Một số phương pháp giải bài toán liên quan đến cực trị của hàm số trong chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC - - KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: Một số phương pháp giải toán liên quan đến cực trị hàm số chương trình tốn THPT Sinh viên thực hiện: Nguyễn Th Loan Lớp 18ST Giáo viên hướng dẫn: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ - Đà Nẵng, tháng năm 2022  - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: Một số phương pháp giải toán liên quan đến cực trị hàm số chương trình tốn THPT Nguyễn Th Loan Đà Nẵng, tháng năm 2022 LỜI CẢM ƠN Khố luận tốt nghiệp hồn thành Trường đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo Khoa Tốn, Trường đại học sư phạm Đà Nẵng tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập Cuối em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện cho em hồn thành khố luận tốt nghiệp Sinh viên Nguyễn Thuý Loan MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khoá luận CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa cực trị hàm số 1.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị 1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị 1.4 Chú ý CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Dạng Tính đạo hàm để tìm cực trị hàm số y  f  x  2.2 Dạng Tìm cực trị hàm số dựa vào bảng biến thiên 15 2.3 Dạng Tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị hàm số y  ax3  bx  cx  d * 20 2.4 Dạng Bài tốn tham số có liên quan đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d * 29 2.5 Dạng Bài toán tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị hàm số y  ax  bx  c 34 2.6 Dạng Tìm tham số thảo mãn điều kiên cực trị hàm số khác… ……………………………………………………………………………… 42 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cực trị hàm số khái niệm quen thuộc tốn học Tìm cực trị hàm số dạng tốn hay chương trình giải tích lớp 12 thường gặp kì thi THPT quốc gia Học sinh thường gặp nhiều khó khăn tìm hướng giải dạng tốn Các sách tham khảo có, chưa cung cấp đầy đủ phương pháp giải hướng dẫn chi tiết cho dạng tốn tìm cực trị Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức cho thân nói riêng bạn sinh viên trường nói chung tốn cực trị hàm số chương trình giải tích lớp 12, tơi chọn đề tài nghiên cứu '' Một số phương pháp giải toán liên quan đến cực trị hàm số chương trình tốn THPT " Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến cực trị hàm số để rút phương pháp giải cho toán liên quan đến cực trị hàm số chương trình tốn THPT Phạm vi nghiên cứu Các toán cực trị nằm chương 1, giải tích lớp 12 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu liên quan tới toán liên quan đến cực trị ứng dụng để phân loại hệ thống hoá kiến thức Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giáo viên dạy lớp 12 để hoàn thiện mặt nội dung khoá luận Bố cục khố luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khố luận gồm chương CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Định nghĩa cực trị hàm số 1.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị 1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị 1.4 Chú ý CHƯƠNG 2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Dạng Tính đạo hàm để tìm cực trị hàm số y  f  x  2.2 Dạng Tìm cực trị hàm số dựa vào bảng biến thiên 2.3 Dạng Tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị hàm số y  ax3  bx  cx  d * 2.4 Dạng Bài tốn tham số có liên quan đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d * 2.5 Dạng Bài tốn tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị hàm số y  ax  bx  c 2.6 Dạng Tìm tham số thảo mãn điều kiên cực trị hàm số khác CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa cực trị hàm số Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục khoảng  a; b  ( a  ; b  ) điểm x0   a; b  a) Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu x0 1.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 1: Giả sử hàm số f  x  đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f  x  có đạo hàm x0 f '  x0   1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục khoảng K   x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \  x0  , với h  a) Nếu f '  x   khoảng  x0  h; x0  f '  x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực đại hàm số f  x  b) Nếu f '  x   khoảng  x0  h; x0  f '  x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực tiểu hàm số f  x  1.4 Chú ý a) Nếu hàm số f  x  đạt cực đại ( cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (cực tiểu) hàm số; f  x0  gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ  fCT  ,cịn điểm M  x0 ; f  x0   gọi điểm cực đại (cực tiểu) đồ thị hàm số b) Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu) gọi cực đại ( cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số c) Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  đạt cực đại cực tiểu x0 f '  x0   d) Hàm số cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Chẳng hạn, hàm số y  f  x   x xác định Vì f    f  x   với x  nên hàm số đạt cực tiểu điểm x  Dễ thấy hàm số y  x khơng có đạo hàm điểm x  Như vậy, hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm e) Giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  hàm số f  x  nói chung GTLN (GTNN) hàm số f  x  tập xác định D f) Một hàm số f  x  đạt cực trị nhiều điểm tập xác định D cực trị nói chung khác Hàm số f  x  khơng có cực trị tập hợp cho trước CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Dạng Tính đạo hàm để tìm cực trị hàm số y  f  x  2.1.1 Phương pháp chung Quy tắc I Quy tắc II Bước 1: Tìm tập xác định ( Học sinh thường bỏ quên bước này) Bước 2: Tính y '  f '  x  Tìm x Bước 1: Tìm tập xác định ( Học sinh thường bỏ quên bước này) Bước 2: Tính y '  f '  x  Giải phương f '  x   f '  x  không xác định trình f '  x   để tìm nghiệm Bước 3: Tính giới hạn cần thiết x1 , x2 , (nếu có) Bước 4: Lập bảng biến thiên.( Ở bước Bước 3: Tính f ''  x  suy này, học sinh thường biểu diễn f ''  x1  , f ''  x2  , điểm f '  x   mà quên không biểu + Nếu f ''  x1   x1 điểm cực diễn f '  x  không xác định ) tiểu Kết luận điểm cực trị + Nếu f ''  x1   x1 điểm cực đại Tương tự với f ''  x2  , f ''  x3  , Dựa vào dấu f ''  x1  , f ''  x2  , để kết luận ( Hs thường nhầm lẫn dấu f ''  x1   x1 điểm cực đại, ngược lại) Ghi nhớ: Quy tắc II không dùng trường hợp f '  x   vô nghiệm  f '  x0    f ''  x0    2.1.2 Các ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hàm số y  x4  x2  có điểm cực trị? Lời giải Hàm số có ba cực trị ab   1[2(2m  1)]   2(2m  1)   m   Nhận xét: Bài toán trở nên dễ dàng ta áp dụng phương pháp:“ tìm điều kiện để hàm số y  ax4  bx2  c thoả mãn điều kiện K” ( mục 2) Với dạng tốn này, ta cịn gặp tốn tương tự như: + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị + Tìm điều kiên để hàm số có cực đại khơng có cực tiểu( ngược lại) Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  mx   m  1 x   2m có cực trị Lời giải ab  m(m  1)   2 a  b  m  (m  1)  Hàm số có cực trị  2 m   m   2m  2m   0, m   m  0 m 1 Vậy m  m  thỏa mãn đề Ví dụ Cho hàm số y  x   m  1 x  tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông Lời giải Cách 1: Tự luận Tập xác định: D  x  y  x3  4(m  1) x  x  x  m  1 ; y      x  m 1 39 Đồ thị hàm số có điểm cực trị  y  có ba nghiệm phân biệt  m 1   m  * Khi điểm cực trị đồ thị là: A(0;1), B AB       1 , AC     m  1;2m  m , C  m  1;2m  m ; m  1;2m  m  m  1;2m  m  Hàm số cho hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng  ABC A Theo đề :  ABC vng, phải vng A , ta có : AB  AC  m   (m  1)   2m  m2  1   (m  1)  (m  1)   ( m  1) ( m  1)  1    m  Kết hợp với điều kiện (*) ta có: m  Cách 2: Trắc nghiệm Hàm số có ba cực trị  ab   1.[2(m 1)]   m  Gọi A, B,C ba điểm cực trị đồ thị hàm số với A đỉnh tam giác cân ABC , ta có: cos BAC  b3  8a b3  8a   cos90   b3  8a  b3  8a b3  8a  (2m  2)3  8.1   (2m  2)3  8  2m   2  m  ( thoả điều kiện) Nhận xét: Ở toán này, ta sử dụng hai cách giải Để giải tốn, phải tìm điều kiện hàm số có ba cực trị Ở phần trắc nghiệm, cần phải nhớ cơng thức tính nhanh đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông  cos BAC  b3  8a  = cos90 b  8a Ví dụ Biết với tham số m  m0 đồ thị hàm số y  x4  2mx2  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác ngoại tiếp đường trịn có bán kính Tìm m? 40 Lưu ý: Tam giác ngoại tiếp( tiếp xúc ngồi) đường trịn có nghĩa đường trịn nội tiếp( tiếp xúc trong) tam giác.( Hình 1) Tam giác nơi tiếp ( tiếp xúc trong) đường trịn có nghĩa đường trịn ngoại tiếp ( tiếp xúc ngồi) tam giác ( Hình 2) Hình Hình Lời giải Tập xác định : D   x0 x  m Đạo hàm: y '  x3  4mx  x  x  m  ; y '    Hàm số có ba cực trị  y '  có ba nghiệm phân biệt  m  * Tọa độ điểm cực trị A(0;2), B   m ;2  m  , C  m ;2  m    AB   m ; m , AC    m ; m , BC  (2 m ;0) suy AB  m  m  AC ; BC  m Diện tích tam giác ABC : S  m2 m  m2 m  m2 m AB  BC  CA m  m  m   m  m4  m Nửa chu vi tam giác: p  2 Ta có: 41 S  p.r  m m  m  m  m  m   m3  ( rút gọn cho m 0    m  0( loai ) m   m  1  m   m 1  m 1    2   m  1 (loai )  m   m  2m   m m  m    m      Vậy m  thỏa mãn yêu cầu đề 2.5.3 Bài tập tương tự Dưới hệ thống câu hỏi trắc nghiệm xây dựng theo chương trình thi THPT quốc gia Câu Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y   m  1 x  mx  m  có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu A 1,5  m  B m  1 C 1  m  D 1  m  0,5 Câu 2.Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m  có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác cân A m  B m  C m  D m  Câu Tìm m để  Cm  : y  x   3m  1 x   m  1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc toạ độ O A m   C m  B m  D m  Câu Có tham số m nguyên âm để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m có ba điểm cực trị A, B, C , cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính ? A.0 B C D.3 2.6 Dạng Tìm tham số thảo mãn điều kiên cực trị hàm số khác 2.6.1 Phương pháp giải chung 42 a) Hàm số phân thức bậc hai bậc : y  ax  bx  c  d  0 dx  c Ax  Bx  C g ( x)  e  - Tập xác định : D  \   Đạo hàm : y  (dx  e)  d A a b a c b  a  d  0.b, B   a  e  0.c, C  d e d (dx  e)2 với c  b.e  c.d e Hàm số có hai điểm cực trị  y ' đổi dấu hai lần tập xác định  g ( x)  e d có hai nghiệm phân biệt khác  - Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị có phương trình :  ax y  bx  c  (dx  e) b)    2ax  b 2a b  y x d d d Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối : Hàm số y  f  x  ; Đạo hàm: y '  f ( x)  f '( x) | f ( x) | Cho trước đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục D Ta xác định đồ thị hàm y | f ( x) | : Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y  f ( x) nằm phía trục hồnh Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y  f ( x) nằm trục hoành qua trục hoành Hợp hai phần (bỏ phần trục hoành), ta đồ thị hàm y | f ( x) | Minh hoạ: 43 Đúc kết: Số cực trị hàm số y  f  x  = số cực trị hàm y  f  x  + số giao điểm  C  : y  f  x   Ox : y  (khơng tính điểm tiếp xúc)  c) Hàm số y  f  x  : Cho trước đồ thị hàm số y  f  x  liên tục D Ta xác định đồ thị hàm số y  f  x : Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y  f  x  nằm bên phải trục tung (ứng với x  ); bỏ phần đồ thị y  f  x  nằm bên trái trục tung ( ứng với x  ) Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y  f  x  nằm bên phải trục tung qua trục tung Hợp hai phần trên, ta đồ thị hàm số y  f  x  44 Đúc kết: Xét hàm đa thức f  x  có tập xác định ( chắn đồ thị hàm cắt Oy điểm), ta có: Số cực trị hàm y  f  x  =2  Số cực trị nằm bên phải Oy hàm số y  f  x  +1(x>0) Để cho dễ nhớ, ta gọi n số cực trị dương hàm số y  f  x  , số cực trị hàm số y  f  x  2n  2.6.2 Các ví dụ minh hoạ Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số y x   m  1 x  m  có cực đại, cực tiểu xm Lời giải Tập xác định: D  x  2mx  m2  g ( x)  \{m} Đạo hàm: y  ( x  m) ( x  m)  Hàm số có cực đại, cực tiểu  y  đổi dấu hai lần tập xác định  g ( x)  có hai nghiệm phân biệt khác m ag    2m     g  (m)  m2     m 2m    g ( m)  m  m  m    45 Nhận xét: Bài tốn tốn tìm cực trị hàm số phân thức bậc hai bậc Để giải toán ta xem mục 1( phương pháp giải) Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để điểm A 1; 3 vơi hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x  2mx  m tạo thành ba điểm không x 1 thẳng hàng Lời giải x2  2x  m g ( x)  \{1} Đạo hàm: y  ( x  1) ( x  1)  Tập xác định: D  Hàm số có hai cực trị  y  đổi dấu hai lần tập xác định  g ( x)  có ag   m  hai nghiệm phân biệt khác 1  g   m    m 1 m    g (1)    m   Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị x d:y  2mx  m  ( x  1)   x  2m Điểm A(1; 3)  d  3  2.1  2m  m   Vậy m  m   thỏa mãn đề Ví dụ Cho hàm số ( m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có giá trị cực trị Lời giải Điều kiện x  m Đạo hàm: y  x  1 m x  2mx  m2  ( x  m)    ,y 0 2 ( x  m) ( x  m)  x  1  m Vì  m  1  m, m  nên hàm số có hai điểm cực trị 46 m  Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị y  2x  m Suy y(1  m)   m, y(1  m)  2  m Ta có bảng biến thiên: Ta có yCD  2  m   m  9 Ví dụ Gọi S tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x3  3x  x   m có điểm cực trị Vậy S nhận giá trị sau đây? Lời giải Cách 1: Tự luận Xét: y  f ( x)  m vói f ( x)  x3  3x2  9x  5, x  Ta có: f  ( x)  3x  x  m f ( x)   u  u Áp dụng công thức: (| u |)  , ta có: y   f  ( x)  m |u| f ( x)   f  ( x)   x  1 ; f  ( x)   3x  x     Xét y    (hai nghiệm phân m  f ( x)   x3   biệt) Vậy hàm số y  f ( x)  f ( x)   m m  x3  3x  x   có năm điểm cực trị 2 m có ba nghiệm phân biệt khác 1,3 Bảng biến thiên hàm f ( x) : 47   * Ta thấy với *  32   m    m  64 Vì m nguyên nên m  1, 2, 63 Tổng giá trị m S  63 (1  63)  2016 Cách 2: Trắc nghiệm Xét hàm số f ( x)  x3  3x  x   m có m  x  1  y   f  ( x)  x  x      x   y  32  m  Ta biết: Số cực trị hàm y | f ( x) | Số cực trị hàm (C ) : y  f ( x ) y  f ( x )  số giao điểm  Ox : y  Không tính điểm tiếp xúc Mà số cực trị hàm y  f ( x) (C ) : y  f ( x) có ba giao điểm (khơng Ox : y  Do yêu cầu đề tương đương với  tính tiếp xúc)  y  f ( x) có hai cực trị trái dấu  m m  32     2  m(m  64)    m  64 Vì m nguyên nên m{1,2,63} Nhận xét : Để giải dạng toán này, bạn học sinh cần : - Xem lại lý thuyết tìm số cực trị hàm y | f (x) | tóm tắt phần 48 - Ngoài ra, em cần phải nắm cơng thức tìm tổng cấp số cơng: Cho cấp số cộng với số hạng đầu u1 , công sai d , tổng n số hang đầu là: Sn   u1  un  n với un  u1  (n 1)d Ta có yCD  2  m   m  9  Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ : Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g  x   f  x   3m có điểm cực trị ? Lời giải Số điểm cực trị hàm số y | f ( x)  m | tổng số điểm cực trị hàm số y  f ( x)  m số nghiệm đơn phương trình f ( x)  m  Dựa vào bảng biến thiên, ta có số điểm cực trị hàm số y  f ( x)  3m Do để hàm số g ( x) | f ( x)  3m | có điểm cực trị phương trình f ( x)  3m  phải có nghiệm đơn Từ bảng biến thiên, ta thấy: f ( x)  3m có nghiệm đơn  3m  11  11  m  ; 3 m nguyên nên m {2;3} Ví dụ Cho hàm số y  f  x   x3   m  1 x   m  3 x  m  Tìm tất giá trị m để hàm số y  f  x  có điểm cực trị Lời giải 49 Hàm số y  f (| x |) có điểm cực trị  Hàm số y  f ( x) có cực trị dương Xét hàm f ( x)  x3  (m  1) x  (m  3) x  m  với f  ( x)  x2  2(m  1) x  m  Hàm f ( x) có hai cực trị dương f  ( x)  có hai nghiệm phân biệt  x1  x2   (m  1)  (m  3)  m  2  m      S  2(m  1)   m  1  m  P  m    m  3  Nhận xét : Để giải dạng toán này, em học sinh cần xem lại cách xây dụng cơng thúc tìm số cực trị hàm y  f (| x |) phần lý thuyết Từ ta rút cơng thức: Số cực trị hàm y  f | x | 2n 1 với n số cực trị dương ( x  0) hàm số y  f ( x) 2.6.3 Bài tập tương tự Dưới hệ thống câu hỏi trắc nghiệm xây dựng theo chương trình thi THPT quốc gia Câu Đồ thị (C) có hình vẽ bên Tất giá trị tham số m để hàm số y | f ( x)  m | có ba điểm cực trị là: A m  1 m  B m  1 m  C  m  D m  3 m  Câu Tìm tất giá trị cuả tham số m để hàm số y | x |3 (2m 1) x2  (m 1) x  có điểm cực trị A m  B m  2 C 2  m  D m  Câu Cho hàm số f ( x)  x3  (2m 1) x2  (2  m) x  Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  f (| x |) có điểm cực trị ? 50 A  m  5 B   m  C 2  m  D m2 Câu Cho hàm số y  x  2mx  m  với m tham số thực Số giá trị nguyên m thuộc đoạn [2;2] để hàm số cho có điểm cực trị A B C 51 D KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài, làm vấn đề sau: - Khố luận trình bày kiến thức liên quan đến cực trị hàm số chương trình Giải tích lớp 12 - Đưa dạng toán liên quan đến cực trị hàm số, qua rút phương pháp giải tốn hiệu quả, giúp kích thích tư tìm tịi, sáng tạo học sinh việc học tập mơn Tốn Do thời gian nghiên cứu cịn hạn chế khơng thể tránh khỏi thiếu xót, tơi mong đóng góp ý kiến độc giả để khố luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Hồng Xn Nhàn, Chun đề Tính đơn điệu cực trị hàm số 2  Phan Huy Khải, chuyên đề toán THPT – Hàm số, nhà xuất giáo dục 3 Trần Văn Hạo ( Chủ biên ), Nguyễn Cam, Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Cam Duy Lễ, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thanh, Chuyên đề luyện thi đại học khảo sát hàm số, Nhà xuất giáo dục Việt Nam   Trần Văn Hoạ (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), giải tích 12, nhà xuất giáo dục Việt Nam 5 Các trang Website Internet 53 ... cho trước CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Dạng Tính đạo hàm để tìm cực trị hàm số y  f  x  2.1.1 Phương pháp chung... đến cực trị hàm số để rút phương pháp giải cho toán liên quan đến cực trị hàm số chương trình tốn THPT Phạm vi nghiên cứu Các toán cực trị nằm chương 1, giải tích lớp 12 Phương pháp nghiên cứu Phương. .. để hàm số có cực trị 1.4 Chú ý CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Dạng Tính đạo hàm