Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN ĐỨC MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Phản biện 1: GS TSKH Hà Huy Khoái - Viện Toán học Phản biện 2: PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 09 tháng 09 năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Tam giác 1.1 Kí hiệu hệ thức tam giác 1.2 Định lý Thales định lý Pythagoras 1.2.1 Định lý Thales 1.2.2 Định lý Pythagoras 1.3 Định lý hàm số sin định lý hàm số cosin 1.3.1 Định lý hàm số sin 1.3.2 Định lý hàm số cosin 1.3.3 Bài toán 1.4 Định lý Stewart áp dụng 1.4.1 Định lý Stewart 1.4.2 Định lý đường trung tuyến 1.4.3 Định lý đường phân giác 1.4.4 Công thức góc chia đơi 1.5 Cơng thức diện tích tam giác áp dụng 1.5.1 Công thức diện tích tam giác 1.5.2 Tỉ số diện tích hai tam giác 1.5.3 Bài toán 1.6 Tam giác Pedal 1.6.1 Pedal 1.6.2 Pedal trực tâm 1.6.3 Pedal tâm nội tiếp 8 8 11 13 13 13 14 15 15 16 17 18 21 21 23 23 28 28 29 32 Chương Tứ giác 2.1 Ký hiệu hệ thức 2.2 Định lý Ptolemy mở rộng 35 35 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.1 Định lý Ptolemy 2.2.2 Bất đẳng thức Ptolemy 2.2.3 Định lý Bretschneider 2.2.4 Định lý Casey 2.2.5 Định lý Carnot 2.2.6 Bài toán 2.3 Tứ giác đặc biệt 2.3.1 Tứ giác nội tiếp đường tròn 2.3.2 Tứ giác ngoại tiếp đường tròn 2.3.3 Tứ giác đồng thời nội ngoại tiếp 2.3.4 Tứ giác với đường chéo vng góc 2.4 Cơng thức diện tích tứ giác 2.4.1 Công thức diện tích tứ giác nội tiếp 2.4.2 Cơng thức diện tích tứ giác ngoại tiếp 2.4.3 Công thức diện tích tứ giác đồng thời nội tiếp ngoại tiếp 2.4.4 Cơng thức diện tích tứ giác lồi 2.5 Tứ giác điều hồ tính chất 2.5.1 Hàng điểm điều hoà 2.5.2 Tứ giác điều hoà 2.5.3 Tính chất tứ giác điều hoà 2.5.4 Bài toán Chương Các đường thẳng đồng quy 3.1 Định lý Ceva 3.2 Một số mở rộng định lý Ceva mặt phẳng 3.2.1 Định lý Ceva dạng sin 3.2.2 Mở rộng định lý Ceva mặt phẳng 3.3 Mở rộng định lý Ceva không gian 3.3.1 Định lý Ceva không gian 3.3.2 Hệ định lý Ceva không gian 3.4 Các điểm đặc biệt tam giác 3.4.1 Các điểm đặc biệt quen biết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 39 40 41 42 42 46 46 50 55 56 57 57 58 58 59 60 60 60 61 63 67 67 68 68 69 71 71 72 73 73 3.4.2 Một số điểm đặc biệt khác 3.5 Bài toán Chương Các điểm thẳng hàng 4.1 Định lý Menelaus 4.2 Mở rộng định lý Menelaus mặt phẳng 4.2.1 Mở rộng định lý Menelaus tam giác 4.2.2 Mở rộng định lý Menelaus theo diện tích 4.2.3 Mở rộng Định lý Menelaus tứ giác 4.3 Mở rộng định lý Menelaus không gian 4.3.1 Mặt phẳng phân giác góc nhị diện 4.3.2 Định lý Menelaus không gian 4.4 Định lý Desargues Định lý Pappus 4.4.1 Định lý Desargues 4.4.2 Định lý Pappus 4.5 Tam giác phối cảnh 4.6 Bài toán 73 75 83 83 84 84 84 85 86 86 86 87 87 88 88 89 Chương Đường trịn 5.1 Phương tích điểm - Trục đẳng phương 5.1.1 Định lý dây cung cắt 5.1.2 Phương tích điểm đường trịn 5.1.3 Trục đẳng phương tâm đẳng phương 5.2 Định lí Euler 5.2.1 Đường thẳng Euler 5.2.2 Đường tròn Euler 5.2.3 Công thức Euler 5.3 Đường tròn Apolonius 5.4 Định lí Simson 5.5 Định lí Steiner 5.5.1 Đường thẳng Steiner 5.5.2 Định lí Steiner 5.6 Định lý Pithot 95 