Phương trình bậc ba và hệ thức lượng giác trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN T P Ư Ò K - Ô ?>M Đ Ỉ Ẻ O O U Õ N G N A M - Ũ - N T Lai Văn Đỉnh • H Ư • S ilĨM M /n A PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀ HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã sô : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Phan Huy Khải Hà Nội - 2007 ì MỤC LỤC Lời nói đầu CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN 1.1 Phương trình bậc b a 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất 1.1.3 Nhận x é t PHƯƠNG TRÌNG BẬC BA CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC 2.1 Phương trình bậc ba ba cạnh tam g i c 2.2 Phương trình bậc ba p-a, p-b, p-c tam giác 14 2.3 Phương trình bậc ba ha> 18 2.4 Phương trình bậc ba ra, Tb, rc tam giác 23 2.5 Phương trình bậc ba sinA, sinB, sinC tam giác 26 2.6 Phương trình bậc ba cosA, cosB, c o s C 30 2.7 35 2.8 Phương trình bậc ba sin 2—, sin 2— , sin 2— ¿1 ¿1 A B C Phương trình bậc ba co s2—, co s2— , co s2— 40 2.9 Phương trình bâc ba cotA , 44 hc tam g i c c o t C 2.10 Phương trình bậc ba ta n —, ta n — , tan — ' Ã £ 2 cot^-, c o t— , c o t— 48 z A B C 2.11 Phương trình bậc ba ta n 2—, ta n 2-r-, tan 2— 53 A B C 2.12 Phương trình bậc ba c o t2—, c o t2—, co t2^ - 53 - - ain s 2.13 Phương trình bậc ba BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỂU 55 3.1 Kiến thức chuẩn b ị 55 3.2 Bài tập ứng d ụ n g 56 NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG 69 4.1 Bài toán mở đ ầ u 69 4.2 Các tập ứng d ụ n g : 70 Tài liệu tham khảo - - 82 si LỜI NÓI ĐẨU Trong chương trình tốn học bậc Trung Học Phổ Thơng tốn Lượng Giác chiếm vị trí quan trọng Việc chứng minh hệ thức biết theo cách khác biến đổi thơng thường tìm hệ thức cần thiết Điều giúp rèn luyện tư có hệ thống tập cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi kỳ thi Dựa nhận xét: Một t am giác hoàn toàn xác định bỏỉ ba yếu tơ coi ba nghiệm ba tương Theo kinh nghiệm người làm tốn tài liệu tham khảo vèu tố độc lập biểu diễn qua p, R, r Như phương trình bậc ba tìm có hệ số chứa p, R, r Với lí đó, luận văn chúng tơi Thầy hướng dẫn giao nhiệm vụ tìm hiểu cách giải vấn đề Trên sở xây dựng hệ thức Lượng Giác dựa vào tính chất phương trình bậc ba bất đẳng thức quen biết Các hệ thức Lượng Giác đóng vai trò quan trọng việc giảng dạy học tập nhà trường phổ thông Luận văn chia làm bốn chương: C hư ng Nêu lại định nghĩa phương trình bậc ba, phát biểu tính chất phương trình bậc ba Chương2 Chúng tơi xây dựng phương trình bậc ba yếu tố độc lập tam giác mà hệ sô' ba yếu tố p, R, r Sau dựa vào tính chất nghiệm phương trình bậc ba đưa chứng minh số hệ thức Lượng Giác Chương3 Với tiêu đề ”Bất đẳng thức tam giác nhận dạng tam giác đều” chúng tơi dành để trình bầy bất đẳng thức Lượng Giác tam giác nhận dạng tam giác Vận dụng số kết bất đẳng thức quen thuộc phổ thông áp dụng vào cho hệ thức xây dựng chương ta thu nhiều hệ thức bất đẳng thức Lượng Giác tam giác nhận dạng tam giác - - Chương4 Chúng đề cập đến việc nhận dạng tam giác vuông Khác với cách nhận dạng tam giác vuông biết phổ thông biến đổi lượng giác Trong chương tiếp tục khai thác hệ thức Lượng Giác xây dựng chương