Khoá luận tốt nghiệp Sư phạm Toán học: Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

Khoá luận Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số nhằm tìm ra những phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số một cách hiệu quả nhất để góp phần giúp học sinh đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy Toán học nói chung và bộ môn số học nói riêng.

TRƯỜNG ĐH THỦ ĐÔ HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG THỊ THƠM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Sư phạm Toán học Hà Nội, tháng năm 2019 TRƯỜNG ĐH THỦ ĐÔ HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG THỊ THƠM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Sư phạm Toán học GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: T.S Phạm Xuân Hinh Hà Nội, tháng năm 2019 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Thủ đô Hà Nội ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Có hồn thành khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Phạm Xuân Hinh – người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, truyền thụ cho em kiến thức bổ ích, kinh nghhiệm quý báu suốt trình thực đề tài Do thời gian trình độ có hạn nên khóa luận cịn nhiều hạn chế Vì vậy, em mong nhận đóng góp bảo thầy giáo bạn sinh viên để em hồn thiện đề tài Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Đặng Thị Thơm MỤC LỤC TRANG LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG – CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1.Hệ phương trình 1.1.1.Các định nghĩa 1.1.2.Các định lí hệ phương trình tương đương 10 1.2.Hệ bất phương trình 11 1.2.1.Định nghĩa bất phương trình bậc ẩn 11 1.2.2.Hệ bất phương trình bậc ẩn 12 1.2.3.Bất phương trình tương đương 12 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 14 2.1.Hệ phương trình bậc hai ẩn số 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Phương pháp giải 14 2.1.3 Ví dụ minh họa 14 2.2 Hệ có chứa phương trình bậc 15 2.2.1 Định nghĩa 15 2.2.2 Phương pháp giải 16 2.2.3 Các ví dụ minh họa 16 2.3 Hệ phương trình với ẩn số bình đẳng 18 2.3.1 Định nghĩa 18 2.3.2 Phương pháp giải 18 2.3.3 Ví dụ minh họa 19 2.4 Hệ phương trình đối xứng loại I 20 2.4.1 Định nghĩa 20 2.4.2 Nhận dạng 20 2.4.3 Phương pháp giải 20 2.4.4 Ví dụ minh họa 21 2.5 Hệ phương trình đối xứng loại II 24 2.5.1 Định nghĩa 24 2.5.2 Nhận dạng 24 2.5.3 Phương pháp giải 24 2.5.4 Ví dụ minh họa 24 2.6 Hệ phương trình đẳng cấp 26 2.6.1 Định nghĩa 26 2.6.2 Phương pháp giải 27 2.6.3 Ví dụ minh họa 27 2.7 Hệ phương trình khơng mẫu mực 29 2.7.1 Phương pháp biến đổi tương đương 29 2.7.2 Phương pháp biến đổi thành tích 33 2.7.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 40 2.7.4 Phương pháp đánh giá 43 2.8 Hệ bất phương trình bậc ẩn 48 2.8.2 Định nghĩa 48 2.8.2 Phương pháp giải 48 2.8.3 Các ví dụ minh họa 49 2.8.4 Các tập tự luyện 51 CHƯƠNG – MỘT SỐ CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI 52 Bài toán Giải biện luận hệ phương trình 52 Một số đề thi vào lớp 10 THPT trường chuyên 53 PHẦN KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mơn tốn mơn khoa học hệ thống giáo dục phổ thơng Nó phát triển lực sáng tạo khả tư logic cho học sinh, rèn luyện kĩ phân tích tổng hợp, rèn tính cẩn thận, kiên trì, tính xác, tính chủ động, vận dụng sáng tạo kiến thức vào thực tế, giúp ích nhiều cho sống Song mơn Tốn mơn học khó với nhiều học sinh Mặc dù vậy, người học tìm thấy điều lý thú có say mê, phương pháp học đúng, nghiên cứu môn học cách nghiêm túc Trong chương trình Tốn bậc THCS, nội dung chuyên đề hệ phương trình nằm phần đại số lớp Đây nội dung quan trọng bắt buộc học sinh THCS phải nắm bắt có kĩ giải hệ phương trình cách thành thạo Mặt khác, chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS vấn đề đề cập thường xuyên, mở rộng kĩ giải hệ bất phương trình đại số, đặc biệt học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi vấn đề quan trọng mà bắt buộc học sinh phải vượt qua Với tất lý trên, định chọn đề tài “Một số phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình đại số” Mục đích nghiên cứu - Trên sở kiến thức học trường Đại học Thủ đô Hà Nội, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách tập thực tiễn học tập học sinh, nghiên cứu đề tài nhằm tìm phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình đại số cách hiệu để góp phần giúp học sinh đào sâu rèn luyện lực tư Tốn học nói chung mơn số học nói riêng - Xây dựng hệ thống tập ứng dụng nội dung giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tập chung nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số tốn liên quan đến hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số Phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số vấn đề giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống kiến thức lý thuyết hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số chương trình đại số lớp - Sưu tầm phân loại số dạng hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số phương pháp giải dạng - Đề xuất hệ thống số toán học sinh giỏi đề thi vào 10 Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này, kết hợp sưu tầm tài liệu sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu lý luận; - Phương pháp phân tích; - Phương pháp tổng hợp; - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số thực : Mọi : Phép kéo theo, phương trình hệ : Phép tương đương (khi khi), phương trình tương đương TM: Thỏa mãn L: Loại VT: Vế trái VP: Vế phải THCS: Trung học sở PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG – CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1.Hệ phương trình 1.1.1.Các định nghĩa  Định nghĩa phương trình Cho hai hàm số n biến x1 ,x , ,x n f  x1 ,x , ,x n  g  x1 ,x , ,x n  Ta gọi tập hợp n số x =  x1 ,x , ,x n    n điểm không gian n chiều  n Khi đó, hàm số f  x1 ,x , ,x n  g  x1 ,x , ,x n  xem hàm biến f  x  , g  x   n Giả sử f  x  có D1   n , g  x  có miền xác định D2   n Ta định nghĩa phương trình: f  x  = g  x 1 kí hiệu hàm mệnh đề “giá trị hai hàm số f  x  g  x  nhau” Gọi x ẩn phương trình 1 ; coi f g hàm n biến x1 ,x , ,x n không gian  1 phương trình n ẩn x1 ,x , ,x n Tập hợp giá trị thừa nhận đối số gọi miền xác định (tập xác định) phương trình 1 , tập S = D1  D2  Định nghĩa hệ phương trình Cho m phương trình f1  x   g1  x  ,f  x   g  x  , ,f m  x   g m  x  , miền xác định S1 ,S2 , ,Sm ( Có thể xem fi  x  gi  x  , i=1, ,m hàm n biến, cách xem biến x   n trên) f1  x   g1  x   f  x   g  x  Hệ m phương trình:   f  x   g  x  m m  *  1     Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S   2;  ,  ;     10    6x + 4y + =  x + 12 3.2.9 Giải hệ phương trình  6y + 4x  =  y  1 1  2 (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Phan Bội Châu, năm 2017 – 2018) Hướng dẫn giải Trừ theo vế pt 1   ta được: 6x + 4y +   6y + 4x   =  x + 1   y  1   x  y +  x + y   = x  y + =  x + y  = y = x +  y =  x +) Với y = x + thay vào phương trình 1 , ta được:  x  8x  = x =   y =1  x =    y = 11 +) Với y =  x thay vào phương trình 1 , ta được:  x2 = 62 x =  y =   x =     y = Vậy hệ cho có nghiệm  1;1 ,  9;11 ,  3; 1 ,  3;5  x + y3 = 3.2.10.Giải hệ phương trình:  2  x + 2y = x + 4y 1  2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Quốc học Thừa Thiên Huế, năm 2017 – 2018) Hướng dẫn giải Ta có:    3x + 6y2  3x  12y =  3x  3x + 6y2  12y =  3 Lấy 1 -  3 , vế theo vế ta được: x + y3  3x  6y + 3x + 12y =   x  3x + 3x  1 +  y3  6y + 12y  8 = 3   x  1 +  y   =  x 1 =  y x+y=3  x = 3 y Thay x = - y vào