95 95 95 99 100 100 102 103 105 108 111 111 111 113 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5.7 Định lý Miquel 5.8 Định lý Brianchon 5.9 Định lý Pascal Định 5.9.1 Định lý Pascal 5.9.2 Định lý Newton 5.10 Định lý The’bault Kết luận lý Newton Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 113 114 115 115 117 117 119 Mở đầu Các định lý Thales (Talet), Pythagoras (Pitago), định lý đường phân giác, định lý đường trung tuyến, định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin định lý hình học phẳng giới thiệu sách giáo khoa hình học bậc phổ thơng hầu hết quốc gia Nhiều tính chất đẹp quan trọng khác hình học phẳng giới thiệu chủ yếu dạng toán nâng cao, hay toán kỳ Olympic Để giải toán thường phải vận dụng định lý định lý Ptolemy (Ptôlêmê) tứ giác nội tiếp, định lý Ceva (Xêva) đường thẳng đồng quy tam giác, định lý Menelaus (Mênêlauys) điểm thẳng hàng, định lý Simson (Simsơn), định lý Euler (Ơle), định lý Brianchon, định lý Newton (Niutơn) Các tính chất rải rác giới thiệu tài liệu dành cho học sinh giỏi Nhiều chuyên gia tài liệu nước ngồi gọi định lý nói "Famous geometry theorems" - "Các định lý hình học tiếng" Hiện tài liệu Tiếng Việt định lý hình học tiếng chưa có nhiều cịn tản mạn Cần thiết phải giới thiệu định lý áp dụng chúng cách đầy đủ Vì vậy, việc tìm hiểu sâu thêm giới thiệu Các định lý hình học tiếng cần thiết cho công việc học tập giảng dạy tốn học bậc phổ thơng Bản luận văn "Một số định lý hình học tiếng áp dụng" tiến hành vào năm 2010 chủ yếu dựa tài liệu [3,7-9], tài liệu [3] làm quen từ tháng năm 2011 Bản luận văn "Một số định lý hình học tiếng áp dụng" gồm có: Mở đầu, năm chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tam giác Chương trình bày định lý hình học phẳng dạy bậc trung học sở trung học phổ thông định lý Thales, định lý Pythagoras, định lý đường phân giác, định lý Stewart, định lý Appollonius-Pappus, định lý hàm số sin, hàm số cosin, cơng thức diện tích tam giác Khác với nhiều tài liệu hình học sơ cấp, luận văn giới thiệu cách chứng minh đơn giản định lý Thales, Pythagoras định lý Stewart Chương cịn trình bày tam giác pedal, pedal trực tâm tìm tịi tác giả Chương trình bày 17 tốn áp dụng định lý nói Chương Tứ giác Chương trình bày số định lý liên quan đến tứ giác toán áp dụng Đó định lý Ptolemy, định lý Bretchneider, định lý Casey, định lý Canot Chương đề cập đến tứ giác đặc biệt tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp, tứ giác đồng thời ngoại nội tiếp, tứ giác điều hồ, 10 tính chất tứ giác ngoại tiếp tìm tịi tác giả luận văn Trong chương giới thiệu 20 toán áp dụng định lý liên quan đến tứ giác Chương Các đường thẳng đồng quy Chương trình bày kiến thức đường thẳng đồng quy, đặc biệt định lý Ceva với mở rộng mặt phẳng không gian Chương giới thiệu số điểm đặc biệt tam giác tạo nên đường thẳng đặc biệt đồng quy Trong chương trình bày 11 toán liên quan đến đường thẳng đồng quy, đa phần trích từ đề thi vô địch Quốc tế Việt Nam Chương Các điểm thẳng hàng Chương trình bày kiến thức liên quan đến điểm thẳng hàng, đặc biệt định lý Menelaus mở rộng tứ giác, khơng