Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI GVHD: Nguyễn Đình Dương Nhóm: L11 – 06 TP HCM, tháng năm 2021 BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM Đề tài: Sử dụng nội suy Lagrange giải tập Exercise Set 3.1 (trang 114): 1, 3, 5, 11, 15, 18, 20 Danh sách thành viên: STT Tên MSSV Dương Anh Khoa 2010336 Nguyễn Tiến Lộc 2011576 Nguyễn Long Nhật 1914479 Phan Nhất Thuận 2014656 Nguyễn Thị Thủy Tiên 2012187 Nguyễn Tấn Trình 2012294 Võ Quốc Trình 2012295 Dương Quang Tú 2014967 Nguyễn Xuân Tùng 1915837 10 Lê Công Danh 2012778 11 Lường Anh Duy 2012821 12 Trần Văn Huy 1911265 GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG BẢNG PHÂN CƠNG STT Tên MSSV Cơng việc Dương Anh Khoa 2010336 Lê Công Danh 2012778 Lường Anh Duy 2012821 Nguyễn Tấn Trình 2012294 Dịch + Làm 18 Dịch + Làm 3, Làm 5,15 + Code Làm 1,3,11 Nguyễn Xuân Tùng 1915837 Code Nguyễn Long Nhật 1914479 Code Trần Văn Huy 1911265 Code 11 Nguyễn Tiến Lộc 2011576 Code 15 Dương Quang Tú 2014967 Code 18 10 Nguyễn Thị Thủy Tiên 2012187 11 Phan Nhất Thuận 2014656 Dịch + Viết báo cáo Viết power point 12 Võ Quốc Trình 2012295 Viết power point Mục lục I II III TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT .5 Phép nội suy đa thức Larange Định lý xấp xỉ Weierstrass Phép nội suy đa thức Larange Sai số phép nội suy BÀI TẬP THỰC HÀNH .9 Bài Bài 12 Bài 14 Bài 11 20 Bài 15 21 Bài 18 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 I TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT Phép Nội Suy Xấp Xỉ Đa Thức Phép nội suy đa thức Larange Các đa thức đại số lớp hàm phổ biến hữu ích nhất, ánh xạ tập số thực thành nó, tập hàm có dạng: ��(�) = ���� + ⋯ + ��� + ��, Trong n số ngun khơng âm ��, … , � � số thức không đổi Một lý khiến chúng quan trọng chúng xấp xỉ cách không đồng hàm liên tục Tức với hàm biết, xác định liên tục khoảng đóng, có đa thức gần với hàm cần xấp xỉ Điều thể rõ qua định lý xấp xỉ Weierstrass Định lý xấp xỉ Weierstrass: Cho � xác định liên tục [�, �] Với � > �, có đa thức �(�), có tính chất: |�(�) − �(�)| < �, với � thuộc [�, �] Một lý khác khiến cho kiểu hàm chọn phép xấp xỉ phương trình đạo hàm tích phân khơng xác định đa thức dễ dàng tính chúng đa thức trục ��� Vì lý mà đa thức sử dụng để làm hàm xấp xỉ liên tục Các đa thức Tay-lor giới thiệu phần 1.1, mà chúng miêu tả khối kiến tạo cho phương pháp tính Với bật này, bạn mong đợi phép nội suy đa thức sử dụng hàm Tuy nhiên, Đa thức Tay-lor hoàn toàn xác định với phương trình điểm định, tập chung độ xác xoay quanh điểm Một hàm xấp xỉ đa thức tốt cần phải độ xác nhật định điểm xác định, đa thức Tay-lor không Ví dụ: Chúng ta khai triển Tay-lor bậc �� = � cho �(�) = �� Vì đạo hàm �(�) ��, với �� = � cho �, đa thức Tay-lor ��(�) = �, ��(�) = � + �, � � � (�) = � + � + �, � � � � (�) = � + � + � + �, � � � � � � � (�) = � + � + � + � + � , � � �� � � � � � � (�) = � + � + � + � + � + � � � �� ��� � Đồ thị đa thức thể hình 3.2 (Chú ý kể với đa thức bậc cao hơn, sai số trở nên tệ tiến xa khỏi 0.) Mặc dù hàm xấp xỉ đa thức tốt dùng để thể �(�) = �� đa thức Taylor bậc cao hơn, khơng với hàm Cho rằng, với ví dụ thiết thực hơn, dùng đa thức Tay-lor với nhiều góc độ khác cho �(�) = � � với =� � � � � để xấp xỉ �( � ) = � Bởi � �(�) = �−�, �′ (�) = −�−�, �′ (�) = (−�)�� �−�, v �( �) đ ( � ) = ( − � ) � � ! � − � − � , �� � ( � � ) (� ) (� − �)� = ∑� (−�)�(� − �)� � Để xấp xỉ �(�) = � �=� � � ! �=� � (�) với việc tăng giá trị n, thu nghiệm � � thể (bảng 3.1) – nói thất bại thảm hại! Khi xấp � �( � ) = (�) với giá trị n lớn dần, độ xác bị giảm xuống cách đáng kể � � � Đối với phép khai triển Taylor, tất thông tin dùng để xấp xỉ tập trung vào số x0, nên đa thức Taylor thường cho kết xấp xỉ không xác tính tốn số xa số x0 Việc tính xấp xỉ đa thức Taylor giới hạn trường hợp mà ta cần tính số gần số x0 Vậy nên việc tính tốn thơng thường có hiệu ta cần dụng phương pháp mà ta bao hàm thơng tin nhiều điểm thay điểm đa thức Taylor Ứng dụng đa thức Taylor phân tích số khơng phải để xấp xỉ mà để tính đạo hàm ước lượng sai số Phép nội suy đa thức Lagrange Vấn đề việc tính tốn đa thức bậc qua hai điểm rời rạc (x0, y0) (x1, y1) giống việc xấp xỉ hàm số f với f(x0) = y0 f(x1) = y1 cách sử dụng nội suy đa thức bậc điểm cho trước Sử dụng đa thức để tính xấp xỉ giá trị khoảng cho điểm nút gọi nội suy đa thức Ta định nghĩa hàm đa thức mội suy Lagrange sau: �� (�) �−��= ��− �� (�) = �−�� ��−�� �� Vậy, đa thức nội suy Lagrange tuyến tính qua điểm (x0, y0) (x1, y1) có dạng: �(�) = (�) ∗ �� �(�� Chú ý: )+ �� (� ) ∗ �( � � )� = � �− �� − �� �− ∗ )� + � �(�� �� − �� ∗ �(��) ��(��) = �, ��(��) = �, ��(��) = �, ��(��) = � Điều có nghĩa là: � � ( � � � � ) = � � ∗ � � ( � � � � ) + � � ∗ (− � �� �! � � )| ≤ � � � ���� �� � ! Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: � |� ���∗ � � � ∗! � = � � � �| ≤ � � � � � � � �! c Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: �′′(�) −� | ∗ ��(�)| = | ∗ (−� ����)| ≤ � ����� �! �! Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: �(�)(�) � ∗ ��(�)| = | ∗ � ������| ≤ � ����� �! �! | d Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: �′′(�) � ����� ∗ (−� ����)| ≤ � ����� | ∗ ��(�)| = � ! �! | Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: �(�)(�) | | �! ∗ ��(�)| = −�� ����� ∗ � ������| ≤ � ����� �! Bài 5: Dùng đa thức nội suy Lagrange đến bậc 1, bậc bậc để tính xấp xỉ sau: a Tính f(8.4) f(8.1) = 16.94410, f(8.3) = 17.56492, f(8.6) = 18.50515, f(8.7) = 18.82091 � b Tính f(− ) f(−0.75) = −0.07181250, f(−0.5) = −0.02475000, f(−0.25) = � 0.33493750, f(0) = 1.10100000 c Tính f(0.25) f(0.1) = 0.62049958, f(0.2) = −0.28398668, f(0.3) = 0.00660095, f(0.4) = 0.24842440 d Tính f(0.9) f(0.6) = −0.17694460, f(0.7) = 0.01375227, f(0.8) = 0.22363362, f(1.0) = 0.65809197 Giải: a Bậc 1: Ta chọn khoảng nút chứa 8.4 là: [8.3, 8.6] Ta lập bảng: x 8.3 8.6 f(x) 17.56492 18.50515 Theo cơng thức nội suy Lagrange, ta có: � − �� L1(x) = f0(x)l0 + f1(x)l1 = � (�) ∗ +� � = �� ����� ∗ ��− �� � + �� ����� ∗ �−�.� � − �� �− �� (�) ∗� �−�.� �.�−�.� �.�−�.� Hay L1(x) = � ����� � − � ����� Thay x = 8.4 vào L1(x), ta được: L1(8.4) = 17.87833 Bậc 2: Ta chọn khoảng nút chứa 8.4 là: [8.3, 8.7] Ta lập bảng: x 8.3 8.6 f(x) 17.56492 18.50515 Theo công thức nội suy Lagrange, ta có: 8.7 18.82091 L2(x) = f0(x)l0 + f1(x)l1 + f2(x)l2 =� (� − � )(�− � ) � � + � ∗(��− ��)(��−��) �(�) =�� ����� (� ( −�.� ) (�( −�.� ) ∗ (�.�−�.�) (�.�−�.�) (� − � )(�−� ) � � + �∗(��− ��)(��− ��) �(�) + ) ����� ∗ (�( �� −�.� �(�) (� − � )(�−� ) ∗(��− ��)(�� �− ���) (�( −�.� ) + �� ����� ∗ (�.�−�.�) (�.�−�.�) (�( −�.� )(�( −�.� ) (�.�−�.�) (�.�−�.�) Thay x = 8.4 vào L2(x), ta được: L2(8.4) = 17.87716 Bậc 3: Ta chọn khoảng nút chứa 8.4 là: [8.1, 8.7] Ta lập bảng: x f(x) 8.1 17.56492 8.3 17.56492 8.6 18.50515 8.7 18.82091 Theo công thức nội suy Lagrange, ta có: L3(x) = f0(x)l0 + f1(x)l1 + f2(x)l2 + f3(x)l3 =�� (�) ∗ (� − ��)(�− ��)(�− ��) (��− ��)(��−��) (��− ��) + �� (�) ∗ (� − ��)(�−��)(�− ��) + �� (�) ∗ (��− ��)(��− ��)(��− (� ��) (�)−∗+ ( ��) (� −� �) (� −� �) (�� − ��) (�� − ��) (�� − ��) � � �− �� � ��� �)( � � − � � � � ) ( � � − � � � � ) ( � � � � − � � � � ) ( � � � � − � � � � ) ( � � � � − � � � � ) =�� + �� ���� ����� � (�(∗−� ∗ �) (�( −�.� ) (�−�.�) (�−�.�) (�−�.�) (�−�.�) ( )+ ( ) (�.�−� �) �� ���� � (∗−� (� �) (�−�.�) (�−�.�) (�.�− �.�) (�.�−� �) (�.�−� �) (�.� −�.�) ( ( Tđ ẠN CODE + �� ����� (�( −�,� ) ∗ (�( −�.� ) (�( −�.� ) h a ợ y c : x L = ( ( � � − � �) ( � � − � �) ( � � − � � ) ) v o L = Tương tự với câu b,c,d: b.Bậc 1: ( x ) , t Đ O a x f(x) -0.25 -0.02475000 -0.5 0.33493750 � L1(− ) = 0.21504167 � Bậc 2: x -0.25 -0.5 f(x) -0.02475000 0.33493750 � L2(− ) = 0.16988889 0.0 1.10100000 � Bậc 3: x -0.75 f(x) -0.07181250 � L3(− ) = 0.17451852 � ĐOẠN CODE -0.25 -0.02475000 -0.5 0.33493750 0.0 1.10100000 c Bậc 1: x 0.2 0.3 f(x) -0.28398668 0.00660095 L1(0.25) = -0.13869287 Bậc 2: x 0.2 0.3 f(x) -0.28398668 0.00660095 L2(0.25) = -0.13259735 0.4 0.24842440 Bậc 3: x 0.1 f(x) -0.62049958 L3(0.25) = -0.13277479 ĐOẠN CODE 0.2 -0.28398668 0.3 0.00660095 0.4 0.24842440 d.Bậc 1: x 0.8 f(x) 0.22363362 L1(0.9) = 0.44086280 0.65809197 Bậc 2: x 0.7 f(x) 0.01375227 L2(0.9) = 0.43841356 0.8 0.22363362 0.65809197 Bậc 3: x 0.6 f(x) -0.17694460 L3(0.9) = 0.44198501 ĐOẠN CODE 0.7 0.01375227 0.8 0.22363362 0.65809197 Bài 11 Sử dụng giá trị làm tròn đến chữ số thứ sau dấu phẩy bên để xấp xỉ đa thức Lagrange bậc ba f(1,09) Với hàm tính gần f(x) = log10(tanx) Hãy dùng kiến thức phần để tìm phạm vi sai số phép tính gần f(1.00) = 0.1924 f(1.05) = 0.2414 f(1.10) = 0.2933 f(1.15) = 0.3492 Giải: Đa thức nội suy Lagrange bậc ba tuyến tính qua điểm (x0,f(x0)) , (x1,f(x1)), (x2,f(x2)) , (x3,f(x3)) cho là: P3(x)= L0(x)f(x0)+ L1(x)f(x1)+ L2(x) f(x2) )+ L3(x) f(x3) Tại điểm x0=1,00 x1=1,05 Lk(1,09) sau: L0= -0,032 x2=1,10 L1= 0,216 x3=1,15 ta tính giá trị L2= 0,864 L3= -0,048 Thay vào đa thức bậc ba: P3(1,09)= L0(1,09)f(1,00)+ L1(1,09)f(1,05)+ L2(1,09) f(1,10)+ L3(1,09) f(1,15) = -0,0322.0,1924+ 0,216.0,2414+ 0,864.0,2933-0,048.0,3492 = 0,2826 Giá trị hàm cho x=1,09: f(1,09)= log10(tan1,09)=0,2826429 Sai số tuyệt đối pp nội suy lagrange: ∆�∆ �=| f(1,09)- P3(1,09) | = 4,29.10-5 Sai số tuyệt đối theo định lý 3.3: � (�(�)) (�) ∆� ∏� = | f(x)-P (x) | = | � �! (� − � )| �=� � đó: ∏� (� − ��)=(1,09-1)(1,09-1,05)(1,09-1,10)(1,09-1,15)= 2.16.10-6 �=� f(x)= log10(tanx) � f’(x)= �� ��.���(�� � ) f’’(x)= � − � ��� � ( ���� � � f(3)( x)= f(4)(x)= � ) ����� � ���� (� ��� ���� � ���� + ����� ) � �+� +��� �� ( ���� �+�+����� ����� ) ����� − giá trị lớn f(4)(x) x=1,15 suy f(4)(1,15)=81,5083 sai số tuyệt đối: � (�(�)) = | f(x)-P (x) | = | (�) ∏� ∆ � � �! (� − � )| �=� � =��,���� �, �� ��−� = 7,3357.10-6 �� Vậy sai số nội suy lagrange là: ∆�� = 4,29.10-5 sai số theo định lý 3.3 là: ∆�� = 7,3357.10-6 ĐOẠN CODE Bài 15: Sử dụng số liệu câu 11, dùng Maple để giải đến lần lặp thứ 10: ĐOẠN CODE Bài 18: a Bảng thống kê dân số Hoa Kỳ từ năm 1950 đến năm 2000 với số liệu ghi bảng sau Sử dụng nội suy Lagrange để xấp xỉ dân số năm 1940, 1975,và 2020 b Dân số năm 1940 khoảng 132.165.000 người Bạn nghĩ số năm 1975 2020 bạn xác đến mức nào? a) Ta có: (� − ����)(� − ����) … (� − ����) (���� − ����)(���� − ����) … (���� − ����) (� − ����)(� − ����) … (� − ����) ��(�) = (���� − ����)(���� − ����) … (���� − ����) ��(�) = … (� − ����)(� − ����) … (� − ����) ��(�) = (���� − ����)(���� − ����) … (���� − ����) Khi ta nội suy đa thức Larange: � �(�) = ∑ ����(�) = ����(�) + ����(�) + ⋯ + ����(�) �=� Vậy �(����) = ���, ���, �(����) = ���, ����, �(����) = ���, ��� ĐOẠN CODE b) Sai số �(����) = |�(�) − �(����)| ≤ ��, ���, �(����) = |�(�) − �(����)| ≤ �, ���, �(����) = |�(�) − �(����)| ≤ ���, ��� Nhận xét: Theo đề bài, dân số US vào năm 1940 khoảng 132 165 000 người Dùng đa thức nội suy Lagrange để tính xấp xỉ dân số US năm 1940 ta 102 396 000 người sai số lớn (chênh lệch khoảng 29 760 000 người) Tính xấp xỉ dân số US năm 1975 ta 215 042 000 người Vì 1975 gần so với mốc nội suy (1970 1980) nên sai số khơng lớn Tính xấp xỉ dân số US năm 2020 ta 513 442 000 người Vì 2020 xa so với mốc nội suy (2000) nên sai số lớn Vậy ta tính xấp xỉ gần mốc nội suy sai số khơng lớn, tin tưởng được; cịn ta tính xấp xỉ xa mốc nội suy sai số lớn, khơng tin tưởng III TÀI LIỆU THAM KHẢO Numerical Analysis, 9th ed (hcmut.edu.vn) Sách giáo trình Phương Pháp Tính ĐHQGTPHCM – Đại học Bách Khoa Khóa học: Phương pháp tính (MT1009)_Nguyễn Đình Dương (DH_HK202) (hcmut.edu.vn) Oxford | Định nghĩa Từ điển tiếng Anh Cambridge ...BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM Đề tài: Sử dụng nội suy Lagrange giải tập Exercise Set 3. 1 (trang 11 4): 1, 3, 5, 11 , 15 , 18 , 20 Danh sách thành viên: STT Tên MSSV Dương Anh Khoa 2 01 033 6... P3 (1, 09)= L0 (1, 09)f (1, 00)+ L1 (1, 09)f (1, 05)+ L2 (1, 09) f (1, 10)+ L3 (1, 09) f (1, 15) = -0, 032 2.0 ,19 24+ 0, 216 .0,2 414 + 0,864.0,2 933 -0,048.0 ,34 92 = 0,2826 Giá trị hàm cho x =1, 09: f (1, 09)= log10(tan1,09)=0,2826429... L1(x)f(x1)+ L2(x) f(x2) )+ L3(x) f(x3) Tại điểm x0 =1, 00 x1 =1, 05 Lk (1, 09) sau: L0= -0, 032 x2 =1, 10 L1= 0, 216 x3 =1, 15 ta tính giá trị L2= 0,864 L3= -0,048 Thay vào đa thức bậc ba: P3 (1, 09)= L0 (1, 09)f (1, 00)+
Ngày đăng: 14/12/2022, 05:10
Xem thêm:
