Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lượng giác và ứng dụng cho các bài toán liên quan

19 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ HẰNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG CHO CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ HẰNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG CHO CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Minh Tuấn THANH HÓA, NĂM 2017 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học theo Quyết định số 866/QĐ-ĐHHĐ ngày tháng năm 2017 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan Công tác GS TSKH Phạm Kỳ Anh ĐHKHTN, Chức danh Hội đồng ĐHQG Chủ tịch Hà Nội GS TSKH Đinh Dũng Viện CNTT, ĐHQG Phản biện Hà Nội PGS TS Tạ Duy Phượng Viện Toán học Phản biện GS TS Đặng Quang Á Viện HL KH&CN UV VN TS Mai Xuân Thảo Trường ĐH Hồng Thư ký Đức Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng năm 2017 PGS TS Nguyễn Minh Tuấn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Lê Thị Hằng ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo khoa học thầy: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Toán, Ban giám hiệu Trường THPT Yên Định 1, thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức đào tạo tạo điều kiện tốt để luận văn khóa học tơi hồn thành Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện để yên tâm học tập làm việc Thanh hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Học viên Lê Thị Hằng iii MỤC LỤC Trang Lời cam đoan ………………………………………………………………………i Lời cảm ơn …………………………………………………………………………ii Mục lục…… …………………………………………………………………… iii Mở đầu Chƣơng Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức lƣợng giác 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.1.1 Cực trị hàm số 1.1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 1.1.3 Biểu thức lượng giác 1.2 Các phương pháp giải toán cực trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lượng giác 1.2.1 Phương pháp biến đổi đồng 1.2.2 Phương pháp tam thức bậc hai 10 1.2.3 Phương pháp miền giá trị hàm số 14 1.2.4 Phương pháp đạo hàm, chiều biến thiên 17 1.2.5 Phương pháp véc tơ 20 1.2.6 Phương pháp bất đẳng thức 23 Chƣơng Các toán tam giác ……………… ………… ……33 2.1 Lý thuyết bổ sung 33 2.1.1 Định lý hàm số sin 33 2.1.2 Định lý hàm số cosin 33 2.1.3 Định lý hình chiếu 33 2.1.4 Diện tích tam giác 33 2.1.5 Các hệ thức lượng tam giác 33 2.1.6 Các bất đẳng thức 34 2.2 Các ví dụ 34 iv Chƣơng Ứng dụng cho toán liên quan 45 3.1 Ứng dụng vào giải phương trình – Bất phương trình lượng giác 45 3.1.1 Cơ sở lý thuyết 45 3.1.2 Ứng dụng 45 3.2 Ứng dụng đại số 52 3.3 Ứng dụng hình học 65 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán giá trị lớn nhỏ biểu thức có từ lâu, ln xuất lĩnh vực tốn học Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn giá trị lớn nhỏ trải dài hầu hết cấp học, có mặt tất môn Số học, Đại số, Giải tích, Hình học Lượng giác Lượng giác nội dung lớn chương trình tốn trung học phổ thơng, hàm số biểu thức lượng giác với tính chất giá trị yếu tố làm nảy sinh nhiều vấn đề Do giá trị lớn nhỏ biểu thức hàm số lượng giác vấn đề quan trọng ứng dụng rộng rãi giải tốn liên quan Chính vậy, tơi chọn đề tài: “Giá trị lớn nhỏ biểu thức lượng giác ứng dụng cho toán liên quan” để làm luận văn tốt nghiệp cho Mục đích đề tài - Hệ thống kiến thức lý thuyết, phương pháp để giải toán giá trị lớn nhỏ biểu thức lượng giác - Thấy ứng dụng mối liên quan loại toán với toán khác Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu - Tổng kết kinh nghiệm Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chƣơng Luận văn trình bày sở lý thuyết cực trị hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số biểu thức lượng giác Các phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức lượng giác Chƣơng Luận văn trình bày tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số biểu thức tam giác Chƣơng Luận văn trình bày số ứng dụng tốn tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức lượng giác giải phương trình – bất phương trình lượng giác, đại số hình học Mặc dù tác giả cố gắng song kinh nghiệm hạn chế khối lượng kiến thức lớn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong đóng góp ý kiến tận tình q thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! CHƢƠNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC 1.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Ở mục tác giả dựa theo tài liệu [3], [12] 1.1.1 CỰC TRỊ HÀM SỐ Định nghĩa [12] Cho hàm số y f ( x) liên tục khoảng (a,b) điểm x0 (a, b) - Khoảng ( x0 ) kí hiệu V ( ) , , x0 gọi lân cận điểm x0 - Điểm x0 (a, b) gọi điểm cực đại hàm số y x0 f ( x) cho f ( x0 )( x x lân cận V ( ) f ( x) (a, b) điểm V( ) x0 , ta có x0 ) ; lúc ta nói hàm số đạt cực đại điểm x0 ; f ( x0 ) giá trị cực đại hàm số kí hiệu fCĐ f ( x0 ); M ( x0 , f ( x0 )) điểm cực đại đồ thị hàm số - Điểm x0 (a, b) gọi điểm cực tiểu hàm số y f ( x) x0 cho f ( x0 )( x x lân cận V ( ) f ( x) (a, b) điểm V( ) x0 , ta có x0 ) ; lúc ta nói hàm số đạt cực tiểu điểm x0 ; f ( x0 ) giá trị cực tiểu hàm số kí hiệu fCT f ( x0 ); M ( x0 , f (x0 )) điểm cực tiểu đồ thị hàm số Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị (1) Định lý (Fecma) [3] Nếu hàm số y f ( x) có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f ( x0 ) Ý nghĩa định lý Nếu f ( x) có đạo hàm x0 đạt cực trị tiếp tuyến đồ thị điểm M ( x0 , f ( x0 )) song song với trục hoành (2) Các điều kiện đủ [12] Dấu hiệu 59 x 3cos 3sin x 4sin 4cos y 3sin 12 ,t 16 12 4cos Vậy nghiệm hệ cho nghiệm 12 16 12 , , , 5 5 nghiệm mà có tổng x z đạt giá trị lớn giá trị lớn Ví dụ 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức x2 f x, y x 4y , x2 2 x 4y Lời giải f x, y xác định x, y : x2 y 0 y 0: f x, y f x,0 x 2y f x, y x 2y tan , 0,2 0 x 2y x 2y Đặt y2 y2 2 \ , ta có x 2y x 2y 2 x 2y cos 2 x 2y 4 tan Suy f x, y cos2 4tan 2sin 4sin cos 2cos 2sin 4cos 2cos f x, y biểu thức bậc với sin 2x cos2x Ta có 60 22 ( 2)2 Vậy f x, y 22 ( 2)2 f x, y 2 max f x, y 2 Ví dụ 11 Cho x, y > với x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức E x2 xy y2 xy (Đại học ngoại Thương Hà Nội 1995) Lời giải Ta đặt x R cos t y R sin t xy (t 0; ; R 0) R Khi đó, E x2 y2 xy xy x2 xy y2 Hay E R (cos t sin t ) 1 sin 2t 2 R sin t cos t sin 2t 2 sin 2t (2 sin 2t )sin 2t 2 sin 2t Như vậy, R sin 2t E x y Ví dụ 12 Cho x, y, z > cho x + y + z = Tìm giá trị lớn G x x y yz y zx xyz z xy (Đề thi Olympic 30-4, 2006) Lời giải Ta thấy 61 xy xz z y 1=x+y+z= yz yx x z zx zy y x Do đó, với A, B, C góc tam giác ABC Ta đặt yz x zx y xy z G tan tan A tan A B tan 2 C tan tan B C tan (cos A cos B sin C sin ) 3 A B A B cos cos 2 A B cos 3 C C sin A B C cos A B cos 2 cos cos C 3 2cos Như vậy, A B 3 max G Ví dụ 13 Cho C a, b Chứng minh a b a b b a Khi dấu đẳng thức xảy ra? x y sin C 2 3 z 62 (Đề thi Đại học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh, 1996) Lời giải Từ giả thiết, ta đặt a cos2t t b sin t 0; Khi đó, a cos 2t sin t sin t cos 2t 2 sin 2t 1 2 sin 2t b b a cos 4t sin t sin t cos 2t sin t cos 2t sin t cos t a b Dấu “=” xảy sin2t = a b Mặt khác, a b b a sin 2t 2 sin 2t Do đó, ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy sin2t = a b Ví dụ 14 Chứng minh với số thực x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz x y x z 3 x y y z z x y z (Đề thi Tuyển sinh khối A 2009) Lời giải Với a, b, c số dương Ta đặt 63 a x y b y z c z x Khi đó, b c a c a b y a b c z x Ta đưa toán số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c bc Do đó, ta coi a, b, c cạnh tam giác ABC với góc A = 600 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với b3 c3 3abc 5a b c b bc c a2 b c 3abc 5a a b c 3abc 5a 3abc 5a Theo định lý hàm số sin, ta có sin A sin B sin C sin B sin C 3sin B sin C 5sin A 12sin B sin C 15 Mặt khác, ta có sin B sin C cos sin B sin C A sin B sin C Do đó, ta sin B sin C 12sin B sin C 15 Dấu “=” xảy tam giác ABC đều, x = y = z 64 Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 15 Cho a, b, c > Chứng minh a2 b2 c2 ab bc ca (Đề thi Olympic 30-4, 2010) Lời giải Ta đặt a tan x b tan y x, y, z c tan z 0; Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành cos x cos y cos z cos x sin y sin z sin x cos y sin z sin x sin y cos z Ta lại có cos( x y z ) cos x cos y cos z cos x sin y sin z sin x cos y sin z sin xsin y cos z Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với cos x cos y cos z cos x cos ycosz cos( x y z) Theo bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Jensen, ta có cos x cos y cos z cos x cos y cos z 3 cos3 Khi đó, ta đặt t x y z Ta cần chứng minh cos3 t cos3t cos3t cos 4t cos 2t Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 27 x y z 65 cos 2t cos 2t (1 cos 2t ) 2 cos t cos t cos 2t cos 2t cos 2t 3 27 Dấu “=” xảy tan x tan y tan z a b c Vậy ta có điều phải chứng minh 3.3 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC Ở mục tác giả dựa theo tài liệu [4] Có tốn muốn tìm cực trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng hình học, ta cần thiết lập biểu thức đại số đại lượng đó, việc thiết lập khơng phải dễ nhìn mà địi hỏi người giải phải có sức trừu tượng hóa cao, biết vận dụng phép phân tích, tổng hợp cách thành thạo vận dụng kiến thức học cách linh hoạt để tìm mối quan hệ đại lượng chưa biết đại lượng biết Ví dụ Trong tam giác có cạnh cho trước, tìm tam giác có diện tích lớn B Lời giải Giả sử cạnh tam giác a b S a.b.sin C a.b a b (C góc tạo cạnh có độ dài a, b) max S ab sin C C C 900 Vậy tam giác có hai cạnh cho trước tam giác có góc tạo cạnh góc vng tam giác có diện tích lớn A 66 Ví dụ Cho đường tròn (O,R), vẽ dây cung cho tổng dây cung khoảng cách từ đến tâm đường tròn cực đại Lời giải Giả sử AB dây cung cần tìm Vẽ OD AB Đặt AB = 2x, OD = y x A Ta cần tìm giá trị lớn P = OD + AB P = 2x + y D B α y R Nhận xét Biểu thức P chứa đại lượng O chưa biết x, y Khi x thay đổi y thay đổi Vì R const biết nên ta tìm biểu diễn x, y qua R đại lượng biến thiên  AOD liên quan đến x, y, R Ta chọn Ta có x R sin , y P R 2sin R cos , cos 5.R.cos 0, R ; cos P R Dấu “=” xảy 2 sin 5 cos cos 0, Vậy max OD AB R AB x R sin cos 2R 4R Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, đường chéo AC’ tạo với cạnh xuất phát từ đỉnh A ba góc , , Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P cos cos cos 67 Lời giải Vì A’ ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật nên ta có AC '2 AB AD2 D’ B’ AA '2 C’ A Mặt khác D AB AC '.cos AD AC '.cos B AA' AC '.cos C Vậy cos cos cos Theo bất đẳng thức Bunhiacopski P2 cos Vậy max P cos cos cos 12 12 12 cos cos cos cos cos ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương Ví dụ Cho hình nón trịn xoay, tích V diện tích xung quanh S Tìm giá trị lớn biểu thức P 9V S3 Lời giải Gọi bán kính đáy đường sinh hình nón x y Ta có V P Vì 9V S3 2 x y y2 x x x nên đặt y y x2 x S x y2 x y cos , x2 y3 0, xy với (x < y) x y x3 y3 y φ x 68 góc đường sinh bán kính đáy P 1 cos3 cos cos3 cos3 cos 3 cos 3 cos 3 1 cos cos cos 2 cos 1 3 3 3 Dấu “=” xảy cos Vậy max P 3 x y y 3x Ví dụ Tam giác ABC có AB c, AC b độ dài cho trước, góc A thay đổi Dựng cạnh phía ngồi ABC hình vng BCRS, ACQP, ABMN Xác định để diện tích lục giác MNPQRS lớn Lời giải Ta có BC Ta có: S S ANP AB AC S QCR S SBM b2 ABAC cos c2 2bc cos bc.sin ABC Vậy SMNPQRS Shình vng ABMN + Shình vng ACQP + Shình vng BCRS + P N S ANP S QCR S SBM S ABC A M c b2 b2 b2 c2 2 b c c2 2bc cos 2bc sin cos c 2.bc sin α Q b B C 2bc S R 69 Dấu “=” xảy sin a sin 4 cos 1350 Vậy diện tích MNPQRS lớn Ví dụ Gọi I tâm đường trịn nội tiếp ABC Tìm giá trị lớn biểu thức P IA.IB.IC a.IA2 b.IB c.IC Lời giải Theo định lý hàm số sin IBC ta có IB C sin C A cos a sin BC B C sin IB Tương tự ta có B ; IC C cos c sin IA A B cos b sin Do IA.IB.IC A B C abc tan tan tan 2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có aIA2 bIB cIC 3 abc.IA2 IB IC Do P IA.IB.IC aIA bIB cIC 2 A B C tan tan 2 2 2 3 abc.IA IB IC abc tan 70 A B C tan tan 2 A B C abc tan tan tan 2 2 abc tan 33 P A B C tan tan tan 2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có A B tan tan 2 B C tan tan 2 A B C tan tan tan 2 3 aIA2 bIB cIC A B C tan tan tan 2 Dấu “=” xảy Vậy max P C A A B C tan tan 3 tan tan tan 2 2 3 đạt ABC Ví dụ Cho nửa đường trịn, đường kính AB 2R , tìm nửa đường trịn AB điểm C cho tích AC khoảng cách từ C đến AB đạt giá trị lớn Lời giải Giả sử ABC , 0, C Ta có AC CD AB sin AC cos R sin R sin cos α AC.CD R sin cos A Xét y sin cos y sin Vì 2 sin 2 sin x cos x sin 0, 0, D 4.sin sin 2 const sin B 71 y max AD y max sin 2 AC sin sin 2 R sin 2 sin 4R AC.CD đạt max Vậy để AC.CD max AB ta lấy D cho AD 4R , từ D kẻ đường vng góc với AB, cắt nửa đường trịn điểm C cần tìm 72 KẾT LUẬN Luận văn Giá trị lớn nhỏ biểu thức lượng giác ứng dụng cho toán liên quan thu số kết sau đây: Hệ thống hóa sở lý thuyết phương pháp giải toán cực trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lượng giác Luận văn trình bày ví dụ tiêu biểu đặc trưng cho phương pháp giải Luận văn trình bày toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tam giác lý thuyết bổ sung ví dụ điển hình Đặc biệt luận văn trình bày số ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lượng giác giải phương trình – bất phương trình lượng giác, đại số hình học Đây nhìn linh hoạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lượng giác Mặc dù cố gắng luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phan Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đồn Quỳnh – Ngơ Xn Sơn – Đặng Hùng Thắng – Lưu Xuân Tình (2007), Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo Dục Nguyễn Thu Hà (2002), dạy học toán cực trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lượng giác, luận văn tốt nghiệp, trường đại học sư phạm Hà Nội Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất Giáo dục Phan Huy Khải (1994), 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, Nhà in SGK Đông Anh, Hà Nội Võ Anh Khoa – Hoàng Bá Minh (2011), Lượng giác - Một số chuyên đề ứng dụng, tập 3, Nhà xuất Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Văn Nho (2007), phương pháp giải dạng toán Đại số Giải tich 11, Nhà xuất Đại học Sư phạm Trần Thành Minh – Trần Quang Nghĩa – Lâm Văn Triệu – Dương Quốc Tuấn (2001), Giải toán lượng giác, Nhà xuất Giáo Dục 10 Nguyễn Văn Quý - Nguyễn Tiến Dũng - Nguyễn Việt Hà, Phương pháp giải toán bất đẳng thức – Cực trị 11 Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị, Sách giáo khoa Hình học 10 nâng cao, Nhà xuất Giáo Dục 12 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan – Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất Giáo Dục 13 Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Toán học, Nhà xuất Giáo dục