ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———+*x—_—_—
Lại Văn Định |sš,/Ÿ %(3//
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀ
HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40
LUAN VAN THAC SĨ KHOA HOC
NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC
PGS.TS Phan Huy Khai
Hà Nội - 2007
Trang 2
MỤC LỤC LOGO ẨM «ce coe oe we Se ew RE Ee ew Se ee Ewe CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phương trình bậcba lydàly DINE: «2 ex ee Oe Be Bw EE Re ee 8 dua CAO UNH, os es ew ew BH KR Bee EE RE 8 diet, UNDPAMRED wx oc noe cee wee Bee ae eo on me oe Boel pe om g
PHUONG TRING BAC BA
CUA CAC YEU TO TRONG TAM GIAC
2.1 Phương trình bậc ba của ba cạnh trong tam giác 2.2 Phương trình bậc ba của p-a, p-b, p-c trong tam giác 2.3 Phương trình bậc ba của hạ, hy, h„ trong tam giác 2.4 Phương trình bậc ba của ?„,r›,?¿ trong tam giác 2.5 Phuong trinh bac ba cua sinA, sinB, sinC trong tam giác 2.6 Phương trình bậc ba của cosA, cosB,cosC
oA oB C
2.7 Phuong trinh bac ba cia sin 2: Sh sin’ és ee
3 A B
2.8 Phuong trình bậc ba của cos? cos "=, ` `
Trang 32.13 Phương trinh bac ba cuaasinA,bsinB,csinC 54
BAT DANG THUC TRONG TAM GIAC VA NHAN DANG
TAM GIAC DEU 55
31 Kiến thức chuẩnbị 55 uc BAAR GONE «ns eee eee Re ee Oe ew 56
NHAN DANG TAM GIAC VUONG 69
41 Bài toán mở đầu 69 4.2 Cac bai tap (mg dụng: 70
Trang 4LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán học bậc Trung Học Phổ Thơng các bài tốn về Lượng Giác chiếm một vị trí quan trọng Việc chứng minh các hệ thức đã biết theo cách khác biến đổi thông thường và tìm ra các hệ thức mới là rất
cần thiết Điều này giúp chúng ta rèn luyện tư duy và có hệ thống bài tập
cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như trone các kỳ thi Dựa trên nhận xét: Một tam giác hoàn toàn được xác định bởi ba yếu tố độc lập, ba yếu tố đó có thể được coi là ba nghiệm của một phương trình bác ba tương ứng Theo kinh nghiệm của người làm toán va các tài liệu tham khảo thì các yếu tố độc lập đó đều có thể biểu diễn qua p, R, r Như vậy phương trình bậc ba tìm được sẽ có hệ số chứa p, R, r Với lí do đó, trong luận văn chúng tôi
được Thầy hướng dẫn giao nhiệm vụ tìm hiểu cách giải quyết vấn đề trên
Trên cơ sở đó xây dựng các hệ thức Lượng Giác mới dựa vào tính chất của
phương trình bậc ba và các bất đẳng thức quen biết Các hệ thức Lượng
Giác đó đóng vai trò quan trọng trong việc giảng dạy và học tập trong nhà trường phổ thông
Luận văn được chia làm bốn chương:
Œhươn#1 Nêu lại định nghĩa phương trình bậc ba, phát biểu các tính chất
của phương trình bậc ba
Chương 2 Chúng tôi đi xây dựng các phương trình bậc ba của các yếu tố độc lập trong tam giác mà hệ số là ba yếu tố cơ bản p, R, r Sau đó dựa vào các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba chúng tôi đưa ra và chứng minh một số hệ thức Lượng Giác
Chương 3 Với tiêu đề ”Bất đẳng thức trong tam giác và nhận dạng tam
giác đều” chúng tôi dành để trình bầy về bất đẳng thức Lượng Giác trong
tam giác và nhận dạng tam giác đều Vận dụng một số kết quả và bất đẳng thức quen thuộc ở phổ thông chúng tôi áp dụng vào cho các hệ thức xây
dựng được ở chương 2 ta thu được nhiều hệ thức về bất đẳng thức Lượng Giác trong tam giác và nhận dạng tam giác đều
Trang 5Chương 4 Chúng tôi đề cập đến việc nhận dạng tam giác vuông Khác với các cách nhận dạng tam giác vuông đã biết ở phổ thông là biến đổi lượng
giác Trong chương này chúng tôi tiếp tục khai thác các hệ thức Lượng Giác đã xây dựng ở chương 2 để nhận dạng tam giác vuông qua bài toán trung
gian ”Tam giác ABC vuông khi và chỉ khi p= 2R +r“”
Các hệ thức Lượng Giác trong luận văn này được xây dựng và chứng minh theo phương pháp hoàn toàn mới, khá ngắn gọn và dễ theo dõi
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS
TS Phan Huy Khải Chúng tôi bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Phan
Huy Khải
Trong quá trình học tập và làm luận văn chúng tôi nhận được sự quan tâm giúp đỡ rất nhiều từ khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Đào Tạo Sau Đại Học Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Chúng tôi chân trọng sự giúp đỡ quý báu
đó
Chúng tôi cũng chân thành cảm ơn Sở GDĐT Nam Định, Trường THPT
Hải Hậu B, các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ động viên chúng tơi hồn thành khố học
Luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo và góp ý của các thay cô và đồng nghiệp
Ha Noi, thang 11 nam 2007 Hoc vién
Trang 6CHUONG 1
CAC KIEN THUC CO BAN
1.1 Phuong trinh bac ba 1.1.1 Dinh nghia
Định nghĩa 1.1 Phương trình bậc ba là phương trình có dạng:
Axz3+Bz?+Œz+D=0_ (A20)
Mọi phương trình bậc ba déu dua vé dang x? + ax? + be +c=0
1.1.2 Cac tinh chat
Tinh chat 1: 7, = 21 + 22 +23 = —a Tính chất 2: 72 = 2129 + %9%3 + 31 = b Tinh chat 3: 73 = 21%9%3 = —C „ 1 1 1 —b Tính chất 4: T¿ = — + — + — =_— +1 1 +2 #3 Cc +1T2Z3 1 c Tinh chat 5: T; = 1 a Tính chất 6: 7@ = —— † —— † —— =- +12 LoL ZaZ1 Cc Tính chất 7: T; = vj + 25 +23 = 0ˆ — 2b
Tính chất 8: Ty = (#i + #2)(#a + #3)(#s + #) = —ab +
Tinh chat 9: Ty = 23 + 23 + 23 = —a* + 3ab — äc
Trang 7Tính chất 11: Tính chất 12: Tính chất 13: Tính chất 14: Hệ quả 1: Hệ quả 2: Tính chất 15: Tính chất 16: Tính chất 17: Tính chất 18: Tính chất 19: Tính chất 20: Tính chất 21: Tính chất 22: rts Lotz #a+z ab—3c ab T= 1 2 2 3, 23 1 _~% 2 +3 +1 +2 c c 5 Tyo = 13112 + xha3 + x32? = b? — 2ae Tìa = Z1 + z9 + 23 = a4 — 40d + 2b? + 4ac
Với mọi k, Ï ta luôn có
Trang 8thi ba s6 x1, 22,23 là nghiệm của phương trình #3 — Tịz? + T›x — Tạ = 0 Thật vậy: Các số z, #›,# nếu tồn tại thì nó là nghiệm cuả phương trình (# — #i)(# — #2)( — z3) =0 Ằ© zẺ— (# +#¿ +z3)2? + (#12 + #23 + 3#1)2 — #12223 = Ú hay œ3 — Tịz2 + Tox — Ts = 0 2 Néu 2, 22,23 1a cdc nghiém của phương trình re +azr?+br+c=0 (*) 1 1 1 thì —,—,— là các nghiệm của phương trình #1 22 Z3 cz + bz? + az + 1 =0 1 1
Thật vậy: Đặt z = — => z = — Thay vào phương trình (*) ta được % z
Trang 9CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNG BẬC BA
CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
Trong chương này ta xây dựng phương trình bậc ba của các yếu tố độc lập
trong tam giác với hệ số chứa ba yếu tố cơ bản là p, R,r Để xây dung
các phương trình bậc ba ấy ta dựa vào nhận xét ở chương 1 va làm như sau: Trước hết ta phải sử dụng biến đổi lượng giác thiết lập các hệ thức lượng
giác để đưa về dạng tính chất 71, 7a, Tạ Cách làm này giúp ta dễ nhận biết
phương trình bậc ba, quen thuộc và thuận tiện với học sinh phổ thông, vì học sinh phổ thông đã rất quen cách làm như vậy cho phương trình bậc hai Cách làm này là tổng quát và phát huy được kiến thức lượng giác cơ bản trong học sinh
Sau khi đã có các phương trình bậc ba về các yếu tố độc lập, ta sử dụng
các tính chất về nghiệm của phương trình bậc ba để xây dựng các hệ thức lượng giác và chứng minh các hệ thức lượng giác đó Cách làm này khá ngắn gọn và tổng quát, số lượng hệ thức đưa ra cũng rất nhiều góp phần
quan trọng trong việc giảng dạy và học tập ở trường phổ thông
2.1 Phương trình bậc ba của ba cạnh trong tam giác
Bài toán I Chứng minh rằng ba cạnh a, b, c của tam giác ABC là nghiệm của
Trang 10t3 — 2pt? + (p° + r? + 4Rr)t — 4pRr = 0 (Ar) Chứng minh Theo công thức diện tích ta có b 5 = ie = pr => abc = 4pRr (1) RO rang a+b+c= 2p (2)
Bây giờ ta chứng minh ab + be + ca = ÿ2 + r2 + 4Ttr (3) Theo công thức về diện tích trong tam giác ta có a >», Ss? abc ptr + 4Rr =p vy —a)(p—b)(p—c) | abc =p + Pứ = =9) 5 _?`+(ø~4)(p~ b)(p~ e) + abc p (a+b+)3+(b+c— a)(a+e— b)(œ+b— e) + 8abe 8p
_—_ 12abc + 4a?b + 4a?c + 4b2c + 4b”a + Ac”a + 4c”b = §p — 4ab(œ +b+ c) + 4bc(a + b+ c) + 4ca(a + b + c) 8p =ab+bc+ ca Theo nhận xét 1 thi a, b, c là ba nghiệm của phương trình ‡3 — 2pf2 + (p?+ r? + 4Rr)t — 4pRr = 0 L1 "` - ¬ Lil Le Bài toán 2 Chứng minh rang —, Be la nghiém cua phuong trinh: a 2 1 m2 pe t+r°+4Rr » 1 1 B- 4phr t + 2lr t— 4pRr = 0 (An) A
Chứng minh Tì nhận xét 2 với việc thay f bởi z ta cé diéu phai chuimg minh O Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác 4C
¬ ¬ 4
Bài 1 Chứng minh răng: a + b + e — xa (4)
Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 74 cho phương trình (47) ta được (4) Cách 2: Vận dụng tính chất 71 cho phương trình (Arr) ta duoc (4) O
Trang 11EP PSOne
ees
` 1 1 1 1
Bài 2 Chứng ài 2 Chứng minh rằng: ¿ † „+ minh rằng: — + — + — =—— — 2Pr (5) Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 7§ cho phương trình (Áy) ta được (5)
Cách 2: Vận dụng tính chất 7a cho phương trình (Á;r) ta được (5) L] Bai 3 Ching minh ring: a? + b? + c? = 2p? — 2r? — 8Rr (6) Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 7 cho phương trình (.4;) ta được a?+b?+c? = (—2p)?—2(p°+r?+4Rr) = 2p°~ 3r?— §lr Cách 2: Vận dụng tính chất 71; cho phương trình (.4;;) ta được 1 ?+r?+4Rr 1 2 2 2 (SR) 7 a(—F ¬ Try g“+Ùˆ+c= i " 4nRr = 2p? — 2r? — 8Rr
Ta có thể chứng minh trực tiếp dựa vào (2) và (3) Oo
Bai 4 Ching minh rang: (a + b)(b+ c)(c + a) = 2p(p? + r? + 2Rr) (7)
Chứng minh Cách 1: Vận dung tinh chat Ty cho phuong trinh (A7) ta cd
(a+ b)\(b+c)(c+a) = 2p(p? +r? + 4Rr) — 4pRr = 2p(p? +r? + 2Rr)
Cach 2: Ta c6 (a+6)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bce+ca) — abc Vận dụng (I), (2), (3) ta có điều cần chứng minh O
Bài 5 Chứng minh rang: a? + b? + c? = 2p(p? — 3r? — 6Rr) (8)
Trang 12Chứng mình Vận dụng tính chat Tyg cho phương trình (4) ta có (a+b—e)(+e—a)(e+a—) = (—2p)°—4(—2p)(pẦ+r2+4Rr)+8(—4pRr) = —8p* + 8p? + 8pr? + 32pRr — 32pRr = 8pr? oO atb b logo» Bài 7 Chứng minh rằng: + =e + ae af ae (10) c a b 2Rr Chứng mình Cách 1: Vận dụng tính chất 71 cho phương trình (A¡) ta có a+b b+c c+a + } _ -2p(p+r?+4R 2 +rˆ+4Rr) - 5 e a b —4pRr _ p+r?+4Rr q=?ˆ +r”-2l 7 2Rr ” 2Rr
Cách 2: Biến đổi đại số ta có
Trang 13Chứng minh Cách1: Vận dụng tính chất 71; cho phương trình (4) ta có a bc _ 2?+r?+4Rr) - (—2p)? _p—r—4Rr be ac ab —4pRr 7 2pRr „ b 2 b2 2 Cách2: Biến đối đại số ta có : — Đa ue —_ pee be ca ab abc Vận dụng (1), (6) ta có (13) O Bài 11 Chứng minh rằng: 1 1 : 24724 4Rry3 “.Lựt +58 +! 4 =(7 Tˆ+ *) _ 3? tt i r (14) b3 4pRr 8pR2r? Chitng minh Cach 1: Van dụng tính chất Tại cho phương trình 447 ta có 1 1 1 e pte —(p? +r? + 4Rr)? + 3(—2p)(p? + r? + 4Rr)(—4pRr) — 3(—4pRr)? (—4pRr)° pe or? + ARs _ 3 +r? +49Rr 4pRr 8pHr2 ` Cách 2: Vận dung tinh chat Tg cho phương trình ;r ta có (14) L] Tig sak _ ptr? +2Rr 1 Bài 12 Chứng minh rằng: =+ s) † =\(= + *) = SR Chứng minh Cách 1: Vận dung tinh chat Tg cho phuong trinh Az; ta cd + 1 1 1,1 1 pÈ+r?+4Rr, 1 1 _ p+r?+2lr
pet eet gi “a 4pRr )3Rr— 4pRr — 8pR2r2
Cáh “hiến đổi đại số và áp dụng(1), (7) ta có
1 1,1 1, (a+b6)(b+c)(c+a)
Sg ae _ WM (p?+r?+2Rr) p?+r?+2Rr
7 (4pRr)? _—— 8pR?r2
ne 2 * i 2 1 ? SP r re 4Rr
Trang 14TA 070670 - Tương tự ta chứng minh được các bài tập sau: Bài 14 Chứng minh rằng: ab bc ca _ p(p?+ 2r? — 8Rr) + r(r +4R)? gals aRr ipR a7) v1 11 (po? + 2r?-8Rr) fr +4Ry? Bài 15 Chứng minh rằng: 2TpT„z= 16122 ( 1pR ) (18) 1 1 1 5p? +7? +4Rr
Bài 16 Chứng minh ring: =— - mare
“ pene a+b bbe eta 2p + 2pr? + 4pRr He
Bài 17 Chứng minh rằng:
a als hel b c A SE = Wp? —r? — R (20)
b+e cta a+b_ pˆ+r?+2ltr Bài 18 Chứng minh rằng:
p-a prob pre _ p? + dr? + 8Rr =4(1 ee (21)
b+e cta a+b 2Ape+r?2+2Rr) 2V p+r(r+2R) ~
Bai 19 Chứng minh rang:
a+b)c (b+c)a (ct+a)b p?+r?—2Rr
(œ+Đ)e_ @+©e „ (e+e)ð _ p gs
ab be ca 2Rr
2.2 Phương trình bậc ba của p-a, p-b, p-c trong tam giác
Trang 15_—_ qbe + pŠ — p°a — p°b — p”e + pab + pbc + pca — abc p = p* — pa — pb— pe+ab+be+ca = 3p* — pa — pb — pe+.ab+ be + ca — 2p’ = 3p — pa — pb — pe + ab + be + ca — p(œ + b + c) = p— pa — pb + ab + pŸ — pb — pc + be + pŸ — pc — pa + ca = (p—a)(p—b) + (p—b)(p—c) + (p—c)(p— a)
Vậy (25) được chứng minh
Theo nhận xét l ta có ø — a,p — b,p — c la ba nghiém của phương trình 8 — pt? + r{r + 4R)t — pr = 0 O segs ¬ 1 1 1 › Bai toún 4 Chứng minh rang — là ba nghiệm của phương p—ap—bp-c trinh 4R+r 1 £ p— Pt —, = 0 (Brz) pr r pr 1 ‘
Trang 18pe y+ i (4R+r}+P — „ 4Ñ+ry1.,, 1 „;„4RE+r 1 (= \a a 3) p”r”( prs or? _ (4R+r)? 4a yr —- _ 7(4R+z)? trp? = 4pR 4pR : Tương tự ta chứng minh được các bài tập sau: Bài 28 Chứng minh rằng: coy ah —b — = oxy 4R «\2 _ 2 2 (p— a)(p—)_ (p—ð)@—)_, @-=)@-9) _ (@R+r) T2pP (34) pc gu g— p Bài 29 Chứng minh rằng: mm bh lek _ atts 12R (p—a)? (p—b)8 (p—c)s — pers —` ĐT pr (35) Bai 30 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 4R (Ft St st gee) pe 69) Bai 31 Chứng me ne bíp — 9) ( P q(D— q p— clip —e _4k—2r p-Bø-3'-aPp-a)'ø=a0p-9 7 r 7
2.3 Phương trình bậc ba của hạ, họ, h¿ trong tam giác
Trang 19—— = theo (5) ta có 1 2p”r hahy + hohe + Ache = 4p’r’ =- (39) 1 Aghph = 8p'r? Theo (1) ta có a 1 2p°r? hahphe = 8p?r? ally Cc p r 4pRr = R % (40) Theo nhận xết 1 thì hạ, hy, h„ là nghiệm của phương trình 21 „2 2 2„.2 pi? +7 HH HH SP, ae =0, a 2R R R 5 ent |, 111i , Bài toán 6 chứng minh rang hho he là nghiệm của phương trình a lbh Ibe 1, ptr?+4Rr, 2R 3 2 — te — xử + dpe Ẻ — i 0 (C11) 1 `
Chứng mình Theo nhận xét 2 với việc thay £ bởi + ta có điều phải chứng minh O
Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong mét tam gidc ABC sẻ „ an 1 1 1 1 Bài 32 Chứng minh rằng: i, + hy + hoor (41) a b c Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 7+ cho phương trình (C7) ta có 2pˆr 11 1 nR _2r R 1 ho hạ he - 2pr? R 2pr2 r R Cách 2: Vận dụng tinh chat T chon phuong trinh (C77) tacé (41) O 1 1 1 p+r?+4Rr
Bai 33 Chi ài 33 Chứng minh rang hale kã hole | Pola inh rang: + = Apr? (42) 42
Trang 21hạ +hụ hpthe Re+ha — (ha + hy +he)(Rahts + hylte + hela) — 3h„hạhụ + + = he he hy hahyhe Vận dụng (38), (39), (40) ta có (45) Oo 2p?r2(p2 — r? — 4Rr) Ching minh Van dung tính chất 71a cho phương trình (C7) ta có 9 2 2 2 AR’ 2 2.2 nang + gh? + nang = (ET)? — (Py) _ 4ptr? Qp?r?(p? +r? + 4Rr) ~ Pp - R2 _ 2p r2(p—r2— 4Rr) _ 25”(p°— r? — 4Rr) s— ta 7 lề Bài 37 Chứng minh rằng: h2h? + h?h? + hˆh2 = (46) Bài 38 Chứng minh rằng: hạ hy he _ (p?+r?+4Rr)? 2 Tighe nh, fab ~~ SRP? 7 TẾ Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 71; cho phương trinh (C7) ta cé 2p”r ??Ẻ+r2+4Rr ; ha, he, he _ Ra hohe Reha ahd 2pˆr2 (47) R Apr (p+r”+ ARr) R )= (@°+r?+4Rr)" 2 —R 4R? 2p2r2ˆ 8p?Rr re Cách 2: Biến đổi đại số ta có hạ i, họ + he _ hệ + hệ + hệ hphe hha hahs hahphe Vận dụng (40), (43) ta có (47) oO hah + hohe # Ache _ p°—r?— 4Rr he he họ R Chứng minh Cách I: Vận dụng tính chất Tìạ cho phương trình (C7) ta có 2p T¿ _p+r+aRm CR) 2R 2pˆr? R Bài 39 Chứng minh rang: (48) hạhy + hohe + heha _ 2 Np Ne hy ( _ 2p? p?+r?+4ltr _ pˆ—r?— 4ltr — R — R
Trang 22-— 1, 1 1 g-r?- Bài 40 Chứng minh rằng: TH CHẾ —C — GHẾ hệ hệ hệ pr? (49) Chứng minh Vận dụng tính chất T1; cho phương trình (C?) ta có 20°T¿ p?+r?+4Rr.,„ 2p?r2 ¡1 1 CRỶ-X — j7 )CỔn) hồ T nổ T my hệ hệ hệ ( 2p“r 2 2„2 R _ jee _ 2p r*{p”+r?+ ABE), lÈ p?—r?—4Rr R2 R2 Apr? —” 2p2r2 L] Bài 41 Chứng minh rằng: 1 ‘
(ha — hy)? + (hy — he)? + (Ae — hha)? ~ OR? ((p? +r? +4Rr)? — 24p? Rr).(50) Chứng minh Cách 1:Vận dụng tính chất Tìạ cho phương trình (C?) ta có 2 2 2m32 (hạ — hạ)? + (hạ — hệ)? + (hạ — hạ)® = 2( PT + # nụ; _ y2p~ 2 oR? R? ((p2 +2 + 4Rr)2 — 24p? Rr) ~ OR?
Cách 2:Biến đổi đại số ta có
Trang 23
2.4 Phương trình bậc ba của 7a, 7p, 7c trong tam giác
Bai toán 7 Chứng minh rằng 74, rp, r„ là nghiệm của phương trình #3 — (4R + r)‡2 — p?t — p?r = 0 (Dr) Ching minh Tt S = pr = ra(p — a) = ry(p — b) = r-(p — c) r =—=Taạ= P ogee ry pr p-a —b p-c prs => Tal blo = “~*~ (p—a)(p — b)(p — e) pir pirs » (58) P(p—a)(p—b)(p—c) S? 1 í Vận dụng (26) ta có 7„ + 7p + re = pr( +——+ ) Pe a p-—b p—c 4R+r „ =ƒr =4R+r (56) pr Vận dụng (27) ta có TạTg + rpre + rerạ = p°r?( b b — , + : + : ) , es (p—a)(p — 6) (p—b)(p—c) (p—c)(p—a) — m2 — =2 = prs =P (57) Theo nhận xét 1 thì 7a, 7p, 7e là nghiệm của phương trình t3 — (4R + r)? — p°t — p”r = 0 ñ " cà Lidl , Bai toán 8 Chứng minh rằng 7" — là nghiệm của phương trình œø Tb tc 1 4R+r 1 — r TS + ———t— —— =0 pr pr Dị + —
Chứng minh Theo nhận xét 2 với việc thay £ bởi + ta có điều cần chứng minh LÌ Từ hai bài tốn trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác ABC
a as 1 1 1 1
Bài 46 Chứng minh rằng: — + — + — =~ Tạ Th Te T (58) Chứng minh Cách !: Vận dụng tính chất Tạ cho phương trình (D7) ta có (58)
Cách 2: Vận dụng tính chất T¡ cho phương trình (Dị 1) tacé (58) O
1 1 1 4R+r
+ =
Bài 47 Chứng minh rang: + =—2 TaTd THe TcTa pr
(59)
Trang 24Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất Tạ cho phương trình (D;) ta có (59) Cách 2: Vận dụng tính chất 72 cho phương trình (D;;) ta có (59) O Bài 48 Chứng minh rằng: 72 + rÿ +2 = (4R+r)? — 2p° (60) Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 7; cho phương trình (Dy) ta có (60) Cách 2: Vận dụng tính chất 71; cho phương trình (Drr) ta có 4R+r 1 1 , (a P= 2(——)(-s 7) r2 + rộ + r2 = —P T PT —(4R+r)? — 2p’ ñ Chap)
Bài 49 Chứng minh rằng: (7a + 7;)(7› + re)(re + Ta) = 4p°h (61) Chứng minh Cách 1: Vận dụng tinh chat Tg cho phương trình (D 7) ta có (61) Cách 2: Ta có (ra + 7b)(ry + re)(re + ra) = (ra + Tụ + Te)(TaTp + Tufc + reTa) — TaTuTc Vận dụng (55), (56), (57) ta có (61) n ` Ta tT Th+T Tot? AR —2r Bài 50 Chứng minh ring: —— + —_—- + + Te Ta To = rT (62) Chứng mình Cách I: Vận dụng tính chất 71¡ cho phương trình (Dn) ta có Tatts TotTe TC Tạ _ —(4R+r)p? 3 Te Ta Tb —p?r _ (4R+r)p`— 3p _ 41R~ 2r pr — ro
Cách 2: Biến đổi đại số ta có
Tato 4 Th+Te + Te+Ta — (Tat Tot re)(Tato + Toe + Tea) — 8TaTbTe
Te Ta To 7 TaT ble
Van “dung (55), (56), (57) ta có điều cần chứng minh O
Bài 51 Chứng minh ring: r2r? + rpr2 t+ r2r2 = p'(p?-2(4R+7)) (63)
Chứng minh Vận dụng tính chất Tị¿ cho phương trình (Dy) ta có r?r2 + rậr2 + r2r2 = (p°)? — 2(—(4R +r))(—p”) = p'Ú” ~ 2(4r +r)) ¬ Ta Tb Te (4R+r)?—- 2p Bài 52 Chứng minh rằng: “F + = 64
Ộ ga 5 Tụfec TcTa — TaTb pr ( )
Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 1}; cho phương trình (Di) : ta cé A69 gis ax Ta Tp Te —_ Tả Tỷ dc Cách 2: Biến đổi đại số ta có + +
Toc = Tea Tạp — TaTtTce Van dung (55), (60) ta có điều cần chứng minh O
Trang 25Tah THe ¡ T/T„ —p —2r”—Rr Bài 53 Chứng minh rang: + +—= = (65) Te Tạ Th T :
Chứng minh Cách 1: Van dụng tính chất T1s cho phương trình a 1) ta eo (63) Cách 2: Biến đổi đại số ta có el TS rela _ Paty TậT, + TẺTE ¬ Tạ Ta Tb Palble Van dung (55), (63) ta cd điểu cẩn chứng minh ¬ wes 1,1, 1 P TZHR 7 Bai 54 Chứng minh ring: — + = + — == HỆ we TT s (66 er Chứng mình Vận dụng tính on Los chm plng tint: (>) mw ed 1 I1 (p`)* — 2(—(4 + r))(T—prì _ re cứ t3-r _ more TẾ ae rr ” 1 1 8 Lire a ee 0 —g — dựng Cñữzrz mim> Việm đựng tĩnh chất 7p cho rinưdne trìmh (7); 1e ar 1 1 1 (-GRar\Far ly — T7 Ty Me Te tm —(—4R+r) ir —#”T _ (4RirpP -+p _ = PR Ls 1 2 1 p-WRr
Trang 261 4F+r 1 3 = (ee)? (-=)? = 4(-\( a) + 8(- = Á[=== es =_1_„44R+r)D_ 8 _ l14r(4R+r)—-p _— 3 pr? pr - prs LÌ
Tương tự ta chứng minh được các bài tập sau:
Bài 58 Chứng minh rằng: (= + =\(= + +2y4 = +) = an (70) Ta To TH Te Te Ta pr Bài 59 Chứng minh rằng: (Ta + Tp) + Tp(re + Ta) 4 Ta(ry + Te) _ 4R — 2r TạTb TeTa The re 1 1 — (4R+r)? — 2p” ` 2 Bài 60 Chứng minh rang: s 2 2 5 r2 ~ pir?
2.5 Phuong trinh bac ba cua sinA, sinB, sinC trong tam giac
Bài toán 9 Chứng minh rang sin A, sinB, sinC là các nghiệm của phương trình 3 5 3_ Po ptrt+4khr, pr _y E OTR TTR oR (Er) Chứng minh Theo công thức diện tích và định If sin trong tam giác thi S=or= abc = Of = aR suy ra ; a c abc pr i = : 73 sin A sin B sinC 2R2R2R — BRM 2 oF che (73) a c p wv © , 9 ằĐ â +(HBTUTCN 74
snA+ sinB+ sinC = oat opt OR sí 2 ) RP’ (74)
Trang 271 LIIIlfi
í
oll
„ _ 1 5
Chứng mình Theo nhận xét 2 với việc thay bởi — ta có điều cần chimg minh O Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc ba, ta thu được các hệ thứ sau trong một tam giác 4B
1 1 1 _ p +r?+4hr
Bài 61 Chứng minh rằng: + of: =
5 ẽ snA sinÐĐ sinC 2pr (76)
Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 7+ cho phương trình (#2?) ta có (76) Cách 2: Vận dụng tính chất T1 cho phương trình (F7rr) ta có (76) O Bài 62 Chứng minh rằng: Lot a snAsinB sinBsinC sinCsinA r` Vải
Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 7ạ cho phương trinh (£7) ta có (77)
Cách 2: Van dụng tính chất 7¿ cho phương trình (E I 1) ta có (77) L] ph—r?—4lr 2R? Ching minh C4ch 1: Van dung tinh chat T7 cho phuong trinh (£7) ta có p ph+r?+4ltr _ p`—r?— 4Rr Bài 63 Chứng minh rằng: sin24-+ sin?B+ sin?C = (78) n2 18 277 (_P)2 _ sin°A+ sin?B+ sin?C = ( ry 2 PP oR? Cách 2: Vận dụng tính chất TỊ; cho phương trình (#r) ta có 2R p*+r?+4lr 2B? C — (a5, GP) sin?A+ sin?B+ sin?C = (- 2R“ » 7 pr 4 số _pat dị H 2R? Bài 64 Chứng minh rang: ð ¡ mổ +r°+2Rr
(sinA+ sinB)(sinB+ sinC)(sinC + sin A) = py tr pee) (79) Chứng minh Cách 1: Vận dung tinh chat Tg cho phuong trình (E¡) ta có
Trang 28
— p(p”+r?+4Rr) _ 2pRr _ p(p? +r? + 2Rr)
4 4R3 4R3- 4R3 :
Cách 2: Biến đổi đại số ta có
(sin4 + sinB)( sin + sinC)(sinC + sin A)
=(sinA+ sinB+ sinC)(sinA sinB+ sinB sinC + sinC sin A) — sinA sinB sinC 1 Vận dụng (73) (74), (75) ta có (79) 1 /ÿ› 4A p(p?— 3r2 — \
Bài 65 Chimg minh rang: sin?A+ sin3+ sin3Œ = it iat Chứng minh Cách 1: Van dung tinh chat Ty cho phương trình + p p -4Rr | Đa ok 3P TT cán 2 = = 344 ind “3 sin" A+ sin°B+ sin?C = —(— be CR (WR, 48 _ 4p" — 3p(p? +r? +4Rr) + 6pRr _ Pip ~ 3rˆ ~ 6Rr) 4R3 4R Cách 2: Vận dụng tính chất 7z cho phương trình sin3 + sin?C ; +r +4Rr 2R, 2k 2h, C—)-%-——” sin? 4 + œ hing mink Via dung tink chat Tyy cho phuong tink (£7) ta có mC+ smA-— sm 2) C? (sx 4+ snB— snC)(sinB+ vinC — swA)(swC _ p £+r?+4Altr | _ i = ($F 4-5 pp a ff 2+ Aplir _ 1 ie + 8 mm) — pre B "+ He He HE
Bai 67 Ching minh rang:
sinB+ sinc sin + sinA _ p+r?—2Rr (82)
7 QRr
Trang 29Chứng mình Vận dụng tính chất T1¡ cho phương trình (En) ta có sin 4 + sinB + sin + sinŒ + sin + sinA sinC ` sin 4 sin Pp\??+r?+4Rr _ =?) 4R2 3g Ptr = 2Rr 7 0 QRr Ẻ 2R? Bài 68 Chứng minh rằng: 2 — Dio (1— sin A)(1— sinB)(1— sinC) = (AP (83) Chứng mình Vận dụng tính chất TỊ/ cho phương trình( E) ta có ?\ Pp.+r?+ 4Rr) pr (1— sin A)(1— sin B)(1— sinC) =1+ (—5) + —_ (an) 4R? — 4pR +p? +1? + 4Rr — 2mr 7 4R? = DR) thal Chron, 4R2 2R : Bài 69 Chứng minh rằng: +r+2R
(1+ sin A)(1+ sinB)(1+ sinC) = Cr (84)
Chứng minh Vận dụng tinh chất TỊ, cho phương trinh(E7) ta có 2 oe i +r’ + 4Rr pr (1+ sin4)(1+ sinB)(1+ sinC) =1- (2) LH — (2m) — 4R?+4pR+p?+r2+ 4Rr + 2pr 7 4R? ‘ _ 4R?+4R(r+p)+(r+p) =n LET Big 5 7 4R? ứwớw Tương tự ta chứng minh được các bài tập sau: Bài 70 Chứng minh rằng:
sin A sinB + sin Œ _ p? —r? —ARr (85) sin B sinC ¥ snAsinC sinAsinB pr
Bài 71 Chứng minh rằng:
sinAsinÐ sinB sinA | sinC'sinA _ p*(p? + 2r? — 8Rr)+7r°(4R+r)?
