Phương trình bậc ba và hệ thức lượng giác trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———+*x—_—_— Lại Văn Định |sš,/Ÿ %(3// PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀ HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUAN VAN THAC SĨ KHOA HOC NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC PGS.TS Phan Huy Khai Hà Nội - 2007 MỤC LỤC LOGO ẨM «ce coe oe we Se ew RE Ee ew Se ee Ewe CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phương trình bậcba lydàly DINE: dua CAO UNH, diet, «2 ex ee Oe Be Bw EE Re ee os es ew ew BH KR Bee EE RE UNDPAMRED wx oc noe cee wee Bee ae eo on me oe Boel pe om g PHUONG TRING BAC BA CUA CAC YEU TO TRONG TAM GIAC 2.1 Phương trình bậc ba ba cạnh tam giác 2.2 Phương trình bậc ba p-a, p-b, p-c tam giác 2.3 Phương trình bậc ba hạ, hy, h„ tam giác 2.4 Phương trình bậc ba ?„,r›,?¿ tam giác 2.5 Phuong trinh bac ba cua sinA, sinB, sinC tam giác 2.6 Phương trình bậc ba cosA, cosB,cosC 2.7 Phuong trinh bac ba cia sin 2: Sh 2.8 Phuong trình bậc ba cos? 2.9 Phương trình bậc ba cot 4, cotB, cotC 2.10 oA ` A cot» cot >> ‘ cat ‘ tan és 5° tan ` tan Bo Ro BO BE sử ee CG tan > A C B B iy SIR Phuong trinh bac ba cua sin’ cos "=, ` A Phương trình bậc ba cua tan > A B C va 2.11 ^ oB gia > ey tan gege Te ae Gre G ge g B k= 2.12 Phuong trinh bac ba cua cot’, cot “5 cot?— 2.13 Phương trinh bac ba cuaasinA,bsinB,csinC BAT DANG THUC TRONG TAM GIAC VA NHAN DANG 54 TAM GIAC DEU 55 31 Kiến thức chuẩnbị 55 uc BAAR 56 NHAN DANG GONE TAM «ns GIAC eee eee Re ee Oe ew VUONG 69 41 Bài toán mở đầu 69 4.2 Cac bai tap (mg dụng: 70 Tai liéu tham khao ee 82 LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình tốn học bậc Trung Học Phổ Thơng tốn Lượng Giác chiếm vị trí quan trọng Việc chứng minh hệ thức biết theo cách khác biến đổi thơng thường tìm hệ thức cần thiết Điều giúp rèn luyện tư có hệ thống tập cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi trone kỳ thi Dựa nhận xét: Một tam giác hoàn toàn xác định ba yếu tố độc lập, ba yếu tố coi ba nghiệm phương trình bác ba tương ứng Theo kinh nghiệm người làm toán va tài liệu tham khảo yếu tố độc lập biểu diễn qua p, R, r Như phương trình bậc ba tìm có hệ số chứa p, R, r Với lí đó, luận văn chúng tơi Thầy hướng dẫn giao nhiệm vụ tìm hiểu cách giải vấn đề Trên sở xây dựng hệ thức Lượng Giác dựa vào tính chất phương trình bậc ba bất đẳng thức quen biết Các hệ thức Lượng Giác đóng vai trị quan trọng việc giảng dạy học tập nhà trường phổ thông Luận văn chia làm bốn chương: Œhươn#1 Nêu lại định nghĩa phương trình bậc ba, phát biểu tính chất phương trình bậc ba Chương2 Chúng tơi xây dựng phương trình bậc ba yếu tố độc lập tam giác mà hệ số ba yếu tố p, R, r Sau dựa vào tính chất nghiệm phương trình bậc ba chúng tơi đưa chứng minh số hệ thức Lượng Giác Chương3 Với tiêu đề ”Bất đẳng thức tam giác nhận dạng tam giác đều” chúng tơi dành để trình bầy bất đẳng thức Lượng Giác tam giác nhận dạng tam giác Vận dụng số kết bất đẳng thức quen thuộc phổ thông áp dụng vào cho hệ thức xây dựng chương ta thu nhiều hệ thức bất đẳng thức Lượng Giác tam giác nhận dạng tam giác = Age Chương4 Chúng đề cập đến việc nhận dạng tam giác vuông Khác với cách nhận dạng tam giác vuông biết phổ thông biến đổi lượng giác Trong chương tiếp tục khai thác hệ thức Lượng Giác xây dựng chương để nhận dạng tam giác vng qua tốn trung gian ”Tam giác ABC vuông p= 2R +r“” Các hệ thức Lượng Giác luận văn xây dựng chứng minh theo phương pháp hoàn toàn mới, ngắn gọn dễ theo dõi Luận văn hồn thành với hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS TS Phan Huy Khải Chúng bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Phan Huy Khải Trong trình học tập làm luận văn nhận quan tâm giúp đỡ nhiều từ khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Đào Tạo Sau Đại Học Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Chúng chân trọng giúp đỡ q báu Chúng tơi chân thành cảm ơn Sở GDĐT Nam Định, Trường THPT Hải Hậu B, đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ động viên chúng tơi hồn thành khố học Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong bảo góp ý thay đồng nghiệp Ha Noi, thang 11 nam 2007 Hoc vién Lai Van Dinh CHUONG CAC KIEN THUC CO BAN 1.1 Phuong trinh bac ba 1.1.1 Dinh nghia Định nghĩa 1.1 Phương trình bậc ba phương trình có dạng: Axz3+Bz?+Œz+D=0_ (A20) Mọi phương trình bậc ba déu dua vé dang x? + ax? + be +c=0 1.1.2 Cac tinh chat Tinh chat 1: 7, = 21 + 22 +23 = —a Tính chất 2: Tinh chat 3: 73 = 21%9%3 = —C „ 1 Tính chất 4: T¿ = — Tinh chat 5: T; = +1 + — +2 +1T2Z3 Tính chất 6: 7@ = —— +12 + — #3 c † —— LoL b = 72 = 2129 + %9%3 + 31 —b =_— Cc † —— ZaZ1 a =- Cc Tính chất 7: T; = vj + 25 +23 = 0ˆ — 2b Tính chất 8: Ty = (#i + #2)(#a + #3)(#s + #) = —ab + Tinh chat 9: Ty = 23 + 23 + 23 = —a* + 3ab — äc Tinh chat 10: Tio = (x1 +22—23)(%2+23—21) (21 +23—22) = a? —4ab+8c a§ x Tính chất 11: rts T= Lotz 3, #a+z 23 ab—3c Tính chất 12: +1 +2 +3 Tyo = 13112 + xha3 + x32? = b? — 2ae Tính chất 13: Tìa = Z1 + z9 + 23 = a4 — 40d+ 2b? + 4ac ab _~% c c Tính chất 14: Với k, Ï ta ln có Tụ = (k + la)(k + lza)(k + lxạ) = kề — k?la + kPb — Be, Hệ 1: Với k=l, ]=l ta có Tig= (14+ 21)(1+ 2)(1+ 23) =1—a+b—c Hệ 2: Với k=1, l=-1 ta có #i)(1T— #2)(1— #3) =1 +a+b+c 1a = (1— +1 +2 Tính chất 15: địa = Tính chất 16: 1132, 234 Tig = —— + —4+ Tính chất 17: T=atata= aCc? oe eh we Tính chất 18: + Đ %3 4223 +3 + T321 #1 = +12 2b — qˆ ẻ 2371 b* — = 2a-— v9 c bˆ—92œc Tig = (x1 — £2)?(z2 — 3)°(x3 — 21)? = —4a2e + 02°? +18abc — 4b3 — 27c Tính chất 19: Ti9 = (1 — 2)? + (a2 — £3)? + (23 — 2)” = 2(a? — 30) Tính chất 20: To = Tính chất 21: I 1 đị T2 Tạ—3 Tinh chat 23: Hộ Mỹ“ Tính chất 22: đạa = M+t + + + ete, "HH %©3+2, = a+b —abtc —b$+3abe— 3c? =.- Cc il 13-2, =e W—4a3c+ a2 + 18abe — 463 — 2722 To3 = (#1 — £2)(%2 — £3) + (22 — £3) (x3 — 21) + (23 — 21) (21 — 22) = 3b— dỀ 1.1.3 Nhan xét Néu ba s6 21, 22,73 thoa man diéu kién 1, = ay +@e+ 23, Tạ = #1Za + #213 + 3#, 1ạ = #12223 thi ba s6 x1, 22,23 nghiệm phương trình #3 — Tịz? + T›x — Tạ = Thật vậy: Các số z, #›,# tồn nghiệm cuả phương trình (# — #i)(# — #2)( — z3) =0 Ằ© zẺ— (# +#¿ +z3)2? + (#12 + #23 + 3#1)2 — #12223 = Ú hay œ3 — Tịz2 + Tox — Ts = Néu 2, 22,23 1a cdc nghiém phương trình 1 #1 22 Z3 —,—,— re +azr?