Xấp xỉ chebyshev bằng đa thức

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu mình, kết nêu luận văn trung thực Người cam đoan Lê Thị Dung ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Mai Xuân Thảo, người bảo tận tình, nghiêm túc nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, người tận tình giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tơi hồn thành luận văn cách thuận lợi Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè, người ln bên cạnh động viên, chia sẻ chăm sóc cho tơi q trình học tập sống iii MỤC LỤC Bảng ký hiệu iv Lời mở đầu Chương Xấp xỉ Chebyshev đa thức 1.1 Nội suy 1.2 Định lý Weierstrass 1.2.1 Đa thức Bernstein 1.2.2 Định lý Weierstrass 10 Chương Xấp xỉ Chebyshev đa thức tổng quát 14 2.1 Sự tồn xấp xỉ tốt 14 2.2 Tính xấp xỉ tốt 20 Chương Sai số 25 3.1 Sai số không gian metric compact tùy ý 25 3.2 Sai số không gian metric compact X = [−1, 1] 30 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iv BẢNG KÝ HIỆU Bn f : Đa thức Bernstein bậc không lớn n hàm f C[−1, 1] : Không gian hàm liên tục [−1, 1] Ln : Dãy tốn tử tuyến tính đơn điệu f (n) : Đạo hàm cấp n f En ( f ) : Sai số xấp xỉ hàm f đa thức có bậc khơng lớn n |Y | : Thể tích tập Y d(x, y) : Khoảng cách x y LỜI MỞ ĐẦU Như biết: chuẩn xác định không gian hàm liên tục bị chặn tập S theo công thức k f k∞ = sup | f (x)| x∈S gọi chuẩn (chuẩn Chebyshev) Bài tốn tìm đa thức gần tập hợp cho trước theo nghĩa chuẩn gọi xấp xỉ Chebyshev Khi xét xấp xỉ hàm liên tục f xác định đoạn [a, b] đa thức P(x) = cn xn + cn−1 xn−1 + + c0 ta quan tâm vào đánh giá sai số xấp xỉ nhỏ max | f (x) − P(x)| (0.1) max | f (xi ) − P(xi )| (0.2) a6x6b 16i6m Tổng quát hơn, ta thay đơn thức 1, x, x2 , , xn hàm xác định g0 , g1 , , gn n với đa thức tổng quát có dạng ∑ ci gi i=1 Như vậy, bao gồm lý thuyết ta toán dạng f (x) ≈ c1 log x + c2 cos x + c3 ex + c4 (x − 2)−1 Trường hợp đặc biệt xét biểu diễn (0.2) n + điểm tốn xấp xỉ ln có nghiệm Luận văn nghiên cứu tồn tại, tính đánh giá sai số xấp xỉ xấp xỉ Chebyshev đa thức Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, kết luận ba chương Chương 1: Trình bày xấp xỉ Chebyshev đa thức, số vấn đề nội suy (công thức Lagrange, công thức sai số, đa thức Chebyshev, nội suy Hermite), định lý Weierstrass, đa thức Bernstein, định lý Fejér Chương 2: Trình bày kiến thức xấp xỉ Chebyshev đa thức tổng quát, điều kiện Haar, hệ Markoff, định lý de La Vallée Poussin, định lý Freud, định lý hội tụ Chương 3: Trình bày sai số, xét sai số không gian metric compact tùy ý không gian metric compact cụ thể, bất đẳng thức Markoff bất đẳng thức Bernstein Mặc dù có nhiều cố gắng, chắn luận văn khó tránh khỏi khiếm khuyết định Vậy mong nhận góp ý thầy giáo người quan tâm đến vấn đề CHƯƠNG XẤP XỈ CHEBYSHEV BẰNG ĐA THỨC 1.1 Nội suy Định lý 1.1 (Định lý nội suy) Tồn đa thức có bậc n nhận giá trị cho trước n + điểm phân biệt Chứng minh Cho x0 , x1 , , xn n + điểm phân biệt y0 , y1 , , yn giá trị tương ứng Chúng ta cần tìm đa thức P cho: P(xi ) = yi (i = 0, , n) Vì đa thức có bậc n nên ta biểu diễn n P(x) = ∑ c jx j j=0 n Ta cần có ∑ c j xi j =yi (i = 0, , n) j=0 Viết thành dạng ma trận      n c y x x x0   0  0  0          =             n cn yn xn xn xn ci : i = 0, n số chưa biết xi ; yi ; i = 0, n biết, phương trình có nghiệm ma trận hệ số khơng suy biến Định thức ma trận định thức Vandermonde có giá trị D= ∏ (xi − x j ) 06 j