Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân

MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM 1.1.1 Khơng gian metric 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Không gian Hilbert 1.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2.Tính chất phép biến đổi Laplace 1.2.3 Phép biến đổi Laplace ngược 10 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 12 2.1 KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 12 2.1.1 Các khái niệm 12 2.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG 14 2.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 14 2.2.2 Phương pháp nhân suy biến 17 2.2.3 Phương pháp Bubnov – Galerkin 20 2.2.4 Giải phương trình tích phân biến đổi Laplace 24 2.2.5 Bài tập vận dụng 25 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 LỜI NÓI ĐẦU Nhiều vấn đề tốn học ( phương trình vi phân với điều kiện biên ban đầu, phương trình đạo hàm riêng ), học vật lí ngành kĩ thuật khác dẫn đến phương trình hàm chưa biết chứa dấu tích phân Những loại phương trình gọi phương trình tích phân Phương trình tích phân cơng cụ hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay khơng chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,… Lí thuyết tổng qt loại phương trình tích phân tuyến tính xây dựng buổi giao thời kỉ XIX, XX, chủ yếu cơng trình Volterra, Fredholm, Hilbert Trong tài liệu mà em tham khảo khóa luận tác giả trình bày cách tổng qt phương trình tích phân tuyến tính Chủ yếu phương trình tích phân tuyến tính Volterra phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Tuy nhiên tài liệu chưa trình bày chi tiết có ví dụ minh họa cụ thể Để giúp bạn sinh viên ngành tốn có thêm tài liệu học tập phương trình tích phân tuyến tính, đặc biệt có thêm nhiều ví dụ minh họa cho phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính em mạnh dạn chọn đề tài “Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân” Nội dung khóa luận bao gồm vấn đề sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày lại số vấn đề giải tích hàm không gian Metric, không gian Banach, không gian Hilbert, số kiến thức phép biến đổi Laplace Chương Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân Chương trình bày lại khái niệm phương trình tích phân tuyến tính đưa nhiều ví dụ minh họa cho phương pháp giải gần cho phương trình tích phân tuyến tính như: Phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp nhân suy biến, phương pháp Bubnov-Galerkin phương pháp biến đổi Laplace Là sinh viên chắn khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Mong thầy bạn sinh viên cho em ý kiến ý kiến đóng góp xác đáng để em hồn thiện khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, giúp em hồn thành khóa luận Đặc biệt em xin cám ơn thầy Mai Xuân Thảo tận tình giúp đỡ em trình nghiên cứu Cùng với biết ơn lịng u thương vơ hạn em xin gửi đến gia đình bạn bè, nguồn động viên quan trọng giúp em vượt qua khó khăn để hồn thành khóa luận MỞ ĐẦU Các phương trình tích phân nghiên cứu khơng nhiều phương trình đạo hàm riêng, gần chúng có nguồn gốc từ tốn thực tế (phần nhiều phương trình vật lí - tốn ) Giải phương trình tích phân lại khó khăn So sánh hai ví dụ: 1) Tìm hàm u biết đạo hàm f(x) 2) Tìm hàm u biết nguyên hàm f(x), Ta thấy ví dụ 1) vấn đề tồn nghiệm gần quan tâm ngun hàm f điều kiện f khả tích dễ thỏa mãn, trái lại tìm ngun hàm vấn đề khó Với ví dụ 2), ta phải đặt điều kiện cho f khả vichặt Tức là, điều kiện tồn nghiệm khó thực hiện, song có nghiệm nghiệm ví dụ 2) Ví dụ 1) thuộc loại phương trình vi phân, ví dụ 2) thuộc loại phương trình tích phân Qua chứng tỏ tốn phương trình tích phân khó thỏa mãn điều kiện tồn nghiệm, nên việc nghiên cứu chúng không dễ Những phương trình tích phân nghiên cứu phần lớn phương trình tích phân tuyến tính khóa luận ta hạn chế đề cập đến vài loại phương trình tích phân tuyến tính số phương pháp giải gần cho phương trình tích phân tuyến tính Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM 1.1.1 Khơng gian metric Định nghĩa 1.1.1 Không gian metric cặp tập hợp, : hàm xác định thỏa mãn điều kiện sau: 1) Với 2) Với 3) gọi metric không gian Hàm số gọi điểm không gian hai điểm , số gọi khoảng cách Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy metric Mỗi phần tử hội tụ đến phần tử phần tử khơng gian nếu: , kí hiệu Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ metric liên tục điểm đưa không gian metric vào không gian dãy Định nghĩa 1.1.4 Dãy suy gọi dãy côsi (hay dãy bản) nếu: gọi không gian đầy đủ dãy côsi Không gian metric hội tụ đến phần tử thuộc Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ f đưa không gian metric gọi ánh xạ co tồn số vào cho với Hằng số gọi hệ số co Dễ thấy ánh xạ co liên tục Định lí 1.1.6 (nguyên lí ánh xạ co): Cho metric đủ ánh xạ co khơng gian Khi đó: 1) Tồn Phần tử cho gọi điểm bất động ánh xạ 2) Mọi dãy lặp xuất phát từ hội tụ Ngồi ta có ước lượng sau: ) (1.1) ) (1.2) 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.7 trường số thực.Tập xạ (gọi phép cộng phép nhân vơ hướng): Phép cộng, kí hiệu: Phép nhân vơ hướng, kí hiệu: khác rỗng với hai ánh Gọi khơng gian tuyến tính hai phép tốn cộng nhân vơ hướng thỏa mãn tính chất sau: 1) 2) 3) Với phần tử 4) Với ta có: tồn phần tử 5) 6) 7) , ta có: 8) Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ tuyến tính đưa khơng gian tuyến tính gọi tốn tử tuyến tính, với vào khơng gian , ta có: Định nghĩa 1.1.9 Ánh xạ hàm Nếu đưa khơng gian tuyến tốn tử tuyến tính đưa vào ta nói vào gọi phiếm phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.10 Giả sử khơng gian tuyến tính gọi chuẩn Hàm số thỏa mãn điều kiện sau: 1) 2) 3) Một không gian định chuẩn không gian tuyến tính với chuẩn Nhận xét 1.1.11 Nếu đặt trở thành khơng gian metric Định nghĩa 1.1.12 Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ 1.1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.13 Cho vô hướng khơng gian tuyến tính ánh xạ Một tích thỏa mãn điều kiện sau: 1) 2) 3) ; Khơng gian tuyến tính với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Nhận xét 1.1.14 Với hàm trở thành không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.15 Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Định lý 1.1.16 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Với ta có: Định nghĩa 1.1.17 Hai phần tử Định nghĩa 1.1.18 Hệ trực giao trực giao chuẩn trực Định nghĩa 1.1.19 Hệ đầy đủ nghĩa là: = 1.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Xét lớp hàm 1) 2) có tính chất: liên tục khúc (tức hàm số có hữu hạn điểm gián đoạn loại đoạn hữu hạn 3) Tồn số mà (tức hàm số khơng có lớn) Kí hiệu: (2.3) viết gọn viết cần quan tâm diễn biến hàm Phép tương ứng hàm biến thuộc lớp hàm nói với hàm gọi phép biến đổi laplace Người ta chứng minh lớp xét mà hai hàm liên tục thuộc Do đó, song ánh (từ lớp hàm liên tục) Với hàm đơn vị kí hiệu xác định sau: (2.4) Ta có: (2.5) Đối với hàm số mà giá trị khác điểm thay hàm ta hàm số thõa mãn tính chất 1) đặt trên, để đơn giản cách viết, ta quy ước dùng kí hiệu thay cho kí hiệu Đồng thời quy ước giá trị , tức giá trị kì hàm bất (theo tính chất 2) tồn tại) Ta dễ dàng tính được: (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) (2.11) 1.2.2.Tính chất phép biến đổi Laplace 1) Suy từ tính chất tích phân có tính chất tuyến tính ,tức là: (2.12) 2) (2.13) 3) (2.14) 4) (2.15) 5) Đạo hàm tích phân : (2.16) (2.17) 10 Và tốn tử tích phân với nhân suy biến Xét phương trình: , (2.23) toán tử đơn vị Áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin cho (2.23), ta hệ đại số tuyến tính (2.24) So sánh hệ số hệ (2.22), (2.24) ta có: Như Tương tự, , cịn Từ suy Tóm lại hệ (2.22) trùng với hệ (2.24), hay nói cách khác, áp dụng phương pháp Bubnov – Galerkin cho hệ (2.20) tương dương việc áp dụng phương pháp cho hệ (2.23) Mặt khác, phương trình (2.23) có nhân suy biến Từ suy Mặt khác 24 ( ) Từ suy Như việc áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin cho (2.23) tương đương với việc sử dụng phương pháp nhân suy biến để giải (2.23) Do với hầu khắp , phương pháp nhân suy biến đó, phương pháp Bubnov-Galerkin hội tụ Ví dụ 2.2.3.1 Trong khơng gian giải phương trình tích phân Giải: Đặt Dễ thấy Nghiệm hệ trực chuẩn đầy đủ có dạng Ta có: Vậy Từ điều kiện (2.20) ta có: Với ta có 25 Vậy nghiệm cần tìm ( 2.2.4 Giải phương trình tích phân biến đổi Laplace Sau ta xét vài ví dụ sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân Xét phương trình tích phân có dạng Biến đổi Laplace hai vế, theo tính chất nhân chập, ta được: Do biến đổi ngược kết Ví dụ 2.2.4.1 Giải phương trình Abel: Giải: Biến đổi Laplace theo tính chất nhân chập ta Do 26 Ta có: Vậy: Và biến đổi ngược ta thu kết Ví dụ 2.2.4.2 Giải phương trình tích phân sau Giải: Phương trình cho tương đương với phương trình sau: (*) Biến đổi Laplace hai vế theo tính chất nhân chập (*) ta Do Vậy nghiệm cần tìm phương trình cho là: 2.2.5 Bài tập vận dụng 2.2.5.1 Giải phương pháp xấp xỉ liên tiếp Bài tập Giải phương trình Giải Đặt 27 ; Vậy với với (với V , đó: 28 Bài tập Giải phương trình tích phân Giải Ta có: Đặt Nói chung Với Bài tập Giải phương trình tích phân Giải Ta có: Đặt ; 29 Nói chung Với 2.2.5.2 Giải phương pháp nhân suy biến Bài tập Giải phương trình tích phân Giải Đặt ta có: Tiếp theo, Tương tự 30 Từ suy ( với giả thiết ) Như Bài tập Giải phương trình tích phân Giải Ta có: ; Đặt Tiếp theo, ta có Tương tự Từ ta có hệ hai phương trình hai ẩn sau: Với mà hệ có nghiệm: 31 + Quy đồng mẫu số ta được: Bài tập Giải phương trình tích phân sau Giải Đây phương trình có nhân khơng suy biến, ta xấp xỉ nhân nhân suy biến Khai triển Taylor hàm theo biến Ta lấy xấp xỉ: Ta tìm nghiệm phương trình tích phân Đặt ta có: Tiếp theo Tương tự ta có 32 là: Từ ta có hệ phương trình ẩn sau: Giải hệ phương trình ta được: Như 2.2.5.3 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân Bài tập Giải phương trình tích phân sau Giải Biến đổi Laplace hai vế, theo tính chất nhân chập, ta 33 Do Với ta có: Vậy nghiệm cần tìm phương trình tích phân cho là: Bài tập Giải phương trình tích phân sau Giải Phương trình cho tương đương với phương trình sau: (*) Biến đổi Laplace hai vế (*) theo tính chất nhân chập ta Do Dùng cơng thức biến đổi ngược ta được: 2.2.5.4 Một vài tập đưa phương trình vi phân tuyến tính Bài tập Giải phương trình tích phân sau: Giải 34 Lấy đạo hàm theo biến hai vế phương trình cho ta phương trình tương đương: Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp nghiệm là: Ta giải Vậy nghiệm cần tìm tốn cho là: Bài tập Giải phương trình tích phân sau: Giải: Lấy đạo hàm theo biến hai vế phương trình cho ta được: Vậy nghiệm cần tìm phương trình tích phân cho là: 2.2.5.5 Bài tập đề nghị Bài tập Giải phương trình tích phân sau: a) b) c) Đáp số: a) 35 b) c) Bài tập Giải phương trình tích phân sau: a) b) c) Đáp số: a) (với b) c) 36 ) KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận trình bày “Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân” Khóa luận đưa được: Bốn dạng phương trình tích phân tuyến tính cụ thể là: - Phương trình tích phân Fredholm loại I, - Phương trình tích phân Fredholm loại II - Phương trình tích phân Volterra loại I - Phương trình tích phân Volterra loại II Bốn phương pháp giải phương trình tích phân gồm: - Phương pháp xấp xỉ liên tiếp - Phương pháp nhân suy biến - Phương pháp Bubnov-Galerkin - Giải phương trình tích phân phép biến đổi Laplace Các tập vận dụng Qua trình nghiên cứu hồn thành khóa luận hướng dẫn tận tình thầy giáo Mai Xuân Thảo em bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, làm quen với phương trình tích phân tuyến tính phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy giáo bạn Thanh hóa, ngày 02 tháng năm 2013 Sinh viờn Ngô Thị Ph-ợng 37 TI LIU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh , Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [2] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [3] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2003 [4] Dỗn Tam hịe, Tốn học tính tốn, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [5] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [6] P.Hall, F.R.S and F.Smithies, Integral Equations, Cambridge University Fress, Cambridge, 1958 38