sinC T sin Z sin B 8pR?r
(86)
Trang 30Bài 72 Chứng minh rằng: 2_ 9,2 | (sin A— sin B)’ +( sin B— sinC)? + ( sinC — sin! 2 — OF = Be LH? (87) Bai 73 Chứng minh rằng: 1 a 1 § 1 _ Rip? +r? +4Rr) snA+ sinB snB+ sinC sinC+ snA p(p?+r2+2Rr) ` (88) Bài 74 Chứng minh rang: in A inB inC 2(p?—r?—Rr)
| sin —— sin —k= sin _—= ứ : ) (89)
snB+ sinC sinC+ sinA sinA+ sinB p?+r?+2Rr
Bài 75 Chứng minh rằng:
1 1 1 2R?(p? —r? —4Rr
IA a Rt a IRantet ateantg = ự 2„3 ) (90) sin“Asin‘B sin*Bsin*C sin*C sin*A per
2.6 Phuong trinh bac ba cua cosA, cosB, cosC
Bai todn 11 Ching minh rang cos A, cos B, cos C 1a cdc nghiém cia phuong trinh ?+r?—4F?_ (2R+r)?—p tra? ey gant ) pr 3 R AR? 4R? 0 (Fr) Chứng minh Tà có cos Á cos cos Ở = 2 cos(A + B) + cos (A — B)) cos Œ 1
= (- cos C’) cos C + 5 cos (A4 — B) cosC = -sũ — sin?Œ) — i cos2A + cos2B)
= mat + 1 sin 2Œ — ng —2sin?4+1— 2sin?B)
1 zZ 2 4
= 2í sin?A + sin?2B + sin?C) — 1
Trang 31Vận dụng (78) ta được
“4 — — 2_— (2 3
cos A cos Ö cos = 1p ma 4Rr -l= pa (QR +r)" 2 2P 4R? (91)
cosA+ cosB+ cosC=1+5 (92)
Trang 32L]
1 1 1
Bai toán 12 Chứng minh rằng —— == cosA’ cosB’ cosC la nghiém cua phuong trinh _ ptr? —4R? 2 _ 42R(R + r) 4R2 8 p—(QR+rP | p—(QRtr p-0Ran? _ _ 0 (Fir)
Chứng mình Theo nhận xét 2 với việc thay bởi + ta có điều cần chứng minh [ Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác ABC
1 1 1 _ p+r?—-4N? ,
Bài 76 Chứng ene Cos minh rằng: A + csB + cosC = p?—(2R+r)? ‘ ( 94) 7
Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 7¿ cho phương trinh (F7) ta có LỘ 1 1 áp, Pp+r 4F csÁ cosB coóŒ p-(2R+r) pˆ—ÑR-+r 4R2 Cách 2: Vận dụng tính chất 71 cho phương trình (#†r) ta có (94) O Bài 77 Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 => 4R(R+r) zs (95)
Trang 33Chứng mình Cách I: Vận dụng tính chất T obs phitcng trình (#7) ta có cos”A+ cos*B+ cos?C = “ ( R ) 4R? Zit? - Cách 2: Vận dụng (78) ta có cos2A4 + cos?B + cos2Œ = 3— ( sin2A + sin?B + sin 2Œ) —p.—r?-4Rr 6R? +r? +4Rr —p 2R2 có 2] O Bài 79 Chứng minh rằng: r(p?+r?+ 2Rr) 4R3
Chứng minh Vận dụng tinh chat Tz cho phương trình (F?) ta có
(cos A + cos B)( cos B+ cos C)( cos Ở + cos A) ==f= Rrnp +r2 -4J ` (2R+r)? — p? 7 R 4R2 4R2 pˆR+ Rr? — 4RŠ + p?r + rŠ — ARFr + Rr2 + ARÐr + 4RŠ — Rp? ˆ 4R3 (cos A+ cos B)( cos B+ cos C’)( cosC'+ cos A) = (97) _ (p> +r? + 2Rr) 7 4R3 Bài 80 Chứng minh rằng: 4R + 12R?r + 6Rr? — 3p?r + r3 4R3
Chứng minh Vận dụng tinh chat Ty cho phuong trinh (Fy) ta cé cos*A+ cos?B+ cos8C att P43) - 3 R+rp+r—4R? ,(2R+r)—p — RẺ + SP + 3/2 +r’ Rp? + rp? + Rr? +19 — 48 — 4R’r R jfk! + 4Rr +r? — p AE, 4R? cos?A + cos?B+ cos3C = (98) _ 4R3 4+ 12Rr + 6Rr? — 3p*r + rŠ 7 4R3 L] 2 Pp
Bai 81 Chứng minh rang: (1+ cos A)(1+ cos B)(1+ cosC) = 2P: (99)
Chứng minh Vận dụng tính chất TỊ, cho phương trình (#7) ta có (1+ cos4)(1+ cosB)(1+ cosC)
—383—
Trang 34R+ 2 2_—_ 2 2 2 ae: 4T? AR? _ ARO + ART + 4Rr +p? +1? — AR? — 4RẺ — ARrr— r2 + pề ?? 4R? ~ oR 4 2
Bài 82 Chứng minh rằng: (1 — cos A)(1— cos B)(1— cosC) = Ta (100) Chứng minh Vận dụng tính chất T7” cho phương trình (#7) ta có
(1 — cos A)(1— cos B)(1— cos C’) R+ 2+r?—4R2 (2 2— p? “1+ + a a - _ 4B? — 4R? — 4Rr + p? +r? — 4R2 4 4R2 4 ARp 4p? nn ¬ ~ AR? a) Bài 83 Chứng minh rằng: cos A cos B cos C’ 4R? “È + = s—2 (101)
cosicosŒ _ cosŒcosÁ cos4cosÖÐ ?? — (2R+r)} Ching minh Van dung tinh chat Tis cho phương trình (#7) ta có
Trang 35TT EE ESSE TESS _ 4R? + 8Rr 4+ 4r2 +p? 4 72 — 4p? 4R? ủ 4R3 PR+1?R—4R3 + pr — 73 — 4R? 4 4R3 4 AR®r + Rr? — Rp? _ R(Sr? + p? + 8Rr) r(p? +r? + 2Rr) ˆ H Tương tự ta chứng minh được các bài tẬp sau: Bài 85 Chứng minh rằng:
