Một số định lý điểm bất động

Đại học tháI nguyên Trường đại học sư phạm Trương thị hải yến Một số định lý điểm bất động Chuyên ngành : Giải tích Mà số : 60.46.01 Luận văn thạc sü to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: PGS.TS TRƯƠNG XUN C H Thái Nguyên - 2008 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Lời nói đầu………………………………………………………………… Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị…………………………………… 1.1.Tính compact tính đầy đủ…………………………………………… 1.2 Tính bị chặn tính liên tục hàm số…………………………………5 1.3 Tập thứ tự…………………………………………………………….5 1.4 Không gian điểm bất động……………………………………………….6 1.5 Tạo không gian điểm bất động từ không gian cũ……………………9 Chương 2: Một số định lí tồn điểm bất động khơng gian đầy đủ ứng dụng định lí Banach………………………………………… 12 2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach……………………………………………12 2.2 Miền bất biến sở…………………………………………………… 15 2.3 Phương pháp liên tục cho ánh xạ co…………………………………….17 2.4 Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co…………………………………….20 2.5 Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach………………………………… 23 2.6 Ánh xạ không giãn không gian Hilbert………………………… 28 2.7 Ứng dụng ngun lí Banach cho phương trình tích phân……………….36 Chương 3: M ột số định lí tồn điểm bất động khơng gian có thứ tự .39 3.1 Định lí Knaster - Tarski……………………………………………… 39 3.2 Tính thứ tự tính đầy đủ Định lí Bishop - Phelps…………………….42 3.3 Điểm bất động ánh xạ co đa trị…………………………………… 45 3.4 Ứng dụng vào nghiên cứu hình học không gian Banach………… 47 3.5 Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn……………………………… 48 Chương 4: Một số định lí tồn điểm bất động dựa tính lồi………51 4.1 Nguyên lí ánh xạ KKM ………………….…………………………… 51 4.2 Định lí von Newmann hệ bất đẳng thức……………………… 56 4.3 Điểm bất động ánh xạ Affine Định lí Markoff – Kakutani……… 60 Kết luận…………………………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Cho C tập không gian X , F ánh xạ từ C vào X Phải đặt điều kiện C , X F để khẳng định tồn điểm x0 C cho Fx0 = x0 ? Điểm x0 gọi điểm bất động ánh xạ F Lý thuyết điểm bất động nhánh Tốn học, có nhiều ứng dụng lí thuyết tối ưu, lí thuyết trị chơi, bao hàm thức vi phân nhiều nghiên cứu Vật lí Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến ngun lí điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lí ánh xạ co Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Mục đích luận văn trình bày cách chi tiết số định lí điểm bất động tài liệu A.Granas, J.Dugundji Fixed point Theory Springer – Verlag NewYork, 2003 Chúng hạn chế việc giới thiệu kết dựa tính đầy đủ, tính thứ tự khơng gian tính lồi Bố cục luận văn gồm chương với nội dung sau đây: Chương Nhắc lại số kiến thức chuẩn bị làm sở để theo dõi luận văn Chương Nghiên cứu tồn điểm bất động dựa tính đầy đủ khơng gian Ngun lí ánh xạ co Banach, mở rộng ứng dụng Chương Trình bày tồn điểm bất động khơng gian có thứ tự Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch Xét mối liên hệ khái niệm thứ tự tính đầy đủ ta thu Định lí Bishop – Phelps, Định lí điểm bất động Carsti, Định lí Ekeland Trong chương cịn trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bày điểm bất động ánh xạ co đa trị, đồng thời xét