gian Chương cịn giới thiệu định lý Desargues, định lý Pappus 10 toán liên quan đến điểm thẳng hàng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đường tròn Chương giới thiệu số định lý hình học tiếng liên quan đến đường tròn định lý Euler đường tròn Euler, định lý Simson đường thẳng Simson, định lý Steiner, định lý Newton, định lý Brianchon số định lý khác Trong chương trình bày 16 tốn liên quan đến đường trịn Luận văn hồn thành với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K3 - Trường Đại học Khoa học động viên, giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Hùng An, trường THPT Đồng Yên - Huyện Bắc Quang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hồn thành khố học Thái Nguyên, ngày 25 tháng 06 năm 2011 Tác giả Vũ Văn Đức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tam giác 1.1 Kí hiệu hệ thức tam giác Kí hiệu ∆ABC tam giác ABC với đỉnh A, B, C Để thuận tiện, độ lớn góc ứng với đỉnh A, B, C kí hiệu tương ứng A, B, C Độ dài cạnh tam giác: BC = a, CA = b, AB = c a+b+c Nửa chu vi tam giác: p = Đường cao với cạnh: , hb , hc Đường trung tuyến với cạnh: ma , mb , mc Đường phân giác với cạnh: la , lb , lc Bán kính đường trịn ngoại tiếp R, bán kính đường trịn nội tiếp r Bán kính đường tròn bàng tiếp cạnh: Ra , Rb , Rc Diện tích tam giác ABC: S = SABC hay [ABC] Hệ thức góc: A + B + C = 180o (π) Hệ thức cạnh: |b − c| < a < b + c; |c − a| < b < c + a; |a − b| < c < a + b Cơng thức tính diện tích tam giác Diện tích tam giác nửa tích cạnh với đường cao tương ứng: 1 [ABC] = aha = bhb = chc 2 1.2 1.2.1 Định lý Thales định lý Pythagoras Định lý Thales Thales Pythagoras hai nhà toán học xa xưa mà lịch sử Tốn học cịn ghi lại Thales sinh trước Pythagoras nửa kỷ, thầy dạy Pythagoras đánh giá cao tài cậu học trò nhỏ tuổi Thales sinh khoảng năm 620 khoảng năm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 73 AX BY CA0 T C = XB Y C A0 T C A (3.9) Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC ta có: AX BY CU = (3.10) XB Y C U A Chia (3.9) cho (3.10) kết qủa chứng minh đồng thời T U , CC AA0 cắt P Điều có nghĩa mặt phẳng cắt P Vì vậy, đường giao mặt phẳng cắt P , có nghĩa phân đoạn cắt P 3.4 3.4.1 Các điểm đặc biệt tam giác Các điểm đặc biệt quen biết 1) Tâm vòng tròn ngoại tiếp Trong tam giác ABC, đường trung trực cạnh tam giác đồng quy điểm O tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Tâm vòng tròn nội tiếp Trong tam giác ABC, đường phân giác góc tam giác đồng quy điểm I tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC 3) Trọng tâm Trong tam giác ABC, đường trung tuyến ứng với cạnh tam giác đồng quy điểm G gọi trọng tâm tam giác ABC 4) Trực tâm Trong tam giác ABC, đường cao ứng với đỉnh tam giác đồng quy điểm H gọi trực tâm tam giác ABC 3.4.2 Một số điểm đặc biệt khác 1) Điểm Gergonne Trong tam giác ABC ba đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với tiếp điểm cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp đồng quy điểm Gn gọi điểm Gergonne 2) Điểm Nagel Trong tam giác ABC ba đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với tiếp điểm cạnh đối