Một số phương pháp tính tổng trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HỒNG TRÂM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HỒNG TRÂM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung ĐÀ NẴNG - NĂM 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nguyên lý quy nạp toán học 1.2 Sơ lược dãy số 1.3 Sơ lược cấp số cộng 1.4 Sơ lược cấp số nhân 1.5 Sơ lược nguyên hàm tích phân 1.6 Một số khái niệm sai phân 13 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG .18 2.1 Tính tổng phương pháp quy nạp 18 2.2 Phương pháp khử liên tiếp để tính tổng 22 2.3 Phương pháp tìm đa thức thích hợp để tính tổng 2.4 Phương pháp tính tổng phần 27 31 2.5 Phương pháp tính tổng tích phân xác định 33 2.6 Phương pháp tính tổng dãy truy hồi 39 2.7 Một số phương pháp khác để tính tổng 42 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn tính tổng tốn có tầm quan trọng khơng thể bỏ qua chương trình giáo dục phổ thơng, em học tiếp cận xuyên suốt từ học bậc tiểu học đại học Do đó, có kiến thức đồ sộ len lõi tất khía cạnh tốn học Trong q trình làm việc với dạng tốn, đặc biệt dạng tốn liên quan đến yếu tố tính tổng, chúng tơi nhận thấy tốn liên quan đến yếu tố tính tổng thường tốn khó, phong phú phức tạp Do vậy, việc giải tốn dạng địi hỏi học sinh phải có tư tích cực nối kiến thức lại với việc khai thác toán yếu tố khơng thể thiếu Thực tế cho thấy, tốn tính tổng chủ đề hấp dẫn kỳ thi học sinh giỏi mơn tốn cấp quốc gia, khu vực, quốc tế, Olympic 30/04 Olympic sinh viên thường câu khó đề thi Với lí tốn tính tổng thu hút ý quan tâm bạn học sinh, sinh viên đặc biệt thầy giáo dạy Tốn Với lí hướng dẫn TS Lê Hải Trung, định chọn nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp tính tổng chương trình tốn trung học phổ thơng” Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức về: dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân, nguyên lý quy nạp toán học, số kiến thức sai phân - Nghiên cứu số phương pháp tính tổng Đối tượng nghiên cứu - Một số phương pháp tính tổng chương trình tốn thuộc chương trình trung học phổ thơng Phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết phương pháp tính tổng chương trình tốn trung học phổ thơng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng lý luận, cơng cụ tốn học - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến phương pháp tính tổng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài cung cấp thơng tin cần thiết để áp dụng vào giải tốn tính tổng Đề tài sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, học sinh giáo viên giảng dạy toán CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nguyên lý quy nạp toán học Định nghĩa 1.1 ([4]) Giả sử A (n) mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Nếu hai điều kiện (i) (ii) thỏa mãn A (n) với số tự nhiên n, n ∈ N∗ (i) A (n) n = (ii) Với k ∈ Z, k ≥ 1, giả sử A (n) n = k , A (n) n = k + Phương pháp chứng minh dựa nguyên lý quy nạp toán học gọi phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắt phương pháp quy nạp) Ví dụ 1.1 Chứng minh với moi n ∈ N∗ ta có + + + + (2n − 1) = n2 Khi n = 1, vế trái có số hạng 1, vế phải 12 Vậy hệ thức Giả sử đẳng thức với n = k, k ∈ N∗ , k ≥ 1, nghĩa Sk = + + + + (2k − 1) = k Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + 1, tức Sk+1 = + + + + (2k − 1) + [2 (k + 1) − 1] = (k + 1)2 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: Sk+1 = Sk + [2 (k + 1) − 1] = k + 2k + = (k + 1)2 Vậy hệ thức với n ∈ N∗ 48 = √ 2015 √ 2 +i 2 √ = 21007 − 21007 i So sánh phần thực phần ảo (1 + i)2015 hai cách tính ta được: 2015 2012 = 21007 − C2015 + + C2015 − C2015 + C2015 − C2015 S = C2015 Tương tự ta tính 2013 2015 S=C2015 − C2015 + C2015 − C2015 + + C2015 − C2015 = −22017 49 KẾT LUẬN Luận văn “Một số phương pháp tính tổng chương trình tốn trung học phổ thơng” thu kết sau: 1) Tổng hợp lai kiên thức bản: Nguyên lý quy nạp toán học; Sơ lược dãy số; nhằm tạo sở lý thuyết để phục vụ cho ứng dụng tính tổng chương trình THPT 2) Hệ thống đưa ví dụ minh họa đặc trưng thuộc chuyên đề tính tổng chương trình phổ thơng 3) Sử dụng kiến thức lĩnh vực Tích phân xác định hàm biến thực Sai phân tuyến tính để giải lớp tốn tính tổng dãy số 4) Sáng tạo tốn tính tổng ứng dụng kiến thức trình bày để giải vấn đề Trong suốt thời gian thực luận văn, tác giả cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý kiến từ quý thầy để luận văn hồn thiện 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tài Chung Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề khảo sát dãy số, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội-2014 [2] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam-Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục 2009 [3] Văn Phú Quốc Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn I, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Văn Phú Quốc Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn II, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [5] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục 2001 [6] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định Các phương pháp sai phân, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội – 2005 [7] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2001) Toán cao cấp, Tập Nhà xuất Giáo [8] Lê Hải Trung (2018) Ứng dụng tính chất sai phân để tính tổng dãy truy hồi tuyến tính TC Khoa học Giáo dục - Trường ĐHSP - ĐHĐN (Ngành Tốn, Ngơn ngữ học, Văn học) Số: 30(04) 34 -37 [9] Toán học tuổi trẻ (2015) Số 458 Nhà xuất giáo dục Việt Nam TIẾNG ANH 10] John E Hutchinson (1994) Introduction To Mathematical Analysis Department of Mathematics School of Mathematical Sciences 51 ANU [11] Elias Zakon (2014) Mathematical Analysis.Volume I University of Windsor ... cứu - Một số phương pháp tính tổng chương trình tốn thuộc chương trình trung học phổ thơng Phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết phương pháp tính tổng chương trình tốn trung học phổ thơng Phương pháp. ..ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HỒNG TRÂM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113... 13 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG .18 2.1 Tính tổng phương pháp quy nạp 18 2.2 Phương pháp khử liên tiếp để tính tổng 22 2.3 Phương