứ tự phần Cho T : X → X ánh xạ không giảm cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 T (x0 ) Giả sử T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại I Nếu (I) (II) T liên tục (X, d, ) có tính chất s.l.c, T có điểm bất động Hơn nữa, tập điểm bất động T thứ tự tốt T có điểm bất động Chứng minh Đặt xn = T n (x0 ) với n ≥ Từ x0 T (x0 ) T ánh xạ không giảm, phép quy nạp ta thu được: x0 T (x0 ) T (x0 ) T n (x0 ) T n+1 (x0 ) Nếu xn−1 = xn với n ∈ N điều hiển nhiên Chúng ta giả sử d (xn−1 , xn ) > với n ∈ N Ta thực chứng minh theo bước sau Bước 1: Ta lim d (xn , xn+1 ) = n→∞ Từ xn xn+1 với n ∈ N T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại I, ta có: d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ Ω (d (T xn−1 , T xn )) ≤ β (M (xn−1 , xn )) M (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , T xn−1 ) d (xn , T xn ) , + d (xn−1 , xn ) d (xn−1 , T xn−1 ) d (xn , T xn ) } + d (T xn−1 , T xn ) d (xn−1 , xn ) d (xn , xn+1 ) = max{d (xn−1 , xn ) , , + d (xn−1 , xn ) M (xn−1 , xn ) = max{d (xn−1 , xn ) , 33 (2.15) d (xn−1 , xn ) d (xn , xn+1 ) } + d (xn , xn+1 ) ≤ max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 )} Nếu max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 )} = d (xn , xn+1 ) từ (2.15), ta có d (xn , xn+1 ) ≤ β (d (xn , xn+1 )) d (xn , xn+1 ) < Ω−1 (1) d (xn , xn+1 ) < d (xn , xn+1 ) , điều mâu thuẫn Do đó, max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 )} = d (xn−1 , xn ) Khi từ (2.15), d (xn , xn+1 ) ≤ β (d (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn ) < d (xn−1 , xn ) (2.16) Khi {d (xn , xn+1 )} dãy giảm, tồn r ≥ cho lim d (xn , xn+1 ) = r n→∞ Ta chứng minh r = Giả sử ngược lại r > Từ (2.16) cho n → ∞, ta được: r ≤ lim β (d (xn−1 , xn )) r n→∞ Suy Ω−1 (1) ≤ ≤ lim β (d (xn−1 , xn )) Mà β ∈ BΩ nên n→∞ d (xn−1 , xn ) → r = (mâu thuẫn) Vậy lim d (xn−1 , xn ) = n→∞ (2.17) Bước 2: Tiếp theo ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử ngược lại, tồn ε > 0, ta tìm hai dãy {xmi } {xni } {xn } cho ni số nhỏ cho: ni > mi > i, d (xmi , xni ) ≥ ε Điều có nghĩa d (xmi , xni −1 ) < ε 34 (2.18) Từ (2.17) áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: ε ≤ d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xmi +1 ) + d (xmi +1 , xni )] Bằng cách lấy giới hạn trên, cho i → ∞, ta được: Ω−1 (ε) ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) i→∞ Từ định nghĩa M (x, y) giới hạn trên, ta có: lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ d (xmi , T xmi ) d (xni −1 , T xni −1 ) , + d (xmi , xni −1 ) i→∞ d (xmi , T xmi ) d (xni −1 , T xni −1 ) } + d (T xmi , T xni −1 ) d (xmi , xmi +1 ) d (xni −1 , xni ) = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , , + d (xmi , xni −1 ) i→∞ d (xmi , xmi +1 ) d (xni −1 , xni ) } + d (xmi +1 , xni ) ≤ ε = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , Từ (1.6) bất đẳng thức trên, ta có −1 ε = Ω Ω (ε) ≤ Ω lim sup d (xmi +1 , xni ) i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ i→∞ ≤ ε lim sup β (M (xmi , xni −1 )) i→∞ Suy Ω−1 (1) ≤ ≤ lim sup β (d (xmi , xni −1 )) Mà β ∈ BΩ nên i→∞ d (xmi , xni −1 ) → Vì d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xni −1 ) + d (xni −1 , xni )] → 0, mâu thuẫn với (2.18) Do {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến điểm u ∈ X Bước 3: Chứng minh u điểm bất động T Vì T liên tục nên ta có 35 u = lim xn+1 = lim T xn = T u n→∞ n→∞ Bây giả sử (II) thỏa