Xấp xỉ phi tuyến hàm tuần hoàn bằng phân rã sóng nhỏ

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Trịnh Thị Thu Huyền i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa hướng dẫn TS Mai Xuân Thảo Tác giả xin chân thành cảm ơn bảo tận tình với nhận xét q báu để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Quản lý sau đại học, thầy cô giáo khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, người tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn đồng nghiệp, bạn học viên, người động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Do khả thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn chưa đầy đủ có thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thanh Hóa, tháng năm 2021 Tác giả Trịnh Thị Thu Huyền ii Mục lục Mở đầu Chương Phân rã sóng nhỏ khơng gian Besov 1.1 Không gian Besov .7 1.2 Nhân De La Vallée Poussin 10 1.3 Phân rã sóng nhỏ 16 Chương Xấp xỉ phi tuyến 26 2.1 Xấp xỉ phi tuyến n - số hạng 26 2.1.1 Xấp xỉ phi tuyến n - số hạng 26 2.1.2 Xấp xỉ phi tuyến n - số hạng không gian hữu hạn chiều 27 2.1.3 Xấp xỉ phi tuyến n - số hạng lớp hàm số Besov 29 2.2 Trường hợp hàm nhiều biến 38 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết xấp xỉ nghiên cứu phương pháp thay lượng thông tin vô hạn hàm số lượng thông tin hữu hạn gần Cơng trình khoa học Chebyshev xuất năm 1854 đặt móng cho lý thuyết xấp xỉ hướng nghiên cứu độc lập Trước Euler, Gauss, Legendre có số nghiên cứu xấp xỉ Năm 1885 Weierstrass chứng minh hàm liên tục đoạn thẳng xấp xỉ đa thức đại số với độ xác tùy ý Kết làm nảy sinh ý tưởng tìm mối liên hệ tính chất hàm số tốc độ xấp xỉ đa thức lượng giác Từ ý tưởng hình thành hướng nghiên cứu xấp xỉ hàm số riêng biệt mà lớp hàm số Ngày nay, xấp xỉ khơng lĩnh vực có ý nghĩa lý thuyết sâu sắc mà gắn liền với ứng dụng lĩnh vực khác tính tốn khoa học, xử lý liệu, Đối với lý thuyết xấp xỉ cổ điển, công cụ đa thức hàm hữu tỷ, với phương pháp xấp xỉ thường tuyến tính Ở lý thuyết xấp xỉ đại, ngồi cơng cụ phương pháp quen thuộc, cơng cụ splines, sóng nhỏ, phương pháp phi tuyến ngày đóng vai trị quan trọng Bây ta xét toán xấp xỉ tổng quát: Hàm cần xấp xỉ thường giả thiết thuộc không gian định chuẩn X Để xấp xỉ f ∈ X ta sử dụng tập hợp A X bao gồm phần tử dùng để xấp xỉ, thường hàm đơn giản thuận lợi cho tính toán Sai số xấp xỉ hàm f phần tử ϕ ∈ A, đo chuẩn k f − ϕk hiệu f ϕ Đại lượng E( f , A, X) := inf k f − ϕk ϕ∈A đo sai số xấp xỉ tốt f phần tử thuộc A Trong xấp xỉ tuyến tính, tập hợp A đa tạp tuyến tính, cịn xấp xỉ phi tuyến A tập hợp phi tuyến Giả sử W ⊂ X lớp hàm cần xấp xỉ xác định tính chất chung biết, chẳng hạn hàm thuộc W có chung độ trơn Đại lượng E(W, A, X) := sup E( f , A, X) f ∈W đo sai số trường hợp xấu xấp xỉ hàm f thuộc W A Nói chung việc tăng độ xác xấp xỉ hàm, đạt nhờ tăng liên hợp phần tử dùng để xấp xỉ qua phân tích xấp xỉ Phân tích xấp xỉ định nghĩa dãy tăng {An }∞ n=1 tập hợp phần tử xấp xỉ cho ∞ n=1 An trù mật X Tham số n thường biểu thị liên hợp phần tử xấp xỉ, số chiều tuyến tính An logarit dung lượng S An Với phân tích xấp xỉ {An }∞ n=1 hàm cần xấp xỉ f đại lượng E( f , An , X) hàm n E( f , An , X) −→ n tiến tới ∞ Một vấn đề trung tâm lý thuyết xấp xỉ tính bậc tiệm cận E( f , An , X) biết độ trơn hàm f Chẳng hạn hàm 2π - tuần hồn f thuộc khơng gian Sobolev Wpr , ≤ p ≤ ∞ tức f ∈ L p (T), f (r−1) tuyệt đối liên tục f (r) ∈ L p (T), với T := [−π, π], sai số xấp xỉ tốt f đa thức lượng giác có bậc khơng lớn n ký hiệu En ( f ) p có chặn En ( f ) p := E( f , Tn , L p (T)) ≤ Cn−r , với Tn không gian đa thức lượng giác có bậc khơng lớn n Đây hệ trực tiếp định lý thuận xấp xỉ đa thức lượng giác So với xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ phi tuyến có lợi hẳn Để minh họa cho khẳng định này, ta xét trường hợp xấp xỉ không gian Hilbert tách H Giả sử {ϕk }∞ k=1 sở trực chuẩn H Khi phần tử f thuộc H phân tích thành chuỗi Fourier sở sau ∞ f= ∑ fk ϕk k=1 Ờ fk := h f , ϕk i hệ số Fourier thứ k h., i ký hiệu tích vơ hướng Đối với xấp xỉ tuyến tính, ta lấy khơng gian tuyến tính Ln tổ hợp tuyến tính n số hạng ϕk , k = 1, 2, , n để xấp xỉ f Dễ dàng kiểm tra tổng riêng thứ n chuỗi Fourier ∞ Pn f := ∑ f k ϕk k=1 xác định xấp xỉ tốt f phần tử thuộc Ln sai số xấp xỉ ∞ ∞ En ( f , Ln , H) = k f − Pn f k = k ∑ fk ϕk k = ( k=n+1 ∑ | fk |2 )1/2 k=n+1 Tuy nhiên xấp xỉ tuyến tính khơng có hiệu thực tế, n hệ số Fourier fk , k = 1, 2, , n nhỏ Bây ta chuyển sang xấp xỉ phi tuyến Ta chọn n số hạng tùy ý từ ϕk , k = 1, 2, để xấp xỉ f tổ hợp tuyến tính chúng Ta xếp hệ số Fourier fk theo thứ tự tăng dần số, cho giá trị tuyệt đối chúng thỏa mãn | fk1 | ≥ | fk2 | ≥ ≥ | fk j | ≥ , (1) định nghĩa thuật toán tham lam sau n Gn f := ∑ f k j ϕk j (2) j=1 Sai số xấp xỉ f phép xấp xỉ Gn f ∞ k f − Gn f k = ( ∑ | fk j |2 )1/2 ≤ k f − Pn f k = En ( f , Ln , H) j=n+1 Qua ta thấy với hàm f việc xấp xỉ Gn f ln thích hợp, xấp xỉ cịn tốt xấp xỉ tốt Pn f xấp xỉ tuyến tính Ln Sóng nhỏ khám phá phát triển nhanh từ năm 1980 Những khám phá quan trọng lý thuyết sóng nhỏ phân tích đa phân giải Mallat (xem [12]), giá compact sóng nhỏ Meyer (xem [13]) giá compact sóng nhỏ trực giao với độ trơn tùy ý Daubechies (xem [1]) Ta tìm hiểu ý tưởng kiến thức sở sóng nhỏ qua [10] Sóng nhỏ cơng cụ thích hợp với xấp xỉ phi tuyến tính tốn số Sóng nhỏ sinh phân rã đơn giản có hiệu hàm cần xấp xỉ thành chuỗi tịnh tiến nguyên co giãn nhị nguyên hàm đơn giản Các phân rã có liên hệ mật thiết với phân tích đa phân giải, phân tích không gian hàm thành dãy tăng không gian đóng gọi khơng gian thang bậc sinh từ tịnh tiến nguyên mức nhị nguyên Trong xấp xỉ tuyến tính sử dụng phân rã sóng nhỏ, phần tử xấp xi lấy từ khơng gian thang bậc tuyến tính Trong xấp xỉ phi tuyến n - số hạng sử dụng phân rã sóng nhỏ, hàm cần xấp xỉ xấp xỉ tổ hợp tuyến tính n số hạng tùy ý từ mức nhị nguyên khác nhau, tạo thành tập hợp phi tuyến Bây ta đưa khái niệm xấp xỉ n - số hạng không gian tựa chuẩn Giả sử X khơng gian tuyến tính tựa chuẩn Φ = {ϕk }∞ k=1 họ phần tử X (Một tựa chuẩn |.| định nghĩa chuẩn, thay bất đẳng thức tam giác k f + gk ≤ C(k f + gk) với C số dương) Ký hiệu Mn (Φ) tập hợp phi tuyến gồm tổ hợp tuyến tính n số hạng tùy ý từ Φ có dạng ϕ= ∑ ak ϕk , (3) k∈Q Q tập hợp gồm có n số tự nhiên Ta đặt Mn (Φ) = {0} giả thiết số phần tử Φ có thề trùng Trong trường hợp dặc biệt Φ tập hữu hạn tức số phần tử phân biệt Φ hữu hạn Xấp xỉ n - số hạng hàm f ∈ X họ Φ gọi xấp xỉ f bỏi phần tử từ Mn (Φ) Sai số xấp xỉ tốt đo σn ( f , Φ, X) := E( f , Mn (Φ), X (4) Cho W tập hợp X Sai số trường hợp xấu xấp xỉ n - số hạng phần tử W họ Φ xác định σn (W, Φ, X) := sup σn ( f , Φ, X) = E( f , Mn (Φ), X) (5) f ∈W Nếu bao tuyến tính Φ trù mật X, dãy {Mn (Φ)}∞ n=1 phân tích xấp xỉ Khơng tính tổng qt, ta giả thiết Φ bị chặn, tức tồn số dương C cho kϕk k ≤ C, k = 1, 2, Khi họ Φ định nghĩa (3) − (4) biểu diễn cách thuận tiện dạng Φ = {ϕk }k∈Q Q tập hợp không đếm số Ý tưởng xấp xỉ n - số hạng Schmidt (xem [15]) Xấp xỉ n - số hạng nhiều biến spline lần nghiên cứu Oskolkov (xem [14]) Gần xấp xỉ n - số hạng quan tâm nhiều khía cạnh lý thuyết lẫn ứng dụng Nó liên quan trực tiếp đến xấp xỉ phi tuyến đa thức lượng giác, spline với nút tùy ý phân rã sóng nhỏ (xem [10]) Có ứng dụng đặc biệt xấp xỉ n - số hạng ảnh xử lý tín hiệu, phương pháp số phương trình đạo hàm riêng ước lượng thống kê (xem [6]) Mục đích luận văn nghiên cứu xấp xỉ phi tuyến n - số hạng sử dụng phân rã sóng nhỏ lớp Besov hàm tuần hoàn nhiều biến SBωp,θ “Xấp xỉ phi tuyến hàm tuần hoàn phân rã sóng nhỏ” Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu xấp xỉ phi tuyến n - số hạng sử dụng phân rã sóng nhỏ lớp Besov hàm tuần hoàn nhiều biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Xấp xỉ phi tuyến n - số hạng, phân rã sóng nhỏ, lớp hàm Besov hàm tuần hoàn nhiều biến Phạm vi nghiên cứu: Sự tương đương chuẩn, bậc tiệm cận sai số xấp xỉ Phương pháp nghiên cứu • Tìm hiểu tài liệu chuyên khảo báo liên quan nhằm tổng hợp kiến thức sở phương pháp giải vấn đề • Phân tích, đánh giá phát triển kết liên quan Vận dụng phương pháp hay dùng lý thuyết xấp xỉ để đưa chứng minh kết toán nghiên cứu luận văn Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu tương đương chuẩn không gian Besov với chuẩn rời rạc dựa hệ số phân tích sóng nhỏ tương ứng Đồng thời xác lập điều kiện cần đủ để hàm số thuộc không gian Besov • Đánh giá bậc tiệm cận sai số xấp xỉ phi tuyến n - số hạng sử dụng phân rã sóng nhỏ lớp hàm Besov Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Phân rã sóng nhỏ khơng gian Besov Trong Chương 1, sau trình bày định nghĩa không gian Besov ký hiệu Qk := {s ∈ Zd ; ≤ s j < 3.2k , j = 1, 2, , d} (6) Chúng tơi trình bày chứng minh định lý tương đương chuẩn không gian Besov với chuẩn rời rạc dựa hệ số phân tích sóng nhỏ tương ứng điều kiện cần đủ để hàm f thuộc không gian Besov Chẳng hạn điều kiện cần đủ để hàm f không gian L p thuộc không gian Besov Bωp,θ f có phân rã sóng nhỏ thành chuỗi ∞ f= ∑∑ µk,s υk,s , (7) k=0 s∈Qk hội tụ theo chuẩn L p thỏa mãn tương đương chuẩn tương ứng Ở µk,s d dk hàm tuyến tính xác định R3 ×2 Các kết Chương sở cho nhiều chứng minh chương Chương 2: Xấp xỉ phi tuyến n - số hạng Ở Chương 2, chúng tơi trình bày định nghĩa xấp xỉ phi tuyến n - số hạng tính chất nó, định nghĩa xấp xỉ n - số hạng không gian hữu hạn chiều khái niệm thuật toán tham lam Khi xét xấp xỉ phi tuyến n - số hạng lớp hàm số Besov, sử dụng phân rã sóng nhỏ để xấp xỉ hàm tuần hồn thuộc lớp đánh giá bậc tiệm cận sai số xấp xỉ n - số hạng hàm thuộc lớp hàm Besov SBωp,θ sau σn (SBωp,θ ,V d , L p )  ω(d/n), V d họ sóng nhỏ sinh nhân De La Vallée Poussin Chương Phân rã sóng nhỏ khơng gian Besov Trong chương này, xét phân rã sóng nhỏ khơng gian Besov hàm tuần hồn nhiều biến có chu kỳ 2π Hàm tuần hồn nhiều biến có chu kỳ 2π xét hàm xác định d - hình xuyến Td := [−π; π ]d Tài liệu tham khảo phần [3],[4],[5],[8],[10],[16] 1.1 Không gian Besov Trước hết ta trình bày số khơng gian định chuẩn sử dụng sau Định nghĩa 1.1.1 Không gian hàm liên tục Td , ký hiệu C(Td ), bao gồm hàm thực f liên tục Td với chuẩn k f kC(Td ) := max | f (x)| x∈Td Định nghĩa 1.1.2 Không gian L p (Td ), ≤ p ≤ ∞, gồm hàm f có lũy thừa p khả tích Lebesgue Td Ta viết f ∈ L p (Td ), với ≤ p ≤ ∞ Z  1/p −1 p k f k p = (2π) | f (x)| dx < ∞ Td Giả sử < p, q ≤ ∞ theo Bổ đề 2.1.2, với số nguyên dương nk < 2k k a ∈ Bq3.2 , ta có ka − Gnk (a)kl 3.2k ≤ A p,q (3.2k , nk ) (2.9) q  1 n q − p k k A p,q (3.2 , nk ) := (3.2k − n ) 1q − 1p k 3.2k −1 Với a = ∑ as es thuộc s=0 k lq3.2 với p < q, với p ≥ q 3.2k −1 ta đặt tương ứng với hàm g = ∑ as υk,s s=0 thuộc Vk Sự tương ứng tạo nên đẳng cấu Jk từ k lq3.2 vào Vk , xác định Jk (a) := g (2.10) k 3.2 Với fk ∈ Vk , từ (2.7) (2.10) rút Jk−1 ( fk ) ∈ C.2k/p ω(2−k )B3.2 p , B p k ký hiệu hình cầu đơn vị l 3.2 p k k