Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 20: ĐẠO HÀM VÀ TỐC ĐỘ THAY ĐỔI GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: ĐÀO HUY CƯỜNG NHÓM – L04 TPHCM, THÁNG 12/2022 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM – L04 MSSV HỌ VÀ TÊN 221052 NGUYỄN THÀNH DUY ( TRƯỞNG NHÓM ) 221408 PHÙNG ĐỨC DUY LÃ QUANG HUY 221272 THÁI QUANG PHƯỚC HUỲNH NGỌC TRÍ CƠNG VIỆC MỤC LỤC I LÝ THUYẾT II ỨNG DỤNG III KẾT LUẬN I LÝ THUYẾT DERIVATIVES AND RATES OF CHANGE 1/ TANGENTS (TIẾP TUYẾN ) Nếu đường cong C có phương trình y = f(x), muốn tiếp tuyến với đồ thị C điểm P (a, f(a)), xét điểm lân cận Q (x, f(x)) ( điều kiện x ≠ a) hệ số góc cát tuyến PQ: mPQ = f ( x )−f (a) x−a Ta cho điểm Q P dọc theo đồ thị C cách cho x a Nếu mPQ tiến tới giá trị m định nghĩa đường tiếp tuyến đường thẳng qua P với hệ số góc m ĐỊNH NGHĨA Đường tiếp tuyến đồ thị y = f(x) điểm P(a, f(a)) đường thẳng qua điểm P với hệ số góc: m=lim x →a f ( x )−f ( a) x−a Điều kiện: m tồn giới hạn tồn (Phương trình 1) Ví dụ 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến đường parabol y = x2 điểm P(1, 1) Giải Sau tính hệ số góc đường tiếp tuyến, ta lập phương trình tiếp tuyến: y – = ( x -1 ) y = 2x – NHẬN XÉT: Tại điểm P(1,1), ta thấy đường tiếp gần trùng với đường parabol y = x2 Ngồi ra, cịn cách định nghĩa khác đơn giản hệ số góc Nếu đặt h = x – a => x = a + h, ta có: Nhận thấy x a h định nghĩa hệ số góc trở thành (Phương trình 2) m=lim h →0 f ( a+h )−f (a) h Ví dụ 2: Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị y= x điểm (3, 1) Giải: Như vậy, hệ số góc m= −1 ta phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm (3, 1) y−1= −1 (x−3) y + x−2=0 3 y + x−6=0 2/ VELOCITIES ( VẬN TỐC) Giả sử vật chuyển động dọc theo đường thẳng theo phương trình chuyển động s=f ( t ), độ dời (khoảng cách có hướng) vật so với gốc thời điểm t Hàm số f mô tả chuyển động gọi hàm số vị trí vật khoảng thời gian từ t=a đến t=a+ h, ta có độ biến thiên y¿ f ( a+h )−f ( a ) Vận tốc trung bình khoảng thời gian là: v tb= ∆ s f ( a+h ) −f ( a ) = ∆t h Vị trí thời điểm t=a Vị trí thời điểm t=a +h Bây , giả sử tính vận tốc trung bình khoảng thời gian ngắn hơn: [ a , a+h ] nói ta cho h tiến v ( a ) thời điểm t=a giới hạn vận tốc trung bình: v ( a )= lim f ( a+h )−f ( a ) h→0 h (Phương trình 3) => vận tốc thời điểm hệ số góc tiếp tuyến P Ví dụ : Thả rơi bóng từ đài quan sát phía Tháp CN, cao 450 m so với mặt đất (a) Vận tốc bóng sau giây bao nhiêu? (b) Quả bóng chuyển động nhanh chạm đất? Giải: Chúng ta cần tìm vận tốc t=5 bóng chạm đất, sử dụng phương trình chuyển động s=f ( t )=4,9 t 2, ta có v ( a )= lim f ( a+h )−f ( a ) h→0 ¿ h lim 4,9 ( a+h )2−4,9 a2 h→0 h 2 lim 4,9 ( a +2 ah+h −a ) ¿ h→0 h lim 4,9 ( ah+ h ) ¿ h→0 h ¿ lim 4,9 ( a+h )=9,8 a h→0 Vận tốc sau thời gian 5(s) v ( ) =9,8.5=49(m/s ) Vì tịa tháp cao so với mặt đất 450m, nên ta có S(t 1)=450=4,9 t 12 t 1= √ 450 =9,6( s) 4,9 Vận tốc banh chạm đất: v(t 1)=9,8 t 1=9,8.9,6=94 (m/ s ) 3/ DERIVATIVES (ĐẠO HÀM ) Chúng ta thấy loại giới hạn phát sinh tìm hệ số góc tiếp tuyến (phương trình 2) vận tốc vật (phương trình 3) Trong thực tế, giới hạn hình thức lim h→ f ( a+h ) −f (a) h phát sinh tính tốn tốc độ thay đổi ngành khoa học kỹ thuật nào, chẳng hạn tốc độ phản ứng hóa học chi phí cận biên kinh tế học Vì loại giới hạn xảy phổ biến nên đặt tên ký hiệu đặc biệt ĐỊNH NGHĨA Đạo hàm hàm số f số a, ký hiệu f'(a), ' f ( a )=lim h→0 f ( a+h )−f ( a) h (Phương trình 4) giới hạn tồn Nếu viết x = a+h, có h = x - a h tiến tới x tiến tới a Do đó, cách tương đương để phát biểu định nghĩa đạo hàm, thấy việc tìm tiếp tuyến, ' f ( a )=lim h→0 f ( x )−f (a) x−a Ví dụ 4: Tính đạo hàm hàm số y=f ( x )=x 2−8 x+ a (Phương trình 5) Giải: Ta định nghĩa tiếp tuyến với đường cong y=f ( x )tại điểm P(a , f ( a ) ) đường thẳng qua P có hệ số góc m cho Phương trình Vì, theo Định nghĩa điều giống đạo hàm f ' ( a ), nói sau Tiếp tuyến y=f ( x )tại (a , f ( a )) đường thẳng qua (a , f ( a )) có hệ số góc f ' ( a ) , đạo hàm ƒ a Nếu sử dụng dạng điểm-hệ số góc phương trình đường thẳng, viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y=f ( x ) điểm (a , f ( a )) : y−f ( a ) =f ' ( a ) ( x−a ) Ví dụ 5: Tìm phương trình tiếp tuyến parabol y=x −8 x +9 (3;-6) Giải:Từ ví dụ ta biết đạo hàm f ( x )=x−8 x + 9tại số a f ' ( a )=2 a−8 Do hệ số góc tiếp tuyến (3, 6) f ' ( )=2 ( ) −8=−2 y− (−6 )=(−2 )( x−3 ) y=2 x IV/ RATES OF CHANGE ( TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN) Giả sử y đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác Như y hàm số theo x ta viết y = f(x) Nếu x thay đổi từ x1 đến x2, biến thiên x (cũng gọi gia số x) ∆ x=x 2−x thay đổi tương ứng y là: ∆ y =f ( x )−f (x 1) Thương số thay đổi ∆ y f ( x )−f ( x 1) ∆x = x 2−x tốc độ thay đổi trung bình y x khoảng thời gian từ [ x1 , x2 ] hiểu hệ số góc đường cát tuyến PQ Giới hạn ∆ x →0 đạo hàm f ' (x), hiểu tốc độ thay đổi tức thời y x hệ số góc đường tiếp tuyến P( x ; f ( x 1) ) f ( x )−f ( x 1) ∆x = lim Tốc độ biến thiên tức thời = lim ∆ x →0 ∆y x2 → x x2 −x1 (Phương trình 6) Ta thấy giới hạn đạo hàm f '(x1), hệ số góc ứng với tiếp tuyến đồ thị y = f(x) điểm có hồnh độ x1 Như vậy, ta có ý nghĩa thứ hai đạo hàm: Đạo hàm f'(a) tốc độ biến thiên tức thời y = f(x) x x = a Như vậy, giá trị đạo hàm lớn ( tức đường cong dốc điểm P), giá trị y thay đổi nhanh Khi giá trị đạo hàm nhỏ, đường cong tương đối dẹt (như điểm Q ) giá trị y thay đổi chậm Trong ví dụ sau, ta biện luận ý nghĩa đạo hàm hàm số trường hợp hàm số xác định lời VÍ DỤ Một hảng sản xuất dây điện Phí tổn để sản xuất x mét dây điện C = f(x) đồng (a) Tìm ý nghĩa đạo hàm f ' (x) Đơn vị gì? (b) Trong thuật ngữ thực tế, nói f ' ( 1000 )=9 có nghĩa gì? (c) Bạn nghĩ số lớn hai số f ' (50) f ' (500)? Còn f ' (5000) nào? (a) Đạo hàm tốc độ biến thiên tức thời C x ; tức f ' (x) có nghĩa tốc độ biến thiên giá sản xuất số mét dây sản xuất (Trong kinh tê học tốc độ biến thiên gọi marginal cost (chi phí lề) ' f ( x )= lim ∆ x →0 ∆y ∆C = lim ∆ x ∆ x →0 ∆ x ∆C nên đơn vị f ' (x) giống đơn vị ∆ x đồng/mét.Mà đơn vị đo ∆ C đồng đồng, đơn vị đo ∆ x mét, nên đơn vị f ‘(x) mét (b) Phát biểu f ' ( 1000 )=9 có nghĩa sau sản xuất 1000 mét dây, tốc độ mà giá sản xuất tăng đồng mét (Khi x = 1000, C tăng lần nhanh x) Vì x = nhỏ so với x = 1000, ta tính xấp xỉ f ' ( 1000 ) ≈ ∆C ∆ C = =∆ C ∆x nói giá sản xuất mét dây điện thứ 1000 (hay thứ 1001) khoảng đồng (c) Tốc độ giá sản xuất (mỗi mét) tăng x=500 chắn thấp x=50 (giá làm mét dây thứ 500 giá làm mét dây thứ 50) làm nhiều giá sản xuất giảm (Nhà sản xuất sử dụng hiệu phí tổn cố định trình sản xuất.) Vì ' f ( 50 ) > f ' (500) Nhưng, sản xuất mở rộng, vận hành theo qui mô lớn sinh hiệu chi phí làm thêm nảy sinh Do tốc độ tăng chi phí bắt đầu lên cao Vì nảy sinh kiện f ' ( 5000 ) > f ' (500) Trong ví dụ sau ta ước tính tốc độ biến thiên nợ công theo thời gian Đây hàm số không định nghĩa công thức mà bảng giá trị VÍ DỤ Cho D(t) nợ công Mỹ thời điểm t Bảng cho ta giá trị xấp xỉ hàm số (tỉ đơla) tính sau năm, từ 1980 đến 2000 Hãy giải thích ước tính giá trị D ' (1990) GIẢI Đạo hàm D '(1990) có nghĩa tốc độ biến thiên D t t = 1990, là, tốc độ tăng nợ cơng 1990 Theo phương trình ' D ( 1990 )= lim t → 1990 D ( t )−D(1990) t−1990 Ta tính giá trị tỉ số số gia (tốc độ biến thiên trung bình) sau Từ bảng ta thấy D '(1990) nằm khoảng 257.48 348.14 tỉ đô la năm [Ở ta giả định nợ không dao động dội khoảng 1980 2000.] Ta ước tính tốc độ tăng nợ công Mỹ năm 1990 trung bình hai số này, cụ thể D ' ( 1990 ) ≈ 303 tỉ đô la/năm Một phương pháp khác vẽ đồ thị hàm số nợ ước tính độ dốc tiếp tuyến t = 1990 Trong Ví dụ 3, 6, ta thấy ba ví dụ đặc biệt tốc độ biến thiên: vận tốc di chuyển vật thể theo thời gian; chi phí lề (marginal cost) tốc độ biến thiên chi phí sản xuất số lượng sản phẩm; tốc độ biến thiên nợ thời gian có tầm quan trọng kinh tế học Đây số mẫu nhỏ loại biến thiên: Trong vật lý, tốc độ biến thiên công thời gian gọi cơng suất Các nhà hóa học nghiên cứu phản ứng quan tâm đến tốc độ biến thiên nồng độ chất phản ứng thời gian (gọi tốc độ phản ứng) Nhà sinh học quan tâm đến tốc độ biến thiên số vi khuẩn dung môi thời gian Thật ra, công việc tính tốc độ biến thiên quan trọng ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, khoa học xã hội Mọi tốc độ biến thiên đạo hàm xem độ dốc tiếp tuyến Điều góp thêm ý nghĩa cho việc giải toán tiếp tuyến Bất ta giải tốn tiếp tuyến , ta khơng giải tốn hình Ta ngầm giải toán liên quan đến tốc độ biến thiên khoa học kỹ thuật II ỨNG DỤNG - GIẢI CÁC BÀI TẬP 1, 2, 11, 12, 17, 39, 40, 41, 45, 47, mục 2.7, SÁCH James Stewart BÀI 1: A curve has equation y=f ( x ) Write an expression for the slope of the secant line through the points P( 3, f(3))and Q (x, f(x)) Write an expression for the slope of the tangent line at P Tóm tắt đề: Một đường cong có phương trình y = f(x) (a) Viết biểu thức tính độ dốc cát tuyến qua hai điểm P(3, f(3)) Q(x, f(x)) (b) Viết biểu thức tính độ dốc tiếp tuyến P GIẢI a/ Hệ số góc cát tuyến đường thẳng PQ: mPQ = yQ− y P xQ −x p = f ( x )−f (3) x −3 b/ Hệ số góc tiếp tuyến điểm P ( điểm Q tiến sát đến điểm P) m = lim x →3 f ( x )−f (3) x−3 BÀI 2: Vẽ đồ thị hàm số y=e x cho x thuộc đoạn [-1,1], [-0.5,0.5] [0.1,0.1] Khi x ϵ [−1,1] Khi x ϵ [−0.5,0.5] Khi x ϵ [−0.1,0.1] Nhận xét: Ta thấy x tiến tới giá trị nhỏ đồ thị có hình dạng giống đường thẳng y = x BÀI 11: a) Một vật bắt đầu di chuyển từ trái sang phải dọc theo đường thẳng nằm ngang Đồ thị hình vẽ Hỏi vật chuyển động sang phải? vật chuyển động sang trái? Khi vật đứng yên? - Thời điểm t = đến t = 1, s tăng dần từ đến mét mà vật lại bắt đầu chuyển động từ trái sang phải Vật chuyển động sang phải khoảng thời gian giây đầu Thời điểm t = đến t =2, s đứng yên Vật đứng yên khoảng thời gian từ giây thứ đến giây thứ Thời điểm t = đến t =3, s giảm dần từ mét xuống mét Vật chuyển động từ phải sang trái khoảng thời gian từ giây thứ đến giây thứ Thời điểm t = đến t =4, s đứng yên Vật đứng yên khoảng thời gian từ giây thứ đến giây thứ Thời điểm t = đến t = 6, s tăng dần từ mét đến mét Vật chuyển động sang phải khoảng thời gian từ giây thứ đến giây thứ b) Vẽ đồ thị vận tốc *Lấy chiều dương chiều vật di chuyển sang phải - s Trong khoảng thời gian giây đầu vật bắt đầu di chuyển sang phải 3m v= = =3 (m/ s) t Từ giây thứ đến giây thứ vật đứng yên v=0( m/ s) s −2 =−2(m/s ) Từ giây thứ đến giây thứ vật di chuyển sang trái 2m v= = t 3−2 Từ giây thứ đến giây thứ vật đứng yên v=0( m/ s) Từ giây thứ đến giây thứ vật chuyển động di chuyển sang phải 2m s v= = =1(m/s ) t 6−4 BÀI 17: Cho đồ thị hàm g hình bên dưới, xếp theo thứ tự tăng dần gía trị sau giải thích: g ’ (−2 ) g ’ ( ) g ’ ( ) g ’ (4) Xét bảng biến thiên: x g ’( x ) g( x ) -2 + -1 0 - + Từ bảng biến thiên ta thấy g ’(0) < Ngoài ra, đạo hàm hàm số điểm độ dốc/hệ số góc tiếp tuyến điểm Từ hình vẽ, ta thấy α1 > α2 > α3 suy g' (−2 )< g ' ( ) < g ' (4) Vì vậy, thứ tự tăng dần g ’( 0) < < g' (−2 )< g ' ( ) < g ' (4) 39 Một lon nước ấm đặt tủ lạnh lạnh Vẽ đồ thị nhiệt độ soda hàm số theo thời gian Tốc độ thay đổi ban đầu nhiệt độ nhanh chậm tốc độ thay đổi nhiệt độ sau giờ? °F 91.4 39 t (h) độ giảm từ 91,4 độ2F xuống 39 độ F Trong khoảng đầu tiên, nhiệt Sau giờ, nhiệt độ lon soda không đổi 39 độ F Vì vậy, tốc độ thay đổi nhiệt độ lon soda sau nhỏ tốc độ thay đổi nhiệt độ ban đầu Câu 40: Một gà tây nướng lấy khỏi lò nhiệt độ đạt tới 185°F đặt bàn phòng nơi nhiệt độ 75°F Đồ thị cho biết nhiệt độ gà tây giảm dần cuối đạt đến nhiệt độ phòng Bằng cách đo độ dốc tiếp tuyến, ước tính tốc độ thay đổi nhiệt độ sau Giải Cách 1: phương trình diffeq để có: ( kt ) T ( t )=Ta + ( ¿−Ta ) e Với: +To nhiệt độ ban đầu vật =185(°F) +Ta nhiệt độ xung quanh ( nhiệt độ phòng) =75(°F) Ta có t=30 (m) T(30)=150 (°F) 150=75+ ( 185−75 ) e (k 30 ) ( k 30 ) e = k = 75 110 ( ) 75 ln 30 110 k =−0,012766 T (t)=75+ 110.e (−0,012766 t ) T ' (t)=−0,012766.110 e (−0,012766 t ) tốc độ thay đổi nhiệt độ sau giờ: T ' (60)=−0,012766.110 e (−0,012766.60 ) ¿−0,65 ( ° F / m ) Vậy sau thời gian 60 phút để gà bên ngồi nhiệt độ gà tây giảm 0.65 ( ° F / m) Cách 2: kẻ đường tiếp tuyến P cắt trục T(°F) cắt trục t(min) P,Q Ta có: E ( 0,160 ) ( 0,160 ) F ( 130,75 ) Dựa vào đồ thị ta ước tính tọa độ điểm: E ( 0,160 ) ; F ( 130,75 ) Tiếp tuyến điểm P tốc độ thay đổi nhiệt độ sau giờ: T ' (60)= ¿ ∆ T T (130)−T ( ) = ∆t 130−0 75−185 =−0,65 ( ° F / m ) 130−0 Vậy sau thời gian 60 phút để gà bên ngồi nhiệt độ gà tây giảm 0.65 ( ° F / m) Câu 41: Bảng cho thấy tỷ lệ phần trăm dân số ước tính châu Âu sử dụng điện thoại di động (Ước tính năm đưa ra.) (a) Tìm tỉ lệ thay đổi trung bình điện thoại di động (i) Từ 2000 đến 2002 (ii) Từ 2000 đến 2001 (iii) Từ 1999 đến 2000 (b) Hãy ước tính tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 lấy trung bình cộng hai tỷ lệ thay đổi trung bình Đơn vị gì? (c) Ước tính tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 thước đo độ dốc tiếp tuyến Giải a) Tốc độ phát triển trung bình điện thoại di động: ¿ : P 1−P t 2−t (i)Từ 2000 đến 2002:¿ 11(%dân số châu Âu sử dụng điện thoại/năm) Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình 11 phần trăm năm (ii)Từ 2000 đến 2001: f ( 2001 )−f ( 2000 ) =13(%dân số châu Âu sử dụng điện thoại/năm) 2001−2000 Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình 11 phần trăm năm (iii)Từ 1999 đến 2000: f ( 2000 )−f ( 1999 ) =16 ¿%dân số châu Âu sử dụng điện thoại/năm) 2000−1999 Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình 11 phần trăm năm b) Tốc độ tăng trưởng tức thời năm 2000 trung bình cộng tốc độ thay đổi trung bình từ năm 1999 đến năm 2000 từ năm 2000 đến năm 2001: Tốc độ tăng trưởng tức thời¿ 13+ 16 =14,5(%/năm) Vậy Tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 14,5 phần trăm năm (theo đề câu b) c) tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 cách đo hệ số góc tiếp tuyến lấy hai điểm từ bảng sau (2001,68) (2000,55) mà ta có : P '(2000)= ∆ P P(2001)−P ( 2000 ) = ∆t 2001−2000 ¿ 8−55 =13(%/năm ) 2001−2000 Vậy tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 13 phần trăm năm Q
Ngày đăng: 19/12/2022, 05:30
Xem thêm:
