BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 đề tài ỨNG DỤNG của đa THỨC TAYLOR

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 Nhóm: P01 Lớp: L09 ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TAYLOR GVHD: TS Huỳnh Thị Hồng Diễm ThS Trần Thị Ngọc Huyền Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 5 tháng 1 năm 2022 Lớp lý thuyết L09 – lớp bài tập L09 - Nhóm P01 ➣Danh sách thành viên: STT Họ và tên MSSV 1 2 3 4 Phan Kế Vĩnh Hưng Trương Thanh Nhàn Lường Tú Đồng Nguyễn Minh Chiến 2111412 2111891 2111068 2112934 Mức độ hoàn thành 100% 100% 100% 100% Mục lục Lời nói đầu 3 Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định lý Taylor… 4 1.2 Dạng khác của công thức Taylor… 5 1.3 Công thức Maclaurint 6 1.4 Công thức khai triển của một số hàm sơ cấp thường gặp… 6 1.5 Khai triển hàm thành chuỗi Taylor .7 Chương 2 ỨNG DỤNG 2.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm một biến 2.1.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng 8 2.1.2 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn… 9 2.1.3 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị của hàm số .10 2.2 Ứng dụng công thức khai triển Taylor trong vật lý học 12 2.3 Chuỗi Taylor và sự liên hệ với ADN .15 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 19 -2- LỜI NÓI ĐẦU Trong hầu hết các chương trình của các trường đại học thuộc khối ngành kỹ thuật và giáo dục đều bao gồm môn khoa học tự nhiên từ những năm đầu tiên của hành trình tại đại học Chúng đóng một vai trò hết sức quan trọng làm nền tảng để phát triển và tư duy trong các môn sau này và môn giải tích cũng chính là một trong số các môn khoa học tự nhiên cần thiết đó Trong môn giải tích bao hàm rất nhiều các công thức và ứng dụng thực tế về những gì chúng có thể làm được Khi nhắc tới những công thức và ứng dụng thực tế, thì không thể nào không kể đến công thức Taylor và những ứng dụng thực tế tuyệt vời mà nó mang lại Vì vậy, hôm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu sâu hơn và cụ thể hơn về công thức Taylor, từ đó giúp quý độc giả hiểu và vận dụng vào thực tế một cách sáng tạo cho từng tình huống khác nhau CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định lý Taylor Giả sử hàm số f(x) có các đạo hàm đến cấp n liên tục trên [a;b] và có đạo hàm cấp n + 1 trên (a;b) Khi đó tồn tại 1 điểm c ∈(a;b) sao cho: �(�)=(�(�) + �(� ′ ) ( − ) + 1! �"(�) 2!  ()  ( − )2+ + (�) ( − )� + (+1) �! (�) (�+1)! ( − )+1 (1) Đẳng thức (1) cũng đúng trong trường hợp a > b Khi đó [a; b] được thay đổi thành [b;a] và khoảng (a;b) được chuyển thành (b;a) Công thức (1) gọi là công thức Taylor Biểu thức �(� + 1) (� + 1)! được gọi là phần dư Lagrange (�) (� − �)(�+1) • Chú ý Có thể biểu diễn phần dư � dưới nhiều dạng khác nhau Nhưng ở đây chúng ta sẽ nói tới phần dư Cauchy Nếu hàm số f thỏa các giả thuyết của định lý trên thì tồn tại 1 số ξ ∈ (a;b) sao cho: �(�) = (2) Trong đó: (��) + �(� ′ ) (� − �) + 1! � = � − �"(�) ( − )� + � �!  2! � ( + 1)  () ( − )2 + + () (� ) � (b - a)(� �) �! Biểu thức (3) được gọi là phần dư dạng Cauchy (3) Trong công thức (1) và công thức (2) thay b bởi x, ta được () =   (x) +  (x) với:  () = () +  (′() (x - a) + ("() ( − )2 + + 1! 2! và  =  ( + 1)  ( )  () () ( − ) ! ( − )+1 hoặc =  (+1)!  ( + 1) ( ) ) (b - a)(− ! Trong đó c,  là những số thực nằm giữa a và x.() được gọi là đa thức Taylor bậc n của hàm số f(x) tại điểm a và (x) được gọi là phần dư theo thứ tự Lagrange và dạng Cauchy Nếu lim () = 0 thì với x đủ gần a, có thẻ xấp xỉ f(x) bởi đa thức → (x) 1.2 Dạng khác của công thức Taylor Trong các công thức (1) và (2) ta đặt 0 = , ℎ =  − b = 0 + h và công thức Taylor có dạng:  0 + ℎ) = f( (′( 0) 0)++  1! ℎ + ( 0) "( 2! ℎ2 + + () (0) ! ℎ , ta được (4)  Với số dư dạng Lagrange, ta có c = 0 + θh, θ là một số sao cho 0