diện với đường tròn bàng tiếp đồng quy điểm N gọi điểm Nagel Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 74 3) Điểm Toricelli Điểm M tam giác ABC có tính chất M A+ M B + M C đạt giá trị nhỏ gọi điểm Toricelli 4) Điểm Miquel Cho đường thẳng cắt điểm tạo thành tam giác Các đường trịn ngoại tiếp tam giác có điểm chung gọi điểm Miquel 5) Điểm Napoleon Gọi A0 , B , C tâm ba tam giác dựng phía ngồi tam giác ABC bất kỳ, cho A0 , B , C tương ứng đối diện với điểm A, B, C Khi ba đường thẳng AA0 , BB , CC đồng quy điểm, gọi điểm Napoleon thứ Tương tự tam giác dựng phía tam giác cho, ta có điểm Napoleon thứ hai 6) Điểm Fermat Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi (vào trong) tam giác BCM, ACN, ABP Khi tâm phối cảnh tam giác ABC tam giác M N P gọi điểm Fermat thứ (thứ hai) hay người ta gọi điểm Fermat dương (âm) 7) Điểm Brocard Trong tam giác ABC cho trước có hai điểm \ \ \ \ Brocard M,N xác định cho: M AB = M BC = M CA N AC = \ \ N CB = N BA 8) Điểm Schiffler Cho tam giác ABC có I tâm đường trịn nội tiếp tam giác Khi đường thẳng Euler tam giác IAB, IAC, IAB ABC đồng quy điểm Schiffler tam giác 9) Điểm Feuerbach Trong tam giác,đường tròn Euler tiếp xúc với đường trịn nội tiếp nó, tiếp điểm gọi điểm Feuerbach tam giác 10) Điểm Kosnita Cho tam giác ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O1 , O2 , O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC, AOC, AOB Khi ba đường thẳng AO1 , BO2 CO3 đồng quy điểm Kosnita tam giác 11) Điểm Parry reflection Cho tam giác ABC Kẻ qua A, B, C đường thẳng a, b, c song song với song song với đường thẳng Euler tam giác Gọi a0 , b0 , c0 đường đối xứng với a, b, c qua BC, CA, AB Khi đường đồng quy điểm Parry reflection tam giác ABC Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 75 3.5 Bài toán Bài toán 3.1 Chứng minh tam giác (a) Ba đường trung tuyến đồng quy; (b) Ba đường phân giác đồng quy; (c) Ba đường cao đồng quy; (d) Ba đường trung trực đồng quy Chứng minh (a) Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy MB NC P A Thật ta có = 1.1.1 = Theo định lý Ceva, MC NA P B AM, BN, CP đồng quy G (G trọng tâm tam giác) (b) Ba đường phân giác AD, BE, CF đồng quy ÁP dụng tính chất đường phân DB AB EC BC giác ta có = ; = DC AC EA BA CA FA = FB CB DB EC F A AB BC CA Do = = 1, DC EA F B AC BA CB theo định lý Ceva ta có AD, BE, CF đồng Hình 3.9 quy I (I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC) (c) Ba đường cao AH, BI, CK đồng quy Trường hợp tam giác ABC nhọn AK AC CI BC Ta có ∆AKC ∆ABI ⇒ = , ∆BCI ∆ACH ⇒ = AI AB CH AC HB IC KA Do = 1, theo định lý Ceva ba đường thẳng HC IA KC AH, BI CK đồng quy điểm gọi trực tâm tam giác Trường hợp tam giác ABC tù A Gọi O giao điểm BI CK Khi A trực tâm tam giác OBC nên OA⊥BC, suy O ∈ AH (d) Ba đường trung trực da , db , dc đồng quy Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Khi da , db , dc ba đường cao tam Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 76 giác M N P nên đồng quy (đpcm) Bài toán 3.2 Cho tam giác ABC đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC, AC AB D, E, F Khi đường thẳng AD, BE, CF đồng quy điểm Lời giải DB EC F A = 1, DC EA F B theo định lý Ceva đường thẳng AB, DE CF đồng quy điểm J (J gọi điểm Gergonne tam giác ABC) Ta có BD = BF, CD + CE, AE = AF Suy Bài toán 3.3 Trong tam giác ABC, M chân đường vng góc hạ [ N, L từ A xuống đường phân giác giác góc BCA chân đường vng góc hạ từ đỉnh A, C xuống đường phân giác [ Gọi F giao điểm đường thẳng M N góc ABC AC, E giao điểm đường thẳng BF CL, D giao điểm đường thẳng BL AC Chứng minh DE M N song song với Lời giải Kéo dài AM cắt BC G, kéo dài AN cắt BC I Khi AM = M G, AN = N I, suy M N BC song song với Vì AM = M G nên ta có AF = F C Kéo dài CL cắt AB J Khi JL = LC, suy LF AB song song với Gọi H giao điểm LF BC Ta có BH = HC Trong tam giác BLC, đoạn thẳng BE, LH, CD cắt F Sử dụng định lý Ceva ta nhận Hình 3.10 BH CE LD = HC EL DB CE DB = Tứ suy DE BC song song với EL LD Do đó,DE M N song song với Vì BH = HC nên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 77 Bài toán 3.4 Cho ∆ABC lấy E, F, M thứ tự cạnh AC, AB, BC cho EF//BC, M B = M C Chứng minh CF, BE, AM đồng quy Lời giải Cách (Chứng minh đồng quy) Gọi K giao điểm AM EF AK CE KM BM AF = ; = ; = Theo định lý Talét BF KM AE AK CM AF BM CE Suy = Áp dụng định lý Ceva cho ∆ABC ta có BF CM AE CF, BE, AM đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng.) Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt BE N , AM ∩ BE = I Ta có AF AN BC = ; = 2; BF BC MC BM MI = Hình 3.11 AI AN AF BC M I AN BM Suy = = BF M C AI BC AN Áp dụng định lý Menelaus cho ABM F, I, C thẳng hàng Từ suy CF, BE, AM đồng quy Bài tốn 3.5 Cho đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy Lời giải Cách 1: Chứng minh đồng quy Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt AF = AE; BF = BD; CE = AE BD CE AF BD CE CD, suy = = BF CD AE BD CE AE Áp dụng định lý Ceva cho ∆ABC suy AD, BE, CF đồng quy Cách 2: Chứng minh thẳng hàng Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CF N AD ∩ CF = I AE CB DI AF CB CD AF CB AN CB Ta có = = = = CE DB AI CD BF AN BF AN CB AN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 78 Hình 3.12 Áp dụng định lí Menelaus cho ∆ACD AD, BE, CF đồng quy Bài tốn 3.6 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D, E thứ tự \ Chứng minh AH, BE, AB, AC cho AH phân giác góc DHE CD đồng quy Lời giải Cách 1: Chứng minh đồng quy Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt HE, HD M N Vì HA phân giác b HA đường cao nên góc A, AM = AN Ta lại có Hình 3.13 M A CE CH AD BH CE M A BH CH AD = ; = ⇒ = = BD BH AE AN BD CH AE BH CH AN Áp dụng định lý Ceva cho ∆ABC suy AH, BE, CD đồng quy Cách 2: Chứng minh thẳng hàng Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt HD, HE, BE M, N, K Gọi AH ∩ BE = I Ta có AD MA AN HI BH = = = BD BH BH AI AK AD BH HI AN BC BH AE CE ⇒ = = = BD CH AI BH HC AK CE AE Áp dụng định lí Menelaus cho ∆ABH D, I, C thẳng hàng Vậy AH, BE, CD đồng quy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 79 Bài toán 3.7 Cho tứ giác lồi ABCD, đường DA cắt CB K, AB cắt DC L, AC cắt KL G DB cắt KL F Chứng minh KF KG = FL GL Lời giải Áp dụng định lý