vài ứng dụng vào nghiên cứu hình học khơng gian Banach, vào nghiên cứu điểm tới hạn Chương Nghiên cứu tồn điểm bất động dựa tính lồi cụ thể dựa Nguyên lí ánh xạ KKM Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình PGS.TS Trương Xuân Đức Hà , tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến cô Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phản biện đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn tác giả; thầy giáo Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; thầy cô giáo Viện Tốn học tồn thể bạn bè đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả hoàn thành luận văn Do thời gian kinh nghiệm nhiều hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý từ thầy bạn Tác giả xin chân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2008 Học viên Trương Thị Hải Yến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương ta nhắc lại số khái niệm số định lí quan trọng dùng luận văn ([1] , [ 2] , [ 4] , [5]) 1.1 Tính compact tính đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian mêtric với mêtric d Một dãy { xn } X gọi dãy Cauchy lim d ( xn , xm ) = , tức với n , m→∞ ε > , tồn n0 cho với n, m > n0 ta có d ( xn , xm ) < ε Định nghĩa 1.1.2 Không gian mêtric X gọi đầy đủ (hay đầy) dãy Cauchy hội tụ Ví dụ:  n khơng gian mêtric đầy đủ với khoảng cách Euclid Định nghĩa 1.1.3 Tập A không gian mêtric X gọi tập compact với dãy { xn } A , tồn dãy {xnk } hội tụ đến phần tử A Tập A gọi compact tương đối bao đóng A A X compact Ví dụ: Mọi tập đóng bị chặn  n tập compact t Định nghĩa 1.1.4 Cho X Y hai không gian Banach Toán T : D(T ) ⊆ X → Y gọi toán tử compact T liên tục T biến tập bị chặn thành tập compact tương đối Định lí 1.1.5 (Nguyên lí Cantor) Trong khơng gian mêtric đầy đủ dãy hình cầu đóng thắt dần có điểm chung Ta nhắc lại, dãy hình cầu {Bn } (với dãy bán kính tương ứng {rn } ) gọi thắt dần Bn+1 ⊆ Bn , với n ≥ lim rn = n→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 1.1.6 (Định lí điểm bất động Schauder) Cho M tập không rỗng, lồi, đóng, bị chặn khơng gian Banach X , giả sử T : M → M toán tử compact Khi đó, T có điểm bất động 1.2 Tính bị chặn tính liên tục hàm số Cho X không gian mêtric Giả sử ∅ ≠ A ⊂ X , f : A →  x0 ∈ A Định nghĩa 1.2.1 Hàm f bị chặn A tồn h ∈  : f ( x) ≥ h với x ∈ A Hàm f bị chặn trên A tồn h ∈  : f ( x) ≤ h với x ∈ A Định nghĩa 1.2.2 Hàm f nửa liên tục x0 ∈ A với ε > , tồn δ > cho f ( x0 ) − f ( x) < ε với x ∈ B ( x0 , δ ) , tức lim inf f ( x) ≥ f ( x0 ) Trong đó, lim inf f ( x= ) inf {u : ∃( xn ) → x0 , f ( xn ) → u} x → x0 x → x0 Nếu f nửa liên tục điểm x ∈ A f gọi nửa liên tục A Hàm f gọi nửa liên tục trên A hàm − f nửa liên tục A 1.3 Tập thứ tự Định nghĩa 1.3.1 Tập X với quan hệ ° thoả mãn i) x ° x với x ∈ X (tính phản xạ) ii) x ° y , y ° x kéo theo x = y (tính phản đối xứng) iii) x ° y , y ° z kéo theo x ° z (tính bắc cầu) gọi tập thứ tự phận với quan hệ thứ tự “ ° ” Định nghĩa 1.3.2 Tập A ⊂ X gọi tập thứ tự tuyến tính (hay xích) với x, y ∈ A x ° y y ° x Giả sử X tập thứ tự với quan hệ thứ tự ° A tập khác rỗng X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3.3 Một phần tử a ∈ X gọi phần tử cực đại X quan hệ a ° x kéo theo x = a , với x ∈ X Một phần tử a ∈ X gọi phần tử cực tiểu X quan hệ x ° a kéo theo x = a , với x ∈ X Định nghĩa 1.3.4 Phần tử a ∈ X gọi cận tập A x ° a với x ∈ A Nếu a ∈ A a cận A a gọi phần tử lớn A kí hiệu max A Phần tử a ∈ X gọi cận tập A a ° x với x ∈ A Nếu a ∈ A a cận A a gọi phần tử nhỏ A kí hiệu A Định nghĩa 1.3.5 Phần tử a ∈ X gọi supremum A (hay cận A ) phần tử nhỏ (nếu có) tập hợp cận A , kí hiệu supA Phần tử a ∈ X gọi infimum A (hay cận A ) phần tử lớn (nếu có) tập hợp cận A , kí hiệu inf A Định nghĩa 1.3.6 Tập hợp A gọi bị chặn có cận Tập hợp A gọi bị chặn có cận Tập hợp A gọi bị chặn bị chặn bị chặn Bổ đề 1.3.7 (Bổ đề Zorn) Giả sử X ≠ ∅ tập thứ tự phận Nếu xích X có cận X có phần tử cực đại 1.4 Không gian điểm bất động Định nghĩa 1.4.1 Cho X không gian tôpô (Hausdorff ) f ánh xạ liên tục X, tập X , vào X Một điểm x ∈ X gọi điểm bất động f x = f ( x) Tập tất điểm bất động f ký hiệu Fix( f ) Người ta thấy định nghĩa này, dạng điển hình định lí tồn giải tích Ví dụ: tìm nghiệm phương trình P( z ) = , P đa thức phức, tương đương với việc tìm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điểm bất động ánh xạ z  z − P( z ) Tổng quát hơn, D toán tử tập khơng gian tuyến tính, việc phương trình Du = (tương ứng u  λ Du = ) có nghiệm tương đương với việc ánh xạ u  u − Du (tương ứng u  λ Du ) có điểm bất động Như vậy, điều kiện lên toán tử hay miền xác định định nghĩa để đảm bảo tồn điểm bất động diễn giải định lí tồn giải tích Cho không gian X ánh xạ liên tục f : X → X Sự tồn điểm bất động f phụ thuộc hồn tồn vào tính chất khơng gian X , vào tính chất ánh xạ f Định nghĩa 1.4.2 Một không gian tôpô (Hausdorff ) X gọi không gian điểm bất động ánh xạ liên tục f : X → X có điểm bất động Ví dụ 1.4.3 = J  a, b  ⊂  không gian điểm (i) Một khoảng đóng bị chặn bất động Thật vậy, cho f : J → J ta có a − f (a) ≤ b − f (b) ≥ , theo định lý giá trị trung bình phương trình x − f ( x) = có nghiệm J, f có điểm bất động (ii) Tập số thực  không khơng gian điểm bất động, ánh xạ x  x + khơng có điểm bất động Trong trường hợp tổng quát, khó để kiểm định khơng gian có khơng gian điểm bất động hay khơng, kết thuộc loại thường có nhiều hệ tơpơ quan trọng Một ví dụ định lí điểm bất động Brouwer rằng: Mọi tập compact lồi  n không gian điểm bất động Tính chất khơng gian điểm bất động bất biến tôpô: X không gian điểm bất động h : X → Y đồng phơi với ánh xạ liên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tục g : Y → Y , ánh ạx h−1  g  h : X → X có điểm bất động x0 nên g  h( x0 ) = h( x0 ) h( x0 ) điểm bất động g Ví dụ 1.4.4 Đồ thị hàm liên tục f :  a, b  →  , cho  1  x sin   f ( x) =   x   < x ≤1 x =0 đồng phôi vào [ a, b ] , khơng gian điểm bất động Nếu X không không gian điểm bất động, số ánh xạ với tính chất tốt có điểm bất động Để hợp thức hoá khái niệm này, mở rộng phát biểu Định nghĩa 1.4.2: Định nghĩa 1.4.5 Cho X không gian tôpô (Hausdorff ) M lớp ánh xạ liên tục f : X → X Nếu f ∈ M có điểm bất động X gọi không gian điểm bất động tương ứng với M Chẳng hạn, nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng: Mọi không gian mêtric đầy đủ không gian điểm bất động ánh xạ co Khái niệm đặc biệt quan trọng M lớp ánh xạ compact, nghĩa ánh xạ liên tục f : X → X với bao đóng f ( X ) f ( X ) compact, ánh xạ thuộc loại xuất cách tự nhiên vấn đề giải tích phi tuyến Ví dụ 1.4.6 (i) Ta biết  không không gian điểm bất động Trong thực tế,  không gian điểm bất động tương ứng với lớp ánh xạ compact Nếu ánh xạ f :  →  compact f ( ) chứa đoạn hữu hạn  a, b  đó; tự ánh xạ f :  a, b  →  a, b  có điểm bất động Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng giải tích khẳng định rằng: Mọi tập lồi không gian tuyến tính định chuẩn khơng gian điểm bất động ánh xạ compact Do ảnh liên tục tập compact tập compact, sử dụng kỹ thuật tương tự để tính chất khơng gian điểm bất động bất biến tôpô Chẳng hạn, tập mở ( a, b ) ⊂  , đồ thị sin   , < x < , không gian điểm bất động  x ánh xạ compact 1.5 Tạo không gian điểm bất động từ không gian cũ Nói chung, khơng gian khơng gian điểm bất động không thiết không gian điểm bất động: chẳng hạn {a, b} ⊂  a, b  khơng có tính chất điểm bất động Tuy nhiên, số khơng gian thừa kế tính chất điểm bất động Định nghĩa 1.5.1 Một tập A ⊂ X gọi tập co rút X có ánh xạ liên tục r : X → A cho r (a ) = a với a ∈ A ; ánh xạ r gọi ánh xạ co rút X đến A Ta lưu ý tập co rút không gian Hausdorff thiết tập đóng, A = Chẳng hạn, x : r ( x) {= E id ( x)} , id (.) ánh xạ đồng ộmt không gian định chuẩn Kñ = { x ∈ E : x ≤ đ} hình cầu đóng E có tâm O bán kính đ , r : E → Kñ cho  y r ( y) =  y ñ y  y ≤ñ y >ñ (1.1) ánh xạ co rút chuẩn tắc từ E đến Kđ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG DỰA TRÊN TÍNH LỒI Chương nghiên cứu tồn điểm bất động dựa tính lồi, cụ thể dựa Nguyên lí ánh xạ KKM ([ 4]) 4.1 Nguyên lý ánh xạ KKM Đầu tiên ta nhắc lại số định nghĩa liên quan đến ánh xạ đa trị: Cho X Y hai tập; t ập tất tập X kí hiệu X Ánh xạ S : X → 2Y gọi ánh xạ đa trị Các tập Sx giá trị S Kí hiệu G = S {( x, y ) ∈ X × Y : y ∈ Sx} đồ thị S S ( X ) =  Sx ảnh x∈X S Ánh xạ ngược ánh xạ S ánh xạ S −1 : Y → X xác định y  S −1 y = { x ∈ X : y ∈ Sx} Các giá trị S −1 gọi thớ S Ánh xạ đối ngẫu ánh xạ S ánh xạ S * : Y → X xác định y  S * y = X \ S −1 y Các giá trị S * gọi đối thớ S Ta thấy, S toàn ánh (tức S ( X ) = Y ) thớ S −1 y không rỗng Điểm bất động ánh xạ đa trị S : X → X điểm x0 ∈ X thoả mãn x0 ∈ Sx0 Dễ thấy, S có điểm bất động S −1 có điểm bất động Xét không gian véc tơ tôpô (Hausdorff) E (trên trường  ) A ⊂ E , ta thường kí hiệu bao lồi A convA [ A] Cho số tự nhiên n ∈  bất kì, ta viết [ n ] = {i ∈  :1 ≤ i ≤ n} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 4.1.1 Cho E m ột không gian véc tơ tôpô (Hausdorff ) X ⊂ E tập tuỳ ý Một ánh xạ đa trị G : X → E gọi ánh xạ Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz (gọi tắt ánh xạ KKM) tính chất = ⊂ G ( A) [ A] conv { x1,, xs } = s  Gx i i =1 thoả mãn với tập hữu hạn A = { x1 ,, xs } X Ta nói G ánh xạ KKM mạnh (i) x ∈ Gx với x ∈ X (ii) Các đối thớ G * y G lồi Bổ đề 4.1.2 Cho E không gian véc tơ tôpô (Hausdorff ), C ⊂ E lồi G : C → E ánh xạ KKM mạnh Khi G ánh xạ KKM { x1,, xs } ⊂ C Chứng minh Đặt A = giả sử y0 ∈ [ A] s Ta phải chứng minh y0 ∈  Gxi Thật vậy, theo giả thiết G ánh xạ i =1 KKM mạnh nên y0 ∈ Gy0 với y0 ∈ [ A] y0 ∉ G * y0 , [ A] ⊄ G* y0 Ta có G ánh xạ KKM mạnh nên tập G * y0 lồi, tồn điểm xi A cho xi ∉ G * y0 suy xi ∈ G −1 y0 , điều có nghĩa s s i =1 i =1 y0 ∈ Gxi , y0 ∈  Gxi Như vậy, [ A] ⊂  Gxi □ Bổ đề 4.1.3 Cho E không gian véc tơ tôpô (Hausdorff ) C ⊂ E tập lồi không rỗng Giả sử G : C → 2C ánh ạx đa trị cho G * : C → 2C không ánh xạ KKM Khi (i) Tồn điểm W ∈ C thoả mãn W ∈ conv(GW ) , (ii) Nếu G có giá trị lồi G có điểm bất động Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh (i) Vì G * không ánh xạ KKM n ên tồn điểm W ∈ conv { x1 ,, xn } với x1 ,, xn ∈ C thoả mãn * -1 ∈ C \ G = xi C \  ( C \ G= xi ) n W n =i =i n G −1 xi , =i suy xi ∈ GW với i ∈ [ n ] , conv = { xi : i 1,2 , n} ⊂ conv(GW ) Ta có W ∈ conv { x1 ,, xn } , W ∈ conv(GW ) (ii) Từ G có giá trị lồi ta có GW lồi, conv(GW ) lồi Theo (i), W ∈ conv(GW ) W ∈ GW □ Trước đưa số ví dụ ánh xạ KKM, ta nhắc lại số định nghĩa: Cho E không gian véc tơ tôpô (Hausdorff), C ⊂ E tập lồi Hàm ϕ : C →  gọi lồi ϕ ( tx + (1 − t ) y ) ≤ tϕ ( x) + (1 − t )ϕ ( y ) với t ∈ [ 0,1] x, y ∈ C Tổng cực đại hai hàm lồi lồi Một hàm y : C →  gọi lõm −y lồi Một hàm ϕ : C →  gọi tựa lồi { y ∈ C : ϕ ( y ) < λ} lồi với λ ∈  Hàm y : C →  gọi tựa lõm −y tựa lồi Ta thấy hàm lồi tựa lồi Ví dụ 4.1.4 Cho X , Y hai tập lồi hai không gian véc tơ tôpô (Hausdorff ) EX EY Giả sử f : X × Y →  hàm lõm - lồi (tức là, x  f ( x, y ) lõm với y ∈ Y y  f ( x, y ) lồi với x ∈ X ) Khi ánh xạ G : X × Y → X ×Y xác định G ( x,= y) {( x′, y′) ∈ EX × EY : f ( x, y′) − f ( x′, y ) ≤ 0} ánh xạ KKM mạnh Thật vậy, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i) ( x, y ) ∈ G ( x, y ) với ( x, y ) ∈ X × Y , ii) Ta có ( x, y )  f ( x, y′) − f ( x′, y ) lõm nên đối thớ G ′) G * ( x′, y= {( x, y ) ∈ X × Y : f ( x, y′) − f ( x′, y ) > 0} □ lồi Do đó, Gx ánh xạ KKM mạnh Ví dụ 4.1.5 Cho C tập lồi không gian véc tơ tôpô (Hausdorff ) E g : C × C →  hàm thoả mãn a) g ( x, x) ≤ với x ∈ C , b) x  g ( x, y ) tựa lõm C với y ∈ C Khi ánh xạ G : C → 2C cho x  Gx = { y ∈ C : g ( x, y ) ≤ 0} ánh xạ KKM mạnh Thật vậy, i) x ∈ Gx với x ∈ C , g ( x, x) = với x ∈ C , ii) Ta có x  g ( x, y ) tựa lõm C với y ∈ C nên đối thớ G G* y = { x ∈ C : g ( x, y) > 0} lồi Như vậy, Gx ánh xạ KKM mạnh □ Cho E không gian véc tơ tôpô (Hausdorff) Một tập A E gọi đóng hữu hạn giao với khơng gian hữu hạn chiều L ⊂ E đóng khơng gian tơpơ Euclid c L Ta nhắc lại rằng: Một họ { Aλ : λ ∈ Λ} tập tập gọi có tính chất giao hữu hạn giao họ hữu hạn khơng rỗng Định lí 4.1.6 (Ngun lý ánh xạ KKM ) Cho X ⊂ E G : X → E ánh xạ KKM có giá trị đóng , lồi, hữu hạn Khi họ {Gx} x∈X có tính chất giao hữu hạn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử A = { x1 ,, xn } tập hữu hạn phần tử n X Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh [ A]   Gxi ≠ ∅ (4.1) i =1 Nếu A tập có phần tử x X mệnh đề x ∈ Gx với x ∈ X Giả sử mệnh đề với tập A chứa ( n − ) phần tử Ta mệnh đề với tập A chứa n phần tử: theo giả thiết quy nạp,  Gx j j ≠i   A \ { xi } ≠ ∅ nên với i ∈ [ n ] , ta chọn phần tử yi tập  Gx j j ≠i xét ật p compact lồi Y =   A \ { xi } ; [ y1,, yn ] ⊂ [ A] Để chứng minh (4.1), ta phải chứng minh n  Gx  Y ≠ ∅ i i =1 Giả sử n  Gx  Y = ∅ Ta xét không gian hữu hạn chiều i L sinh A , i =1 giả sử d khoảng cách Euclid L Lưu ý Gxi  L đóng L nên ta có d ( x, Gxi  Y ) = x ∈ Gxi  Y Với j ∈ [ n ] , ϕ j : Y →  xác định ϕ j ( y ) = d ( y, Gx j  Y ) Lưu ý với ϕj lồi liên tục, hàm ϕ :Y →  cho ởib ϕ ( y ) = max {ϕ1 ( y ),,ϕn ( y )} với y ∈ Y lồi liên tục Vì ϕ hàm liên tục tập compact nên tồn y ∈ Y điểm mà ϕ đạt cực tiểu Từ điều giả định n  Gx  Y = ∅ i ta phải có ϕ ( y ) > ϕ ( y ) = i =1 n ∅ , điều vơ lí Vì G ánh ϕ1 ( y= )  = ϕn ( y= ) suy y ∈  Gxn  Y = i =1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n xạ KKM nên Y ⊂ [ A] ⊂  Gxi y thuộc vào tập Gxi , i =1 giả sử Gxn Ta ước lượng hàm ϕi điểm zt = t y + (1 − t ) yn đoạn  y, yn  ⊂ Y   nên ϕn ( y ) d= Trước tiên, cho i = n , y ∈ Gxn  Y= ( y, Gxn  Y ) Ta có ϕn ( z= ϕn (t y + (1 − t ) yn ) ≤ tϕn ( y ) + (1 − t )ϕn ( yn ) ≤ (1 − t )ϕn ( yn ) t) Khi t → ta thấy ϕn ( zt ) → cho t0 đủ gần ta ϕn ( zt ) < ϕ ( y ) (4.2) Hơn nữa, cho i ∈ [ n − 1] , ϕi ( yn ) = nên ϕi ( zt ) ≤ t0ϕi ( y ) + (1 − t0 )ϕi ( yn ) < ϕ ( y ) (4.3) { } Từ (4.2) (4.3), ta có = ϕ ( zt0 ) max ϕi ( zt0 ) : i ∈ [ n ] < ϕ ( y ) với zt0 ∈  y, yn  , mâu thuẫn với ϕ ( y ) cực tiểu Vậy n □  Gx  Y ≠ ∅ i i =1 Định lí 4.1.7 (Dạng hình học ngun lý KKM) Cho E khơng gian tơpơ tuyến tính (Hausdorff ), X ⊂ E G : X → E ánh xạ KKM có giá trị lồi, đóng cho Gx0 compact với x0 ∈ X Khi giao  {Gx : x ∈ X } khơng rỗng 4.2 Định lí von Newmann hệ bất đẳng thức Ngay sau đưa ứng dụng nguyên lý ánh xạ KKM thường xuất lý thuyết trị chơi Tốn kinh tế Định lí 4.2.1 (von Newmann) Cho X Y hai tập không rỗng, lồi, compact hai khơng gian tơpơ tuyến tính (Hausdorff ) EX EY Giả sử f : X × Y →  hàm thực thoả mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) x  f ( x, y ) lõm nửa liên tục với y ∈ Y , (ii) y  f ( x, y ) lồi nửa liên tục với x ∈ X Khi (A) Có điểm ( x0 , y0 ) ∈ X × Y cho f ( x, y0 ) ≤ f ( x0 , y ) với ( x, y ) ∈ X × Y Điểm ( x0 , y0 ) gọi điểm yên ngựa f (B) max f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) = max f ( x, y ) x∈X y∈Y y∈Y x∈X Chứng minh (A) Theo Ví dụ 4.1.4, ánh xạ G : X × Y → X ×Y xác định {( x′, y′) ∈ EX × EY : f ( x, y′) − f ( x′, y ) ≤ 0} G ( x,= y) ánh xạ KKM mạnh hàm f hàm lõm - lồi Theo Bổ đề 4.1.2, G ánh xạ KKM Hơn nữa, với ( x, y ) hàm ( x′, y′)  f ( x, y′) − f ( x′, y ) lồi nửa liên tục nên tập G ( x, y ) lồi, đóng Theo Định lý 4.1.7, tồn ( x0 , y0 ) cho ( x0 , y0 ) ∈ G ( x, y ) với ( x, y ) ∈ X × Y ; điều nói cách xác ( x0 , y0 ) điểm yên ngựa f B) Ta có f ( x, y ) ≤ max f ( x, y ) suy f ( x, y ) ≤ max f ( x, y ) y∈Y x∈X y∈Y x∈X max f ( x, y ) ≤ max f ( x, y ) x∈X y∈Y y∈Y x∈X (4.4) Theo ý (A), f ( x, y0 ) ≤ f ( x0 , y ) với ( x, y ) ∈ X × Y Khi đó, cho x = x0 vế trái ta f ( x0 , y0 ) ≤ f ( x0 , y ) với y ∈ Y nên f ( x0 , y0 ) ≤ f ( x0 , y ) ≤ max f ( x, y ) y∈Y x∈X y∈Y (4.5) Tương tự, cho y = y0 vế phải ta f ( x, y0 ) ≤ f ( x0 , y0 ) với x ∈ X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn max f ( x, y ) ≤ max f ( x, y0 ) ≤ f ( x0 , y0 ) y∈Y x∈X (4.6) x∈X Do (4.5) (4.6), ta có max f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 ) ≤ max f ( x, y ) y∈Y x∈X x∈X y∈Y Từ (4.4) (4.7), max f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) = max f ( x, y ) x∈X y∈Y y∈Y x∈X (4.7) □ Từ định lý ta thu hai kết quan trọng lý thuyết hệ vô hạn bất đẳng thức Cho X ⊂ E tập compact lồi khơng gian tơ pơ tuyến tính (Hausdorff) E cho Φ ={ϕ} họ không rỗng c ác hàm thực ϕ : X →  , với ϕ lồi nửa liên tục Để đưa công thức tổng quát ta giả sử [ Φ ] bao lồi Φ không gian véc tơ  X , xét hai vấn đề sau: (P1 ) Tồn x0 ∈ X cho ϕ ( x0 ) ≤ với ϕ ∈ Φ (P2 ) Với y ∈ [ Φ ] tồn x ∈ X cho y ( x ) ≤ Định lí 4.2.2 Hai tốn (P1 ) (P2 ) tương đương Nói cách khác, a) Có x0 ∈ X thoả mãn ϕ ( x0 ) ≤ với ϕ ∈ Φ , b) Có y ∈ [ Φ ] cho y ( x) > với x ∈ X Chứng minh (P1 ) ⇒ (P2 ) Hiển nhiên tồn x0 ∈ X cho ϕ ( x0 ) ≤ với ϕ ∈ Φ , ta chọn x0 = x y ≡ ϕ , với y ∈ [ Φ ] , tồn x ∈ X cho y ( x ) ≤ (P2 ) ⇒ (P1 ) Giả sử (P2 ) đúng, tức với y ∈ [ Φ ] tồn x ∈ X cho y ( x ) ≤ ; xét S (ϕ ) = { x ∈ X : ϕ ( x) ≤ 0} Ta phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  S (ϕ ) ≠ ∅ Từ tập S (ϕ ) ϕ∈Φ lồi, đóng khơng rỗng (do (P2 ) ), ta họ {S (ϕ ) : ϕ ∈ Φ} có tính chất giao hữu hạn Giả sử ϕ1 ,,ϕn ∈ Φ ; tập n   n = Λ (λ1 ,, λn ) ∈  : λi ≥ 0,= ∀i, ∑ λi 1 , i =1   tích hai tập compact lồi X Λ ta xét hàm f : X × Λ →  cho n f ( x, λ ) = ∑ λϕ i i ( x) i =1 Ta có x  f ( x, λ ) lõm nửa liên tục với λ ∈ Λ ; λ  f ( x, λ ) lồi nửa liên tục với x ∈ X Theo Định lí 4.2.1, f có điểm n ngựa, tức tồn ( x0 , λ ) ∈ X × Λ cho f ( x0 , λ ) ≤ f ( x, λ ) với = y ( x, λ ) ∈ X × Λ Ta nói cách khác, tồn x0 ∈ X n  ∈ [Φ ] ∑ λϕ i =1 i i cho ϕi ( x0 ) ≤ y ( x) với i ∈ [ n ] x ∈ X Theo (P2 ) , tồn x ∈ X n cho y ( x ) ≤ nên ϕi ( x0 ) ≤ y ( x ) ≤ với i ∈ [ n ] , x0 ∈  S (ϕi ) i =1 Như vậy, S (ϕ ) không rỗng, nghĩa tồn x  ϕ ∈ X thoả mãn ϕ ( x0 ) ≤ với ∈Φ ϕ ∈ Φ □ Giả sử X tập Φ ={ϕ } họ khác rỗng hàm thực ϕ : X →  Ta nói Φ lõm theo nghĩa Fan (hoặc đơn giản n F - lõm) với tổ hợp lồi ∑ λϕ i =1 i i ϕ1 ,,ϕn ∈ Φ có ϕ ∈ Φ cho n ϕ ( x) ≥ ∑ λϕ i i ( x ) với x ∈ X i =1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 4.2.3 Cho X tập khác rỗng, lồi, compact khơng gian tơpơ tuyến tính (Hausdorff ) E Φ ={ϕ } họ F - lõm hàm thực, lồi, nửa liên tục ϕ : X →  Khi điều kiện sau tương đương: A) Tồn x0 ∈ X cho ϕ ( x0 ) ≤ với ϕ ∈ Φ , B) Với ϕ ∈ Φ tồn x ∈ X cho ϕ ( x ) ≤ Chứng minh A) ⇒ B) Giả sử không tồn x0 ∈ X cho ϕ ( x0 ) ≤ với ϕ ∈ Φ Theo Định lí 4.2.2, ta có tổ hợp lồi n ∑ λϕ ∈ [Φ ] cho i =1 i i n ∑ λϕ ( x) > với x ∈ X , i i =1 Φ ={ϕ } họ i F - lõm, n ϕ ( x) ≥ ∑ λϕ i i ( x ) > với x ∈ X , ϕ ∈ Φ ; i =1 tức không tồn x ∈ X cho ϕ ( x ) ≤ , ϕ ∈ Φ Như vậy, tồn x0 ∈ X cho ϕ ( x0 ) ≤ với ϕ ∈ Φ với ϕ ∈ Φ tồn x ∈ X cho ϕ ( x ) ≤ (B) ⇒ (A) Hiển nhiên với ϕ ∈ Φ tồn x ∈ X cho ϕ ( x ) ≤ , ta chọn x0 = x tồn x0 ∈ X cho ϕ ( x0 ) ≤ với ϕ ∈ Φ □ 4.3 Điểm bất động ánh xạ Affine Định lí Markoff - Kakutani Trong phần ta phát biểu định lí điểm bất động cho ánh xạ affine liên tục, định lí Markoff – Kakutani Cho E khơng gian tơpơ tuyến tính, E * khơng gian liên hợp E, tức E * khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Ta nói Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn E có đủ nhiều phiếm hàm tuyến tính phần tử E * tách điểm E , tức với ≠ x ∈ E có l ∈ E * cho l ( x) ≠ Định lí 4.3.1 Cho E khơng gian tơpơ tuyến tính (Hausdorff ) có đủ nhiều phiếm hàm tuyến tính, C ⊂ E tập compact, lồi, khác rỗng F : C → E ánh xạ affine liên tục Giả thiết với y ∈ C , y ≠ Fy , đoạn thẳng [ y, Fy ] chứa hai điểm C Khi Fix( F ) ≠ ∅ Chứng minh