phương trình   ta được: 3  y  + 2y + y   4y = 63  3y2  9y + =  y =  x =   y =    x = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm S  1;2  ,  2;1  x + y + xy = 3.2.11 Giải hệ phương trình   x + y = 1  2 (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Toán, Tin Thành phố Hà Nội, năm 2017 – 2018) Hướng dẫn giải Bình phương vế phương trình   ta  x + y  =  x + y + xy =  3  x + y = a  Đặt   xy = b  Khi ta có hệ phương trình gồm hai phương trình 1  3 là: a + b = a + b = b  2b +  =    a + 2b = a =  2b +   a =  2b b =  TM   a =  2.1 =  TM  64  x + y = x + y =    xy =  xy = Khi hai số x; y nghiệm phương trình t  2t + =   t  1 =  t = x=y=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  = 1;1  x + 2y = xy + 3.2.12.Giải hệ phương trình   x  x +  x  x =  y  3 y  1 2 (Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh, vòng 2, năm 2017 – 2018) Hướng dẫn giải x  Điều kiện:  y  1  x   y  x      x   x   y   x   y  x  +) Với x = thay vào phương trình (2) ta được: 1  y  3 3   y  3   y  +) Với y = x + Thay vào phương trình (2) ta được: x  x    x  1 x   x  x 65 Ta có: VP   x  1 x   x  x  1 6x   x 1 x2   x   x  x   VT Dấu xảy x   y  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S   2;4  1  x  x = y  y 3.2.13 Giải hệ phương trình  2x  xy =  (Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Lâm Đồng, vòng 2, năm 2017 – 2018) Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0, y  Phương trình đầu tương đương với: xy  x  y  1 yx   xy   x  y  1      x y xy  xy   xy  1 +) Với x = y, ta có x  2x  xy   2x  xy   2x  x     x  1 +) Với xy  1 , ta có 2x  xy   2x   x  0(L) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S   x; y   1;1 ,  1; 1 66  x + 2y  4x = 3.2.14 Giải hệ phương trình  2 4x  4xy + y  2y + = (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thành phố Hà Nội, năm 2016 – 2017) Hướng dẫn giải Hệ phương trình cho tương đương với  x  2 =  2y +  x   =  2y +     I  2 2  2x  y   2y + =  2x  y    x      2  Vì 2x  y2 ;  x    0x,y nên 2x  y 2    x  2  0x,y  x   = x  x =  Do đó, từ  I  suy ra:      2  y  2 2x  y   2x  y  = Thay vào, có  x; y    2;2  Vậy tập nghiệm hệ phương trình là: S =  2;2   x + y + x + y =  x + 1 y + 1  3.2.15 Giải hệ phương trình  x 2  y 2   + x +  = y +      1 2 (Đề thi vào 10 chuyên Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế, năm 2015 – 2016) Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1; y  1 67 1  x  x  1  y  y  1   x + 1 y + 1  Đặt a  x y  1 y 1 x 1 x y ;b  , hệ phương trình cho trở thành y 1 x 1  a   x    a  b  a  b    b  y       a  x  a  b  ab     b   y  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S  1;0  ,  0;1  x  = x + xy  2y  y 3.2.16 Giải hệ phương trình  x  x +  y + x + 3x =     1 2 (Đề thi vào 10 THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước 2015 – 2016) Hướng dẫn giải x  y  x   Điều kiện:   y  x    x  3x  1   yx    x  y  x  2y    x  y   x  2y  0 y x y x    x  y x  2y  y x  0, x, y  Thay y = x vào phương trình (2) ta 68    x   x  x  3x    x  3x  x3  x   x  3x  x   x  x  x  x   x      x 1 1  x 1   x    x  2(L)    x  y 1 x  1(TM)   x  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S   x; y   1;1  x  x   4x  y   3.2.17 Giải hệ phương trình   x  8x  y  5 (Đề thi vào 10 THPT chuyên Quảng Nam, năm 2015 – 2016) Hướng dẫn giải Hệ phương trình cho tương đương với hệ  x  4x   4x  y      x  4x    4x  y   5   Suy x  4x  4x  y  nghiệm phương trình  t  2 t  5t     t  3 t       t  3 Vậy hệ cho tương đương với  x  4x  2  x  4x  3  I    II    4x  y  3  4x  y  2 69  x  2   y   2 Giải (I): x  4x  2   x       x  2   y    x  1  y  Giải (II): x  4x  3   x  1 x  3     x  3  y  10 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S   x; y    2     2;5  , 2  2;5  ,  