Một số phương pháp giải phương trình đại số trong chương trình toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN ĐỀ TÀI Một số phương pháp giải phương trình đại số chương trình Tốn Trung học phổ thơng Giảng viên hướng dẫn : ThS Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Đặng Phan Hạnh Nhân Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng năm 2022 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy, người trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn ý kiến quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, bạn bè, bạn lớp 18ST q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà Nẵng, tháng năm 2022 Sinh viên Đặng Phan Hạnh Nhân SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC CHỮ VÀ KÝ HIỆU VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm phương trình 1.2 Phương trình tương đương 1.2.1 Phương trình tương đương 1.2.2 Phép biến đổi tương đương 1.3 Phương trình hệ 10 1.4 Phương trình nhiều ẩn 10 1.5 Giải biện luận phương trình bậc 11 1.6 Giải biện luận phương trình bậc hai 11 1.6.1 Giải biện luận phương trình bậc hai 12 1.6.2 Định lý vi-ét – định lý vi-ét đảo 12 1.7 Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai 13 1.7.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 13 1.7.2 Phương trình chứa ẩn dấu 15 SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 17 2.1 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ 17 2.1.1 Phương pháp giải 17 2.1.2 Ví dụ 17 2.2 Dạng Phương pháp đặt hai ẩn phụ 18 2.2.1 Phương pháp giải 18 2.2.2 Ví dụ 18 2.3 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 19 2.3.1 Phương pháp giải 19 2.3.2 Ví dụ 19 2.4 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 20 2.4.1 Phương pháp giải 20 2.4.2 Ví dụ 20 2.5 Dạng Phương pháp nâng lên lũy thừa 21 2.5.1 Phương pháp giải 21 2.5.2 Ví dụ 22 2.6 Dạng Phương pháp biến đổi phương trình tích 22 2.6.1 Phương pháp giải 22 2.6.2 Ví dụ 23 2.7 Dạng Phương pháp dùng đẳng thức 24 2.7.1 Phương pháp giải 24 2.7.2 Ví dụ 24 2.8 Dạng Phương pháp nhân liên hợp 25 2.8.1 Phương pháp giải 25 2.8.2 Ví dụ 26 KẾT LUẬN 28 SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy CÁC CHỮ VÀ KÝ HIỆU VIẾT TẮT GV: Giáo viên HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình đại số nội dung cổ điển quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển phương trình đại số đặt dấu ấn quan trọng Tốn học Chúng có sức hút mạnh mẽ người u Tốn, ln thơi thúc người làm Tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bên cạnh đó, tốn phương trình đại số thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi, Olympic kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Phương trình đánh giá tốn phân loại học sinh giỏi, địi hỏi kỹ thuật xử lý nhanh xác Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức vững phương trình đại số phương pháp giải cho thân nói riêng sinh viên khoa Tốn trường nói chung, tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Một số phương pháp giải phương trình đại số chương trình Tốn Trung học phổ thơng" Mục đích nghiên cứu Đưa số phương pháp giải phương trình đại số chương trình Tốn THPT nhằm giúp HS lĩnh hội sáng tạo tri thức Toán cách tốt Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận - Nghiên cứu phương pháp giải phương trình đại số chương trình Tốn THPT SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Phương pháp nghiên cứu -Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu số tài liệu, sách tham khảo có liên quan tới phương pháp giải phương trình đại số chương trình Tốn THPT, nhằm hiểu rõ sở lý thuyết để từ xây dựng phương pháp giải đạt hiệu - Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với số giáo viên THPT dạy chương Phương trình – Đại số lớp 10 (SGK hành) để tham khảo kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình đại số Bố cục khóa luận Khóa luận gồm có chương sau: Chương Cơ sở lý luận 1.1 Khái niệm phương trình 1.2 Phương trình tương đương 1.3 Phương trình hệ 1.4 Phương trình nhiều ẩn 1.5 Giải biện luận phương trình bậc 1.6 Giải biện luận phương trình bậc hai 1.7 Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai Chương Một số phương pháp giải phương trình đại số chương trình Tốn Trung học phổ thông 2.1 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2 Dạng Phương pháp đặt hai ẩn phụ 2.3 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 2.4 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.5 Dạng Phương pháp nâng lên lũy thừa SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy 2.6 Dạng Phương pháp biến đổi phương trình tích 2.7 Dạng Phương pháp dùng đẳng thức 2.8 Dạng Phương pháp nhân liên hợp SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 1.1 GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy CƠ SỞ LÝ LUẬN Khái niệm phương trình Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f ( x)  g ( x) (1) f ( x) g ( x ) biểu thức x Ta gọi f ( x) vế trái, g ( x ) vế phải phương trình (1) Điều kiện xác định phương trình (gọi tắt điều kiện phương trình) điều kiện ẩn x để biểu thức phương trình có nghĩa Nếu f  x0   g  x0  số thực x0 gọi nghiệm phương trình (1) Giải phương trình (1) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) 1.2 Phương trình tương đương 1.2.1 Phương trình tương đương Hai phương trình f ( x)  g ( x) (1) f1 ( x )  g1 ( x ) (2) gọi tương đương chúng có tập nghiệm (có thể rỗng) Kí hiệu (1)  (2) 1.2.2 Phép biến đổi tương đương Phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương Ta có số phép biến đổi tương đương biết sau - Cộng trừ hai vế với số biểu thức - Nhân chia hai vế phương trình với số biểu thức khác SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Phương trình cho tương đương   45 x    x   x  3x   x  5x       2 x  x     13  x     x  x    x   2 Vậy phương trình có nghiệm x   45  13 2 1.7.2 Phương trình chứa ẩn dấu (1) B  A B A  B (2)  A  hoaëc B  A B A  B Ví dụ Giải phương trình:  x  x   x  (*) Lời giải  x    2 x   14 x  (*)      x   x  2  x  x   (2 x  5) 5 x  24 x  28    14  x   Vậy nghiệm phương trình x  Ví dụ Giải phương trình: 14 x  x    x (**) Lời giải x  2  x  x   x  1  (**)       x  1   x  2x    x  x  3x      x  2 x    SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Vậy nghiệm phương trình x  1, x  2 SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 16 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ 2.1.1 Phương pháp giải - Nếu có f ( x) f ( x) đặt t  - Nếu có f ( x)  g ( x) f ( x) f ( x).g ( x) đặt t  f ( x)  g ( x) 2.1.2 Ví dụ a) Giải phương trình x  3x  x  3x   Lời giải Điều kiện xác định: x2  3x   Đặt t  x  3x  6, t  Khi t  x2  3x   t   x2  3x t  (nhận) Thay vào phương trình ta t  t     t  3 (loại)  x  1 (nhận) Với t   x  x    x  x     x   (nhậ n )  Vậy phương trình có nghiệm x  1; x  2 b) Giải phương trình: x   x   3x  2 x  x   16 (*) (Trích đề Đại học Mỏ-Địa Chất năm 1999) Lời giải 2x     x  1 - Điều kiện:  x   2x  5x   (x  1)(2x  3)   SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy - Đặt t  2x   x  1, (t  0)  t  3x   2x  5x  (*)  t  t   16  t  t  20   t  ( Nhaän)  t  4 ( Loaïi) - Với t   25  3x   2x  5x   2x  5x   21  3x   x  21  x  x       x   x  x  x   (21  x ) x  146 x  429        x  143    - So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  2.2 Dạng Phương pháp đặt hai ẩn phụ 2.2.1 Phương pháp giải u  n a  f ( x ) Nếu có dạng  a  f ( x)   b  f ( x)  c đặt  v  m b  f ( x ) n m 2.2.2 Ví dụ Giải phương trình: 3x   x   (*) Lời giải - Điều kiện: x    u  3x  u  3x  u  3x      u  3v3  25 (1) - Đặt  3 3v  3x  18  v  x  v  x  (*)  2u  5v  (2)   v   5v u  3v  25 u  (1),(2)      2017  2u  5v  v    24 12v  25v  40v  84   - Với v   x    x    x  14 SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy   2017   2017  2017 - Với v   x6   x    24 24 24     2017   2017  2017 - Với v   x 6  x    24 24 24     2017  - So với điều kiện, nghiệm phương trình x  14 ;x    6 24   2.3 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 2.3.1 Phương pháp giải Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa thức thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x Phương pháp: Ta lưu ý có phương trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức biểu thức cịn lại không biểu diễn triệt tiêu để qua ẩn phụ biểu diễn cơng thức biểu diễn lại phức tạp Khi ta chọn lựa hai hướng sau: - Hướng 1: Lựa chọn phương pháp khác - Hướng 2: Thử để phương trình dạng "chứa ẩn phụ hệ số chứa ẩn x ban đầu" Trong hướng ta thường phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x ban đầu) có biệt số  số phương (hoặc bình phương biểu thức) 2.3.2 Ví dụ Giải phương trình (4 x  1) x3   x3  x  Lời giải Điều kiện x  1 Đặt t  x3  1, t  Ta có t  x3  SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 19 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Khi phương trình có dạng 2t  (4 x  1)t  x   Ta có   (4 x  1)2  8(2 x  1)  (4 x  3)2 Do phương trình có nghiệm t  x  x   (4 x  3) t  t    Khi ta có      x   2 x     x  x   x   x0   x   (2 x  1)      x   3   x   x3     x 1    x    Kết hợp với điều kiện, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x  ; x  3 2.4 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.4.1 Phương pháp giải Trường hợp biến đổi đưa phương trình dạng f (| u ( x) |)  - Ta đặt ẩn phụ t | u ( x) | (1) - Phương trình trở thành f (t )  (2) Giải phương trình (2) tìm thay t vào (1) ta tìm x 2.4.2 Ví dụ Giải phương trình ( x  1)2  3| x  1| 2  SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 20 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Lời giải Nhận xét Do ( x  1)2 | x  1|2 nên ta nghĩ đến việc đặt t | x  1| với điều kiện t  Đặt t | x  1|, t  Phương trình trở thành t  (nhaän) t  3t     t  (nhaän) x  - Với t  ta có | x  1|  x   1    x  2 x 1 - Với t  ta có | x  1|  x   2    x  3 Vậy phương trình có tập nghiệm S  {3; 2;0;1} 2.5 Dạng Phương pháp nâng lên lũy thừa 2.5.1 Phương pháp giải Một số dạng phương trình (1)   f ( x)   f ( x)  g ( x)    g ( x)   f ( x)  g ( x)  (2)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) (3) f ( x )  g ( x )  h( x ) SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 21 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy  f ( x)   Điều kiện:  g ( x)  h( x)   Với điều kiện trên, bình phương hai vế phương trình cho ta f ( x )  f ( x )  g ( x )  g ( x )  h( x )  f ( x)  g ( x)  h( x)  g ( x)  f ( x) Đến ta đưa phương trình dạng (2) 2.5.2 Ví dụ Giải phương trình x2  2x    x Lời giải Áp dụng phương trình dạng   f ( x)   f ( x)  g ( x)    g ( x)   f ( x)  g ( x)  2  x  x  x2  2x    x     x  2 x  x    x x  x     Vậy phương trình có nghiệm x  2 2.6 Dạng Phương pháp biến đổi phương trình tích 2.6.1 Phương pháp giải Dùng phép biến đổi, đồng kết hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để đưa phương trình dạng tích đơn giản biết cách giải Một số biến đổi thường gặp SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 22 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy - f ( x)  ax  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x1 , x2 hai nghiệm f ( x)  - Chia Hoocner để đưa dạng tích số ("Đầu rơi, nhân tới, cộng chéo") - Các đẳng thức thường gặp u  v   uv  (u  1)(v  1)  au  bv  ab  vu  (u  b)(v  a)  2.6.2 Ví dụ Giải phương trình: x2  x   (*) (Trích đề Cao đẳng Sư phạm Cần Thơ khối M năm 2005) Lời giải - Điều kiện: x    x  5 (*)  x2  ( x  5)  ( x  x  5)   x  ( x  5)  ( x  x  5)   ( x  x  5)( x  x  5)  ( x  x  5)   ( x  x  5)( x   x  5)   x   x   x   x  (1) (2)  x   x   (1)     21  21 x x   x x   2  x  21   x  1 1  17 x    (2)    x   17   17 2 x  x   ( x  1) x   2  Vậy phương trình có nghiệm x  SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân  21 1  17 ;x  2 Trang 23 Khóa luận tốt nghiệp 2.7 GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Dạng Phương pháp dùng đẳng thức 2.7.1 Phương pháp giải Sử dụng đẳng thức sau  A2   A   A  A2  B     B   A  B A2  B    A   B 2.7.2 Ví dụ a) Giải phương trình: x   x  5x  14 (*) Lời giải Điều kiện: x  1 (*)  x  5x  14  x    ( x   x   4)   x  x     ( x  1)2  2.2 x   22   ( x  3)2   ( x   2)2  ( x  3)2    x 1     x  x     Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình x  b) Giải phương trình x   x  x  Lời giải Điều kiện x    x  3 SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 24 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Khi đó, ta có x   x2  x   x   x    9x2  ( x   1)2  x  x    3x   x    3 x  x   3x    x   3 x  1  x     9 x  x      x    9 x  x      x    x    x       x        x  5  97 18      x  5  97    18 Vậy phương trình có nghiệm x  1; x  2.8  3 x     x   (3 x  1)     3 x      x   (3 x  1) 5  97 18 Dạng Phương pháp nhân liên hợp 2.8.1 Phương pháp giải SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 25 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy - Dự đốn nghiệm x  xo máy tỉnh bỏ túi (SHIFT-SOLVE hay ALPHA CALC) - Tách, ghép phù hợp để sau nhân liên hợp xuất nhân tử chung  x  x0  bội  x  x0  phương trình nhằm đưa phương trình tích số:  x  x   g ( x)  - Các công thức thường dùng nhân liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hợp A B A Tích AB B A3B A2  AB  B2 AB A3B A2  AB  B2 AB 2.8.2 Ví dụ Giải phương trình: x    x  3x (*) (Trích đề thi thử Đại học lần khối D năm 2013 - Trường THPT Lê Xoay) Lời giải Sử dụng chức SHIFT-SOLVE máy tính, ta tìm nghiệm x  (3 x)  ( x  1)  x  ta có  nên ta có lời giải sau: x   (2 x  1)(2 x  1)  - Điều kiện: x  (*)   x  1  ( x  x  1)   (2 x  1)(2 x  1)  ( 3x  x  1)( 3x  x  1) 0 3x  x  SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 26 Khóa luận tốt nghiệp  (2 x  1)(2 x  1)  GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy (2 x  1) 0 3x  x  1    (2 x  1)  x   0 x  x    - Ta có: x   x   (1) 1  nên (1)  x    x  3x  x  1 - Vậy phương trình có nghiệm x  SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 27 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu đề tài, làm vấn đề sau: - Trình bày cách hệ thống kiến thức phương trình đại số chương trình Đại số lớp 10 (SGK hành) - Đưa phương pháp giải thường sử dụng Tốn Trung học phổ thơng - Đưa ví dụ minh họa cho phương pháp giải Do thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến độc giả để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 28 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Văn Chương (2012), Tuyển chọn giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình khơng mẫu mực, NXB ĐHQGHN [2] Nguyễn Chín Em, Chun đề phương trình hệ phương trình [3] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2015), Đại số 10, Nhà xuất Giáo dục [4] Các đề thi Đại học, Cao đẳng, Olympic, Website Internet SVTH: Đặng Phan Hạnh Nhân Trang 29 ... phương trình bậc nhất, bậc hai Chương Một số phương pháp giải phương trình đại số chương trình Tốn Trung học phổ thơng 2.1 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2 Dạng Phương pháp đặt hai ẩn phụ 2.3 Dạng Phương. .. vững phương trình đại số phương pháp giải cho thân nói riêng sinh viên khoa Tốn trường nói chung, tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Một số phương pháp giải phương trình đại số chương trình Tốn Trung học. .. thống kiến thức phương trình đại số chương trình Đại số lớp 10 (SGK hành) - Đưa phương pháp giải thường sử dụng Toán Trung học phổ thơng - Đưa ví dụ minh họa cho phương pháp giải Do thời gian