Ceva cho tam giác DKL điểm B, ta có DA KF LC = AK F L CD (3.11) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác DKL đường thẳng ACG, ta có Hình 3.14 DA KG LC = (3.12) AK GL CD KF KG = Từ (3.11) (3.12) ta suy FL GL Bài tốn 3.8 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AK Dựng bên ngồi tam giác hình vuông ABEF ACGH Chứng minh AK, BG, CE đồng quy Lời giải Cách 1: Chứng minh đồng quy Hình 3.15 Gọi D = AB ∩ CE, I = AC ∩ BG Đặt AB = c, AC = b c2 AD b CI b BK 2 Có c = BK.BC; b = CK.BC ⇒ = = ; = CK b BD c AI c AD BK CI b c2 b (do ∆AIB ∼ ∆CIG), suy = = BD CK AI c b c Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 80 Áp dụng định lý Ceva cho ∆ABC AK, BG, CE đồng quy Cách 2: Chứng minh thẳng hàng Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BG M.AK ∩BG = O AD b KO BK Ta có = ; = BD c AO AM Suy AD BC KO b BC BK b BC BK b CI c2 b b c2 = = = = = BD CK AO c CK AM c AM CK c CK b c c b Áp dụng định lý Menelaus cho ∆ABK D, O, C thẳng hàng Vậy AK, BG, CE đồng quy Bài toán 3.9 (Olympic Toán học mùa xuân Bulgaria, P11.2, 1997) Cho \ = ABC [ = BCD \ Gọi H, O tứ giác lồi ABCD thoả mãn DAB trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh H, O, D thẳng hàng Lời giải [ ABC [ = β, BCA [ = γ Đặt CABα, Chú ý α < β, γ < β Ta cần xét trường hợp β < 90o , β < 90o β = 90o * Giả sử β < 90o Lúc O, H điểm nằm ∆ABC ta có [ = CAO [ = HCB \ = HAB \ = ACO 90o − β Vì O điểm nằm bên Hình 3.16 \ = β−γ = ∆HAC, từ HAC \ HCO \ = β − α = CAD, \ HAD \ = HCD \ = 2β − 90o ACD, Áp dụng định lý hàm số sin cho ∆AHD, ∆CHD, ∆ACD ta \ \ CD \ AD sin HCD HD sin CAD sin AHD = = = , , HD sin CHD CD sin ACD AD \ \ \ sin HAD Nhân vế tương ứng ba đẳng thức ta \ sin HCO \ sin CAO [ = sin CHD \ sin HAO \ sin ACO [ sin AHD Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 81 Từ định lý Ceva, suy AO, CO, HD đồng quy điểm, H, D, O thẳng hàng * Trong trường hợp β = 90o , ta chứng minh H, B trùng nhau, O trung điểm AC tứ giác AHCD hình chữ nhật Do H, O, D thẳng hàng * Sau cùng, giả sử β > 90o Trong trường hợp B O nằm ∆AHC ∆ADC Tương tự trường hợp β < 90o ta có điểm H, D, O thẳng hàng Bài toán 3.10 (Bài đề nghị cho IMO nước Anh, 2000) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp H trực tâm tam giác nhọn ABC Chứng tỏ tồn điểm D, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho OD + DH = OE + EH = OF + FH đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Lời giải Kéo dài AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác L BC K OL ∩ BC = D Nối HD, ta biết HK = KL nên có HD = LD Như OD + DH = OD + DL = OL = R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tương tự ta chọn điểm E F CA AB cho OE + EH = R = Hình 3.17 OF + FH Ta chứng minh AD, BE, CF đồng quy b CBL \ = 90o − A [ = CAL [ = Kẻ OB, OC BL Bây OBC b Vì OBL b + (90o − C) b = B Do OB = OL, ta [ = (90o − A) 90o − C b [ = B có OLB b Từ đó, BOD b [ = 180o − 2B \ = 180o − 2B Do BOL b Theo định lý hàm sin \ = 180o − 2C Tương tự, ta có COD ∆BOD ∆AOB có OD BD = \ \ sin BOD sin ODB Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên CD OD = \ \ sin COD sin OCD http://www.lrc-tnu.edu.vn 