BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 ĐỀ TÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TAYLOR

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Nhóm: P01 Lớp: L09 ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TAYLOR GVHD: TS Huỳnh Thị Hồng Diễm ThS Trần Thị Ngọc Huyền Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2022 Lớp lý thuyết L09 – lớp tập L09 - Nhóm P01 ➣Danh sách thành viên: STT Họ tên MSSV Phan Kế Vĩnh Hưng Trương Thanh Nhàn Lường Tú Đồng Nguyễn Minh Chiến 2111412 2111891 2111068 2112934 Mức độ hoàn thành 100% 100% 100% 100% Mục lục Lời nói đầu……………………………………………….….…………3 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định lý Taylor……………………………………………………4 1.2 Dạng khác công thức Taylor…………………………………5 1.3 Công thức Maclaurint…………………………………….… … 1.4 Công thức khai triển số hàm sơ cấp thường gặp… …….6 1.5 Khai triển hàm thành chuỗi Taylor……………………………….7 Chương ỨNG DỤNG 2.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải số dạng toán hàm biến 2.1.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng……….8 2.1.2 Ứng dụng cơng thức khai triển Taylor để tính giới hạn….…….9 2.1.3 Ứng dụng cơng thức khai triển Taylor để tìm cực trị hàm số………………………………………………………………….…10 2.2 Ứng dụng công thức khai triển Taylor vật lý học……………………………….…………………….………12 2.3 Chuỗi Taylor liên hệ với ADN………………… ….15 Kết luận………………………… ………………….……… 19 Tài liệu tham khảo ……………………………………… …19 -2- LỜI NÓI ĐẦU Trong hầu hết chương trình trường đại học thuộc khối ngành kỹ thuật giáo dục bao gồm môn khoa học tự nhiên từ năm hành trình đại học Chúng đóng vai trị quan trọng làm tảng để phát triển tư môn sau môn giải tích số mơn khoa học tự nhiên cần thiết Trong mơn giải tích bao hàm nhiều công thức ứng dụng thực tế chúng làm Khi nhắc tới công thức ứng dụng thực tế, khơng thể khơng kể đến cơng thức Taylor ứng dụng thực tế tuyệt vời mà mang lại Vì vậy, hơm tìm hiểu sâu cụ thể cơng thức Taylor, từ giúp q độc giả hiểu vận dụng vào thực tế cách sáng tạo cho tình khác -3- CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định lý Taylor Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp n liên tục [a;b] có đạo hàm cấp n + (a;b) Khi tồn điểm c ∈(a;b) cho: 𝑓(𝑏)=𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎) (𝑏 1! − 𝑎) + 𝑓"(𝑎) (𝑏 2! − 𝑎)2 + + 𝑓(𝑛) (𝑎) (𝑏 𝑛! − 𝑎)𝑛 + 𝑓(𝑛+1) (𝑐) (𝑏 (𝑛+1)! − 𝑎)𝑛+1 (1) Đẳng thức (1) trường hợp a > b Khi [a; b] thay đổi thành [b;a] khoảng (a;b) chuyển thành (b;a) Công thức (1) gọi công thức Taylor Biểu thức 𝑓(𝑛 + 1) (𝑐) (𝑛 + 1)! (𝑏 − 𝑎)(𝑛+1) gọi phần dư Lagrange • Chú ý Có thể biểu diễn phần dư 𝑅𝑛 nhiều dạng khác Nhưng nói tới phần dư Cauchy Nếu hàm số f thỏa giả thuyết định lý tồn số ξ ∈ (a;b) cho: 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎) 1! (𝑏 − 𝑎) + 𝑓"(𝑎) 2! (𝑏 − 𝑎)2 + + 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑛! (𝑏 − 𝑎)𝑛 + 𝑅𝑛 (2) Trong đó: 𝑅𝑛 = 𝑓(𝑛 + 1)(𝜉 ) 𝑛! (b - a)(𝑏 − 𝜉)𝑛 Biểu thức (3) gọi phần dư dạng Cauchy Trong công thức (1) công thức (2) thay b x, ta -4- (3) 𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛 (x) + 𝑅𝑛 (x) với: 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑅𝑛 = 𝑓 (𝑛 + 1) (𝑐 ) (𝑛+1)! 𝑓′(𝑎) 1! (x - a) + 𝑓"(𝑎) 2! (𝑥 − 𝑎)2 + + (𝑥 − 𝑎)𝑛+1 𝑅𝑛 = 𝑓(𝑛 + 1) (𝜉 ) 𝑛! 𝑓(𝑛) (𝑎) 𝑛! (𝑥 − 𝑎)𝑛 (b - a)(𝑏 − 𝜉)𝑛 Trong c, 𝜉 số thực nằm a x.𝑃𝑛 (𝑥) gọi đa thức Taylor bậc n hàm số f(x) điểm a 𝑅𝑛 (x) gọi phần dư theo thứ tự Lagrange dạng Cauchy Nếu lim 𝑅𝑛 (𝑥) = với x đủ gần a, có thẻ xấp xỉ f(x) đa thức 𝑥→𝑛 𝑃𝑛 (x) 1.2 Dạng khác công thức Taylor Trong công thức (1) (2) ta đặt 𝑥0 = 𝑎, ℎ = 𝑏 − 𝑎, ta b = 𝑥0 + h cơng thức Taylor có dạng: 𝑓(𝑥0 + ℎ) = f(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 ) 1! ℎ+ 𝑓"(𝑥0 ) 2! ℎ2 + + 𝑓(𝑛) (𝑥0 ) 𝑛! ℎ𝑛 + 𝑅𝑛 (4) Với số dư dạng Lagrange, ta có c = 𝑥0 + θh, θ số cho 0