để nhận dạng tam giác vng qua tốn trung gian ’’Tam giác A B C vuông p = 2R + Các hệ thức Lượng Giác luận văn xây dựng chứng minh theo phương pháp hoàn toàn mới, ngắn gọn dễ theo dõi Luận văn hồn thành với hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS TS Phan Huy Khải Chúng bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Phan Huy Khải Trong trình học tập làm luận văn nhận quan tâm giúp đỡ nhiều từ khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Đào Tạo Sau Đại Học Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Chúng chân trọng giúp đỡ quv báu Chúng tơi chân thành cảm ơn sở GDĐT Nam Định, Trường THPT Hải Hậu B, đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ động viên chúng tơi hồn thành khố học Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong bảo góp ý thầy đồng nghiệp Hà Nội, tháng 11 năm 2007 Học viên Lại Văn Định - 5- CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN 1.1 Phương trình bậc ba 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Phương trìnhbậc ba phương trình có A xz + B x + C x + D = (0A ^ O ) Mọi phương trình bậc ba đưa dạng X3 + ax2 + bx + c 1.1.2 Các tính chất — X\ + X2 + x = — Tính chất 1: T\ X1X2+ X2X3 + Tính chất 2: T2 = Tính chất 3: ’ Tính chất 4: T4 = Xi T3= X1X2X3 = —c 1 -b Xị -1 Tính chất 5: T5 = — — — • X2 c X 123 c a =— — H X1X2 X2X3 X2X1 c Tính chất 7: T = x f + x | + x | = a - 2b Tính chất 6: T q = b H — —• Tính chất 8: T8 = (xi + x 2) (x + x 3)(x + Xi) = Tính chất 9: Tg = xị + + c xị + x ị = - a + Tính chất 10: T10 = (xi + a:2- ^ 3)(a:2+ a:3 - x ) ( x i + x - X 2) = a v—4a6+8c - 6- Tính chất 1 : Til X i 4- x2 =— _—- H -_ = X3 Tính chất 12 : T 12 = X2 +X3 X3 + X\ cc = — —3 X\X2 x Ịx ị+ x \x + Tính chất 13: T l3 = x ị+ x ị+ Tính chất 14: Với k, ta ln có Tu= (k + ỈXi)(k + lx 2+ ỉx3 Hệ : Với k = l, 1=1 ta có T[ị = (1 + 34) (1 + 2:2X 2:3) Hệ 2: Với k = l, 1=-1 ta có ị4= (1 — X i)(l — x2) ( l — 3:3) = + T m ^ Xi Xo Tính chất 15: Tis = ——— h — -— h —— = 3:22:3 3:33:1 3:1 X2 + + c à2 c ™ u rr _ XịX2, X2X3 X3X1 Tính chất 16: i 16 = — 1— — - 1— -— = 2a - £3 m X\ 1 x2 c ị2 —2ac Tính chất 17: Ti = “ + -ÖT + “ = - õ • ^ *1/2 *t/ß c Tính chất 18: Ti = (xi — X2) 2(X2 — X3) 2(X3 —Xi )2 = —4a3c + a 2c2 +18c —4Ị3 —27c2 Tính chất 19: Ti = (xi —X2)2 + (x2 —X3)2 + (X3 —X1)2 = 2(a2 —36) 1 Tính chất 20: T20 = — - Ị — = - - Xi + X2 X2 + X3 X3 + Xi -ab + c m 1 —63 + 2>abc — 3c2 Tính chất : T21 = —õ + —5- + —ĩ = -o X' x: x: Tính chất 22: 3b - a T22 = Xi - x x - x x - Xi \ / - a 3c + a 2c2 + 18a6c - 4Ị3 - 27c2 Tính chất 23: T23 = (2:i - X 2)(X2 - X 3) + (x - X 3)(x - X i ) + (X3 - X i )(Xi - X 2) = 1.1.3 Nhận xét Nếu ba số X i,x 2, 2:3 thỏa mãn điều kiện Ti = Xi + x + x 3) T 2= X1X2 + 2:2X3 + X3X1, T3 = X1X2X3 - 7- ba sơ' £ ^ £ 2, £3 nghiệm phương trình \X2+ T2x —T3 = T X3— Thật vậy: Các số £ , £ 2, £3 tồn nghiệm cuả phương trình (x ^ hay X - ị ) (x x 3) x 2+ £ — (£1 + £2 + x 2)(x- £ 3) - ( £ i £2 + £22:3 + £ —TÌ£ + T2X — T3 = Nếu £ j , £ 2,£3 nghiệm phương trình bx+ c = £3 + ữ£2 + — , — , — nghiệm phương trình \X£2 £3 cz3 + bz2 + az + = Thât vây: Đăt z = — =r> £ = £ Thay vào phương trình (*) ta đươc z (“ )3 + ữ(“ )2 + i>(~) + c = z z z & czz + bz2 + az + = Vậy