82 BD sin (180o − 2B) sin 2B = = CD sin (180o − 2C) sin 2C CE sin 2C AF sin 2A Tương tự, = ; = EA sin 2A FB sin 2B BD CE AF = Vậy ta có CD EA F B Theo định lí Ceva đường thẳng AD, BE, CF đồng quy (đpcm) Từ suy Bài tốn 3.11 (Vô địch Hàn Quốc 1992) Trong tam giác ABC Gọi M giao điểm phân giác phân giác góc A với cạnh BC D chân đường vng góc hạ từ A xuống cạnh BC Nếu E F tương ứng giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD với hai cạnh CA AB, chứng minh đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Lời giải \ Vì ADM π điểm A, D, M, E, F nằm \ \ = π đường tròn nên BF M = CEM Do vậy, ∆BF M ∼ ∆BDA, AB AC ∆CEM ∼ ∆CDA ⇒ = MB MC CD AC = Hình 3.18 CE MC AB AC = theo tính chất Nhưng MB MC BD CD \ \ phân giác, ta có = Vì F AM = M AE nên AE = AF BF CE BD CE AF BD CD Suy = : = AD, BE, CF đồng DC CA F B BF CE quy theo định lý Ceva = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 83 Chương Các điểm thẳng hàng Trong chương trình bày số định lý điểm thẳng hàng, chương trước tác giả không đưa vào độ dài đại số số định lý, toán phần chứng minh 4.1 Định lý Menelaus Định lý 4.1 Cho tam giác ABC, đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, ta lấy điểm P, Q, R tương ứng cho điểm không trùng với đỉnh tam giác Khi đó, ba điểm P, Q, R thẳng hàng RB P C QA = RA P B QC (4.1) Chứng minh Phần thuận: Giả sử ba điểm P, Q, R thẳng hàng QUa A, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt đường thẳng (d) L Sử dụng hệ qủa định lý Thales, ta có LA QA CP QA = ⇔ LA = , PC QC QC RB PB RB LA = ⇔ = RA LA RA P B (4.2) (4.3) Hình 4.1 Thay AL (4.2) vào (4.3) ta điều phải chứng minh Phần đảo: Giả sử (4.1) xảy Gọi Q0 giao điểm P R cạnh AC Khi theo phần thuận ta có RB Q0 A P C = RA Q0 C P B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (4.4) http://www.lrc-tnu.edu.vn 84 Q0 A QA Vậy Q ≡ Q0 (đpcm) Từ (4.1) (4.4) ta suy = QC QC Ghi chú: Định lý Menelaus (phần đảo) thường sử dụng để chứng minh tính thẳng hàng giao điểm số đường thẳng 4.2 4.2.1 Mở rộng định lý Menelaus mặt phẳng Mở rộng định lý Menelaus tam giác Định lý 4.2 Cho tam giác ABC Một đường thẳng (d) cắt đường thẳng BC, CA, AB P, Q, R Khi đó: BR AQ P C BR AQ P C =1⇔ = −1 AR QC BP AR QC P B (4.5) Đảo lại, giả sử điểm P, Q, R tương ứng nằm đường thẳng BC, CA, AB cho (4.5) thoả mãn Khi P, Q, R thẳng hàng Chứng minh Phần thuận: Tương tự định lý Menelaus biết Phần đảo: Giả sử (4.5) thoả mãn Gọi C1 giao điểm đường thẳng QP AB Ta cần chứng minh C1 R trùng Theo phần BC1 AQ P C BR AQ P C BC1 BR thuận ta có =1= , suy = m AC1 QC BP AR QC P B AC1 AR BX Để chứng minh C1 ≡ R, ta để ý phương trình = m(m 6= 1) AX có khơng q nghiệm A 6= B Thật vậy, chọn gốc toạ độ A, trục toạn độ AB với chiều dương chiều từ A đến B Cho toạ độ X x, toạ độ điểm A a, lúc phương trình trở thành x ma =m⇔x= Từ ta có điều phải chứng minh x−a m−1 4.2.2 Mở rộng định lý Menelaus theo diện tích Định lý 4.3 Cho tam giác ABC điểm M, N, P thuộc BC, CA, AB Khi M, N, P thẳng hàng [M N P ] BM CN AP − CM AN BP = [ABC] AB.BC.CA Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.6) 85 Chứng minh Ta