mãn Dùng giả thiết X , ta có xn u Theo Bổ đề 1.2.3, Ω−1 [d (u, T u)] ≤ lim sup d (xn+1 , T u) n→∞ ≤ lim sup β (d (xn , u)) lim sup M (xn , u) , n→∞ n→∞ d (xn , T xn ) d (u, T u) , n→∞ + d (xn , u) d (xn , T xn ) d (u, T u) } + d (T xn , T u) = lim M (xn , u) = lim max{d (xn , u) , n→∞ Vậy d (u, T u) = nên u = T u Cuối cùng, ta chứng minh T có điểm bất động Thật vậy, giả sử ngược lại u v hai điểm bất động T cho u 6= v Do giả sử u v (1.6) nên ta có: d (u, v) = d (T u, T v) ≤ β (M (u, v)) M (u, v) < Ω−1 (1) M (u, v) Trong d (u, u) d (v, v) M (u, v) = max d (u, v) , + d (u, v) ta thu = d (u, v) , d (u, v) < Ω−1 d (u, v) Điều mâu thuẫn Vậy u = v điểm bất động T Ngược lại, T có điểm bất động tập điểm bất động T nên thứ tự tốt Định lý 2.3.2 (Xem [5]) Cho (X, d, ) không gian b-metric mở rộng, đầy đủ, thứ tự phần Giả sử T : X → X ánh xạ không giảm cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 T (x0 ) Giả sử T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại II Nếu 36 T liên tục (I) (II) (X, d, ) có tính chất s.l.c, T có điểm bất động Hơn nữa, tập điểm bất động T thứ tự tốt T có điểm bất động Chứng minh Lập luận tương tự Định lý 2.2.4 định lý Định lý 2.3.3 (Xem [5]) Cho (X, d, ) không gian b-metric mở rộng, đầy đủ, thứ tự phần Giả sử T : X → X ánh xạ không giảm cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 T (x0 ) Giả sử T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại III Nếu T liên tục (I) (II) (X, d, ) có tính chất s.l.c, T có điểm bất động Hơn nữa, tập điểm bất động T thứ tự tốt T có điểm bất động Chứng minh Đặt xn = T n (x0 ) Bước Ta lim d (xn , xn+1 ) = Từ xn xn+1 với n→∞ n ∈ N từ (1.8), ta có d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ Ω (d (T xn−1 , T xn )) ≤ β (M (xn−1 , xn )) M (xn−1 , xn ) ≤ β (d (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn ) < Ω−1 (1) d (xn−1 , xn ) ≤ d (xn−1 , xn ) , M (xn−1 , xn ) d (xn−1 , T xn−1 ) d (xn , T xn ) , + Ω [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , T xn ) + d (xn , T xn−1 )] d (xn−1 , T xn ) d (xn−1 , xn ) } + Ω (d (xn−1 , T xn−1 )) + Ω3 [d (xn , T xn−1 ) + d (xn , T xn )] = max{d (xn−1 , xn ) , 37 d (xn−1 , xn ) d (xn , xn+1 ) , + Ω [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )] d (xn−1 , xn+1 ) d (xn−1 , xn ) } + Ω (d (xn−1 , xn )) + Ω3 [d (xn , xn ) + d (xn , xn+1 )] d (xn−1 , xn ) [d (xn , xn−1 ) + d (xn−1 , xn+1 )] ≤ max{d (xn−1 , xn ) , Ω [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )] = d (xn−1 , xn ) = max{d (xn−1 , xn ) , Khi {d (xn , xn+1 )} dãy giảm Chứng minh tương tự Định lí 2.3.1, ta có: lim d (xn−1 , xn ) = n→∞ (2.19) Bước 2: Tiếp theo ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử ngược lại, tồn ε > 0, ta cần tìm hai dãy {xmi } {xni } {xn } cho ni số nhỏ cho ni > mi > i, d (xmi , xni ) ≥ ε (2.20) Điều có nghĩa d (xmi , xni −1 ) < ε (2.21) Từ (2.20) áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: ε ≤ d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xmi +1 ) + d (xmi +1 , xni )] Bằng cách lấy giới hạn trên, cho i → ∞, ta được: Ω−1 (ε) ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) i→∞ Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xni −1 ) + d (xni −1 , xni )] Trong bất đẳng thức cho i → ∞ sử dụng (2.19) (2.21), ta lim sup d (xmi , xni ) ≤ Ω (ε) i→∞ Lại dùng bất đẳng thức tam giác, ta có 38 (2.22) d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xmi +1 ) + Ω [d (xmi +1 , xni −1 ) + d (xni −1 , xni )]] Cho i → ∞ bất đẳng thức dùng (2.21), ta thu −1 lim sup d (xmi +1 , xni −1 ) ≥ Ω2 (ε) i→∞ Từ định nghĩa M (x, y) giới hạn trên, ta có: lim supM (xmi , xni −1 ) i→∞ = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , i→∞ d (xmi , T xmi ) d (xni −1 , T xni −1 ) , + Ω [d (xmi , xni −1 ) + d (xmi , T xni −1 ) + d (xni −1 , T xmi )] d (xmi , T xni −1 ) d (xmi , xni −1 ) } + Ω (d (xmi , T xmi )) + Ω3 [d (xni −1 , T xmi ) + d (xni −1 , T xni −1 )] = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , i→∞ d (xmi , xmi +1 ) d (xni −1 , xni ) , + Ω [d (xmi , xni −1 ) + d (xmi , xni ) + d (xni −1 , xmi +1 )] d (xmi , xni ) d (xmi , xni −1 ) } + Ω (d (xmi , xmi +1 )) + Ω3 [d (xni −1 , xmi +1 ) + d (xni −1 , xni )] ≤ ε Từ (1.8) bất đẳng thức trên, ta có −1 ε = Ω Ω (ε) ≤ Ω lim sup d (xmi +1 , xni ) i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ i→∞ ≤ ε lim sup β (M (xmi , xni −1 )) i→∞ Suy Ω−1 (1) ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) Mà β ∈ BΩ nên {xn } dãy i→∞ Cauchy Vì X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến điểm u ∈ X Tiếp theo lập luận tương tự Định lí 2.3.1 39 Kết luận Với mục đích tìm hiểu, nghiên cứu số vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất số định lý điểm bất động không gian b-metric, bmetric mở rộng, luận văn này, chúng tơi trình bày số kết sau: Giới thiệu số kiến thức không gian metric, b-metric, b-metric mở rộng giới thiệu số ví dụ minh họa Nhắc lại số tính chất không gian metric, b-metric, b-metric mở rộng thông qua định lí, mệnh đề, hệ Giới thiệu trình bày chứng minh số định lí điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b-metric, b-metric mở rộng Cụ thể, kết điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b-metric Định lý 2.2.1, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 không gian b-metric mở rộng Định lý 2.3.1, 2.3.3, 2.3.4 Trong thời gian tiếp theo, tiếp tục nghiên cứu số dạng khác định lý điểm bất động kiểu Geraghty không gian khác để mở rộng số kết cho luận văn 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Aghajani, A., ABBAS, M., Roshan, J R., (2014), Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b-metric spaces, Math Slovaca, Vol 64: Issue 4, 941–960 [2] Czerwik, S., (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostraviensis., 5–11 [3] Faraji, H., Savíc, D., Radenovic, S., (2019), Fixed point Theorems for Geraghty Contraction Type Mappings in b-Metric Spaces and Applications, axioms 2019, 8, 34, MDPI, 1–12 [4] Geraghty, M A., (1973), On contractive mappings, Froceedings of the American mathematical Society, Vol 40, 604–608 [5] Parvaneh, V., Kadelburg, Z., Shahkoohi, R J., Hosseinzadeh, H., (2018), Fixed point results for generalized rational geraghty contractive mappings in extended b–metric spaces, Cogent mathematics and statistics, https://doi.org/10.1080/25742558.2018.1511238, 1–17 [6] Subashi, L., (2017), Some topological properties of extended bmetric space, Department of Mathematics, Faculty of Natural Sciences, https://www.researchgate.net/publication/318930713, 1–6 [7] Shahkoohi, R J., Razani, A., (2014), Some fixed point theorems for rational Geraghty contractive mappings in ordered b–metric spaces, J Inequal Appl 2014, 373 (2014), Springer 41 [8] Zabihi, F., and Razani, A., (2014), Fixed point theorems for hybrid rational Geraghty contractive mappings in ordered b-metric spaces, J.Appl Math., pages 42