Một số phương pháp giải các bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Giảng viên hướng dẫn : Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Ngơ Thị Thùy Hương Lớp : 17ST Đà Nẵng, năm 2021 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn, Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt cho phép tơi gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy người trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn ý kiến góp ý quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, thầy cơ, bạn bè, lớp 17ST q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà Nẵng, tháng năm 2021 Sinh viên Ngô Thị Thùy Hương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Bố cục khóa luận: CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tính đơn điệu hàm số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu 1.2 Liên hệ tính đơn điệu đạo hàm hàm số 1.2.1 Định lí 1: 1.2.2 Định lí 2: 1.2.3 Điểm tới hạn: 1.2.4 Quy tắc tìm tính đơn điệu hàm số: 1.3 Sự đồng biến, nghịch biến số hàm thông dụng 1.3.1 Hàm số bậc nhất: 1.3.2 Hàm số bậc hai: 1.3.3 Hàm số bậc ba: 1.3.4 Hàm số trùng phương 11 1.4 Một số tính chất liên quan đến tính đơn điệu hàm số để áp dụng vào giải toán đại số 14 1.4.1 Tính chất 14 1.4.2 Tính chất 14 1.4.3 Tính chất 15 1.4.4 Tính chất 15 CHƯƠNG II CÁC DẠNG BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 16 2.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) Hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số 16 2.1.1.Phương pháp: 16 2.1.2.Ví dụ 1: 16 2.1.3 Ví dụ 2: 17 2.2 Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định R Tìm điều kiện để hàm số ln ln đồng biến (hoặc nghịch biến) 17 2.2.1 Phương pháp 17 2.2.2 Ví dụ 3: 18 2.2.3 Ví dụ 4: 18 2.2.4 Ví dụ 5: 18 2.2.5 Ví dụ 6: 19 2.3 Dạng 3: Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (α; +∞) 19 2.3.1 Phương pháp: 19 2.3.2 Ví dụ 7: Xác định m để hàm số: 19 2.3.3 Ví dụ 8: Xác định m để hàm số: 20 2.3.4 Ví dụ 9: 20 2.4 Dạng Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (-∞; α) 21 2.4.1 Phương pháp: 21 2.4.2 Ví dụ 10: 21 2.4.3 Ví dụ 11: 22 2.5 Dạng 5: Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (α; β) 22 2.5.1 Phương pháp: 22 2.5.2 Ví dụ 12: 23 2.5.3 Ví dụ 13: 23 2.6 Dạng Tìm m để hàm số y = ax+b cx+d đơn điệu khoảng 24 2.6.1 Phương pháp: 24 2.6.2 Ví dụ 14: 24 2.6.3 Ví dụ 15: 24 2.7 Dạng 7: Cho y = ax + bx + cx + d (có chứa tham số m) Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng có độ dài d 24 2.7.1 Phương pháp: 24 2.7.2 Ví dụ 16: 25 2.8 Dạng 8: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình 25 2.8.1 Phương pháp: 25 2.8.2 Ví dụ 17: 25 2.8.3 Ví dụ 18: 26 2.8.4 Ví dụ 19: 27 2.9 Dạng 9: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm 27 2.9.1 Phương pháp 27 2.9.2 Ví dụ 20: 28 2.9.3 Ví dụ 21: 28 2.10 Dạng 10: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình 28 2.10.1 Phương pháp 28 2.10.2 Ví dụ 22: 29 2.10.3 Ví dụ 23: 29 2.10.4 Ví dụ 24: 30 2.11 Dạng 11 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình 31 2.11.1 Phương pháp 31 2.11.2 Ví dụ 25: 31 2.11.3 Ví dụ 26: 31 2.11.4 Ví dụ 27: 32 2.12 Dạng 12: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức 32 2.12.1 Phương pháp 32 2.12.2 Ví dụ 28: 33 2.12.3 Ví dụ 29: 33 2.12.4 Ví dụ 30: 34 2.13 Dạng 13: Tính đơn điệu hàm số biết hàm số y = f'(x) 35 2.13.1 Phương pháp: 35 2.13.2 Ví dụ 31: 35 2.13.3 Ví dụ 32: 36 2.13.4 Ví dụ 33: 36 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Đất nước ta đường hội nhập phát triển, từ cần người phát triển tồn diện Muốn vậy, phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục phải đổi cách toàn diện để đáp ứng nhu cầu xã hội Để đổi nghiệp giáo dục đào tạo, trước hết phải đổi phương pháp dạy học, có phương pháp dạy học mơn Tốn Tốn học có vai trị quan trọng đời sống ngành khoa học Đồng thời, mơn Tốn mơn học khó có tính liên tục phương pháp giảng dạy khó tạo hứng thú thu hút để em học tốt say mê học Toán Để theo kịp xu hướng phát triển, nhiều yêu cầu đặt ra, số Làm để có phương pháp giải Tốn hay, nhanh kết xác? Giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Và khóa luận tơi xin chia sẻ: “Một số phương pháp giải toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số chương trình tốn THPT” Việc chứng minh số bất đẳng thức giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cách sử dụng tính đơn điệu hàm số giúp toán trở nên đơn giản lời giải gọn gàng Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu số dạng toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số, giúp cho học sinh lĩnh hội kiến tạo tri thức toán cách tốt Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu sở lí luận - Nghiên cứu dạng tốn liên quan đến tính đơn điệu hàm số Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới phần tính đơn điệu hàm số dạy học toán THPT, nhằm hiểu rõ phương pháp để từ xây dựng dạy đạt hiệu Bố cục khóa luận: Khóa luận gồm có chương sau: Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số 1.2 Liên hệ tính đơn điệu đạo hàm hàm số 1.3 Sự đồng biến, nghịch biến số hàm thơng dụng 1.4 Một số tính chất liên quan đến tính đơn điệu hàm số để áp dụng vào giải toán đại số Chương 2: Một số phương pháp giải toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số chương trình tốn THPT 2.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) Hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Phương pháp ví dụ minh họa 2.2 Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định ℝ Tìm điều kiện để hàm số ln ln đồng biến (hoặc nghịch biến) Phương pháp ví dụ minh họa 2.3 Dạng 3: Cho hàm số y = f(x; m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)trên khoảng (α; +∞) Phương pháp ví dụ minh họa 2.4 Dạng 4: Cho hàm số y = f(x; m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (−∞; α) Phương pháp ví dụ minh họa 2.5 Dạng 5: Cho hàm số y = f(x;m), m tham số Tìm giá trị m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (α; β) 2.6 Dạng Tìm m để hàm số y = ax+b cx+d đơn điệu khoảng 2.7 Dạng 7: Cho y = a𝑥 + b𝑥 + cx + d (có chứa tham số m) Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng có độ dài d 2.8 Dạng 8: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình 2.9 Dạng 9: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm 2.10 Dạng 10: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình 2.11 Dạng 11 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình 2.12 Dạng 12: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức 2.13 Dạng 13: Tính đơn điệu hàm số biết hàm số y = f′(x) Đối tượng nghiên cứu: - Các hàm số chương trình tốn THPT - Các chứng minh định lý Phạm vi nghiên cứu: Kiến thức liên quan đến tính đơn điệu hàm số chương trình tốn THPT CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tính đơn điệu hàm số 1.1.1 Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định K gọi là: • Đồng biến K với x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 ) • Nghịch biến K với x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 ) 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I • Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f′(x) ≥ với x ∈ I • Nếu hàm số f nghịch biến khoảng I f′(x) ≤ với x ∈ I 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu a Định lý Giả sử I khoảng nửa khoảng đoạn, f hàm số liên tục I có đạo hàm điểm I (tức điểm thuộc I đầu mút I) Khi đó: • Nếu f′(x) ≥ với x ∈ I hàm số f đồng biến khoảng I • Nếu f′(x) ≤ với x ∈ I hàm số f nghịch biến khoảng I • Nếu f ′ (x) = với x ∈ I hàm số f khơng đổi khoảng I b Chú ý • Nếu hàm số f liên tục [a; b] có đạo hàm f′(x) > khoảng (a; b) hàm số f đồng biến [a; b] • Nếu hàm số f liên tục [a; b] có đạo hàm f′(x) < khoảng (a; b) hàm số f nghịch biến [a; b] • Ta mở rộng định lý sau Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Nếu f′(x) ≥ với ∀x ∈ I (hoặc f′(x) ≤ với ∀x ∈ I) f ′ (x) = số hữu hạn điểm I hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) I 1.2 Liên hệ tính đơn điệu đạo hàm hàm số 1.2.1 Định lí 1: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) Nếu f’(x)>0  𝑥  (a;b) y = f(x) đồng biến khoảng Nếu f’(x)0  y’>  Hàm số đồng biến a ⇔ ad − bc > Hàm số nghịch biến khoảng xác định y ′ < ⇔ ad − bc < Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng D ngồi điều kiện d y ′ > (hoặc y ′ < 0) ta cần thêm điều kiện − ∉ D c Bước 3: d d c c Nếu D = (m;n) − ≤ m − ≥ n d Nếu D = (−∞; n) − ≥ n c d Nếu D = (m; +∞) − ≤ m c 2.6.2 Ví dụ 14: Tìm giá trị tham số thực m để hàm số y = x−m2 x−1 đồng biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) Giải Tập xác định D = ℝ ∖ {1} Ta có y′ = Để hàm số y = x−m2 x−1 −1+m2 (x−1)2 đồng biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) y ′ > ⇔ m2 − > ⇔ [ 2.6.3 Ví dụ 15: Cho đồ thị hàm số y = x−2 m < −1 m>1 Tìm giá trị hàm số m để x−m hàm số đồng biến (0; 3] 2−m Tập xác định D = ℝ ∖ {m} Ta có y ′ = (x−m)2 , ∀x ≠ m Để hàm số đồng biến (0; 3] ⇔ { m0 m ≤ ⇔ m ≤ { ⇔ [ m ∉ (0; 3] m>3 2.7 Dạng 7: Cho 𝐲 = 𝐚𝐱 𝟑 + 𝐛𝐱 𝟐 + 𝐜𝐱 + 𝐝 (có chứa tham số m) Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng có độ dài d 2.7.1 Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định 24 Bước 2: Tính y’ Bước 3: Để hàm số đồng biến khoảng có độ dài d y ′ = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 mà | x1 − x2 | = d a≠0 a≠0 ∆> ∆> ⇔{ ⇔{ 2 | x1 − x2 | = d (x1 + x2 ) − 4x1 x2 = d2 Bước 4: Dùng định lý Vi-et để thực tiếp * Chú ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến khoảng có độ dài d 2.7.2 Ví dụ 16: Tìm m để hàm số y = x + 3x + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài Giải Tập xác định D = ℝ y′ = 3x + 6x + m Đề hàm số nghịch biến đoạn có độ dài y′ = có nghiệm phân biệt x1 , x2 mà | x1 − x2 | = ⇔{ − 3m > ∆′ > ⇔ {( | x1 − x2 | = x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = Theo Vi-et ta có: { (1) x1 + x2 = −2 m x1 x2 = m 0; ∀t ≥ Suy hàm số f(t) đồng biến với t ≥ Do đó: (1)⇔ f(2x) = f(√2x + 1) ⇔ { 26 2x ≥ x≥0 ⇔ { 2x + = 4x 4x − 2x − = x≥0 + √5 ⇔{ ± √5 ⇔ x = x= Vậy nghiệm phương trình x = 1+√5 2.8.4 Ví dụ 19: Giải phương trình: −2x + 10x − 17x + = 2x √5x − x Giải Ta thấy x = không nghiệm phương trình Xét x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho x , ta được: −2 + 10 17 − + = 2√ − x x x x Đặt y = ,(y ≠ 0), ta phương trình: x 8y − 17y + 10y − = 2√5y − ⇔ (2y − 1)2 + 2(2y − 1) = 5y − + 2√5y − (∗) Trong đó: f(t) = t + 2t; ∀t ∈ ℝ ⇒ f ′ (t) = 3t + > 0; ∀t Suy hàm số f(t) đồng biến ℝ nên (*) ⇔ f(2y − 1) = f(√5y − 1) ⇔ 2y − = √5y − ⇔ 8y − 17y + 6y = ⇔ y(8y − 17y + 6) = y=0 ⇔[ 17 ± √97 y= 16 Với y = (loại) Với y = Với y = 17−√97 16 17+√97 16 16 y 17−√97 ⟹x= = 16 y 17+√97 ⟹x= = = = 17+√97 12 17−√97 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 12 17+√97 12 x = 17−√97 12 2.9 Dạng 9: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm 2.9.1 Phương pháp Bước 1: Đưa phương trình dạng f(x) = (1) Bước 2: Nhẩm f(x0 ) = ⇒ x = x0 nghiệm 27 Bước 3: Chỉ f(x) đồng biến nghịch biến ĐKXĐ phương trình Bước 4: Phương trình có nghiệm x = x0 2.9.2 Ví dụ 20: Chứng minh phương trình √x + + √2x − = − x có nghiệm Giải ĐK: x ≥ PT cho trở thành: x + √x + + √2x − − = ⇔ f(x) = Ta có: f (1) = ⇒ x = nghiệm phương trình Ta có: f ′ (x) = 3x + đồng biến với x ≥ 2√x+3 + √2x−1 > 0, ∀x ≥ Suy hàm số f(x) Vậy x = nghiệm phương trình 2.9.3 Ví dụ 21: Chứng minh phương trình: √3x + + √x = − √2x − có nghiệm Giải ĐK: x ≥ PT cho trở thành: √3x + + √x + √2x − − = ⇔ f(x) = Ta có: f (1) = ⇒ x = nghiệm phương trình Ta có: f ′ (x) = 2√3x+1 đồng biến với x ≥ + 5 √x4 + √2x−1 > 0, ∀x ≥ Suy hàm số f(x) Vậy x = nghiệm phương trình 2.10 Dạng 10: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình 2.10.1 Phương pháp a Hệ phương trình đối xứng loại Dạng { f(x, y) = 0(1) f(y, x) = 0(2) Bước 1: Lấy (1) – (2); chuyển biến loại vế phương trình Bước 2: Xét hàm f(t) đặc trưng cho vế phương trình: f(x) = f(y) (*) Bước 3: Chỉ f(t) đơn điệu (**) Bước 4: Từ (*) (**) suy x = y 28 b Xét hàm đặc trưng Dấu hiệu: Từ hai phương trình hệ, ta thấy đại lượng phương trình có kết cấu tương đối giống Bước 1: Chọn phương trình để xét hàm Bước 2: Chuyển phương trình dạng f(u(x)) = f(v(y)) Bước 3: Xét hàm đặc trưng f(t), f(t) đơn điệu suy u(x) = v(y) 2.10.2 Ví dụ 22: Giải hệ phương trình: { √x + + √7 − y = 4(1) √y + + √7 − x = 4(2) Giải ĐK: −1 ≤ x, y ≤ Lấy (1) trừ (2) ta được: √x + − √y + + √7 − y − √7 − x = ⇔ √x + − √7 − x = √y + + √7 − y (3) Xét f(t) = √t + − √7 − t ; −1 ≤ t ≤ f ′ (t ) = √t + + 2√7 − t > 0; ∀t ∈ (−1; 7) Suy hàm số đồng biến tập xác định Từ (3) suy f(x) = f(y) ⇒ x = y Thế vào (1): √x + + √7 − x = ⇔ x + + − x + 2√(x + 1)(7 − x) = 16 ⇔ √(x + 1)(7 − x) = ⇔ (x + 1)(7 − x) = 16 ⇔ 7x − x + − x = 16 ⇔ x − 6x + = ⇔ x = = y (TM) Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;3) cot x − cot y = x − y(1) (2) 2.10.3 Ví dụ 23: Giải hệ phương trình: {2x + 3y = π x, y ∈ (0, π) Giải (1) ⇔ cot x − x = cot y − y(3) Xét hàm f(t) = cot t − t , t ∈ (0, π) Ta có: 29 f ′ (t ) = −1 − < 0; ∀t ∈ (0, π) sin2 t Suy f(t) hàm nghịch biến Từ (3) suy f(x) = f(y) ⇒ x = y Thế vào (2): 2x + 3x = π ⇔ x = π =y π π Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 5 2.10.4 Ví dụ 24: Giải hệ phương trình: { x(4x + 1) + (y − 3)√5 − 2y = 0(1) 4x + y + 2√3 − 4x = (2) Giải x≤ − 4x ≥ ĐK: { ⇔{ 5 − 2y ≥ y≤ (1) ⇔ x(4x + 1) = (3 − y)√5 − 2y ⇔ 2x[(2x)2 + 1] = √5 − 2y(5 − 2y + 1) ⇔ f(2x) = f(√5 − 2y) (3) Với f(t) = t(t + 1) hàm đặc trưng 0≤t≤ f (t ) = t + t f ′ (t) = 3t + > ∀t ⇒ f(t) hàm đồng biến Từ (3) ⇒ 2x = √5 − 2y x≥0 x≥0 − 4x ⇔{ ⇔{ 4x = − 2y y= Thế vào phương trình (2): 4x + Đặt f(x) = 4x + (5−4x2 ) 1 2 Ta có: f ( ) = ⇒ x = (5−4x2 ) + 2√3 − 4x − = + 2√3 − 4x − nghiệm 4 √3−4x Ta có: f ′(x) = 8x + 2(5 − 4x )(−8x) − = 8x − 20x + 16x − 30 √3 − 4x = 4x(4x − 3) − < ∀x ∈ [0; ) √3 − 4x ⇒ f(x) hàm số nghịch biến ∀x ∈ [0; ) ⇒ Phương trình f(x) = có nghiệm x = ⇒ y = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; 2) 2.11 Dạng 11 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình 2.11.1 Phương pháp Bước 1: Đưa bất phương trình dạng f(u) > f(v) (1) Bước 2: Xét hàm đặc trưng y = f(t) Bước 3: Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Bước 4: Khi từ (1) suy ra: - f(u) > f(v) ⇔ u > v hàm số đồng biến - f(u) > f(v) ⇔ u < v hàm số nghịch biến 2.11.2 Ví dụ 25: Giải bất phương trình: 5x + 12x > 13x Đây toán bất phương trình mũ, nhiên khó để sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ để giải Ta sử dụng phương pháp đơn điệu để giải Giải x 12 x x 12 x 13 13 13 13 Bất phương trình ⇔ ( ) + ( ) > ⇔ f(x) > f(2) Với f(x) = ( ) + ( ) x 12 x 12 13 13 13 13 ⇒ f ′ (x) = ( ) ln ( ) + ( ) ln ( ) < 0, ∀x ∈ ℝ Do hàm số f(x) ln nghịch biến ℝ Suy ra, bất phương trình có nghiệm x < Vậy tập nghiệm bắt phương trình S = (−∞; 2) * Nhận xét: bất phương trình quen thuộc học sinh lớp 12 Tuy nhiên ta sử dụng phương pháp việc giải bất phương trình đơn giản nhiều 2.11.3 Ví dụ 26: Giải bất phương trình: x(x + x + 16) > 6(4 − x ) Giải Bất phương trình ⇔ f(x) = x + x + 6x + 16x − 24 > ⇔ f(x) > f(1)(∗) 31 Ta có: f ′ (x) = 9x + 3x + 12x + 16 = 9x + 3(x + 2)2 + > 0, ∀x ∈ ℝ Suy hàm số f(x) đồng biến ℝ (**) Từ (*) (**) suy bất phương trình cho có nghiệm x > Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1; +∞) 2.11.4 Ví dụ 27: Giải bất phương trình: log x2 +3x+5 2x2 +2x+3 < x2 − x − Đây bất phương trình lơgarit, em học sinh đưa dạng X2 +3x+5 2x2 +2x+3 −x−2 = 2x đến bước học sinh khơng giải Nếu học sinh nắm vững đơn điệu dễ dàng nhận thấy (2x + 2x + 3) − (x + 3x + 5) = x − x − log (x + 3x + 5) − log (2x + 2x + 3) = log x2 +3x+5 2x2 +2x+3 Giải x + 3x + log 2 < x2 − x − 2x + 2x + ⇔ log (x + 3x + 5) − log (2x + 2x + 3) < (2x + 2x + 3) − (x + 3x + 5) ⇔ log (x + 3x + 5) + (x + 3x + 5) < log (2x + 2x + 3) + (2x + 2x + 3) ⇔ f(x + 3x + 5) < f(2x + 2x + 3) (∗) Với hàm số f(t) = log t + t, ∀t > 0, ta có: f ′ (t) = t.ln2 + > 0, ∀t > Do hàm số f đồng biến với t > (**) Từ (*) (**), suy bất phương trình ⇔ x − x − > ⇔ [ x < −1 x>2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) 2.12 Dạng 12: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức 2.12.1 Phương pháp Bước 1: Xét hàm số h(x) = f(x) − g(x) Bước 2: Tìm miền xác định h(x) Bước 3: Tính đạo hàm cấp một, giải phương trình h′(x) = Tìm nghiệm Bước 4: Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy bất đẳng thức cần chứng minh * Các trường hợp: + Chứng minh f(x) ≥ A nghĩa chứng minh f(x) ≥ A, A số 32 + Chứng minh f(x) ≤ A nghĩa chứng minh max f(x) ≤ A, AA số + Nếu phương trình h′(x) = khơng giải ta tính đạo hàm cấp hai, ba đến xét dấu ta dừng 2.12.2 Ví dụ 28: Chứng minh bất đẳng thức: x2 √1 − x + √1 + x + ≤ ∀x ∈ [−1; 1] Giải Xét hàm số f(x) = √1 − x + √1 + x + Ta có f ′ (x) = 2√1−x + 2√1+x x2 ≤ [−1; 1] x x√1−x2 +√1−x−√1+x 2√1−x2 + = f ′ (x) = ⇔ x√1 − x = √1 + x − √1 − x = ⇒ x (1 − x ) = − 2√1 − x (1) Đặt t = √1 − x (t ≥ 0) ⇒ x = − t Phương trình (1) ⇔ (1 − t )t = 2(1 − t) ⇔ (1 − t)(t + t − 2) = ⇒t=1⇒x=0 Bảng biến thiên: x -1 f ′ (x) + - f(x) √2 + √2 + Từ bảng biến thiên ta suy f(x) ≤ 2∀x ∈ [−1; 1] Từ có điều phải chứng minh 2.12.3 Ví dụ 29: Chứng minh bất đẳng thức: arctanx − π ≥ ln(1 + x ) − ln2 ∀x ∈ [ ; 1] Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: π arctanx − ln(1 + x ) ≥ − ln2 Xét hàm số: f(x) = arctanx − ln(1 + x ) với x ∈ [ ; 1] 33 Ta có f ′ (x) = 1+x2 − 2x 1+x2 = 1−2x 1+x2 f ′ (x) = ⇔ − 2x = ⇔ x = Bảng biến thiên: x ′( f x) - f(x) 𝜋 − ln2 π Từ bảng biến thiên ta suy f(x) ≥ − ln2 ∀x ∈ [ ; 1] Từ có điều phải chứng minh * Nhận xét: Tuy nhiên, việc áp dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức mà hàm f(x) có sẵn bất đẳng thức chưa khó khăn Vấn đề đặt phải biết ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức mà ta tự tìm hàm số Việc tìm hàm số để xét phải dựa vào đặc tính bất đẳng thức Để cụ thể ta xét ví dụ 2.12.4 Ví dụ 30: Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c = Chứng minh rằng: a b2 +c2 + b a2 +c2 + c b2 +a2 ≥ 3√3 Giải b2 + c = − a2 2 Từ giả thiết: a2 + b2 + c = ⇒ {a2 + c = − b2 a +b =1−c < a, b, c < Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c 3√3 + + ≥ (a + b2 + c ) − a2 − b − c 2 Xét hàm số: f(x) = x 1−x2 − 3√3 x ,0