+br+c=0 (*) nghiệm phương trình cz + bz? + az + =0 % z Thật vậy: Đặt z = — => z = — Thay vào phương trình (*) ta Lo, lew, ~ aul = — + b(— CJ°+a(CJ? b(Š) +e =0 © cz3+bz?+az+1—=0 Vậy z nghiệm phương trình ezỞ -+ bzˆ + az -È = CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNG BẬC BA CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Trong chương ta xây dựng phương trình bậc ba yếu tố độc lập tam giác với hệ số chứa ba yếu tố p, R,r Để xây dung phương trình bậc ba ta dựa vào nhận xét chương va làm sau: Trước hết ta phải sử dụng biến đổi lượng giác thiết lập hệ thức lượng giác để đưa dạng tính chất 71, 7a, Tạ Cách làm giúp ta dễ nhận biết phương trình bậc ba, quen thuộc thuận tiện với học sinh phổ thơng, học sinh phổ thơng quen cách làm cho phương trình bậc hai Cách làm tổng quát phát huy kiến thức lượng giác học sinh Sau có phương trình bậc ba yếu tố độc lập, ta sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc ba để xây dựng hệ thức lượng giác chứng minh hệ thức lượng giác Cách làm ngắn gọn tổng quát, số lượng hệ thức đưa nhiều góp phần quan trọng việc giảng dạy học tập trường phổ thông 2.1 Phương trình bậc ba ba cạnh tam giác Bài toán I Chứng minh ba cạnh a, b, c tam giác ABC nghiệm phương trình: t3 — 2pt? + (p° + r? + 4Rr)t — 4pRr = (Ar) Chứng minh Theo công thức diện tích ta có b = ie = pr => abc = 4pRr RO rang a+b+c= 2p (1) (2) Bây ta chứng minh ab + be + ca = ÿ2 + r2 + 4Ttr (3) Theo công thức diện tích tam giác ta có ptr a + 4Rr =p =p + Pứ >», Ss? vy —a)(p—b)(p—c) = abc =9) | abc _?`+(ø~4)(p~ b)(p~ e) + abc p (a+b+)3+(b+c— a)(a+e— b)(œ+b— e) + 8abe 8p _—_ 12abc + 4a?b + 4a?c + 4b2c + 4b”a + Ac”a + 4c”b = §p — 4ab(œ +b+ c) + 4bc(a + b+ c) + 4ca(a + b + c) 8p =ab+bc+ ca Theo nhận xét thi a, b, c ba nghiệm phương trình ‡3 — 2pf2 + (p?+ r? + 4Rr)t — 4pRr = Bài "` - tốn ¬ Lil Le la nghiém cua phuong trinh: Chứng minh rang —, Be B- a m2 t+r°+4Rr pe t 4phr L1 » + 2lr t— 4pRr = A (An) Chứng minh Tì nhận xét với việc thay f z ta cé diéu phai chuimg minh O Từ hai toán sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc ba, ta thu hệ thức sau tam giác 4C Bài Chứng minh ¬ ¬+ răng: a b + e — xa (4) Chứng minh Cách 1: Vận dụng tính chất 74 cho phương trình (47) ta (4) Cách 2: Vận dụng tính chất 71 cho phương trình (Arr) ta duoc (4) — 10— O ... TRING BAC BA CUA CAC YEU TO TRONG TAM GIAC 2.1 Phương trình bậc ba ba cạnh tam giác 2.2 Phương trình bậc ba p-a, p-b, p-c tam giác 2.3 Phương trình bậc ba hạ, hy, h„ tam giác 2.4 Phương trình bậc. .. PHƯƠNG TRÌNG BẬC BA CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Trong chương ta xây dựng phương trình bậc ba yếu tố độc lập tam giác với hệ số chứa ba yếu tố p, R,r Để xây dung phương trình bậc ba ta dựa vào... bậc ba, phát biểu tính chất phương trình bậc ba Chương2 Chúng tơi xây dựng phương trình bậc ba yếu tố độc lập tam giác mà hệ số ba yếu tố p, R, r Sau dựa vào tính chất nghiệm phương trình bậc ba