z nghiệm phương trình cz3 + - 8- + + = (*) CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNG BẬC BA CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Trong chương ta xây dựng phương trình bậc ba yếu tô độc lập tam giác với hệ số chứa ba yếu tố p, R, r Đế xày dựng phương trình bậc ba ta dựa vào nhận xét chương làm sau: Trước hết ta phải sử dụng biến đổi lượng giác thiết lập hệ thức lượng giác để đưa dạng tính chất T i,72, 73 Cách làm giúp ta dễ nhận biết phương trình bậc ba, quen thuộc thuận tiện với học sinh phổ thơng, học sinh phổ thơng quen cách làm cho phương trình bậc hai Cách làm tổng quát phát huy kiến thức lượng giác học sinh Sau có phương trình bậc ba yếu tố độc lập, ta sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc ba để xây dựng hệ thức lượng giác chứng minh hệ thức lượng giác Cách làm ngắn gọn tổng quát, số lượng hệ thức đưa nhiều góp phần quan trọng việc giảng dạy học tập trường phổ thơng 2.1 Phương trình bậc ba ba cạnh tam giác B i to n 1.Chứng minh ba cạnh a, b, c tam giác ABC nghiệm c phương trình: - - t — 2p t2 + (p2 + r + 4J?r)í — 4p/?r = Chứng minh Theo cơng thức diện tích ta có s = — = pr => abc — 4pR r ( 1) Rõ ràng a + b + c = 2p ( 2) Bây ta chứng minh ab + bc + ca = ỊT + r + 4i?r (3) Theo cơng thức diện tích tam giác ta có p + r + 4i?r = p2 + = + — , p (p " fl)(p -ft)(p ~ c ) , p2 p _ p3 + (p —a)(p — ò) (p — c) + abc p (a + b + c)3 + (b+ c — a )(a + c — 6)(a + — c) + 8a 6c 8p 12aồc + 4a2ò + 4a2c + Ab2c + + 4c2a + 4c26 p ab(a + b + c) + bc(a+ b + c) + 4ca(a + b + c) = Sp = ab + b c+ ca Theo nhận xét a, b, c ba nghiệm phương trình t3— jB ài to n Chứng ứng minh —, , - nghiệm phương trình: trì a b c _ p2 + r + R r \ 1 = p R r2 R r p t2+ (p□ + r + ( An ) Chứng minh Từ nhận xét với việc thay t - ta có điều phải chuứng minh t □ Từ hai toán sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc ba, ta thu hệ thức sau tam giác A B C 1 p + r 4- Bài Chứng minh rằng: — + - — a b c 4p R r Chứng (4) minh.Cách 1: Vận dụng tính chất T ị cho phương trình (Ai) ta (4) Cách 2: Vận dụng tính chất T\ cho phương trình ( A n ) ta (4) - 10 - □ T n g tự ta ch ứ n g m inh tập sau: Bài 183 Chứng minh rằng: (1 - C 0S Ẩ )(1 - c o s £ )(l - c o sơ ) < Dấu xảy nào? Bài 184 Chứng minh rằng: sin A + sin Bs in cos A + cos B cos B + cos Dấu xảy nào? (214) c c B + sin csin + sin * * * * (215) ^ 3x/3 + cos A cos Bài 185 Chứng minh rằng: cos2Ẩ + cos + cos Dấu xảy nào? Bài 186 Chứng minh rằng: cos A + cos a b o+c c+ữ B +" cos + + c c^ ữ+ớ 217 Dấu xảy nào? 0A 0B sin + sin — + 0Ơ (218) > ì Dấu xảy nào? cos A cos B cos c^ sin A c B sin — sin— 2 (219) Dấu xảy nào? Bài 189 Chứng minh rằng: sin j4 s i n s + s i n £ s i n + sinC sinẨ ^ _ A B — + sin— s i n — y sin — 2 c Dấu xảy nào? Bài 190 Chứng minh rằng: + COSẤ cos (220) c , B x |.( 2 ) co sơ ^ sin — sin — sin sin—.(221) Dấu xảy nào? 9r■2 2- (222) Dấu xảy nào? Bài 192 Chứng minh rằng: Ấ B ề tan ~ + tan J ta n ^ + ta n ị + A _tan — tan C , t A ta n - + ta n - ^ c , Dấu xảy nào? tan 68- B (223) CHƯƠNG NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG Trong chương ta tiếp tục khai thác hệ thức tìm chương để xây dựng chứng minh số toán nhận dạng tam giác vuông Phươna pháp xây dựng chứng minh xoay quanh toán ’’Chứng minh tam giác A B C vuông = + r ” Trong toán chứa ba yếu tố p, R, r Những yếu tố thức tìm chương 4.1 Bài toán mở đầu Chứng minh tam giác ABC vuông Chứng minh.Từ p= Theo (3) ta có + (224) R + ĩ' p2 = ab+ bc+ ca = R2+4 p = R + r p = R r+ p2 a p2= 4R + ab + bc + ca 2& cI u, „\2 (ữ + b+ c)2 -— -ab — bc — ca = R « Ể ± ĩ± £ _ — - 64i?3 + 48 ỉẽ r +12 R r 2+ 48i?3 + 48 R 2r + 12 R r 2= 12 p 2= R 2+ R r+ r 2= (2 □ Theo (224) tam giác ABC tam giác vuông Bài 214 Chứng minh tam giác ABC vuông 0Ầ ọB ọCj 1/ ọ ọ cot2-~ + cot2-— + cot2— = - t (ẠR — R r — r 2) 2 r2 (246) Chứng minh Vận dụng (160) ta có 2A ọB ọC p2 — r2 —8Rr co ^ I + c o t 2j p ~ 2rr r + c o ^ = - — - 8Br = l ( f i - J i r - r » ) p — 2r — R R r = iỉ2 —4 - p 2= 4.R2 + i?r + r = (2i? + + r □ Theo (224) tam giác ABC tam giác vuông Bài 215 Chứng minh tam giác ABC vuông a b _ bc^~ ca~^ ab C ng a b bc minh.Vận dụng (13) ta có c p 2— ca ab (p & P 2( R T2— pRr p2 —r2 — ^ (247) ) 2R r R r(2R + )r pRr — r2 — R r){2 R + r) = + r ) + R 2(2R + r) - (2R + r f = -76- & (2 R+ r) ( p2- (2 R + r ) 2) - ( p - R & (p — R — r)(2 p R + 4i?2 + 2i?r + p r + 2i?r + r — 4i?2) = & (p — 2i? — r){2 p R + iỉr + p r + r 2) = ^ p = 2i? + r Theo (224) tam giác ABC tam giác vuông Bài 216 Chứng minh tam giác ABC vuông 1 1 b2c2 + r ) a2b2 Chứng minh.Vận dụng (16) ta có 1 a2b2 b2c2 c2a p 2— T 2— ^ 4/? r p R 2r < £> ( p p — r —4 p 2R 2r 4/ ỉ + - ( 2i? r {2 R + r) )( R + + p 2(2 R + r ) ( 2R + r ) V - ( )2 r r )2 = p i ?2 (2 R + r ) + 4fl2(2i? + r ) - 4p2i?2 = 2R + r ) 2) - (p - ( 2R = ^ (p2 - (2i? - r ) 2)((2i? + r)2 - 4/ỉ2) = & {p-2R - r) ( p + R + r ) ( 4i ỉ r + r 2) = p = Theo (224) tam giác ABC tam giác vuông Bài 217 Chứng minh tam giác ABC vuông h lh i + h2bh ỉ + hlhl = Chứng minh Vận dụng (46) ta có —4 R hlhỉ + hịh] + h lh { = ^ ể - R2 ^ V r V - r » - f l r ) =8r2(2fl + r)2 p 2(p2 _ r2 _ iừ ) = A+ r ) p4+ ịp 2R 44- p2(p2 (p2 - (2 ( p - R - -p2(2R + r f —(2 R+ + r)2 = r) 2) R- r)2)(p2 r)(p +4 +4Ä2) = +2R+ Theo (224) tam giác ABC tam giác vuông r)(p2+ 4i?2) = = Bài 218 Chứng minh tam giác ABC vuông v ch rg n_ Tỗ_8.R2 - r (250) rựcrcra Chứng inh.Vận dụng (64) ta có m Tạ_ + j ỵ _ J c _ _ (4/2 + r ) - 2p2 rbr c r cr a r ar b p2r (4R + r ) - 2p2 _ fl2 - r ^ p 2r 44 (4 R r ( /ĩ 4- r ) + r ) 2(2 R + r ) - 2p2{2R 44 (16/?2 + 44 +r)2 = R r+ 8i r 2)(2R + r ) - p2(2/ỉ + r ) - p2(8 / (8 R + R r + r + R 2- r 2)(2 R + r )2- p 2( R + r ) - p 2(8 R - r 2)= 44 2(2 R + r ) + (8 44 2(2R + R2 r ) 2( ( 2R -r 2){2R + + r)2 r)22p2{2R + p- 2) + (8 2R - r)(p + 2/2 + r) ( 2( 2R + R 2r 2)((2i? + r ) )r2 + 8R - 4* Theo (224) tam giác ABC tam giác vuông = 2/2 D Bài 219 Chứng minh tam giác ABC vuông 1 + rb+ _ (4/2 + r b+ + (2/2 + r)~ rc+ rc+ (^51) A R(2R Chứỉĩg minh Vân dụng (67) ta có 1 (4 /2 + r ) + p ra+ n + rb+ r c + r c + ' (4/2 + r ) + p _ (4/2 ị r ) + (2/2 + r ) ** Ap2R 44 (4/2 + ~ V2R 4/2(2 /2 + r ) r ) 2( 2R + r ) 2+ / ( / + r ) = p2(4/2 + r) + p (2/2 + r 44 (4/2 + r ) 2(2 R + r ) = p2(4/2 + r ) 44 m Theo (224) tam giác ABC tam giác vuông □ Bài 220 Chứng minh tam giác ABC vuông 1 r ĩ + r ị + r3c (2/2 - r ) - 4R r (2 Chứng minh Vận dụng (68) ta có l_ 1 p £ 12 R r 7*3 a