có [ABC] = [M AB] + [M AC] ⇒ [ABC] = [P M A] + [P BM ] + [N M C] + [N AM ] ⇒ [ABC] = [M N P ] + [BM P ] + [CN M ] + [AP N ] [BM P ] Mặt khác = [ABC] BM BP sin (BC, CA) BM BP = BC.BA sin (BC, CA) BC.BA [CN M ] CN CM Tương tự ta có = , [ABC] CA.CB [AP N ] AP AN = Hình 4.2 [ABC] AB.AC Ta suy [M N P ] [BM P ] [CN M ] [AP N ] =1− − − [ABC] [ABC] [ABC] [ABC] [M N P ] BM BP CN CM AP AN ⇒ =1− − − [ABC] BC.BA CA.CB AB.AC [M N P ] BM CN AP − CM AN BP = ⇒ [ABC] AB.BC.CA 4.2.3 Mở rộng Định lý Menelaus tứ giác Định lý 4.4 Cho tứ giác ABCD đường thẳng d cắt AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Khi ta có M A N B P C QD = M B N C P D QA (4.7) Chứng minh Trên đường thẳng d lấy hai điểm I, J cho AI//BJ//CD Theo Thales ta có MA IA NB JB OD PD = , = , = MB JB NC PC OA IA Suy M A N B P C QD IA JB P C P D = = M B N C P D QA JB P C P D IA Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hình 4.3 http://www.lrc-tnu.edu.vn 86 4.3 4.3.1 Mở rộng định lý Menelaus khơng gian Mặt phẳng phân giác góc nhị diện Định lý 4.5 Cho ABCD tứ diện Gọi M điểm nằm BC cho mặt phẳng (AMD) mặt phẳng phân giác góc nhị diện [ABD] BM = (ADC, ADB) Khi MC [ACD] Chứng minh VABM D SABD Ta có = , (vì hai khối tứ VACM D SACD diện có chiều cao khoảng cách từ A đến mp(BCD)) AM SABD = (Tỉ số diện tích rút Ta lại có SACD MD gọn hai tam giác có chiều cao khoảng cách từ D đến BC) Bây giờ, tỉ số ban đầu khối viết lại Hình 4.4 theo cách khác Chiều cao hạ từ M đến (ABD) chiều cao hạ từ M đến (ACD) Đây tính chất phân giác góc nhị diện Điều có nghĩa tỉ số khối, chiều cao triệt tiêu cho tử số mẫu số, lại tỉ số diện tích tam giác ABD diện tích VABM D AM SABD tam giác ACD Tóm lại, = = SACD VACM D MD 4.3.2 Định lý Menelaus không gian Đầu tiên cố gắng xây dựng tương tự định lý cách nghiên cứu tỉ số diện tích mặt phẳng không cắt khối tứ diện Trong làm nghiên cứu hình học khơng gian bản, vài điều thú vị mở rộng định lý Menelaus tìm thấy Định lý 4.6 Cho tứ diện ABCD, M điểm AB, N điểm BC, P điểm CD Q điểm DA Các điểm M, N, P, Q AM BN CP DQ đồng phẳng = M B N C P D QA Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 87 Kết Cũng định lý Ceva mặt phẳng có tính đối ngẫu với định lý Menelaus, người ta hy vọng có tính đối ngẫu tương tự khơng gian Đây nguyên lý dẫn đến phát biểu cho định lý Ceva khơng gian Hình 4.5 4.4 Định lý Desargues Định lý Pappus 4.4.1 Định lý Desargues Định lý 4.7 Cho hai tam giác ABC tam giác A1 B1 C1 Gọi M giao điểm AB A1 B1 , N giao điểm AC A1 C1 , P giao điểm BC B1 C1 Khi M, N, P thẳng hàng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy Chứng minh Chiều nghịch: Cho AA1 , BB1 , CC1 đồng quy O, ta chứng minh M, N, P thẳng hàng ÁP dụng định lý Menelaus cho tam giác OAC với ba điểm N, A1 C1 , ta có N A C1 C A1 O = N C C1 O A1 A (4.8) Hình 4.6 Tương tự ta có P C B1 B C1 O = 1; P B B1 O C1 C M B A1 A B1 O = M A A1 O B1 B (4.9) NA P C MB = 1, áp dụng định lý NC P B MA Menelaus cho tam giác ABC, ta có M, N, P thẳng hàng Chiều thuận: Cho M, N, P thẳng hàng, ta chứng minh AA1 , BB1 , CC1 Từ (4.8) (4.9) ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn