Xấp xỉ hàm tuần hoàn bằng đa thức lượng giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC HÀ SỸ TIẾN XẤP XỈ HÀM TUẦN HOÀN BẰNG ĐA THỨC LƢỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC HÀ SỸ TIẾN XẤP XỈ HÀM TUẦN HOÀN BẰNG ĐA THỨC LƢỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Đinh Dũng THANH HÓA, 2015 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học theo Quyết định số…… ngày tháng năm … Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan Công tác Chức danh Hội đồng ………………………… …………………………… Chủ tịch ………………………… …………………………… Phản biện ………………………… …………………………… Phản biện ………………………… …………………………… Ủy viên ………………………… …………………………… Thƣ ký Xác nhận Ngƣời hƣớng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng năm * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Bộ môn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Ngƣời cam đoan Hà Sỹ Tiến ii LỜI CẢM ƠN Lời em xin chân thành cảm ơn GS TSKH Đinh Dũng, ngƣời giảng dạy bảo cho em nhiều kiến thức sâu sắc, ngƣời tin tƣởng giao đề tài tận tình hƣớng dẫn em trình làm luận văn Thầy động viên, nhắc nhở, khích lệ em, giúp em vƣợt qua nhiều khó khăn để hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Viện tốn học cao cấp, Viện CNTT, trƣờng Đại học Khoa "Khoa học tự nhiên" trƣờng Đại học Hồng Đức truyền đạt cho chúng em kiến thức chuyên môn quý báu nhƣ phƣơng pháp làm việc Từ tạo điều kiện cho chúng em học tập tốt hai năm cao học trƣờng Đại học Hồng Đức Em xin chân thành cảm ơn Đảng ủy, BGH thầy cô giáo trƣờng THPT Lê Lợi Thọ Xuân - nơi em công tác, tạo điều kiện, giúp đỡ trình em học cao học Tôi xin cảm ơn tập thể lớp cao học 2012 – 2014, đặc biệt bạn nhóm Tốn ứng dụng, bạn giúp đỡ tơi nhiều trình học tập soạn thảo luận văn Cuối xin đƣợc gửi lời cảm ơn sâu sắc tới bố mẹ, gia đình, ngƣời thân ngƣời sát cánh động viên trình học tập cơng tác Luận văn đƣợc thực hoàn thành trƣờng Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa dƣới hƣớng dẫn GS TSKH Đinh Dũng Thanh Hóa, tháng năm 2015 Tác giả iii MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng 1.SƠ LƢỢC LỊCH SỬ XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC LƢỢNG GIÁC Chƣơng ĐA THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ TÍNH CHẤT 2.1 Một số đa thức lƣợng giác quan trọng 2.2 Bất đẳng thức Bernstein- Nikol'skii 18 2.3 Định lý Marcinkiewicz 24 Chƣơng XẤP XỈ CÁC HÀM SỐ TRONG LỚP W rq, VÀ H rq 27 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Vấn đề thuyết xấp xỉ việc lựa chọn phƣơng pháp xấp xỉ thích hợp Trong luận văn sử dụng số cách tiếp cận khác để đánh giá phƣơng pháp xấp xỉ Chúng ta nghiên cứu vấn đề với xấp xỉ hàm số tuần hoàn biến Theo định lý Weierstrass với hàm f liên tục xấp xỉ đa thức lƣợng giác với độ xác tùy ý, nghĩa với   , tồn đa thức lƣợng giác T cho f  T   Trên sở nội dung luận văn trình bày chƣơng I xấp xỉ hàm số biến sách chuyên khảo "V.N Temlyakov, Approximation of periodic functions, Nova Science Publishers Inc Commack, NY, 1993" Bố cục luận văn nhƣ sau: Chƣơng Sơ lƣợc lịch sử xấp xỉ đa thức lƣợng giác Chƣơng Đa thức lƣợng giác tính chất 2.1 Một số đa thức lƣợng giác quan trọng 2.2 Bất đẳng thức Bernstein- Nikol'skii 2.3 Định lý Marcienkiewicz Chƣơng Xấp xỉ hàm số lớp W q,r  H qr Luận văn đƣợc thực dƣới hƣớng dẫn tận tình GS TSKH Đinh Dũng Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy giúp đỡ em việc đọc tài liệu, kiểm tra kiến thức, định hình luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy cô trƣờng Đại học Hồng Đức, khoa Khoa học tự nhiên, phòng Đào tạo kiến thức quý em nhận đƣợc thời gian học tập trƣờng Chƣơng SƠ LƢỢC LỊCH SỬ XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC LƢỢNG GIÁC Vấn đề lý thuyết xấp xỉ lựa chọn phƣơng pháp xấp xỉ hiệu Chúng ta nghiên cứu vấn đề xấp xỉ hàm biến đa thức lƣợng giác Hai tham số chủ yếu nghiên cứu phƣơng pháp xấp xỉ độ xác độ phức tạp Những khái niệm đƣợc xử lý cách khác phụ thuộc vào đặc thù toán xấp xỉ cụ thể Ở ý tƣởng cổ điển xấp xỉ hàm số đa thức lƣợng giác Sau báo Fourier (1807) biểu diễn hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 chuỗi Fourier trở thành điều tự nhiên Nói cách khác hàm số f ( x) đƣợc biễu diễn xấp xỉ tổng chuỗi Fourier: S n ( f , x)  ak  a0 n   (a cos kx  bk sin kx), k 1 k 1 f ( x )cos kxdx , b  f ( x)sin kxdx k      Chúng ta quan tâm tới xấp xỉ hàm số f đa thức lƣợng giác số không gian L p ,  p   Trong trƣờng hợp p   dùng chuẩn Để xác định độ xác phƣơng pháp xấp xỉ hàm số tuần hoàn tổng chuỗi Fourier nghiên cứu đại lƣợng f  S ( f ) p Độ phức tạp phƣơng pháp xấp xỉ chứa hai đặc trƣng sau Bậc đa thức lƣợng giác Sn ( f ) đặc trƣng định lƣợng Nhận xét sau cho đặc trƣng định tính Các hệ số đa thức đƣợc tìm cơng thức Fourier có nghĩa tốn tử Sn phép chiếu trực giao không gian đa thức lƣợng giác bậc n Năm 1854 Chebyshev đề xuất biểu diễn hàm số liên tục f xấp xỉ tốt đa thức, tức đa thức tn ( f ) cho: def n f  tn ( f )   En( f )  inf f ( x )   (  k cos kx  k sinkx ) k 0  ,  k k Ông chứng minh đƣợc tồn đa thức Chúng ta xem xét phƣơng pháp xấp xỉ không chuẩn mà tất chuẩn không gian L p ,(1  p  ) Độ xác phƣơng pháp Chebyshev dễ dàng so sánh với độ xác phƣơng pháp Fourier: En ( f ) p  f  Sn ( f ) p Tuy nhiên, thật khó để so sánh độ phức tạp hai phƣơng pháp Đặc trƣng định lƣợng trùng nhƣng đặc trƣng định tính lại khác (ví dụ: khơng khó để hiểu p   ánh xạ f  tn ( f ) tốn tử tuyến tính) Năm 1873 Du Bois – Reymond đƣa ví dụ hàm liên tục f mà f  Sn ( f )    n   , định lý Weierstrass nói với hàm số liên tục f ta có En ( f )  n   , tính ƣu việt phƣơng pháp Chebyshev so với phƣơng pháp Fourier Với mong muốn xây dựng phƣơng pháp tính xấp xỉ có ƣu điểm phƣơng pháp Fourier Chebyshev dẫn tới nghiên cứu nhiều phƣơng pháp khác dựa chuỗi Fourier Trên quan điểm xấp xỉ, quan trọng phƣơng pháp de la Vallée – Poussin, phƣơng pháp Fejer phƣơng pháp Jackson đƣợc xây dựng đầu kỷ 20 Tất phƣơng pháp tuyến tính Ví dụ nhƣ phƣơng pháp de la Vallée – Poussin phƣơng pháp xấp xỉ hàm f đa thức 2n1 Vn ( f )  1n  Sl ( f ) bậc 2n 1 l n Độ xác phƣơng pháp ta thấy tƣơng tự nhƣ phƣơng pháp Chebyshev; de la Vallée – Poussin chứng minh f Vn ( f ) p  4En ( f ) p ,  p   Trên quan điểm độ phức tạp gần với phƣơng pháp Fourier tính tuyến tính điều để phân biệt với phƣơng pháp Chebyshev Chúng ta thấy điểm chung tất phƣơng pháp xấp xỉ đa thức lƣợng giác; cách xây dựng đa thức khác nhau: phép chiếu trực giao không gian đa thức lƣợng giác có bậc cố định, tốn tử xấp xỉ tốt nhất, tốn tử tuyến tính Vì xấp xỉ hàm số tuần hồn đa thức lƣợng giác điều tự nhiên vấn đề đƣợc nghiên cứu cách nghiêm túc Việc xấp xỉ hàm số đa thức đại số đƣợc nghiên cứu song song với đa thức lƣợng giác Ngay đƣa số kết đƣợc xác định rõ nghiên cứu số vấn đề liên quan tới thuyết xấp xỉ Những vấn đề đƣợc quan tâm tận ngày De la Vallée – Poussin chứng minh vào năm 1908 xấp xỉ tốt hàm số x đoạn  1,1 đa thức đại số bậc n đƣợc đánh giá nhƣ sau en ( x )  C n Ông đặt câu hỏi khả làm tốt cách đánh giá Bernstein (1912) chứng minh đánh giá xác Hơn nữa, sau ơng thiết lập dáng điệu tiệm cận dãy en ( x ) nhƣ sau: en ( x )    o( ), n n   0.282 0.004 Những kết khởi xƣớng hàng loạt nghiên cứu xấp xỉ tốt hàm số đơn lẻ có tính suy biến Trong giai đoạn nghiên cứu có giả thuyết tự nhiên rằng: hàm số trơn dãy xấp xỉ giảm nhanh Vào năm 1911 Jackson chứng minh bất đẳng thức: En ( f )  Cnr ( f (r ) ,1/ n) 26 Đánh giá dƣới  p   đƣợc chứng minh cách giống nhƣ m(t ) với phép xl x(l ) Đánh giá dƣới p   rõ ràng 27 Chƣơng XẤP XỈ CÁC HÀM SỐ TRONG LỚP W rq, VÀ H rq Với r    hàm số  Fr ( x, )   2 k  r cos(kx- /2) k 1 gọi nhân Bernoulli Ta định nghĩa toán tử sau không gian L1 2 ( Ir  )( x)  (2 ) 1  Fr ( x  y,  ) ( y) dy (3.1) Chúng ta chứng minh định nghĩa toán tử hợp lý Để chứng minh điều cần chứng minh Fr  L1` ĐỊNH LÝ 3.1 Với r  ,   Fr  L1 , ta có En ( Fr )1  C (r )(n  1) r , n  0,1, CHỨNG MINH Ta xét hàm số f ( x, )  r s   As(x)  1  2 k r cos(kx -  /2)  k 1   s As(x) đƣợc định nghĩa Chƣơng Đầu tiên xét trƣờng hợp  =0 Sử dụng Định lý 2.1 giống nhƣ chứng minh bất đẳng thức (2.3) ta nhận đƣợc f sr ( x,0)  C(r )2rs (3.2) Hơn nữa, f sr ( x, )  Dr f s2 r ( x,0) , đó, từ (3.2) qua Định lý 2.2 ta tìm đƣợc f sr ( x, )  C(r )2 rs Vì chuỗi   f sr ( x, ) s 0 hội tụ L1 tới hàm số f ( x) (3.3) 28   f sr ( x,  )  C (r )2 rm s m (3.4) n Từ định nghĩa hàm số f sr ( x, ) ta có Sn ( f )   2 k  r cos(kx- /2) , k 1  f  Sn ( f )   f sr ( x,  )  Sn ( f sr ( x,  ) s 0   f sr  Sn ( f sr )  C ln(n  2)  f sr  s:2 n 2s n s  C (r )n ln(n  2) r (3.5) Ta sử dụng Định lý 1.1 quan hệ (3.3) Quan hệ (3.5) chuối xác định hàm số Fr ( x, ) hội tụ L1 tới hàm số f ( x) Kết luận định lý đƣợc chứng minh Kết luận thứ hai định lý đƣợc suy từ quan hệ (3.4) Ta thiết lập số tính chất tốn tử Dr I r Từ đẳng thức (   L1 ) 2 2 (  )1   (  )1  ( u )cos(k(y-u) + /2)du cos(k(x-y)+ /2)dy  du    2  (  )1  ( u )cos(k(x - u)+ (  + ) /2)du suy đẳng thức sau với k khác 0, D1 Dr  Dr r , (3.6) Ir Ir  Ir r , (3.7) Dr Ir  Ir Dr  I (3.8) r 1 1 2 2 1 2 ( Ta giả thiết toán tử tác động lên đa thức lƣợng giác) Ký hiệu W rq, B,r  0,  ,1  q   lớp hàm số f ( x) biểu diễn dạng f =Ir  ,  q  B (3.9) Đối với hàm số có dạng (3.9) với số q B ta định nghĩa (xem (3.8)) Dr f   29 Để suy điều ta cần sử dụng tới hệ định lý Littlewood – Paley ( Xem [1 ] trang 18) Cho G tập hữu hạn véc tơ s toán tử SG ánh xạ từ hàm số f  L p , p  tới hàm số SG ( f )    s ( f ) Khi sG SG L p L p  C (d , p),  p   Giả sử  q  p  ,   1/ q 1/ p Từ hệ vừa nêu bị chặn toán tử lƣợng giác liên hợp nhƣ toán tử từ L p tới L p với  p   suy I q p  C ( q, p ) (3.10) Quan hệ (3.7) (3.10) kéo theo định lý nhúng sau ĐỊNH LÝ 3.2 Giả sử  q  p  ,   1/ q 1/ p, r   W rq,1  W r-p, B , 1 ,   Chúng ta định nghĩa lớp H rq B , r  0,1  q   sau:  H rq B  f  Lq : f   B, ta f ( x) q  B t , a  r   , r q t f ( x)  f ( x)  f ( x  t ), ta  (t ) a Trong trƣờng hợp B  ta khơng viết ký hiệu Ta nghiên cứu lớp quan điểm xấp xỉ đa thức lƣợng giác ĐỊNH LÝ 3.3 Cho r  0,  q   En (H rq )q (n 1)r , n  0,1, CHỨNG MINH Chúng ta chứng minh đánh giá Rõ ràng thỏa mãn xét trƣờng hợp n  Giả sử f H rq ta xét  t ( x)  (2 )1  ( f ( x)  ay f ( x)) J na ( y)dy  Khi t T (an) 30  f ( x)  t ( x)  (2 ) 1   ay f ( x) J na ( y) dy  Ta có bất đẳng thức Minkowski.( xem [1] trang 9) Giả sử  p  ,   (., y)d  ( y) p    (., y) p d  ( y) Do tổng quát bất đẳng thức Minkowskii ta có  f  t q  (2 )1   ay f ( x) q J na ( y)dy  Điều với định nghĩa lớp H rq quan hệ (1.19) kéo theo f  t q  C(r )nr Đánh giá đƣợc chứng minh Bây chứng minh đánh giá dƣới Ta xây dựng hàm số mà dùng chứng minh tổng quát Định lý 3.6 Giả sử cho n  s cho 4n  2s  8n Ta xét f ( x)  2(r 11/ q)s As(x) (3.11) Ta ý để chứng minh Định lý 3.3 cần xét hàm đơn giản f ( x)  (n  1) r ei ( n 1) x Khi t T (n) , ( f  t , As )  ( f , As )  2(r 11/ q)s || As|| 22  C 2(r 1/ q)s (3.12) Mặt khác sử dụng định nghĩa As (1.14) ta có | ( f  t , As )  f  t q || As || '  C 2s / q f t q'  C 2(r 1/ q) s q Từ quan hệ (3.12) (3.13) ta nhận đƣợc En ( f )q  C 2rs  Cnr Để f H rq B , ta chứng minh phát biểu bổ trợ sau (3.13) 31 BỔ ĐỀ 3.1 Giả sử g ( x) hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2 Khi với  q   ta có  ay g ( x) q  y a g ( a ) ( x) q CHỨNG MINH Rõ ràng bất đẳng thức đƣợc thỏa mãn xét trƣờng hợp a  Ta có x y y '  y g ( x)   g (u)du   g '( x  u )du  y g ' q q x q q điều cần tìm Từ (3.11), (1.14) bất đẳng thức Bernstein (định lý 2.2) ta có f (a) q  C (a)2(ar )s (3.14) Sử dụng Bổ đề 3.1 bất đẳng thức đơn giản  ay f ( x)  2a f q , q ta nhận đƣợc ay f ( x) q a  C (a)min( y nar , nr ) (3.15) Điều dẫn tới f H rq B với B không phụ thuộc vào n Chứng minh đánh giá dƣới Chúng ta chứng minh định lý biểu diễn cho lớp H rq B Giả sử As ( f ) = As  f ký hiệu giá trị As ( f ) điểm x As ( f , x) r ĐỊNH LÝ 3.4 Giả sử f  Lq ,1  q  , f q  Để ta f q  t , a  [r]+1 điều kiện cần đủ điều kiện sau thỏa mãn: As ( f ) q  C (r , q)2rs , s  0,1 (Hằng số C (r , q) điều kiện cần đủ khác nhau) 32 CHỨNG MINH Điều kiện cần Giả sử f H rq B ; với ts T (2s 2 ), s  ta có As ( f )  As ( f  ts ) , As ( f ) q  ||As||1 f  ts q Áp dụng Định lý 3.3 sử dụng quan hệ (2.2) ta có As ( f ) q  C (r , q)2rs Điều kiện đủ Giả sử As ( f ) q   2rs (3.16) Để chứng minh điều kiện đủ ta cần sử dụng tới Hệ Định lý 5.1 (xem [1 ] trang 125 – 127) Định lý 5.1:Với f  L p ,1  p   , ta có En ( f ) p  C (a)a ( f ,1/ n) p , n  1,2, Hệ Cho  p   , f , g  L p với k giả sử f (k )  g (k ) Khi hàm số f g tương đương Hơn f g liên tục chúng trùng Khi sử dụng Hệ định lý 5.1 ta có  f   As ( f ) , s0 với nghĩa hội tụ Lq  ta f q   ta As ( f ) s1 q Từ Bổ đề (3.1) ta tìm cách giống nhƣ (3.15), ta As ( f ) q  C (a)2rs min(1,( t 2s )a ) (3.17) (3.18) 33 Từ (3.17) (3.18) ta nhận đƣợc r ta ( f ) q  C (r ) t Ta kết thúc việc chứng minh Định lý 3.4 ta lấy   1/ C (r ) HỆ QUẢ Trong trường hợp 1 Ta có kết luận H rq  H rp  B (trong trường hợp p   có nghĩa với f  H rq tồn hàm tương đương g  H r   B ) CHỨNG MINH Giả sử f  H rq Bằng định lý 3.4, ta có As ( f ) q  C ( r , q)2  rs Do đó, bất đẳng thức Nikol'skii (Định lý 2.3) ta có As ( f ) Giả sử g ( x ) tổng chuỗi  p  s 0  C (r , q)2 ( r   ) s (3.20) As ( f , x) hội tụ L p Từ Hệ Định lý 5.1 f g tƣơng đƣơng Từ (3.20) đẳng thức As ( f )  As ( g ) qua định lý 3.4 ta nhận đƣợc g  H rp  B Định lý đƣợc chứng minh Với thêm vào Định lý 3.5 ta chứng minh khẳng định sau ĐỊNH LÝ 3.6 Giả sử  q, p  , r  (1/ q  1/ p)  Khi đó, ta có En (W q,r  ) p En (H qr ) p n  r  (1/ q 1/ p ) CHỨNG MINH Vì quan hệ (3.19) cần chứng minh đánh giá lớp H đánh giá dƣới lớp W Đầu tiên ta chứng minh đánh giá Giả sử  q  p   Khi Định lý 3.5 3.3 cho ta En (qr ) p n r 1/ q1/ p (3.21) 35 Đối với  q  p   tính đơn điệu chuẩn L p Định lý 3.3, En (H rq )p  En (H rq )q n r Từ điều quan hệ (3.21) cho ta đánh giá cần tìm Bây chứng minh đánh giá dƣới Giả sử n s giống nhƣ chứng minh đánh giá dƣới Định lý 3.3 f đƣợc định nghĩa (3.11) Khi qua bất đẳng thức Bernstein, Dr f q  C (r ) Do đó, f  W q,r  C (r ) Giả sử  q  p   Từ Quan hệ (3.12) Quan hệ (3.13) với p thay q ta có En ( f ) p  Cn r 1/ q1/ p (3.22) Với  q  p   cần xét ví dụ f ( x)  2(n  1)  r cos(n  1) x Khi f  W r , với t  T (n)   ( f ( x)  t ( x), cos(n  1) x) = (n  1)-r   f t Điều dẫn tới đánh giá sau En (W r , )1  (n  1)r (3.23) đánh giá dƣới cần tìm đƣợc suy từ (3.22) (3.23) Định lý đƣợc chứng minh CHÚ Ý Định lý 1.2 suy với f  L p bất đẳng thức sau đúng, f  Vn ( f ) p  En ( f ) p , 1 p   (3.24) Bất đẳng thức đƣợc gọi bất đẳng thức Vallee – Poussin Điều định lý 3.6 với  q, p   sup f  Vn ( f ) f  qr def p  Vn (H rq ) p quan hệ tƣơng tự lớp W E 2n (H rq ) p (3.25) 36 Vì thế, lớp W q,r  H qr tồn phƣơng pháp trơn đƣa đến xấp xỉ có thứ tự tốt CHÚ Ý Định lý 1.1 với  p   f  L p f  Sn ( f ) p  C ( p) En ( f ) p (3.26) Do đó, quan tâm vào phụ thuộc xấp xỉ hàm f  L p vào n trƣờng hợp  p   xét phƣơng pháp xấp xỉ đơn giản phƣơng pháp Fourier Phần cịn lại lớp W q,r  H qr với  q, p   ngoại trừ trƣờng hợp q  p  q  p   Với hàm số lớp F ta ký hiệu Sn ( F )n  sup f  Sn ( f ) p f F ĐỊNH LÝ 3.7 Giả sử  q, p  , ( p, q)  (1,1), (, ), r  (1/ q  1/ p) Khi S n (W rq , )p S n (H rq )p n  r  (1/ q 1/ p ) CHỨNG MINH Trong trƣờng hợp  p   kết luận định lý đƣợc suy theo Định lý 3.6 quan hệ (3.26) Còn lại xét trƣờng hợp p  1, q  1 q  p   Trong trƣờng hợp p  1, q  ta có Sn (W rq )1  Sn (H r * ) q q * nr Trong q*  min(q,2) Bây xét  q  p   Trong trƣờng hợp  q  qua Định lý 3.5 ta có H rq  H r2(1/ q1/2) B Điều thỏa mãn xét trƣờng hợp  q   Trong trƣờng hợp qua Định lý 1.1 hệ Định lý 3.4 ta có s  sn , sn số cho: 2sn 1  n  2sn :  s ( f ) q  C (r , q)2rs , 37  s ( f )  Sn ( s ( f )) n n q  C(r, q)2rs Từ bất đẳng thức này, sử dụng bất đẳng thức Nikol'skii, ta có: f  Sn ( f )    s ( f )  Sn ( s ( f ))    s ( f )   n n  s s n  C (r , q)  2(r 1/ q) s  C (r, q) nr 1/ q s sn Điều kết thúc chứng minh Định lý 3.7 Chúng ta tiếp tục xét trƣờng hợp p  q  1,  trƣờng hợp bị loại trừ Định lý 3.7 Trƣờng hợp ta nhận đƣợc từ Định lý 1.1 theo bất đẳng thức sau: với f  L p , p  1,  , f  Sn ( f ) p  C (ln n) En ( f ) n  2,3, (3.27) ĐỊNH LÝ 3.8 Giả sử p  r  Sn (W rp,  )p Sn (H rp )p nr ln n n  2,3 CHỨNG MINH Đánh giá đƣợc suy theo Định lý 3.6 bất đẳng thức Lebesgue (3.27) Do (3.19) nên cần chứng minh đánh giá dƣới lớp W Đầu tiên ta ý r S n (W 1,r  )1 = S n (W  , )  (3.28) Thật Sn (W 1,r  )1 = sup Fr ( x, )*(  Sn ( ))  11  sup sup ( Fr ( x,  )*(  Sn ( )), )  11   1  sup sup ( , Fr ( x,  )*(  Sn ( )))  11   1 r  S n (W  , )  Vì để đạt đƣợc đánh giá dƣới cần xét trƣờng hợp p  Giả sử n cho trƣớc Ta xét f ( x)  einx n1( x) 38 Khi qua bất đẳng thức Bernstein Dr f  C (r )nr n1  C (r )nr (3.29) Hơn nữa, (xem lý luận tƣơng tự nhƣ chứng minh Định lý 2.16) n n f  Sn ( f )   (1  k n)eikx   (1  k n)sin kx k 1 k 1    (1  k n)k 1    x   C ln n n  k 1 1  Các Quan hệ (3.28) – (3.30) dẫn tới kết luận Định lý 3.8 (3.30) 39 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Ta thấy có nhiều cách để xấp xỉ hàm số f liên tục Tuy nhiên tùy theo đặc thù hàm mà ta chọn phƣơng pháp xấp xỉ phù hợp Luận văn trình bày đa thức lƣợng giác quan trọng thƣờng dùng để xấp xỉ hàm số biến tính chất chúng Đồng thời luận văn trình bày nội dung định lý chứng minh cách tƣờng minh định lý có vai trị quan trọng thuyết xấp xỉ nói chung xấp xỉ hàm biến nói riêng Nội dung luận văn tóm tắt nhƣ sau: Trình bày sơ lƣợc lịch sử phát triển thuyết xấp xỉ đa thức lƣợng giác hàm số biến Trình bày số đa thức lƣợng quan trọng thƣờng dùng để xấp xỉ hàm số biến Trình bày chứng minh cách tƣờng minh định lý: Bernstein; Nikol'skii; Marcinkiewicz r r Trình bày cụ thể xấp xỉ tốt hàm số lớp W q,  H q 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Temlyakov, Approximation of perodic function, Nova Science Publishers Inc, com mack NY, 1993 [2] Temlyakov V.N , Approximation of functions of several variables with bounded mixed derivative, Dokl 248 ( 1979 pages 527 – 531); English transl in SM Dokl 20 (1979) [3] Temlyakov V.N , Approximation of functions of several variables with bounded mixed difference, Dokl 253 , 554 – 548; English transl in SM Dokl 22 (1980) [4] Temlyakov V.N , Approximation of functions of several variables with bounded mixed difference, Mat Sb 113(155) (1980) , 65 – 68; English transl in Mat Sb 41 (1982) [5] Temlyakov V.N., Withs of some classes of function of several variables, Dokl 267 (1982), 314 – 317; Englishtransl in SM Dokl 26 (1982) [6] Temlyakov V.N., Approximation of functions with a bounded mixed difference by trigonometric polynomials, and the withs of some classes of function, Izv 46 (1982), 171 – 186; English transl in MIzv 20 (1983) [7] Tikhomirov V.M , On n – dimensional diameters of certain functional classes, Dokl 130(1960), 734 – 737; English transl in Soviet Math (1960), no [8] Tikhomirov V.M , Withs of sets in function spaces and the theory of best approximation, UMN 15 (1960), 81 – 120; English transl in RMS Math 15 (1960) [9] Trigub R M , Summability and absolute convergence of the Fourier series in total, in Metric Quest Of Theory of Approx, and Mapping, Naukova, Kiev, 1971, pp 173 – 266