Khoá luận tốt nghiệp Sư phạm Toán học: Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

Khoá luận Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số nhằm tìm ra những phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số một cách hiệu quả nhất để góp phần giúp học sinh đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy Toán học nói chung và bộ môn số học nói riêng.

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Hệ phương trình

Cho hai hàm số của n biến x ,x , ,x 1 2 n là f x ,x , ,x 1 2 n  vàg x ,x , ,x 1 2 n 

Tập hợp n số \( x = (x_1, x_2, , x_n) \in \mathbb{R}^n \) đại diện cho một điểm trong không gian n chiều Các hàm số \( f(x) \) và \( g(x) \) được coi là các hàm một biến trong không gian này, với miền xác định lần lượt là \( D_1 \subset \mathbb{R}^n \) và \( D_2 \subset \mathbb{R}^n \) Phương trình \( f(x) = g(x) \) thể hiện sự tương đương giữa hai hàm số Nếu xem \( f \) và \( g \) là hàm của n biến trong không gian \( \mathbb{R}^n \), thì phương trình này trở thành một phương trình n ẩn Miền xác định của phương trình \( f(x) = g(x) \) được xác định bởi tập \( S = D_1 \cap D_2 \).

 Định nghĩa hệ phương trình

Cho m phương trình f x1  g x , f1   2  x g2  x , ,fm  x gm  x , miền xác định lần lượt làS ,S , ,S 1 2 m ( Có thể xem f xi   và g xi  , i=1, ,mlà các hàm n biến, bằng cách xem biến x n như trên)

Trong đó mỗi phương trình được xét trên miền xác định chung của hệ m i i 1

   là kí hiệu của hàm mệnh đề: “Giá trị tại x của hai hàm số trong từng phương trình là bằng nhau”

 Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình

Một giá trị \( a \in S \) của \( x \) khiến cho mọi phương trình trở thành đẳng thức đúng, tức là \( f(a) = g(a) \) với \( i = 1, 2, \ldots, m \), được gọi là một nghiệm của hệ phương trình Khi đó, ta nói hệ phương trình này có nghiệm.

    i i f x g x có tập hợp nghiệm làM i , thì tập hợp nghiệm của hệ là m i i 1

 do đó nếu có một phương trình tích của hệ là vô nghiệm thì hệ là vô nghiệm

 Định nghĩa hai hệ phương trình tương đương Để cho gọn, ta viết P x , P x1   2  là hai hệ phương trình một ẩn hay n ẩn;

P x1   và P x2   được coi là tương đương nếu tập nghiệm M1 của P x1   là tập con của tập nghiệm M2 của P x2  , tức là M1 = M2 Điều này có nghĩa là hai hàm số P x1   và P x2   có cùng tập nghiệm trên S, thể hiện sự tương đồng trong các giá trị mà chúng đạt được.

P x và tập nghiệm M 2 của P x2   là tập con của tập nghiệm M 1 của P x1  

(hay P x1   và P x2   là hệ quả của nhau) Ta kí hiệu bởi: P x1  P x2  hoặc

Trong khuôn khổ chương trình đại số cấp THCS, bài khóa luận này tập trung vào việc nghiên cứu các hệ phương trình phổ biến, chủ yếu là hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn số và ba ẩn số.

10 số, hệ phương trình ba ẩn số bình đẳng, hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2,…

1.1.2.Các định lí về hệ phương trình tương đương

Thật vậy, nếu F 1 0 vô nghiệm thì   I    II vì đều vô nghiệm

Giả sử F 1 có nghiệm và x , x , , x1 2 n   a , a , ,a1 2 n  là nghiệm của nó, nghĩa là a1f a , ,a 2 n  là một đẳng thức đúng

Khi đó, trong đẳng thức F a , a , ,ai  1 2 n 0,i 2, , m việc thay thế số a1bởi f a , ,a1  2 n  sẽ không làm ảnh hưởng gì đến đẳng thức đó cả

Do đó nếu a , a , ,a1 2 n  là nghiệm của hệ   I thì cũng là nghiệm của hệ   II và ngược lại

(n ik có thể là các số, có thể là hàm số của các ẩn, n , n , ,n 22 33 mm 0trong miền xác định của  I )

Các nghiệm của phương trình (I) cũng là nghiệm của phương trình (II), vì nếu F_i = 0 với i = 1, 2, , m, thì các vế trái của các phương trình trong (II) cũng sẽ bằng không Ngược lại, nếu n F_{12} = 0, thì n F_{22} = 0, và vì n_{22} ≠ 0, suy ra F_2 = 0 Tương tự, nếu F_1 = F_2 = 0, thì n F_{13} = n F_{23} = 0, dẫn đến từ dòng thứ ba của hệ phương trình (II) ta có n F_{33} = 0, và vì n_{33} ≠ 0, nên F_3 = 0.

Hệ bất phương trình

1.2.1.Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình một ẩn là mệnh đề chứa biến với các dạng f(x) > g(x), f(x) < g(x), f(x) ≥ g(x), và f(x) ≤ g(x), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức cùng chứa biến x Để bất phương trình có nghĩa, cần xác định điều kiện của biến x, gọi là điều kiện xác định (ĐKXĐ).

Giá trị x 0 thỏa mãn ĐKXĐ làm cho f (x ) 0 g(x ) 0 là một mệnh đề đúng thì x 0 là một nghiệm của bất phương trình f (x)g(x)

1.2.2.Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

 là xét một hệ bất phương trình một ẩn

Giải hệ bất phương trình có nghĩa là tìm tập nghiệm cho nó Để thực hiện việc này, ta cần giải từng bất phương trình riêng lẻ và sau đó lấy giao của các tập nghiệm để tìm ra nghiệm chung.

1.2.3.Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình f(x) < g1(x) và f(x) < g2(x) được xem là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm, ký hiệu là f(x) < g1(x) ⇔ f(x) < g2(x) Định lý cho biết rằng nếu D là điều kiện xác định của bất phương trình f(x) < g(x) và h(x) là biểu thức xác định cho mọi x ∈ D, thì f(x) + h(x) < g(x) + h(x) tương đương với f(x) < g(x).

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số phương pháp chung giải hệ phương trình:

 Phương pháp cộng đại số

 Phương pháp đặt ẩn phụ

 Phương pháp biến đổi thành tích

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số là hệ phương trình có dạng ax by c a 'x b'y c'

1 2 trong đó a,b,c,a',b',c' là các số cho trước, a 2 b 2  0 và a ' 2 b' 2  0

Nghiệm của hệ là cặp số  x, y  thỏa mãn đồng thời hai phương trình

  1 và   2 của hệ Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ

- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế

- Phương pháp cộng đại số

Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình sau: 3x 2y 4

Cách 1: Sử dụng phương pháp thế:

Từ phương trình   2 của hệ, rút y theo x ta có y 5 2x   3

Thay   3 vào phương trình   1 của hệ ta được:

Theo quy tắc thế, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S    2;1  

Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số

Nhân cả hai vế của phương trình   2 với 2 rồi cộng với phương trình   1 vế với vế ta được:  4x  2y    3x  2y   10  4 Hay 7x 14 

Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là S    2;1  

Hệ có chứa một phương trình bậc nhất

Hệ có chứa một phương trình bậc nhất có dạng:

 trong đó f là đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 2

- Rút ẩn bậc nhất theo ẩn thứ hai, rồi thế vào phương trình còn lại

- Dùng các phép biến đổi đồng nhất kếp hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để dưa phương trình về dạng tích đơn giản đã biết cách giải

2.2.3 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình sau xy 3 x 2 2 0 2 2

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là

Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình sau

Kết hợp với phương trình   2 , ta được

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S =   2;5  

Hướng dẫn giải Điều kiện: x y 0 x y 0 x y 0

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2;2 , 32 8 15;8 2 15     .

Hệ phương trình với 3 ẩn số bình đẳng

Hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là một hệ thống trong đó tất cả các phương trình đều có dạng bình đẳng với 3 ẩn số Điều này có nghĩa là khi hoán vị hai ẩn số bất kỳ, các phương trình trong hệ vẫn giữ nguyên không thay đổi.

Phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là đưa về hệ phương trình:

Dùng phép thế hoặc định lí Vi-ét đảo, ta đưa   * về hệ phương trình một ẩn:x 3 ax 2 bx c 0

Giải phương trình trên ta tìm được x 0 thế vào phương trình   1 và   3 có:

Như vậy x, y, z là nghiệm của phương trình 2  0 

Ví dụ 2.5 Giải hệ phương trình sau: 2 2 2

Từ hệ phương trình ta có:

Theo định lý Vi-ét thì x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là S    x; y; z    1; 2; 2   

Hệ phương trình đối xứng loại I

- Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tực các phương trình cũng không thay đổi

- Biến đổi về tổng – tích và đặt S x y

  đưa về hệ mới (II) với ẩn S, P

- Giải hệ (II) tìm được S, P và điều kiện có nghiệm là S 2 4P0

- Tìm nghiệm  x, y  bằng cách giải phương trình X 2 SXP0 hoặc nhẩm nghiệm S, P đơn giản

 Một số biến đổi hằng đẳng thức hay dùng trong dạng này để đưa về tổng – tích:

Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình

, điều kiện S 2 4P0, khi đó hệ đã cho có dạng:

Từ   1 suy ra P 11 S  , thay vào phương trình   2 ta được:

S 2 11 S 3S 28 S 5S 50 0  Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: S5;S 10

* Nếu S 5 thì P 6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2 5t60   t  2 t   3   0 t 2 t 3

* Nếu S 10 thì P 21, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2 10t 210   t+3 t+7 =0   t 3 t 7

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S 2;3 ; 3; 2 ;    3; 7 ;  7; 3 

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y0

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1, 2 , 2; 1    

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là

Hệ phương trình đối xứng loại II

Hệ phương trình đối xứng loại (II):   I  

- Đổi chỗ 2 ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi

Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào ta cũng thu được một nhân tử  x  y  tức có x = y Cụ thể như sau:

- Trừ (1) và (2) theo vế ta được:      

- Biến đổi (3) về phương trình tích:      

- Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)

Ví dụ 2.9 Giải hệ phương trình sau:

Trừ từng vế của phương trình   1 cho phương trình   2 ta được:

Thay xy vào phương trình   1 ta được

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là

Khi hoán đổi vị trí x và y, phương trình (1) trở thành phương trình (2) mà không làm thay đổi hệ, cho thấy đây là hệ đối xứng loại II Bằng cách lấy vế trừ theo vế, chúng ta có thể tìm ra lời giải cho bài toán.

Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0, y0

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 1; 1    

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình có dạng:

Trong đó f x,yi   và g x,yi  , i1, 2 là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc

 Xét riêng y 0 có là nghiệm của hệ phương trình không?

 Nếu y0, chia phương trình đẳng cấp cho y 2 , đặt x t = y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x y = t và kết hợp với phương trình còn lại để tìm ra x và y

Ta thấy phương trình   2 của hệ là phương trình đẳng cấp bậc hai

- Xét trường hợp y = 0 , thay vào hệ ta có:

- Xét trường hợp y 0, chia cả hai vế của phương trình   2 cho y 2 ta có : x 2 x

  Đặt x t = y thay vào ta có: 2t 2 13t 15 0 t = 3 2 t = 5

2  2 , thay vào phương trìn h  1 của hệ ta được: y = 42 y  2 x 3

Với t = 5x = 5y, thay vào phương trình   1 của hệ ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Ví dụ 2.12 Giải hệ phương trình sau 2 2  

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S    0; 0 ,    3;1  

Hệ phương trình không mẫu mực

Dạng hệ phương trình này không có phương pháp giải cụ thể mà ta phải khéo léo đưa nó về các dạng hệ phương trình đã biết cách giải

2.7.1 Phương pháp biến đổi tương đương Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số Cùng với đó ta cần thực hiện các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung…

(Đề thi vào THPT Chuyên – Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2010 – 2011)

Lấy phương trình   1 thế vào phương trình   2 ta được :

 Vậy hệ phương trình có nghiệm là S      1;1 ;  2;1  

Ví dụ 2.14 Giải hệ phương trình:

( Báo Toán học và tuổi trẻ)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x + y > 0 Ta có:

Vì x + y > 0 nên (4) không thỏa mãn

Vậy hệ đã cho có nghiệm là: S = 1; 0 ;   2; 3 

Ví dụ 2.15 Giải các hệ phương trình sau

(Đề thi vào 10 – THPT chuyên – TP Hà Nội 2012 – 2013)

Hướng dẫn giải Điều kiện x 0 Hệ phương trình đã cho tương đương

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S    2;1  

(Đề thi vào 10 THPT chuyên – ĐH Quốc Gia Hà Nội 2006 – 2007)

+) Trường hợp 1 Với x2 y 1 thì yx 1 , ta thay vào phương trình x 2 y 2 5 thu được

          Với x  1, thay vào phương trình yx 1 được y 2

Với x 2, thay vào phương trình y x 1 được y 1

+) Trường hợp 2 Với x2 1 y  thì y 3 x, ta thay vào phương trình x 2 y 2 5 thu được

Với x 2, thay vào phương trình y 3 x ta được y 1

Với x 1, thay vào phương trình y 3 xta được y2

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S  1; 2 , 2;1 , 1; 2     

2.7.2 Phương pháp biến đổi thành tích

Phương pháp phân tích thành tích là một kỹ thuật phổ biến để giải hệ phương trình, trong đó ta biến đổi một trong hai phương trình thành dạng tích các nhân tử hoặc kết hợp hai phương trình thành một hệ quả Quá trình này cho phép tính toán ẩn này dựa vào ẩn kia Để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta thường áp dụng các hằng đẳng thức, tìm nghiệm bằng cách nhẩm, sử dụng lược đồ Hooc-ne, hoặc áp dụng phương pháp hệ số bất định.

Các ví dụ minh họa

( Đề thi vào THPT - Chuyên Toán – Tin – Đại học Sư phạm Hà Nội 2011 –

Hướng dẫn giải Điều kiện: x + y > 0 Phương trình x  y  x 2 y tương đương với phương trình sau:

Thay y = x 2 x  x > 0  phương trình 2 2 2xy x + y + = 1 x + y ta được:

- Với x = 1 , thế vào phương trình yx 2 x đã cho ta được y0

  , do đó phương trình này vô nghiệm

Kết hợp hệ   I với hệ đã cho ta được 2

 Để giải hệ trên, ta đặt S = x + y

Vậy phương trình 2 2 2xy x + y + = 1 x + y trở thành

- Nếu S = 1 thì x + y = 1 y = 1 x Thế vào hệ   I ta được

Ta thấy rằng phương trình này vô nghiệm vì xy0 suy ra

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = 1;0 ,      2;3  

Ví dụ 2.18 Giải hệ phương trình sau 2xy 2 2 6 3x 4y x 4y 4x 12y 3

Hệ phương trình   I đã cho tương đương với

Hệ phương trình đã cho tương đương với

 Thế x = 1 2y  vào phương trình thứ hai ta được

 Thế x = 9 2y vào phương trình thứ hai ta được

Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là:

Hệ phương trình trên có bậc 4, vì vậy chúng ta có thể giảm bậc bằng cách đặt t = x^2, từ đó chuyển đổi về phương trình bậc 2 Để đảm bảo rằng Δ là chính phương, chúng ta sẽ sử dụng hệ số bất định.

Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x 2 ta có

Để đảm bảo rằng Δ là số chính phương, hệ số của y² cần phải là số chính phương Điều này dẫn đến việc giải phương trình nghiệm nguyên a² - 4 = k² Sau khi tìm được các nghiệm của phương trình này, ta sẽ tiến hành kiểm tra từng nghiệm một.

Cộng theo từng vế của các phương trình   1  2 2   ta được

+) Nếu y  5 x 2 thay vào (1) ta có phương trình:

+) Nếu y x 2 7thay vào (1) ta có phương trình

Ta thế vào phương trình y x 2 7được

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là

2.7.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Một số phương trình có thể trở nên đơn giản hơn khi chúng ta nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một biểu thức khác Bằng cách tách và ghép khéo léo, ta có thể làm xuất hiện các đại lượng cần thiết Nhờ vào việc đặt ẩn phụ, chúng ta có thể chuyển đổi một hệ phương trình phức tạp thành một hệ đơn giản và quen thuộc hơn.

Ví dụ 2.20 Giải hệ phương trình:

Dễ thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình

Với y0, chia cả hai vế của   1 và   2 cho y, ta có:

Nhận thấy, phương trình  4 vô nghiệm vì   103 0 nên suy ra hệ vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: S = 1; 2 ;    2; 5 

Ví dụ 2.21 Giải hệ phương trình sau x + y xy = 3 x + 1 + y + 1 = 4

Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1; y 1; xy0

  I Đặt x + y = a, xy = b ; a  2, b0, a 2 4b 2 Hệ phương trình   I trở thành:

Theo cách đặt ta được: x + y = 6 x + y = 6 xy = 9 xy = 3

Vậy x, y là nghiệm của phương trình t 2 6t + 9 = 0 t = 3 Suy ra hệ phương trình có nghiệm x = y = 3

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S =   3;3  

Ví dụ 2.22 Giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải Điều kiện y0, đặt u x y v xy

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S      2; 1 , 2;1    

Phương pháp này có thể được áp dụng khi số lượng phương trình trong hệ nhỏ hơn số ẩn Ngoài ra, ngay cả khi số hệ số của phương trình bằng số ẩn, phương pháp này vẫn có thể thực hiện được.

Trong phương pháp này, chúng ta áp dụng các tính chất của căn thức và giá trị tuyệt đối, cùng với các bất đẳng thức phổ biến như bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovsky.

Ví dụ 2.23 Giải hệ phương trình nghiệm dương

Xét vế trái của phương trình   2 ta có:

VT = 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

VT 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz 1 + 3 xyz + 3 xyz + xyz = 1 + xyz

   Để phương trình   2 xảy ra  dấu " " xảy ra z = y = x = 1

Thay z = y = x = 1 vào phương trình   1 thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: S = 1;1;1    

(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 379) Hướng dẫn giải

Cộng các vế của phương trình   1 và   2 , ta có:

Tương tự, ta cũng có:

Vì vế phải của phương trình   * : x + y 2 2   0 x, y  nên VT *    0

+) 0VT xy + xy =2 xy +)VP = x + y 2 2 2 xy 2xy Vậy để phương trình   * xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra x = y = 1

 cũng là nghiệm của hệ phương trình

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: S =  0;0 ; 1;1    

Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x; y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2

Xét phương trình   2 là phương trình bậc hai theo ẩn x:

2 2 x + x y 3 + y 4y + 4 = 0 Khi đó, 1= y 3 2 4 y 2  2 Để phương trình có nghiệm 1 7

      3 Tương tự, xét phương trình   2 là nghiệm bậc hai theo ẩn y ta có:

Thử lại, với 4 7 x = ; y 3 3 thay vào hệ đã cho không thấy thỏa mãn Suy ra, hệ đã cho vô nghiệm

Hướng dẫn giải Điều kiện:  1 x i 1,i 1,2, ,2016

+) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số

47 phương trình   1 của hệ đã cho ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

+) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số

 Kết hợp với phương trình

  2 của hệ đã cho ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Từ   3 và   5 ta suy ra

Vậy dấu đẳng thức xảy ra ở cả hai bất phương trình   3 và   5 dẫn đến

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn là khái niệm mới mẻ đối với học sinh cấp Trung học Cơ sở, khi các em chỉ mới làm quen với bất phương trình và hệ bất phương trình Do đó, bài viết này sẽ tập trung vào việc nghiên cứu hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn để giúp các em hiểu rõ hơn về chủ đề này.

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng

- Cách 1: Tìm giao các tập hợp nghiệm của bất phương trình của hệ

- Cách 2: Sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất f x = ax + b   a  0 

a ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

2.8.3 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.27 Giải hệ bất phương trình sau 3 x 0 x + 1 0

Giải từng bất phương trình ta có:

3 x  0 3 x x + 1 0  x 1 Giao của hai tập hợp trên là  1 x 3

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là 1 x 3

Ví dụ 2.28 Giải hệ bất phương trình sau

Giải từng bất phương trình ta có

Hệ đã cho tương tương với x < 22 7 x < 7 4

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiem là 7 x <

Ví dụ 2.29 Giải bất phương trình sau x 1 2x 3 3x < x + 5

Hệ phương trình đã cho tương tương x 2 x < 5 2 x 11 5

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là 11 5 x <

2.8.4 Các bài tập tự luyện

Giải các hệ bất phương trình sau:

MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI

VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI

Bài toán 1 Giải và biện luận hệ phương trình

Cho hệ phương trình với tham số m mx + y = 2m x + my = m + 1

Hướng dẫn giải mx + y = 2m x + my = m + 1

+) Nếu m  1 phương trình   * có nghiệm duy nhất: 1 x = 1+ m nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 1+ m y = m 1+m

+) Nếu m = 1 phương trình   * vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm: x y = mx + 2

+) Nếu m = 1 phương trình   * vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm

+) Với m  1 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 1

+) Với m = 1hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm: x y = mx + 2

+) Với m = 1 hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Các bài toán tương tự

Bài toán 1.1 Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx 2y = 2m

Một số đề thi vào lớp 10 THPT ở các trường chuyên

(Đề thi vào 10 chuyên THPT, ĐH Khoa học Tự nhiên Hà Nội vòng 1, năm

Do đó hệ đã cho tương đương với

 Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là

(Đề thi tuyển sinh vào 10 Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu năm học 2018-2019)

 Giải phương trình   ** ta được x y = 1 hoặc xy = 7

+) Với xy = 1 thế vào   * ta được:

+) Với xy = 7 thế vào   * ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

(Đề thi vào 10 Toán chuyên Sở giáo dục đào tạo Hà Nội, năm 2018-2019)

Cộng hai vế của phương trình thứ nhất với x 2 , ta được:

+) Với y = 4x 1 , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

Hayx x 1 x     7 = 0  Từ đó, ta có x = 0 ( tương ứng, y = 1 ), hoặc x = 1 ( tương ứng, y = 3 ), hoặc x = 7 (tương ứng, y = 27 )

+) Với y = 1 2x , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta có:

Hayx x + 1 x + 3 = 0   Từ đây, ta tìm được các nghiệm  x; y  của hệ trong trường hợp này là  0; 1 ,    1; 3  và   3; 7 

Tóm lại, hệ phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm  x; y  là

(Đề thi vào 10 môn Toán chuyên TP.HCM, năm 2018 – 2019)

Lấy phương trình   2 trừ đi phương trình   1 ta được:

Kết hợp   1 và   * ta được

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 0;1 , 1;0 ,     2; 3  

(Đề khảo sát chất lượng toán 9 trường chuyên Hà Nội Amsterdam, năm 2018 – 2019)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0; x 1; x + y0

Ta viết lại hệ phương trình thành

Cộng 2 phương trình của hệ ta có

Suy ra x = 2 x = 4 ( Thỏa mãn) hoặc 1 x 2

Thay x = 4 vào ta tìm được y = 0

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 4;0    

(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bình Định năm 2018 - 2019)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x0

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S    1;0  

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Toán Tin – TP Hà Nội, năm 2018 – 2019)

Trừ tương đương vế với vế hai phương trình của hệ ta được

    +) Với x = 0, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được y 3 1 hay y = 1 +) Với y = 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 3 1 hay x = 1

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S    1;0 , 0;1    

(Đề thi vào 10 chuyên Toán Trường THPT Lê Hồng Phong TP.HCM năm học

Hướng dẫn giải Điều kiện: xy0

Lấy phương trình   1 cộng phương trình   2 ta được:

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là 1 5 3

(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Phan Bội Châu, năm 2017 – 2018)

Trừ theo vế pt   1 và   2 ta được:

+) Với y = x + 2 thay vào phương trình   1 , ta được: x2 8x 9 = 0

 +) Với y = 2 x thay vào phương trình   1 , ta được: x = 92

 Vậy hệ đã cho có các nghiệm 1;1 , 9;11 , 3; 1 ,      3;5

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Quốc học Thừa Thiên Huế, năm 2017 – 2018)

Lấy     1 - 3 , vế theo vế ta được: x + y 3 3 3x 2 6y + 3x + 12y = 9 2

Thay x = 3 - y vào phương trình   2 ta được:

 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm S    1;2 , 2;1    

3.2.11 Giải hệ phương trình x + y + xy = 3 x + y = 2

(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Toán, Tin Thành phố Hà Nội, năm

Bình phương 2 vế của phương trình   2 ta được

Khi đó ta có hệ phương trình mới gồm hai phương trình   1 và   3 là: a + b = 32 a + 2b = 4

Khi đó hai số x; y là nghiệm của phương trình t2 2t + 1 = 0   t 1 = 0   2  t = 1 x = y = 1

 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y = 1;1  

(Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh, vòng 2, năm 2017 – 2018)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 6 y 3

+) Với x = 2 thay vào phương trình (2) ta được:

+) Với y = x + 2 Thay vào phương trình (2) ta được:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x2y 4

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm làS    2;4  

(Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Lâm Đồng, vòng 2, năm 2017 –

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y0

Phương trình đầu tương đương với:

            +) Với xy 1, ta có 2x 2 xy 1 2x 2  0 x0(L)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S   x; y       1;1 ,   1; 1  

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thành phố Hà Nội, năm 2016 – 2017)

Do đó, từ   I suy ra:  

Thay vào, chỉ có  x; y    2;2  đúng

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S = 2;2    

(Đề thi vào 10 chuyên Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế, năm 2015 – 2016)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1; y 1

  , hệ phương trình đã cho trở thành

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S    1;0 , 0;1    

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước 2015 – 2016)

Hướng dẫn giải Điều kiện:

  y x   Thay y = x vào phương trình (2) ta được

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S   x; y      1;1 

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Quảng Nam, năm 2015 – 2016)

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

 Suy ra  x 2  4x  và  4x  y  là 2 nghiệm của phương trình

    Vậy hệ đã cho tương đương với

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Hải Dương, năm 2015 – 2016)

Hướng dẫn giải Điều kiện: y2x 1 0;4x   y 5 0; x2y 2 0; x 1

TH2: x 0; y1đưa phương trình thứ nhất về dạng tích ta được

Thay y2x vào phương trình thứ hai ta được: x2 x 3 3x7 2x

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định 2015 –

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2 y 0

   Thay x2y vào phương trình thứ hai ta được phương trình:

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S     1;3 

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định, năm 2015 –

Với y = 4, thay vào phương trình (2) ta được

      2       Đặt t 3 x 2 2x, phương trình trở thành

Khóa luận đã tổng hợp kiến thức cơ bản về khái niệm và phương pháp giải các dạng hệ phương trình, hệ bất phương trình, đặc biệt chú trọng vào chương trình THCS Nội dung này không chỉ cung cấp kiến thức hữu ích mà còn kích thích niềm đam mê và hứng thú học tập, từ đó nâng cao tư duy sáng tạo cho học sinh.

Khóa luận này vẫn còn nhiều hạn chế do thời gian nghiên cứu có hạn và tài liệu tham khảo chưa đầy đủ Tuy nhiên, đây là những trải nghiệm ban đầu quý giá trong nghiên cứu khoa học, giúp tôi phát triển những kỹ năng cơ bản cần thiết khi nghiên cứu các đề tài khoa học, đặc biệt là trong lĩnh vực Toán học.

Em rất mong nhận được sự góp ý và chỉ dẫn quý báu từ các thầy cô giáo và bạn sinh viên để hoàn thiện đề tài của mình Xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Phạm Xuân Hinh đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong trường Đại học Thủ đô Hà Nội, đặc biệt là bộ môn Toán, đã hỗ trợ em rất nhiều Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè và người thân đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận.

Em xin chân thành cảm ơn!

Tiêu đề	Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Đại Số
Tác giả	Đặng Thị Thơm
Người hướng dẫn	T.S Phạm Xuân Hinh
Trường học	Đại học Thủ đô Hà Nội
Chuyên ngành	Sư phạm Toán học
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2019
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	558,99 KB