1;2  ,  3;10  3.2.18 Giải hệ phương trình  2x  y + xy  5x + y + = y  2x +   3x   x  y  = 4x + y +  x + 2y  (Đề thi vào 10 THPT chuyên Hải Dương, năm 2015 – 2016) Hướng dẫn giải Điều kiện: y  2x   0;4x  y   0; x  2y   0; x   y  2x   x  0    TH1:   KTM   3x  y    10     TH2: x  0; y  đưa phương trình thứ dạng tích ta  x  y   2x  y  1  xy2 y  2x    3x     x  y  2   y  2x  1   y  2x    3x  Do y  2x   70 nên  y  2x    x  y   y  2x    3x Thay y   x vào phương trình thứ hai ta được: x  x   3x    x  x  x   3x      x 3x  2x   x   x  1   3x     x     x  2   1 x   3x     x  Do x  nên  1 x  3x     x Vậy x    x  2  y  4(TM)  x   x  y  3  y 3.2.19 Giải hệ phương trình   x   x  3 2x  y    x  16 1  2 (Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định 2015 – 2016) Hướng dẫn giải  x  2 Điều kiện:  y  71 1  x   x  y  2  x   y   x2 x2     x2  y  x2 y 0      x2 y x  x   y  1       0x 2;y0     x2 y 0  x2y Thay x   y vào phương trình thứ hai ta phương trình: x   x  3  2x   x    5  x  16  x   x    x  16  2x  5x    x  1(TM)  y   7 x  (L)  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S  1;3  y  x  y  x    x  4x 3.2.20 Giải hệ phương trình   x  y    x  y  62 1 2 (Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định, năm 2015 – 2016) Hướng dẫn giải 1   y  x  y    x  y  x   x  x   72   y  x  y    x  y     y   y  2x   y    y  2x Với y = 4, thay vào phương trình (2) ta  2  x    x2    x  2x  x  2x   Đặt t  x  2x , phương trình trở thành t  2t     t  1  t  t  3  t    t  t   0(VN) Với t   x  2x   x   +) x    y   2 +) x    y   2 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm  118    118   S   x; y    ;4  ,  ;4  ,  2;2  2 ,  2;2  2       73   PHẦN KẾT LUẬN Khóa luận hệ thống hóa kiến thức khái niệm phương pháp giải số dạng hệ phương trình, hệ bất phương trình… đặc biệt kiến thức liên quan chặt chẽ đến chương trình THCS kiến thức hữu ích mà bước đầu tạo niềm đam mê, hứng thú học tập, nâng cao tư duy, sáng tạo cho em Trong khn khổ thời gian có hạn tài liệu tham khảo chưa thật đầy đủ nên khóa luận cịn tồn nhiều hạn chế Đây trải nghiệm ban đầu nghiên cứu khoa học, giúp em hình thành kĩ nghiên cứu đề tài khoa học nói chung đề tài Tốn nói riêng Vì vậy, em mong nhận đóng góp ý dẫn quý báu thầy cô giáo, bạn sinh viên giúp em rút kinh nghiệm hoàn thành tốt đề tài Để có hồn thiện khóa luận này, lần em xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Phạm Xuân Hinh, người tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em, suốt trình làm đề tài Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Thủ đô Hà Nội, đặc biệt thầy mơn Tốn trường giúp đỡ em nhiều q trình làm khóa luận Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè người thân động viên tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa, sách tập Toán 7, 8, 9, NXB Giáo dục, 2016  2 Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển Toán – Tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam, 2014 3 Phân Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, Phan Văn Hạp, Phạm Văn Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê Đình Thịnh, Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập 1, 3, NXB Giáo dục, 1999  4 Phan Đức Chính, Các giảng luyện thi mơn Toán tập một, hai, ba, NXB Giáo dục, 2009 5 Nguyễn Ngọc Đạm, Tạ Hữu Phơ, Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào 10 chun mơn Tốn, NXB Hà Nội, 2015 6 Trần Văn Hạo (chủ biên), Chuyên đề luyện thi vào Đại học Đại số, NXB Giáo dục, 2010   Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải tốn, NXB Gióa dục, 2010 8 Phan huy Khải, Nguyễn Đạo Phương, Các phương pháp giải toán sơ cấp Đại số 10, NXB Hà Nội, 2010 9 Trần Văn Kỷ, Các phương pháp giải toán sơ cấp Đại số 10, NXB Hà Nội, 2010 10 Võ Đại Mau, