Xấp xỉ bằng đa thức taylor

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÀI TIỂU LUẬN ĐỀ TÀI XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC TAYLOR Giáo viên hướng dẫn Nguyễn Lê Thi Lý Thuyết Định lý Nếu một hàm số f được khai triển thành, nó[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN  BÀI TIỂU LUẬN ĐỀ TÀI: XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC TAYLOR Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Lê Thi Lý Thuyết Định lý Nếu hàm số f khai triển thành, nói cách khác, tổng chuỗi lũy thừa ∞ ∑ c n ( x−a )nvới bán kình hội tụ R>0, f có đạo hàm cấp khoảng (a-R,a+R) n=0 n, cn = f (n) (a) (với quy ước 0! = 1, f(0)=f) n! Như vậy, khai triển thành chuỗi lũy thừa xung quanh điểm a hàm số (khơng có khai triển thứ hai) Định nghĩa chuỗi Taylor-Maclaurin Chiều đảo định lý không đúng, nghĩa là: Nếu f hàm số có đạo hàm cấp khoảng (a-R, a+R), chuỗi lũy thừa ∞ ∑ c n ( x−a )n gọi chuỗi Taylor f xung quanh điểm a, viết n=0 ∞ f ∑ n=0 f (n) (a) n! Và chuỗi Taylor nói chưa hẳn hội tụ f(x) Trường hợp a=0, chuỗi nói gọi chuỗi Mac-Laurin f Định nghĩa lượng vô bé Người ta ký hiệu o() biểu thức phụ thuộc vào thỏa lim →0 o() =0 ❑ Lúc đó, o() gọi lượng vô bé cấp cao → Tính chất lượng vơ bé Khi → o() ±o() =o() Với số k bất kỳ, ko()=o() o().o()=o(), 1,2→0 Đa thức Taylor Giả sử f hàm số có đạo hàm đến cấp n điểm a Khi đó, đa thức Taylor bậc n xung quanh điểm a f định nghĩa n Tn(x) = ∑ k=0 = f(a) + f ' (a) (x−a) 1! + f (k ) ( a ) (x−a)k k! f ' ' ( a) ( x −a)2 2! +…+ f (n) ( a ) ( x−a)n n! tức tổng riêng phần n chuỗi Taylor Lượng chênh lệch Rn(x)= f(x) – Tn(x) gọi phần dư chuỗi Taylor f Công thức Taylor với dư số Peano Giả sử f hàm số có đạo hàm đến cấp n-1 lân cận điểm a có đạo hàm đến cấp n a Lúc Đa thức xấp xỉ tốt f đến n xung quanh điểm a đa thức Taylor T n, theo nghĩa F(x) = Tn(x) + o((x-a)n), n f(x) = ∑ k=0 f (k) ( a ) (x−a)k + o ¿ ¿ k! Ngược lại, Pn đa thức bậc n xấp xỉ tốt cho f xung quanh điểm a, theo nghĩa f(x) – Pn(x) = o((x-a)n), Pn đa thức Taylor f Cơng thức Taylor với dư số Lagrange Giả sử hàm f có đạo hàm đến cấp n+1 liên tục khoảng (a - R; a + R) Khi đó, với số x (a - R; a + R), tồn số nằm a x cho f(x) = Tn(x) + Rn(x), với Rn(x) = f ( n+1 ) (❑ x ) (x−a) n+1 ( n+1 ) ! Tn ký hiệu đa thức Taylor bậc n f xung quanh điểm a nói trên, tức n Tn(x) = ∑ k=0 f (k) ( a ) ( x−a)k k! Hệ từ công thức Taylor với dư số Lagrange i Bất đẳng thức Taylor Nếu có số M>0 (chỉ phụ thuộc n) cho x(a - R; a + R), |ff(n+1)(x) ≤ M|f, x (a - R; a + R), |fRn(x) ≤ ii M ¿ x−a∨¿ n+1 ¿ ( n+1 ) ! Nếu số M (i) không phụ thuộc vào n Rn ( x )=0 x (a - R; a + R), nlim →∞ chuỗi Taylor f xung quanh điểm a hội tụ vè f khoảng (a - R; a + R) Vài công thức Mac-Laurin số hàm với dư số Peano x2 x3 xn n + +…+ + o ( x ) n! n x x n−1 x n ln ( 1+ x )=x− + −…+ (−1 ) +o ( x ) x n +1 x x n x sin x=x− + −…+ (−1 ) + o(x n+ 2) 3! 5! ( n+1 ) ! 2n x x n x cos x=x − + −…+ (−1 ) +o(x n +1) 2! 4! (2 n) ! (−1 ) … [−( n−1 ) ] n (−1 ) ( 1+ x )❑=1+ x+ x +…+ x + o ( xn ) 2! n! n +1 x3 x5 n x 2n +2 arctan x=x − + −…+ (−1 ) +o (x ) ! 5! 2n+1 x e =1+ x + Các ứng dụng công thức Taylor, Mac-Laurin Xấp xỉ hàm f đa thức bậc n Tìm đạo hàm cấp cao f điểm a Tìm giới hạn hàm số Tính gần với độ xác cho trước Bài Tập E Bài tập xấp xỉ đa thức Taylor a) Tìm đa thức Taylor đến bậc f(x) = cosx a = 0: Ta có:        f(0)(x) = cosx => f(0)(0) = 1; f(1)(x) = -sinx => f(1)(0) = 0; f(2)(x) = -cosx => f(2)(0) = -1; f(3)(x) = sinx => f(3)(0) = 0; f(4)(x) = cosx => f(4)(0) = 1; f(5)(x) = -sinx => f(5)(0) = 0; f(6)(x) = -cosx => f(6)(0) = -1;  T0(x) = f(x) = 1; f (k ) ( ) k x =¿ 1; ¿ T1(x) =∑ k! k=0 f (k ) ( ) k x2 x =¿ 1− ; ¿ T2(x) =∑ k! k=0 (k ) f (0 ) k x2 x =¿ 1− ;¿ T3(x) =∑ k! k=0 f (k ) ( ) k x2 x4 x =¿ 1− + ; ¿ T4(x) =∑ k! 24 k=0 (k ) f (0 ) k x2 x4 x =¿ 1− + ; ¿ T5(x) =∑ k! 24 k=0 (k ) f (0 ) k x2 x4 x6 x =¿ 1− + − ;¿ T6(x) =∑ k! 24 720 k=0 Vẽ đồ thị: b)  x = π π π T6( ¿=1− π2 π4 π6 + − 384 46080  x = π T0( ¿=1 T0( π ¿=1 π T1( ¿=1 T1( π ¿=1 π π2 T2( ¿=1− T2( π ¿=1− π2 π π2 T3( π ¿=1− π2 π π2 π4 + 384 T4( π ¿=1− π2 π + 24 π π2 π4 + 384 T5( π ¿=1− π2 π + 24 T3( ¿=1− T4( ¿=1− T5( ¿=1− π2 π4 π6 T6( π ¿1− + − 24 720 c) 2.a) Tìm đa thức Taylor đến bậc f(x) = 1/x a = 1: Ta có: => f(0)(1) =1; x −1 f(1)(x) = => f(1)(1) = -1; x f(2)(x) = => f(2)(1) = 2; x −6 f(3)(x) = =>f(3)(1) = -6; x  f(0)(x) =     T0(x) = f(x) =1; T1(x) =∑ k=0 T2(x) =∑ k=0 T3(x) =∑ k=0 T0(0.9) = T1(0.9) = 1.1 T2(0.9) = 2.11 T3(0.9) = 2.111 T0(1.3) = T1(1.3) = 0.7 T2(1.3) = 1.79 T3(1.3) = 1.763 f (k ) ( ) (x−1)k =¿ 2−x ; ¿ k! (k ) f (0 ) (x−1)k =¿ 3−x+( x−1)2 ; ¿ k! (k ) f (0 ) k x =¿ 3−x + ( x−1 ) −(x−1)3 ; ¿ k! 3.Tìm đa thức Taylor T3(x) cho hàm f a Vẽ f T3(x) đồ thị f(0)(x) = => f(0)(2) = 0.5 x f(1)(x) = −1 −1 (1) => f (2) = x f(2)(x) = (2) => f (2) = x f(3)(x) = −6 −3 (3) =>f (2) = x  T(3)(x) = ∑ k=0 f (k ) ( ) k 1 ( x−2 ) = − ( x −2 )+ ( x−2 ) − ( x−2 ) k! 16 Tìm đa thức Taylor T3(x) cho hàm f a Vẽ f T3(x) đồ thị f(0)(x) = x + e-x => f(0)(0) = f(1)(x) = – e-x => f(1)(0) = f(2)(x) = e-x => f(2)(0) = f(3)(x) = -e-x =>f(3)(0) = -1  T(3)(x) = ∑ k=0 f (k ) ( ) k x x3 x =¿ 1+ − ¿ k! Tìm đa thức Taylor T3(x) cho hàm f a Vẽ f T3(x) đồ thị f(0)(x) = cosx => f(0)(0) = f(1)(x) = -sinx => f(1)(0) = f(2)(x) = -cosx => f(2)(0) = -1 f(3)(x) = sinx => f(3)(0) =  T3(x) = ∑ k=0 f (k ) ( π2 ) (x− π ) =¿1−¿ ¿ ¿ k! k 6-10 Tìm T3(x) cho hàm f a đa thức Taylor 6/ T3(x)=∑3k=0 × o o o o F(0)(x)=e-xsin(x)→F(0)(0)=0 F(1)(x)=-e-xsin(x)+e-xcos(x)→F(1)(0)=1 F(2)(x)=e-xsin(x)-e-xcos(x)- e-xcos(x)- e-xsin(x)=-2 e-xcos(x)→ F(2)(0)=-2 F(3)(x)=2e-xcos(x)+2e-x sin(x)→F(3)(0)=2 T3(x)=x-x2+ F(x) 7/T3(x)= ∑3k=0 ×     (a=1) F(0)(x)=ln(x)→F(0)(1)=0 F(1)(x)=→F(1)(1)=1 F(2)(x)=→F(2)(1)=-1 F(3)(x)=→F(3)(1)=2 F(x) T3(x)=-+ 8/ T3(x)=∑3k=0 ×     F(0)(x)=xcos(x) →F(0)(0)=0 F(1)(x)=cos(x)-xsin(x)→F(1)(0)=1 F(2)(x)=-sin(x)-sin(x)-xcox(x) →F(2)(0)=0 F(3)(x)=-2cos(x)-cos(x)+xsin(x)→ F(3)(0)=-3 F(x) T3(x)=x- 9/ T3(x)=∑3k=0 × F(0)(x)=xe-2x→F(0)(0)=0 F(1)(x)=e-2x-2xe-2x→F(1)(0)=1 F(2)(x)=-2e-2x-2e-2x+4xe-2x→F(2)(0)=-4 F(3)(x)= 8e-2x+4e-2x-8xe-2x→F(2)(0)=12     T3(x)=x-2x2+2x3 F(x) 10/ T3(x)= ∑3k=0 × F(0)(x)=tan-1(x) →F(0)(1)=tan-1(1) F(1)(x)= →F(1)(1)= F(2)(x)= 2sin-3(x)cos(x) →F(2)(1)= sin-3(1)cos(1) F(3)(x)=-6sin-4(x)cos(x)-2sin-2(x) →F(3)(1)= -6sin-4(1)cos(1)-2sin-2(1)     T3(x)= tan-1(1)+eq ¿(−1, sin 2(1))( x−1)+¿ sin-3(1)cos(1)×( x−1)2+ F(x) ( x−1)3 13-22 a) Xấp xỉ f đa thức Taylor bậc n a b) Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để ước lượng độ xác xấp xỉ f(x)  Tn(x) x nằm đoạn cho trước 13 f(x) = √ x, a=4, n=2, 4≤ x ≤ 4.2 a) f(x) = √ x → f(a) = 1 f’(x)= √ x →f’(a) = −1 f’’(x)= √ x → f’’(a)= −1 32 f(3)(x)= √ x T2(x) = ∑ k=0 f (k) ( ) ( x−4 )k + o ¿ ¿) k! = 2+ ( x−4 ) + −1 ¿ 64 b) Đánh giá sai số Ta có: |fR2(x)|f=¿ với ❑x  [4; 4,2] =¿ Vậy x[4; 4,2] sai số khoảng ¿ 14 f(x) = x−2, a=1, n=2, 0.9≤ x ≤ 1.1 a) f(x) = x−2 → f(a) = f’(x)= −2 x−3 →f’(a) = −2 f’’(x)=6 x−4 → f”’(a)= f(3)(x)= -24x-5 T2(x) = ∑ k=0 f (k) ( ) ( x−1) k + o ¿ ¿) k! = 1−2 ( x−1 ) +3 ¿ b) Đánh giá sai số Ta có: |fR2(x)|f=¿ với ❑x  [0,9; 1,1] =¿ Vậy x[0,9; 1,1] sai số khoảng¿ 15 f(x) = x , a=1, n=3, 0.8≤ x ≤ 1.2 a) f(x) = x → f(a) = −1 2 x →f’(a) = 3 f’(x)= x f’’(x)= −2 −4 −7 (3) x 27 (4) −56 x 81 f (x)= f (x)= T3(x) = ∑ k=0 → f”’(a)= −2 → f”’(a)= 27 −10 f (k) ( ) ( x−1) k + o ¿ ¿) k! = 1+ ( x−1 )− ¿ b) Đánh giá sai số Ta có: |fR3(x)|f=¿ với ❑x [0,8; 1.2] =¿ Vậy x[0,8; 1,2] sai số khoảng¿ π 16 f(x) = sin( x ), a= , n=4, 0≤ x ≤ a) f(x) =sin ⁡( x) → f(a) = f’(x)= cos ⁡( x)→f’(a) = √2 f’’(x)=−sin ⁡(x) → f”’(a)= −1 − f(3)(x)= −cos ⁡(x )→ f”’(a)= 2√ f(4)(x)= sin ⁡( x) →f(4)(a)= f(5)(x)= cos ⁡( x)→f’(a) = √2 T4(x) = f (k) ∑ k=0 = ( π6 ) ( x− π ) +o ¿ ¿) k k! √3 π + x− − ¿ 2 ( ) b) Đánh giá sai số Ta có: |fR4(x)|f=¿ với ❑x  [0, π ] =¿ Vậy x[0, π ]sai số khoảng¿ π 17 f(x) = sec ( x), a=0, n=2, -0.2≤ x ≤ 0.2 a) f(x) = → cos ⁡( x) f(a) = sin ⁡(x) →f’(a) = cos ⁡2( x ) f’(x)= cos3 ( x )+ sin ( x ) cos ⁡( x) = → f’’(a)= f’’(x)= cos ⁡ ( x ) cos ⁡3( x) sin ⁡(x ) f(3)(x)= cos ⁡4 (x) T2(x) = ∑ k=0 f (k) ( ) k ( x ) + o ¿ ¿) k! = 1+ x b) Đánh giá sai số Ta có: |fR2(x)|f=¿ với ❑x  [-0.2; 0,2] | || | 3 = ! cos ⁡(❑ ) x ≤ ! cos ⁡( 0.2) x x Vậy x [-0.2; 0,2] sai số khoảng | x3 ! cos ⁡(0.2) 18 f(x) = ln (1+ x ), a=1, n=3, 0.5≤ x ≤ 1.5 a) f(x) =ln ⁡(1+2 x )→ f(a) = ln3 2 →f’(a) = 1+ x f’(x)= −4 f’’(x)= (1+2 x)2 → f”’(a)= −4 f(3)(x)= 16 → f”’(a)= 16 27 (1+2 x) f(4)(x)= −96 (1+2 x) | T3(x) = ∑ k=0 = ln3 f (k) ( ) ( x−1) k + o ¿ ¿) k! +2 ( x−1 )− ¿ b) Đánh giá sai số Ta có: |fR3(x)|f=¿ với ❑x  [0,5; 1,5] =¿ Vậy x[0,8; 1.2] sai số khoảng¿ 19 f(x) = e x , a=0, n=3, 0≤ x ≤ 0,1 a) f(x) =e x → f(a) = f’(x)= x e x →f’(a) = f’’(x)=(2+ x 2) e x → f”’(a)= 2 f(3)(x)= (12 x+ x ) e x → f”’(a)= f(4)(x)= (12+48 x +16 x ) e x T3(x) = ∑ k=0 f (k) ( ) ( x−1) k + o ¿ ¿) k! = 1+ ( x−1 )− ¿ b) Đánh giá sai số Ta có: |fR3(x)|f=¿ với ❑x [0; 0.1] (12+ 48❑x +16❑x ) e❑ (12+ 48.0,12 +16 0,14 ) e❑ = x ≤ x 4! 4! | x || x | (12+ 48.0,12 +16 0,14 ) e❑ Vậy x[0; 0.1] sai số khoảng x 4! | 20 f(x) = xlnx , a=1, n=3, 0,5≤ x ≤ 1,5 a) f(x) = xlnx → f(a) = f’(x)= lnx+1 →f’(a) = x | f’’(x)= x → f”’(a)= f(3)(x)= −1 → f”’(a)= −1 x2 f(4)(x)= x3 T3(x) = ∑ k=0 f (k) ( ) ( x−1) k + o ¿ ¿) k! = ( x−1 ) + ¿ b) Đánh giá sai số Ta có: |fR3(x)|f=¿ với ❑x [0,5; 1,5] 2 = ❑x 0.53 x ≤ x 4! 4! | || | Vậy x[0,5; 1,5] sai số khoảng 0.53 x 4! | | 21 f(x)= xsinx, a=0, n=4, -1≤x≤1 a) f(x) = x sin ⁡( x)→ f(a) = f’(x)= sinx+ xcosx →f’(a) = f’’(x)=2 cosx+ xsinx → f”’(a)= f(3)(x)= −sinx+ xcosx → f”’(a)= f(4)(x)= −xsinx →f(4)(a)= f(5)(x)= −sinx−xcosx →f’(a) = T4(x) = ∑ k=0 = x2 f (k) ( π6 ) ( x) + o ¿ ¿) k k! b) Đánh giá sai số Ta có: |fR4(x)|f=¿ với ❑x  [-1; 1] =¿ Vậy x[-1; 1]sai số khoảng¿ 23 Sử dụng thông tin từ Bài tập để ước lượng cos 80o xác đến chữ số thập phân 80o= 4π | Ta có: |fRn(x)|f= cos ( ❑x ) π n+1 π n +1 ≤ ( x− ) (x− ) n+1 ! n+1! || | Để xấp xỉ xác đến chữ số thập phân ta chọn n cho | |fRn(x)|f= cos ( ❑x ) −π n +1 −π n+1 ( ) ≤0,00001 ( ) ≤ n+1 ! 18 n+1! 18 || | Ví dụ n = 4π −π −π =¿ + cos80 T4 1– 18 18 ( ) o ( )( ) 25 Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để xác định số số hạng chuỗi Maclaurin exdùng để xấp xỉ e0,1 với độ xác khoảng 0,00001 f(n)(x) = ex n f (k ) ( ) k (x) k! Tn(x) = ∑ k=0 |fRn(x)|f= e x ( )n+1 x ( n+1 ) ! Áp dụng với x=0.1 e e❑ n+1 ( 0.1 )n+1 ( 0.1 ) ≤ |fRn(0.1)|f= ( n+1 ) ! ( n+1 ) ! | x || | Để xấp xỉ xác đến 0.00001, ta chọn n cho | |fRn(0.1)|f≤ e ( 0.1 )n+1 ≤0.00001 ( n+1 ) ! Ví dụ n= | Vậy cần số hạng chuỗi Maclaurin để xấp xỉ e0,1 với độ xác khoảng 0.00001 26 Bao nhiêu số hạng chuỗi Maclaurin ln (1+x) cần dùng xấp xỉ ln1,4 với độchính xác khoảng 0,001? f(x)= ln(1+x) f’(x)= 1+ x f’’(x)= −1 ( 1+ x )2 f(n)(x)=(-1)n+1 n Tn(x)=∑ k=0 ( n−1 ) ! ( 1+ x )n f (k ) ( ) k (x) k! |fRn(x)|f=¿ ¿ Áp dụng với x=0.4 |fRn(0.4)|f=¿≤¿ Để xấp xỉ xác đến 0,001 ta chọn n cho |fRn(0.4)|f≤¿≤0.001 Ví dụ n=3 Vậy cần số hạng chủa chuỗi Maclaurin để xấp xỉ ln (1+x) xác đến 0.001 27-28 Dùng Định lý Đánh giá Chuỗi đan dấu Bất đẳng thức Taylor để ước lượng miềngiá trị x để xấp xỉ có độ xác tương ứng với giá trị cho trước x3 27 sin xx- |sai số|x≤0.7 | sin ⁡(❑x ) x => x0 4! | Vậy miền giá trị x [0;0,7] 28 cosx 1- x2 x + |Sai số| x≤1.04 | cos ⁡(❑ x ) x 0=> x0 5! | Vậy miền giá trị x [0;1,04] Câu 31: Một xe di chuyển với tốc độ 20 m/s gia tốc m/s2 thời điểm cho trước.Dùng đa thức Taylor cấp để ước lượng quãng đường xe di chuyển giây Có hợp lý dùng xấp xỉ để ước lượng khoảng cách di chuyển suốt phút tiếp theo? Ta có: S(t) = at2+vt = t2+20t (với t ≥0) S’(t) = 2t + 20 S’’(t) = Áp dụng công thức Taylor cấp với t0 = 0: T(t) = t02 + 20 t02 + 2t +20 (t - t0) + (t - t0)2 = 20t + t2 2! 1! Quãng đường xe di chuyển giây tiếp theo: s = T(t + 1) – T(t) = 20(t + 1) + (t + 1)2 – 20t - t2 = 2t + 21 Có thể dùng xấp xỉ để ước lượng khoảng cách di chuyển suốt phút vì: o((t – t0)n) = S(t) – T(t) = t2+20t - 20t - t2 = Vì phần dư chuỗi taylor S nên công thức taylor có giá trị hồn tồn xác  ... công thức Taylor, Mac-Laurin Xấp xỉ hàm f đa thức bậc n Tìm đạo hàm cấp cao f điểm a Tìm giới hạn hàm số Tính gần với độ xác cho trước Bài Tập E Bài tập xấp xỉ đa thức Taylor a) Tìm đa thức Taylor. .. Lúc Đa thức xấp xỉ tốt f đến n xung quanh điểm a đa thức Taylor T n, theo nghĩa F(x) = Tn(x) + o((x-a)n), n f(x) = ∑ k=0 f (k) ( a ) (x−a)k + o ¿ ¿ k! Ngược lại, Pn đa thức bậc n xấp xỉ tốt cho... x−1)+¿ sin-3(1)cos(1)×( x−1)2+ F(x) ( x−1)3 13-22 a) Xấp xỉ f đa thức Taylor bậc n a b) Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để ước lượng độ xác xấp xỉ f(x)  Tn(x) x nằm đoạn cho trước 13 f(x) = √ x,