Cho l phần tử E * Trước tiên, ta giải bất phương trình C l ( Fy − y ) ≤ (4.8) Xét hàm liên ụt c l C : C →  Do l hàm liên tục tập compact C nên tồn y0 ∈ C cực đại C Nếu Fy0 ≠ y0 theo điều giả định, tồn λ > cho điểm λ Fy0 + (1 − λ ) y0 nằm C Khi l [ λ Fy0 + (1 − λ ) y0 ] ≤ l ( y0 ) , λl ( Fy0 − y0 ) ≤ Vì λ > nên ta có l ( Fy0 − y0 ) ≤ 0, tức y0 nghiệm bất phương trình (4.8) Bây ta xét C họ Φ ={ϕ } hàm lồi liên tục ϕ : C →  xác định ϕ ( y ) = l ( Fy − y ), y ∈ C , l ∈ E * Theo Định lý 4.2.2, tồn y0 ∈ C cho l ( Fy0 − y0 ) ≤ với l ∈ E * Vì E có đủ nhiều hàm tuyến tính nên với Fy0 − y0 ≠ có l ∈ E * cho l ( Fy0 − y0 ) ≠ Giả sử l ( Fy0 − y0 ) < ta có −l ( Fy0 − y0 ) > , điều mâu thuẫn với −l ( Fy0 − y0 ) ≤ −l ∈ E * Do vậy, từ l ( Fy0 − y0 ) ≤ với l ∈ E * tồn y0 ∈ C thoả mãn l ( Fy0 − y0 ) = , tức Fy0 = y0 Vậy Fix( F ) ≠ ∅ □ Định lý 4.3.2 (Markoff - Kakutani) Cho C tập compact, lồi, khác rỗng khơng gian tơpơ tuyến tính (Hausdorff ) với đủ nhiều Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phiếm hàm tuyến tính F họ giao hoán ánh xạ affine liên tục từ C vào C Khi F có điểm bất động chung Chứng minh Theo Định lý 4.3.1, với F ∈F ta có Fix( F ) ≠ ∅ Hơn nữa, Fix( F ) tập compact, đóng tập compact C Fix( F ) tập lồi (vì F ánh xạ affine) Ta phải chứng minh  { Fix( F ) : F ∈F } ≠ ∅ Vì tập Fix( F ) compact, ta cần giao hữu hạn n Fix( F1 ,, Fn ) ≡  Fix( Fi ) ≠ ∅ i =1 Ta chứng minh phương pháp quy nạp: Với n = định lý Fix( F ) ≠ ∅ với F ∈F Giả thiết Fix( F1 ,, Fi ) ≠ ∅ với i < n , ta phải chứng minh Fix( F1 ,, Fn ) ≠ ∅ Do họ F giao hoán nên Fi [ Fn ( x) ] = Fn [ Fi ( x) ] Cho x ∈ Fix( F1 ,, Fn−1 ) ta có Fi ( x) = x F= F= Fn ( x) i [ Fn ( x ) ] n [ Fi ( x ) ] với i < n Như vậy, Fn ( x) điểm bất động Fi với i < n hay Fn ( x) ∈ Fix( F1 ,, Fn−1 ) , Vì Fix( F1 ,, Fn−1 ) tập compact, lồi, khác rỗng nên theo Định lí 2.3.3.1 ta Fix( F1 ,, Fn ) ≠ ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên □ http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn “Một số định lí điểm bất động” trình bày cách chi tiết số định lí điểm bất động tài liệu A.Granas, J.Dugundji Fixed point Theory Springer – Verlag NewYork, 2003 Cụ thể luận văn tập hợp kết sau: Hệ thống khái niệm: Tính compact tính đầy đủ, tính bị chặn tính liên tục hàm số, tập thứ tự, điểm bất động, không gian điểm bất động Nghiên cứu tồn điểm bất động dựa tính đầy đủ khơng gian Ngun lí ánh xạ co Banach, mở rộng ứng dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trình bày tồn điểm bất động khơng gian có thứ tự Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski – Kantorovitch, Định lí Bishop – Phelps, Định lí điểm bất động Car isti, Định lí Ekeland, Định lí Nadler, Định lí Danes Nguyên lí ánh xạ KKM điểm bất động ánh xạ Affine Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm - tập 1, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm - tập 2, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Các định lí điểm bất động, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội A.Granas, J.Dugundji (2003), Fixed point Theory, Springer – Verlag, NewYork E.Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its applications I, Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn