BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề tài Xấp xỉ hàm bằng phương pháp nội suy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP KHOA ĐIỆN TỬ Bộ mơn: Tin Học Cơng Nghiệp BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH Sinh Viên: Nguyễn Văn Hưng Nguyễn Ngọc Hiếu Chu Thanh Quyết Lớp: 55KMT GVHD: Nghiêm Văn Tính Thái Nguyên – 2021 TRƯỜNG ĐHK KHOA ĐIỆN BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC: Phương pháp tính BỘ MƠN : TIN HỌC CƠNG NGHIỆP Nhóm Sinh viên: Nhóm St t MSSV Họ Tên Nguyễn Ngọc Hiếu K195480106012 Nguyễn Văn Hưng K195480106008 Chu Thanh Quyết K195480106027 Lớp: 55KMT Ngành: Kĩ Thuật Máy Tính Giáo viên hướng dẫn: Nghiêm Văn Tính Ngày giao đề: Ngày hồn thành: 17/01/2022 Tên đề tài : Xấp xỉ hàm phương pháp nội suy PHẦN A: LÝ THUYẾT Yêu cầu: Trình bầy thực cơng việc sau: Trình bày phương pháp nội suy đa thức Newton + Mốc nội suy cách + Mốc nội suy không cách Vẽ sơ đồ khối hai phương pháp nội suy PHẦN B: THỰC NGHIỆM Dùng ngôn ngữ lập trình xây dựng chương trình gồm chức có nội dung đây: Tính giá trị đa thức phương pháp nội suy Newton có mốc cách khơng cách Kết thực nghiệm đa thức với bậc khác cho phương pháp NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Nghiêm Văn Tính MỤC LỤC Lời nói đầu Phần A: Lý Thuyết ……………………………………………………… Phương pháp nội suy đa thức Newton……………………………… + Mốc nội suy cách ……………………………………………… + Mốc nội suy không cách đều……………………………………………… Sơ đồ khối phương pháp nội suy đa Newton………………………… Phần B: Thực Nghiệm …………………………………………………… Giới thiệu ngơn ngữ lập trình………………………………………… Chương trình thực nghiệm …………………………………………… Kết thực nghiệm ………………………………………………………… Kết Luận ………………………………………………………………… LỜI NĨI ĐẦU Phương pháp tính mơn tốn học có nhiệm vụ giải đến kết số cho tốn, cung cấp phương pháp giải cho toán thực tế mà khơng có lời giải xác Mơn học cầu nối toán học lý thuyết ứng dụng thực tế Trong thời đại tin học việc áp dụng phương pháp tính trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính tốn Sau thời gian dài học tập, rèn luyện dạy bảo nhiệt tính thầy Nghiêm Văn Tính Nhóm em định chọn đề tài “Xấp xỉ hàm phương pháp nội suy” làm đề tài nghiên cứu Cụ thể tìm hiểu phương pháp nội suy newton Bọn em xin cam đoan tập lớn cơng sức nhóm em sau thời gian dài tìm tịi, nghiên cứu PHẦN A: LÝ THUYẾT Đa thức nội suy Newton A Trường hợp nút nội suy không cách Khái niệm: Tỷ hiệu Giả sử hàm số y=f(x) cho dạng bảng: Trong đó: ; khác , với - Tỷ hiệu cấp hàm nút kí hiệu - Tỷ hiệu cấp hai hàm nút a, b, c kí hiệu : - … - Cứ vậy, tỷ hiệu cấp n hàm n+1 nút kí hiệu : Chú ý: (1) Các tỷ hiệu hàm số có tính chất đối xứng nút nội suy Tức ta có: (2) Tỷ hiệu cấp n hàm đa thức bậc n n+1 nút nội suy tùy ý số (luôn nhau) Tỷ hiệu cấp đa thức bậc n có giá trị Ví dụ A.1.1 Cho hàm số Tính tỷ hiệu cấp hàm nút Các tỷ hiệu cấp hàm nút tính với kết bảng sau: A= B= C= D= E= Vậy : Lưu ý : đa thức bậc hai => tỷ hiệu cấp tỷ hiệu cấp nhau, Đa thức nội suy Newton TH nút nội suy không cách Đa thức nội suy Lagrange dễ tính tốn có nhược điểm thêm nút nội suy q trình tính cũ phải bỏ tất tính lại từ đầu Dựa vào tỷ hiệu, Newton đưa cơng thức tìm đa thức nội suy hàm sau: Từ công thức tính tỷ hiệu : Lại có: Thay vào (1) ta được: thuận lợi Cứ ta thu được: Đặt Và ta có : - Dễ dàng kiểm tra thấy Vậy với xác định (*) đa thức nội suy hàm ứng với n+1 nút nội suy Chú ý: • Đa thức nội suy tiến hàm tìm theo (*) gọi đa thức nội suy Newton xuất phát từ nút x0 Sai số nội suy tính giá trị gần hàm • điểm : Xây dựng tương tự, ta có cơng thức xác định đa thức nội suy Newton lùi hàm xuất phát từ nút Sai số nội suy là: : • Đa thức nội suy hàm số n+1 nút nội suy cho nhất, vậy, đa thức nội suy Newton , chúng khác cách biểu diễn Do vậy, hàm nội suy có đạo hàm liên tục đến cấp n+1 , chứa tất nút sai số nội suy điểm đánh giá (theo cách Lagrange) là: , với Đa thức nội suy Newton tiến, tiện lợi tính gần giá trị điểm gần x0 Đa thức nội suy Newton lùi, tiện lợi tính gần giá trị điểm gần xn • Nếu thêm nút nội suy Newton sau tìm đa thức nội suy ứng với n+1 nút nội suy để tìm đa thức nội suy hàm f ứng với n+2 nút nội suy ta cần bổ sung thêm nút nội suy vào cuối bảng, tính thêm tỷ hiệu cấp n+1 hàm cộng số hạng bậc n+1 vào cuối đa thức nội suy Tức : Ví dụ A.2.1 Cho bảng giá trị hàm số sau: (1) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến từ nút (2) Tính gần Giải (1) Có nút nội suy, ta có: đa thức nội suy tìm Tính tỷ hiệu hàm k xk yk Vậy sau: Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp 1611 Hay Ví dụ A.2.2 : Cho hàm với bảng giá trị: (1) Tính gần đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ Đánh giá sai số giá trị tìm (2) Tính gần từ nút nội suy (3) Từ đa thức nội suy Giải hàm đa thức nội suy Newton lùi Sn(x) hàm Đánh giá sai số giá trị tìm hàm ứng với bảng trên, tính gần (1) Có nút nội suy (n=3), nên ta có đa thức nội suy Newton tiến hàm xuất phát từ x0 là: Bảng tỷ hiệu hàm f(x) sau: k xk yk Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp Suy : Vậy Sai số mắc phải : (2) Có nút nội suy, Đa thức nội suy N lùi k xk yk Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp là: Suy ra: Vậy Sai số mắc phải : (3) Bảng giá trị hàm : Có nút nội suy, nên ta có đa thức nội suy Newton tiến hàm xuất phát từ nút y0 là: Ta tính tỷ hiệu hàm g(y) sau: k yk xk Tỷ hiệu cấp ( ) Vậy Tỷ hiệu cấp Tỷ hiệu cấp B Trường hợp nút nội suy cách Khái niệm: Hiệu hữu hạn Giả sử hàm số x y cho dạng bảng: x0 y0 x1 y1 x2 y2 … … xk yk ; xk+1 yk+1 … … hay Ta gọi: - Hiệu hữu hạn tiến cấp hàm điểm : - Hiệu hữu hạn tiến cấp hàm điểm : - ……… - Tổng quát, hiệu hữu hạn tiến cấp n hàm Tương tự thay kí hiệu Δ kí hiệu hàm điểm : ta có khái niệm hiệu hữu hạn lùi cấp n sau (ĐỌC THÊM): Cơng thức tìm đa thức nội suy Newton TH nút nội suy cách • Thay tỷ hiệu hiệu hữu hạn tiến, ta có đa thức nội suy Newton tiến hàm xuất phát từ nút x0 là: Từ đó, đổi biến hàm hay ta có đa thức nội suy Newton tiến có dạng: Sai số : , với Nếu h đủ bé không thay đổi • Tương tự, ta có đa thức nội suy Newton lùi hàm xuất phát từ nút xn là: Từ đó, đổi biến hàm đa thức nội suy Newton lùi là: Sai số với Nếu h đủ bé khơng thay đổi Ví dụ B.2.1: Cho bảng giá trị hàm số x sau: (1) Tính gần sin160 đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x = 150 (2) Dùng đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút x = 300, tính gần Đánh giá sai số giá trị gần nhận Giải Có nút nội suy cách với Ta có: Tính hiệu hữu hạn tiến sau: FIX-6 (Chú ý chọn đơn vị đo góc Radian) k xk yk 0,258819 (A) 0,083201 (E) -0,002603 (Y) 0,342020 (B) 0,080598 (F) -0,003216 (M) 0,422618 (C) 0,077382 (X) 0,500000 (D) Với • -0,000613(X’) Suy ra: Đánh giá sai số: Chọn , Từ có sai số : Vậy (2) Đổi biến số : Ta có : Tính hiệu hữu hạn lùi (tính ngược từ dưới) sau: k xk yk Với Suy (Lưu ý : Nếu dùng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x = 15 ) • Đánh giá sai số: Chọn , Từ có sai số, Vậy SƠ ĐỒ KHỐI : Begin Nhập h= k=1, n=1 i=0, n-k Đúng k=1 Sai i=1, n Kết luận End PHẦN B THỰC NGHIỆM 1.Giới thiệu ngôn ngữ lập trình Ngơn ngữ lập trình C++ ngơn ngữ lập trình hướng đối tượng(OOP – Object-oriented programming) phát triển Bjarne Stroustrup C++ ngơn ngữ lập trình phát triển nên tảng ngôn ngữ lập trình C Do đó, C++ có song song phong cách(style) lập trình hướng cấu trúc giống C có thêm phong cách hướng đối tượng Trong nhiều trường hợp, C++ sử dụng kết hợp style Do đó, xem ngơn ngữ “lai tạo” Vai trị đặc biệt quan trọng đơi ngơn ngữ lập trình C C++ phục vụ cho học lập trình Bởi ngơn ngữ lập trình bậc trung Hầu hết trường đào tạo công nghệ thông tin Việt Nam dùng ngôn ngữ làm môn sở ngành Mơn lập trình C giúp có tảng với kỹ thuật lập trình, kiến thức tư lập trình Sau ứng dụng thực tế sử dụng C++: + Game + Ứng dụng có giao diện người dùng(GUI) + Trình duyệt web + Phần mềm quản trị sở liệu + Hệ điều hành + Trình biên dịch + …………… Hình ảnh giao diện ứng dụng C++ Thực Nghiệm #include #include using namespace std; int factorial(int n){ int fact=1; while(n){ fact=fact*n; n ; } return fact; } int main(){ float x[10],y[10],p[10],diff[10]; float X,f,f2=0,u,h; int i, j=1,n,k=1; coutn; cout