Xấp xỉ hàm theo dung lượng của hàm chỉnh hình bởi các hàm hữ tỉ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CÔNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH CÔNG SƠN XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ Chuyên nghành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU THÁI NGUN - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Giáo sư Nguyễn Quang Diệu, Đại học sư phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K19 quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Đinh Cơng Sơn Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đinh Công Sơn Xác nhận cán hướng dẫn Xác nhận trưởng khoa chun mơn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Hàm đa điều hòa 1.1.1 Hàm điều hòa 1.1.2 Hàm đa điều hòa 10 Khái niệm dung lượng tương đối 17 1.2.1 Các định nghĩa 17 1.2.2 Các tính chất dung lượng tương đối 20 Khái niệm hội tụ theo dung lượng 25 Hội tụ nhanh theo dung lượng dãy hàm hữu tỷ 27 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Ký hiệu < tập hợp hàm giải tích f xác định lân cận ∈ Cn cho tồn dãy hàm hữu tỷ {rn } ,deg rn n cho:|f − rn | n → lân cận U ∈ Cn Một ví dụ tập < g hàm phân hình f = , g h hàm nguyên Trong trường hợp h Tn (g) ta chọn: rn = Tn (g), Tn (h) đa thức Taylor Tn (h) bậc n g h Một kết quan trọng Goncar[G3] nói f ∈ < tồn Wf f đơn trị dãy {rn } hội tụ nhanh f theo độ đo Wf Nội dung luận văn trình bày lại kết Bloom nói khẳng định Goncar dãy {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tập không đa cực Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trước hết mục 1.1 trình bày khái qt hàm điều hịa dưới, hàm đa điều hòa Trong mục giới thiệu dung lượng tương đối C(K, D), hội tụ theo dung lượng Chương 2: Chứng minh khẳng định Goncar dãy hội tụ nhanh theo dung lượng tập không đa cực Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u: X → [−∞; +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập Xα = {x ∈ X : u(x) < α} mở X Hàm v: X → (−∞; +∞] gọi nửa liên tục X -v nửa liên tục trên X Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X → [−∞; +∞) Ta nói hàm u nửa liên tục x ∈ X ∀ε > tồn lân cận Ux0 x0 X cho ∀x ∈ Ux0 ta có: u(x) < u(x0 ) + ε, u(x0 ) 6= −∞, u(x) < − , u(x0 ) = −∞ ε Hàm u gọi nửa liên tục trên X u nửa liên tục x0 ∈ X Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mặt khác ta định nghĩa: giả sử E ⊂ X u: E → [ − ∞; +∞) hàm E Giả sử x0 ∈ E Ta định nghĩa: (1.1) lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }}, x→x0 x∈E inf lấy V chạy qua lân cận x0 Khi thấy hàm u: X → [ − ∞; +∞) nửa liên tục x0 ∈ X lim sup u(x) u(x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω tập mở C Hàm u: Ω → [ − ∞; +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn τ > cho với r < τ ta có: R2π u(ω + reit )dt 2π Chú ý: Với định nghĩa hàm đồng −∞ Ω xem u(ω) hàm điều hòa Ω Ta kí hiệu tập hàm điều hòa Ω SH (Ω) Sau ví dụ đáng ý hàm điều hịa Bổ đề 1.1.3 Nếu f: Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hòa Ω Chứng minh: Trường hợp f ≡ Ω kết rõ ràng Giả sử f 6= Ω Giả sử ω ∈ Ω, f (ω) 6= chọn τ > cho f 6= B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ } Khi log |f | hàm điều hòa B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ } nên (1.1) thỏa mãn với dấu đẳng thức Trường hợp f (ω) = 0, log |f (ω)| = −∞ (1.1) Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ln Bổ đề 1.1.4 Giả sử u,v hàm điều hòa tập mở Ω C Khi đó: (i) max(u,v) hàm điều hòa Ω (ii) Tập hàm điều hịa Ω nón, nghĩa u, v ∈ SH(Ω); α, β > αu + βv ∈ SH(Ω) Định lý 1.1.5 Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn Ω C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại tồn thể điểm Ω u số Ω (ii) Nếu lim sup u(z) ς ∈ ∂Ω u Ω z→ς Chứng minh (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M điểm z0 ∈ Ω Đặt A = {z ∈ Ω : u(z) < M } ; B = {z ∈ Ω : u(z) = M } Khi A tập mở u hàm nửa liên tục Từ bất đẳng thức trung bình ta thấy B tập mở Ta có Ω = A ∪ B, A ∩ B = φ Do A = Ω B = Ω Nhưng theo giả thiết B 6= φ nên B = Ω (i) chứng minh (ii) Mở rộng u lên Ω nhờ đặt u(ς) = lim sup u(z), (ς ∈ ∂Ω) Do Ω z→ς tập compact nên u đạt cực đại ω ∈ Ω Nếu ω ∈ ∂Ω giả thiết u(ω) Do u Ω Trường hợp ω ∈ Ω theo (i) u số Ω Do số Ω, u Ω Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Sau tiêu chuẩn nhận biết hàm nửa liên tục hàm điều hòa Định lý 1.1.6 Giả sử Ω tập mở C Khi phát biểu sau tương đương: (i) u hàm điều hòa Ω (ii) Với ω ∈ Ω, tồn τ > cho ∆(ω, τ > 0) ⊂ Ω với r < τ, t < 2π ta có: R2π τ − r2 it u(ω + re ) u(ω + τ eiθ )dθ., 2π τ − 2τ r cos(θ − t) + r2 ∆(ω, τ > 0) = { z ∈ Ω : |z − ω| τ } đĩa đóng tâm ω bán kính τ (iii) Với miền D compact tương đối Ω h hàm điều hòa D, liên tục D thỏa mãn: lim sup(u − h)(z) 0(ς ∈ ∂D) z→ς ta có u h D Hệ 1.1.7 Nếu u hàm điều hòa tập mở Ω ∆(ω, τ ) ⊂ Ω thì: R2π u(ω) u(ω + τ eiθ )dθ 2π Định lý 1.1.8 Giả sử u ∈ C2 (Ω), u hàm điều hịa Ω ∂ 2u ∂ 2u ∆u ≥ 0, ∆u = + Laplace u ∂x2 ∂y Chứng minh Giả sử ∆u > Ω Lấy D miền compact tương đối Ω h điều hòa D, liên tục D cho: lim sup(u − h)(z) 0(ς ∈ ∂D) z→ς Với ε > xác định Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ∂ ϕ ∧ (dd |z| ), c = sup ∂z ∂z c j sup pϕ j Ω (supp ϕ tập đóng lớn ϕ 6= R R n Tiếp tục trình này: (ddc u)n A (ddc |z|2 ) < +∞ Ở E tập E E compact Ω A số lớn Tính chất Cho Ω ⊂ Cn tập mở, bị chặn E ⊂ Ω tập Borel Nếu ∃u ∈ P SH(Ω), u < Ω: u|E = −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 22 Cap(E, Ω) = Chứng minh: Ta giả sử E = {z ∈ Ω : u(z) = −∞} Ta lấy K ⊂ E tập compact tùy ý Ta chứng minh Cap(K, Ω) = Lấy ν ∈ P SH(Ω), −1 < ν < R Ta chứng minh (ddc ν)n = Cố định j > 1, ta có: R RK (ddc ν)n −1 (ddc ν)n (do u = −∞ K) Chọn ϕ ∈ C0∞ (Ω) cho j K K ϕ = 1; ϕ lân cận K , ta có: R R −u(ddc ν)n ≤ −ϕu(ddc ν)n Ω R R K c n−1 R c n c −ϕu(dd ν) = ν(dd ν) ∧ dd (ϕu) ≤ c |u|dλ2n = M < +∞ sup pϕ Ω Ω R R Vậy (ddc ν)n ≤ Mj , ∀j Cho j → ∞ ta có: (ddc ν)n = Vậy Cap(K, Ω) = K K Do Cap(E, Ω) = ta chọn dãy tăng tập compact Kj % E Nhận xét: Nếu K b Ω compact, ∀ν ∈ P SH(Ω), −1 < ν < 0, ∀u ∈ P SH(Ω), u < ta có: R (ddc ν)n cE kukL1 (E) , cE > số phụ thuộc vào K K Đây hệ định lý hội tụ đơn điệu Bedford-Taylor Cụ thể ta lấy dãy v ∗ ρε , ρε dãy nhân trơn chuẩn tắc Ta có vε & v, vε ∈ P SH(Ωε ) ∩ C∞ (Ωε ) Theo định lý Bedford - Taylor: R R R |u|(ddc ν)n lim |u|(ddc νε )n =limAε |u|dλ2 K ε→0 K ε→0 K Aε phụ thuộc vào đạo hàm cấp ν Do Aε bị chặn nên ta có điều phải chứng minh Tính chất Giả sử K tập compact miền siêu lồi mở Ω ⊂ CN Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 23 B = B(0, R) hình cầu chứa K Giả sử K không đa cực {Kn } dãy tập compact K cho lim Cap(K\Kn , Ω) = Khi n→∞ có số δ không phụ thuộc vào dãy {Kn } cho với n đủ lớn, Cap(Kn , B) ≥ δ TR (Kn ) ≥ δ Chứng minh: Từ (2.8) có lim Cap(Kn , Ω) = Cap(K, Ω) n→∞ Vì K khơng đa cực, Cap(K, Ω) > [Định lý K,4.7.5] Như vậy, với n đủ lớn Cap(Kn , Ω) ≥ c2 > với c2 Kết suy từ (2.10) (2.16) Tính chất Giả sử K ⊂ CN tập compact với độ đo Lesbesgue dương 2N B = B(0, R) hình cầu chứa K Gọi {Kn } dãy tập compact K cho lim λ(K\Kn ) = Giả sử có n→∞ số δ > khơng phụ thuộc vào dãy {Kn } cho với n đủ lớn Cap(Kn , B) ≥ δ TR (Kn ) ≥ δ Chứng minh: Từ giả thiết, λ(K) > lim λ(Kn ) = λ(K) Do có số n→∞ c3 > cho, với n đủ lớn ta có λ(Kn ) ≥ c3 Một kết suy từ (1.11) (1.16) Giả sử {fn } dãy hàm đo tập Borel tập compact K ⊂ CN giả sử f hàm đo tập Borel K Dãy {fn } hội tụ theo dung lượng tới f tập K với a > siêu lồi Ω ⊃ K có: (2.17) lim Cap ({z ∈ K| |fn (z) − f (z)| > a} , Ω) = n→∞ Số hóa Trung tâm Học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 24 Do (2.10), (2.17) cho siêu lồi Ω ⊃ K cho tập siêu lồi mở Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 25 1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng Nếu {fn } dãy hàm đo tập Borel tập mở Ω ⊂ CN Ta nói hội tụ theo dung lượng tới hàm đo Borel f Ω fn hội tụ tới f theo dung lượng tập compact Ω Từ (2.11) thấy hội tụ theo dung lượng hội tụ theo độ đo Như vậy, ta có: (2.18) lim λ({z ∈ K| |fn (z) − f (z)| > a}) = n→∞ Hội tụ theo độ đo không bao gồm hội tụ theo dung lượng Ví dụ, tập hợp có độ đo Lebesgue có dung lượng dương Một hàm hữu tỷ CN định nghĩa phép chia đa thức Chúng ta nói hàm hữu tỷ có bậc ≤ n kí hiệu rn (z) biểu pn (z) thị dạng rn (z) = qn (z) Với pn qn đa thức có bậc ≤ n( ta giả thiết qn 6= 0) Giả sử f (z) giải tích tập mở Ω ⊂ CN Theo Goncar [G3 ], có dãy hàm hữu tỷ {rn } hội tụ nhanh theo dung lượng tới f Ω Khi đó, rn hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact K ⊂ Ω với a > với tập siêu lồi mở Ω1 ⊃ K : n o 1/n (2.19) lim Cap( z ∈ K||f (z) − rn (z)| > a , Ω1 ) = n→∞ n o 1/n Ta nói dãy {rn } hội tụ nhanh tới f Ω dãy |fn − rn (z)| hội tụ tới Ω (resp.,hội tụ tới K ) Khi {rn } hội tụ nhanh tới f tập compact K ⊂ Ω nếu, a > 0, ta có: n o 1/n (2.20) lim λ z ∈ K||f (z) − rn (z)| > a = n→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 26 Chương Hội tụ nhanh theo dung lượng dãy hàm hữu tỷ Trong mục trước hết đưa đánh giá xấp xỉ hàm chỉnh hình hàm hữu tỷ Những đánh giá chứng minh định lý luận văn Giả sử K tập compact, không đa cực B(0, R) u(z) := u∗K,B(0,10R) (z) theo quy tắc hàm cực trị tương đối K B(0, 10R) Bổ đề 2.1 đánh giá u(z) mặt cầu |z| = 2R Đánh giá phụ thuộc vào Cap(K, B(0, 10R)) Bổ đề 2.1 Tồn số c > cho |z| = 2R thì: u(z) ≤ −cCap(K, B(0, 10R)) Chứng minh Gọi z0 điểm cố định mặt cầu |z| = 2R Xét tập mở:   ω = z ∈ CN | |z − z0 | < 4R Ω = z ∈ CN | |z − z0 | < 5R Do 4R < nên B(z0 , 4R) nằm B(z0 , 1) ta áp dụng Bổ đề Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 27 3.3 [A-T], có số c0 > cho: R (3.1) (ddc u)N ≤ c0 (−u(z0 )) Sup |u(z)|N −1 z∈Ω ω Khi đó, từ (2.5) ta có: (3.2) R (ddc u)N = Cap(K, B(0, 10R)) ω Hơn theo định nghĩa hàm cực trị tương đối (xem 2.3): supz∈Ω |u(z)| ≤ Từ ta có: (3.3) Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c0 u(z0 ) với Bổ đề 3.3 [A-T], theo (3.1) với v ∈ P SH(Ω) thỏa mãn v < số c0 chọn độc lập với v Ta xét (3.1) cho hàm uT (z) := u(T z) với T không gian unita CN Khi (ddc uT )N = (ddc u)N Khi vế trái (3.1) khơng đổi Ta có Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c0 u(T z0 ) với không gian unita T Với c = nội dung Bổ đề 2.1(đpcm) c Bổ đề cho thấy hàm hữu tỷ xấp xỉ đồng đến hàm giải tích tập có dung lượng dương hình cầu, có mẫu không nhỏ Đặc biệt, giả sử K tập compact B(0, R) với K không đa cực Giả sử f chỉnh hình lân cận B(0, 10R) với M > số thỏa mãn |f (z)| ≤ M pn (z) với z ∈ B(0, 10R) Đặt rn (z) = hàm hữu tỷ có bậc ≤ n qn (z) chuẩn hóa: (3.4) kqn (z)kK = Bổ đề 2.2 Cho a thỏa mãn điều kiện < a < 1: Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 28 |f (z) − rn (z)| n ≤ a với z ∈ K Khi với |z| ≤ 2R ta có, với c Bổ đề 2.1: (2M + 1)ancCap(K,B(0,10R)) |f (z) − rn (z)| ≤ (T10R (K))n |qn (z)| Chứng minh Từ (3.4) giả thiết Bổ đề 2.2 ta có: |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ an với z ∈ K (3.5) Từ a < 1, với điều kiện: kpn kK ≤ M + (3.6) Từ đó, sử dụng (2.15) ta có: kqn kB(0,10R) ≤ (3.7) n (T10R (K)) kpn kB(0,10R) ≤ M +1 n (T10R (K)) Khi đó, ta có, cho |z| ≤ 10R: 2M + (T10R (K))n Bây ta áp dụng hai định lý không đổi [K,Prop 4.5.6] cho hàm đa điều |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ (3.8) hòa log |qn (z)f (z) − pn (z)| sử dụng kết (3.5) (3.8) ta được, với |z| < 10R: (3.9) |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ [−n log T10R (K) + log(2M + 1)] (1 + u(z)) - n(log a)(u(z)) Ở u(z) := u∗K,B(0,10R) (z) Bổ đề 2.1 Từ M > log T10R (K) < (xem (2.12)) số hạng bên phải (3.9) không giảm ta thay (1 + u(z)) Hơn nữa, số hạng thứ hai vế phải (3.9) ta sử dụng đánh giá Bổ đề 2.1 (đúng với |z| = 2R) Khi đó, từ log a < ta có, với |z| = 2R: (3.10) log |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ −n log T10R (K) + log(2M + 1) + n(log a)cCap(K, B(0, 10R)) Theo luật số mũ sử dụng ngun lý mơ Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 29 đun cực đại ta có, với |z| ≤ 2R : 2M + ncCap(K,B(0,10R)) a (T10R (K))n sinh kết Từ đạt kết hội tụ theo dung lượng, |qn (z)f (z) − pn (z)| ≤ (3.11) từ kết Bổ đề 2.2 ta đánh giá dung lượng xác lập |qn (z)| nhỏ, xem [C-D-L] Ta đặt, với < α < n Wn (α) := z ∈ B(0, 2R)||qn (z)| < α (3.12) n o với qn (z) đa thức có bậc ≤ n chuẩn hóa (3.4) Bổ đề thấy dung lượng Wn (α) phụ thuộc vào n qn phụ thuộc vào α dung lượng K Hơn nữa, dung lượng Wn (α) tiến tới Đặc biệt, ta có (với 4R < 1): Bổ đề 2.3 Có số β > cho: Cap(Wn (α), B(0, + R)) ≤ β + log α/ log T1+R (K) Chứng minh Lưu ý T1+R (K) < biểu thức log α/ log(T1+R (K)) > Khi đó, từ (2.5) (3.4) ta có: với |z| ≤ + R (T1+R (K))n Cho z0 điểm thuộc K cho: (3.13) |qn (z)| ≤ |qn (z0 )| = (3.14) Đặt (1/n) log |qn (z)| + log T1+R (K) − log T1+R (K) Khi u1 ∈ P SH(B(0, + R), u1 < u1 (z0 ) = −1 (3.15) u1 (z) := Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/