Khi thuật tốn tham lam Gnk xấp xỉ nk - số hạng l 3.2 p , xác định (2.8) tương ứng với thuật toán tham lam G0nk xấp xỉ nk - số hạng Vk , 3.2k −1 xác định sau: Với g = ∑ as υk,s thuộc Vk ta đặt s=0 G0nk (g) := nk −1 ∑ as j υk j ,s j (2.11) j=0 Do tương đương chuẩn (2.7), với g ∈ Vk biểu diễn dạng (2.11) ta có kg − G0nk (g)kq  2−k/q k{as } − Gnk ({as })kl 3.2k (2.12) q Với hàm f ∈ H, xác định (2.5), nhờ (2.12) rút k fk − G0nk ( fk )kq  2−k/q k{λk,s } − Gnk ({λk,s })kl 3.2k (2.13) q ∗ ∗ ≤ C.2k/p−k/q ω(2−k )k{λk,s } − Gnk ({λk,s })kl 3.2k q ≤ C.2k/p−k/q ω(2−k )A p,q (3.2k , nk ) 31 Ở ∗ λk,s = λk,s C.2k/p ω(2−k ) ∗ {λk,s } ∈ B3.2 p k Vì ω thỏa mãn điều kiện R(p, q) nên tồn C1 > δ > cho < 2−k < 2−k ≤ (tương ứng với k ≥ k0 ), / / ω(2−k )(2−k )−(1/p−1/q)−δ ≤ C1 ω(2−k )(2−k )−(1/p−1/q)−δ (2.14) Bây ta chọn dãy {nk }∞ k=0 thỏa mãn điều kiện ∞ ∑ nk ≤ n (2.15) k=0 Để đơn giản ta xét trường hợp p < q (các trường hợp khác tiến hành tương tự) Cố định số ε cho 0 k (2.17) Ở [h] ký hiệu phần nguyên h Chọn h = (2ε − 1)/6 Vì ε > nên 2ε − > rút h > Do [h.n.3.2−ε(k−k0 ) ] ≤ h.n.3.2−ε(k−k0 ) nên k0 ∞ ∑ nk = ∑ nk + k=0 k=0 = 3(2 k0 ∞ k0 +1 ∑ k0 +1 nk ≤ ∑ 3.2k + k=0 ∞ − 1) + 3.h.n ∑2 ∞ ∑ h.n.3.2−ε(k−k0) k0 +1 −ε(k−k0 )   k0 +1 ε < + h.n/(2 − 1) k0 +1 3.2k0 +1   k +1 ε ≤ n/2, nên + h.n/(2 − 1) ≤ n/2 + 3.h.n/(2ε − 1) ≤ n/2 + n/2 = n Như (2.15) thỏa mãn 32 Ta có δ > ε(1/p − 1/q) tương đương với δ (1 + ε) > ε(1/p − 1/q + δ ) hay (1 + ε)/ε > (1/p − 1/q + δ )/δ Lấy λ cho thỏa mãn (1 + ε)/ε > λ > (1/p − 1/q + δ )/δ (2.18) k∗ := [λ k0 ] (2.19) Đặt Khi nk > với k ≤ k∗ Ta xây dựng ánh xạ cho với Sk : H −→ Mnk (V ) cho với f ∈ H  G0 ( f ) với k ≤ k∗ nk k Sk := 0 với k > k∗ Nhận xét là: k ≤ k∗ , Sk ( f ) = G0nk ( fk ) = 3.2k −1 ∑ λk,s υk,s = fk , s=0 nên k fk − Sk ( f )kq = 0, (2.20) k0 < k ≤ k∗ , từ (2.13) rút k fk − Sk ( f )kq = k fk − G0nk ( fk )kq ≤ C.2k(1/p−1/q) ω(2−k )A p,q (3.2k , nk ), (2.21) k∗ < k, ta có k fk − Sk ( f )kq = k fk kq ≤ C0 2k(1/p−1/q) ω(2−k ) Đặt Sn∗ ( f ) := ∞ ∑ Sk ( f ) với f ∈ H k=0 33 (2.22) Từ (2.20), (2.21) (2.22) rút kf − Sn∗ ( f )kq k∗ ∞ ≤ k fk − Sk ( f )kq = ∑ k∗ ∞ ∑∗ k fk − Sk ( f )kq = ∑∗ 2k(1/p−1/q) ω(2−k ) k=k +1 ∞ + k fk − Sk ( f )kq (2.23) k=k0 +1 k=k0 +1 + ∑ 2k(1/p−1/q) ω(2−k )A p,q (3.2k , nk ) ∑ k=k0 +1 k=k +1 Đặt k∗ S1 := 2k(1/p−1/q) ω(2−k )A p,q (3.2k , nk ) ∑ k=k0 +1 ∞ S2 := ∑∗ 2k(1/p−1/q) ω(2−k ) k=k +1 Do n  2k0 nk > với k < k∗ , nên nk := [h.n.2−ε(k−k0 ) ] ≥ C2 2k0 2−ε(k−k0 ) Vì (1/q−1/p) 1/q − 1/p < nên nk ≤ C3 2k0 2−ε(k−k0 )(1/q−1/p) (C2 ,C3 số dương) Khi k∗ S1 := ∑ 2k(1/p−1/q) ω(2−k )n(1/p−1/q) (2.24) k=k0 +1 k∗ ≤ C3 ∑ 2(k−k0 )(1/p−1/q) ω(2−k )2ε(k−k0 )(1/p−1/q) ∑ 2(k−k0 )(1/p−1/q) ω(2−k )2ε(k−k0 )(1/p−1/q) k=k0 +1 ∞ ≤ C3 k=k0 +1 Áp dụng (2.14) để biến đổi (2.24), ta ∞ S1 ≤ C3 ∑ −k −k −(1/p−1/q)−δ ω(2 )(2 ) (2 ) k=k0 +1 ≤ C4 ω(2 −k0 ∞ ) ∑
−(k−k0 ) δ −ε(1/p−1/q) k=k0 +1 34
−k (1/p−1/q)+δ (k−k0 ) 1/p−1/q+ε(1/p−1/q) ( C4 số dương) ∞ Từ (2.16) rút δ −ε(1/p−1/q) > 0, chuỗi ∑ k=k0 +1
∞ hội tụ, ta đặt C5 = ∑ 2−(k−k0 ) δ −ε(1/p−1/q) >
−(k−k0 ) δ −ε(1/p−1/q) k=k0 +1 Do S1 ≤ C4C5 ω(2−k0 ) (2.25) Chứng minh tương tự S2 ta S2 ≤ C1 ω(2−k0 ) δ −1 (2.26) , từ (2.25) (2.26), ta có: Đặt C∗ := C4C5 + 2δC−1 kf − Sn∗ ( f )kq ∗ ≤ C ω(2 Lấy V ∗ := {υk,s : s = 0, 1, , 3.2k − 1; V −k0   )  C ω 1/n ∗ k ≤ k∗ }, V ∗ tập hữu hạn Đặt G∗ ( f ) := {G0nk ( fk )}k≤k∗ với ∞ f= ∑ fk ∈ H k=0 Ta thấy: G∗ ánh xạ dương từ H vào Mn Khi Sn∗ := RV ∗ ◦ G∗ thỏa mãn
k f − Sn∗ kq  ω 1/n Điều với f ∈ H, nên ta có
sup k f − Sn∗ kq  ω 1/n f ∈H Như (2.4) (2.3) chứng minh 35 Định lý 2.1.5 Cho ≤ p, q ≤ ∞, < θ ≤ ∞ ω thỏa mãn điều kiện R(p, q) Khi

σn SBωp,θ (T),V, Lq (T)  ω 1/n (2.27) Chứng minh Do k.k∞ ≥ Ck.k p , (1 ≤ p < ∞ C số dương), nên SBω ∞,θ ⊂ SBωp,θ Vì ta cần chứng minh (2.27) trường hợp p = ∞ đủ Với số nguyên dương k xác định, ký hiệu B(k) không gian đa thức lượng giác f có dạng 3.2k −1 f= ∑ λk,s υk,s (2.28) s=0 Giả sử η số thỏa mãn < η ≤ ∞ Ký hiệu B(k) không gian gồm hàm f ∈ B(k) Lη (T) Từ Định lý 1.3.4 ta có: Với hàm f ∈ B(k)∞  ∞ 1/θ −k θ k f kBω∞,θ (T)  ∑ (kλk,s k∞ /ω(2 )) , θ 0) (2.29) Như vậy: với SB(k)∞ hình cầu đơn vị B(k)∞ ω(2−k )SB(k)∞ ⊂ SBω ∞,θ , (2.30)

−k σn SBω ,V, L (T)  ω(2 )σ SB(k) ,V, L (T) , q n ∞ q ∞,θ (2.31) Nhận xét: Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn, Y không gian X Giả sử W ⊂ X Φ họ X Với phép chiếu tuyến tính P : X −→ Y cho kP( f )k ≤ k f k, ∀ f ∈ X , ta có

σn W, Φ, X  σn P(W ), P(Φ),Y Ta chứng minh nhận xét này: Với f ∈ P(W ), tồn f ∈ W để có f = P( f ) với ∀ϕ ∈ Mn (P(Φ)), tồn ϕ ∈ Mn (Φ) để có ϕ = P(ϕ), lúc theo giả thiết phép chiếu tuyến tính P, ta k f − ϕk = kP( f ) − P(ϕ )k = kP( f − ϕ )k ≤ k f − ϕ k, 36 f , ϕ tùy ý, từ (2.1) (2.2) rút

σn W, Φ, X ≥ σn P(W ), P(Φ),Y Áp dụng nhận xét với phép chiếu tuyến tính 3.2k −1 P(k, f ) = ∑ λk,s υk,s s=0 khơng gian Lq (T), ta có

σn SB(k)∞ ,V, Lq (T) ≥ σn SB0 (k)∞ ,V , B(k)q , (2.32) SB0 (k)∞ = P(k, SB(k)∞ ) V := P(k,V ) Từ (2.31) (2.32) rút

−k 0 σn SB(k)ω ∞,θ ,V, Lq (T) ≥ ω(2 )σn SB (k)∞ ,V , B(k)q (2.33)
Ta đánh giá chặn σn SB0 (k)∞ ,V , B(k)q Xác định k := k(n) thỏa mãn điều kiện n  2k  dimB(k) > 2n (2.34) k Ánh xạ tuyến tính liên tục dương J từ B(k)q vào l∞3.2 định nghĩa sau k −1 J( f ) := {λk,s }3.2 s=0 3.2k −1 với f= ∑ λk,s υk,s s=0 Rõ ràng k J(B(k)q ) = lq3.2 Từ Định lý 1.3.4 rút k f kB(k)q  2−k/q kJ( f )kl 3.2k , q 37 (2.35) k f kB(k)∞  kJ( f )kl 3.2k ∞ Đặt ε = J(V ), ta thấy: S thuật toán xấp xỉ n−số hạng V B(k)q k J ◦ S thuật tốn xấp xỉ n−số hạng ε lq3.2 Từ (2.34), (2.35) Bổ đề 2.1.3, ta có

k 3.2k σn SB0 (k)∞ ,V , B(k)q  2−k/q σn B(k)3.2 ∞ , ε , lq
1/q  2−k/q m − n −  1, (2.36) m = 3.2k  dimB(k) Kết hợp (2.36) (2.33), ta


−k σn SBω ,V, L (T)  ω  ω 1/n q ∞,θ Như (2.27) chứng minh Từ Định lý 2.1.4 Định lý 2.1.5 ta rút Định lý 2.1.6 Cho ≤ p, q ≤ ∞, < θ ≤ ∞ ω thỏa mãn điều kiện R(p, q) Khi

σn SBω (T),V, L (T)  ω 1/n q ∞,θ (2.3) 2.2 Trường hợp hàm nhiều biến Bây ta đánh giá bậc tiệm cận sai số xấp xỉ n - số hạng lớp hàm số Besov Bωp,θ Ký hiệu SBωp,θ hình cầu đơn vị khơng gian Besov Bωp,θ , bao gồm hàm f thuộc Bωp,θ cho k f kBωp,θ ≤ Để xấp xỉ n - số hạng hàm thuộc SBωp,θ , ta sử dụng họ sóng nhỏ V d := {υk,s : s ∈ Qk , k = 0, 1, 2, } Định lý 2.2.1 Cho ≤ p, q ≤ ∞, < θ ≤ ∞ ω thỏa mãn điều kiện R(p, q) Khi

σn SBωp,θ ,V d , Lq  ω d/n (2.37) 38 Chứng minh Để đánh giá chặn (2, 37), tức phải

σn SBωp,θ ,V d , Lq  ω d/n (2.38) Ta xây dựng ánh xạ dương G∗ : Bωp,θ −→ Mn (V d ) thỏa mãn sup k f − Sn∗ ( f )kq  ω d/n
(2.39) f ∈SBωp,θ Ở S∗ = RV d ∗ ◦ G∗ thuật toán xấp xỉ n - số hạng V d tối ưu tiệm cận với σn Từ bao hàm thức SBωp,θ ⊂ SBωp,∞ , ta thấy cần chứng minh (2.39) với trường hợp H := SBωp,∞ Do tương đương chuẩn (Định lý 1.3.8), ta có dạng phân tích hàm f ∈ H dạng chuẩn ∞ f= ∑ fk , k=0 hội tụ theo chuẩn Lq , fk = ∑ λk,sυk,s s∈Qk thỏa mãn điều kiện k fk k p  2−k/p k{λk,s }k p ≤ Cω(2−k ) Hơn với hàm g= ∑ ak,sυk,s, s∈Qk ta có kgkq  2−k/p k{ak,s }kq Với số tự nhiên n xác định, ta chọn dãy {nk }∞ k=0 cho ∞ ∑ nk ≤ n, k=0 đồng thời xác định k∗ để nk > với k ≤ k∗ 39 Từ tương ứng xấp xỉ nk - số hạng Vk họ {{υk,s }s∈Qk } m xấp xỉ nk - số hạng l m p sở chuẩn tắc ε = {es }s=0 , ta xây dựng thuật toán tham lam Gnk tương ứng l m p thay cho thuật toán tham lam Gnk Vk Trên sở ánh xạ: Sk : H −→ Mnk (V d ) thỏa mãn: với f ∈ H  G0 ( f ) với k ≤ k∗ nk k Sk ( f ) := 0 với k > k∗ ta xây dựng ánh xạ ∞ Sn ( f ) := ∑ Sk ( f ) với f ∈H k=0 Chứng minh hoàn toàn tương tự với trường hợp biến, ta có:   k f − Sn ( f )kq ≤ Cω d/n ω ∈ MSl nên


ω 1/n ≤ ω d/n ≤ d l ω 1/n tức

ω 1/n  ω d/n (2.40) Do   k f − Sn ( f )kq ≤ Cω d/n ∗ ∗ Lấy V d = {υk,s : s ∈ Qk , k ≤ k∗ }, V d tập hữu hạn V d Đặt G∗ ( f ) := {G0nk ( fk )}k≤k∗ 40 với ∞ f= ∑ fk ∈ H k=0 Ta thấy: G∗ ánh xạ dương từ H vào Mn Khi Sn∗ := RV d ∗ ◦ G∗ thỏa mãn kf − Sn∗ ( f )kq    ω d/n (2.41) (2.41) với f ∈ H nên (2.38) chứng minh Ta chuyển sang đánh giá chặn (2.37), tức phải     ω d σn SB p,θ ,V , Lq  ω d/n (2.42) ω Bởi bao hàm thức SBω ∞,θ ⊂ SB p,θ với ≤ p < ∞, nên ta cần chứng minh (2.42) trường hợp p = ∞ đủ Với số nguyên dương k xác định, ký hiệu B(k) không gian đa thức lượng giác f có dạng f= ∑ λk,sυk,s s∈Qk Giả sử η số thỏa mãn < η ≤ ∞, ký hiệu B(k)η không gian gồm hàm f ∈ B(k) Lη Do Định lý 1.3.8, ta có: với f ∈ B(k)∞ k f kBω∞,θ   ∞ ∑
θ 1/θ kλk,s k∞ /ω(2 ) , −k θ < ∞ k=0 Rút k f kBω∞,θ ≤ ak f kB(k)∞ /ω(2−k ), (a > 0)       ω d −k d σn SB∞,θ ,V , Lq  ω σn SB(k)∞ ,V , Lq 41 (2.43) Nhờ phép chiếu tuyến tính P(k, f ) = ∑ λk,sυk,s s∈Qk Ta có     σn SB(k)∞ ,V d , Lq  σn SB0 (k)∞ ,V d , B(k)q (2.44) SB0 (k)∞ = P(k, SB(k)∞ ), V d := P(k,V d ) Từ (2.43) (2.44) rút


d0 −k d (2.45) SB (k) ,V , B(k)  ω σ ,V , L σn SBω ∞ q n q ∞,θ   0 d Vấn đề đánh giá chặn σn SB (k)∞ ,V , B(k)q Xác định k := k(n) thỏa mãn n  2k  dimB(k) > 2n k −1 Ánh xạ tuyến tính liên tục dương J từ B(k)q vào l∞3.2 định nghĩa sau
k −1 J f := {λk,s }3.2 s=0 với f= ∑ λk,sυk,s s∈Qk Khi
k J B(k)q = lq3.2 Từ Định lý 1.3.8 rút k f kB(k)q  2−k/q kJ( f )kl 3.2k q Kết hợp với Bổ đề 2.1.3, ta có   d0 σn SB (k)∞ ,V , B(k)q  (2.46) Từ (2.45) (2.46), kết hợp với ω(2−k )  ω(1/n) (2.40), ta
d σn SBω ,V , L q  ω(d/n) ∞,θ Như (2.42) chứng minh Từ (2.38) (2.42) ta chứng minh Định lý 2.2.1 42 KẾT LUẬN Luận văn “Xấp xỉ phi tuyến hàm tuần hoàn phân rã sóng nhỏ” trình bày số kết xấp xỉ phi tuyến n - số hạng sử dụng phân rã sóng nhỏ lớp Besov hàm tuần hồn nhiếu biến Các kết luận văn bao gồm: Trình bày số kết tương đương chuẩn không gian Besov với chuẩn rời rạc dựa hệ số phân tích sóng nhỏ tương ứng, đồng thời xác lập điều kiện cần đủ để hàm số thuộc không gian Besov: Định lý 1.3.2, Định lý 1.3.4, Định lý 1.3.6, Mệnh đề 1.3.1, Mệnh đề 1.3.3 Mệnh đề 1.3.5 Trình bày số kết đánh giá bậc tiệm cận sai số xấp xỉ phi tuyến n - số hạng sử dụng phân rã sóng nhỏ lớp hàm Besov: Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.5 Định lý 2.1.6 (đối với hàm biến); Định lý 2.2.1 (đối với hàm nhiều biến) 43 Tài liệu tham khảo [1] I Daubechies (1988), Orthonormal bases of compactly supported wavelets, Comm Pure and Appl, Math, 41, pp 909 - 996 [2] I Daubechies (1992), Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 61, SIAM, Philadelphia spaces [3] R DeVore, V Popov (1988), Interpolation in Besov, Trans Amer Math Soc 305, pp 397- 414 [4] R DeVore, G Lorent (1993), Constructive Approximation, Springer-Verlag, New York, USA [5] R DeVore, G.Kyriazis, O Leviatan, V Tikhomirov (1993), Wavelet compression and non-linear n - widths, Adv Comp Math 1, pp 196 - 214 [6] R DeVore (1998), Nonlinear approximation, Acta Numerica, 7, pp 51 - 150 [7] Dinh Dung (1991), On interpolation recovery for periodic functions, In: Functional Analysis and Related Topíc (Ed S Koshi) World Scientìic, Singapore, pp 224 – 233 [8] Dinh Dung (1998), On nonlinear n-widths and n-term approximations, Vietnam J Math 26, pp 165-176 [9] Dinh Dung (2001), Asymptotic orders of optimal non - linear approximations, East J on Approx 7, pp 55-76 [10] Dinh Dung (2001), Nonlinear approximations using wavelet decompositions, Vietnam J Math 29:3, pp 197-224 44 [11] B Kashin, V Temlyakov (1994), On best term approximation and entropy of sets in the space, Math Notes, 36, pp 1137-1157 [12] S Mallat (1989), Multiresolution approximation and wavelets, Trans.Amer Math Soc 315, pp 69-88 [13] Y Meyer (1987), Wavelets with compact support, Zygmund Lectures, University of Chicago, USA [14] K.Oskolkov (1979), Polygonal approximation of functions of two variables, Math USSR Sbornik, 35, pp 851-861 [15] E Schmidt (1907), Zur Theorie der linearen and nitchlinearen Integralleichangen I, Math Annalen 63, pp 433-476 [16] V Temlyakov (1993), Approximotion of periodic functions, Nova Science publishers, New York 45