cos Á + cos 8 " cosB+ cosC m cosC’+ cos A
cos Z cos A cos B Bài 86 Chứng minh rằng: (cos A— cos B)?+( cos B— cos C')?+( cosC'— cos A)? = ae (104) Bài 87 Chứng minh rằng: (cos.4— cosB)( cosB — cosC) + ( cos B — cos C’)( cos C’ — cos A) 3p? — (4R 4 +( cos C'— cos A)( cos A— cos B) = Sp’ — (4R +7)? iE —(08) , ,9A , 2B § oC 2.7 Phương trình bac ba của sin“—, sin“—, sin“— 3 2 sổ A B C ¬ Bài tốn 13 Chứng minh rằng = sin Ti sin? là các nghiệm của phương trình ws 3 -_T 5 2ñ—r po +r — 8hr r Pi eg an? +” a Tạng t— 16R? = (Gr) G Chứng minh Theo công thức hạ bậc ta có 94 1-— cosA „B_ I- co oC 1- cosC sin“ = ————, sin‘ — =—————; sin—=—————, 2 2 2
2 B ^ơ l—cosA l1— cosj 1— cosC
Trang 36
A 3 R+r
B — nie
sin’ > + sin? > + sin? = Eg a (106) oA 9B ,C 1— csA 1— cosB Í— cosC
sin“ — sin*— sin“— 2 2 2 _ (1— cos A)(1— cos B)(1— cosC) = 5 , Van dung (100) ta có A ,B.,C 1ˆ r2 sin’ > sin? > sin’ > = 359) = TRE (107) 94 9B ,;B „CC, ,C ;A
sin“— sin“— + sin*— sin 27 Sin “— sin“—
_ 1— cosA1— kế b— cos B 1 — eG 1— cosC1l— cosA 7 2 2 2 2 2 2 — = —((1— cos A)(1— cos B)+(1— cos B)(1— cosC)+(1— cos C)(1— cos A)) H> = 73-2 cos A+ cos B+ cosC’)+( cos A cos B+ cos B cos C+ cos C cos A)) Vận dụng (92), (93) ta có 9 - 2 ; „B : gl : oC : gA sin 5 at sin 3n s7 sin an 3 1 r p+r?—4R? 1 2r ptr? —4R? = =(3_— — CC DPS + ————- 4C 20†+03 1,4R°— 8Rr +r?+p?h—4R2_ ph+r?—§8Rr am )540- n1 ae?) == 108 ri 4R? ) 162 08) z ` „A * „B : gle ` <n” 2 ` Theo nhận xét 1 thì sin 3° sin 2" sin“— là nghiệm của phương trình _ 2 2_ 2 p_ 28 ee +r 8Rr _ r=0 2R 16R2 16R O $ 1 1 1 ¬ š
Bài tốn 14 Chứng minh rằng 7 G là các nghiệm của
in?— sin?— sin?— sin 2 si 2 5 phuong trinh 7 Pa 8R(2R—r 16R? p p +r —8Rr ip | BR ye =0 (Gr) r2 r2 r2 ~ ¬ ĐH
Chứng minh Theo nhận xét 2 với việc thay t boi t ta có điều cần chứng minh L]
Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình
Trang 37Bài 88 Chứng minh rằng: 1 1 1 p’ +r? —8Rr —TT Bt eo = r5 , (109) sin?-— = sin?— sin?— 2 2 2 Chứng minh Cach 1: Van dung tinh chat T cho phương trình (G;) ta có po +r? —8Rr sa 1 + 1 + 1 —_— 161? _P ae Bar sin aft sin” z sin a7 r e 2 2 2 16]? Cách 2: Vận dụng tính chất 71 cho phương trình (Œ;;) ta có (109) O Bài 89 Chứng minh rằng: II - _ Ô ay in sin? sin? sin? T- aaa _ r ao 2 2 2 2 2 3:
Chứng mình Cách 1: Van dung tinh chat 7h ple phương trình (Œ?) ta có
sin? sin? ° ia sin? ° sin? a 2 2 2 2 2 2 2R-—r _( 5N )_3R-—r, 16R _ 8R2R-r) ” rẻ 2R r2 r2 , (Tạng) Cách 2: Vận dụng tính chất 7 cho phương trình (Gry) ta có (110) LÌ Bài 90 Chứng minh rằng: A B 4C 8R2+r?— ? ~ 47° AT „4 _ ul
sin 2 + sin 5 + sin 5 — — ( )
Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 7 cho phương trình (G 1) ta có , ; 4A : 4B ; yc 2 —rTss p°+r2—8Rr — 8R?+r”—p sin 2T sin 27 sin 5 mal 2P )2—2 ane — SP
Trang 38Bài 91 Chứng minh rằng: A „B B ¬= — A2 ( sin + sin “glk sin’ 5+ sin Cy sin? sin 2) = POR ~ 1) — rk =r (112) Ching minh Van dung tính chat Tg cho phương trình (Gr) ta cé A B
Trang 39_ 2Rp' + 2Rr? — 16R?r — rp? — 73 + 8Rr? — 6Rr2 2Rr? _ #@R—r) —r(16R?+r2+ 4Rr) 2Rr2 a Bài 94 Chứng minh rằng: 9A B 2 —r)2 + p
(1+ sin” >)(1 + sin” )(1 + sn2 `) = aan (115) Chitng oe Van dung we chất T14 cho phương trình (G 7) ta có
(1+ sin V+ sin pit sin 7 SR —Tr ptr? —8Rr r2 —=d— = 2l ) + l6 2 ~ = 162 5) _ tones Be 8iờr +pˆ+r2— 8Rr + rẺ ã 16R2 _ 32] - 16Rr +2r?+p°_ 2(4R—r)?+p ` 7 16R? — 16R2 ˆ Bai 95 Chitng minh rang: * oA ji 9B 5 rie) , 5 5 — — — 3
Trang 40Chứng minh Vận dụng tính chất TỊ; cho phương trình (Œ?) ta có 2 ¡x2 re P+ = BAP 2R-r
Be cee eed (ae fas =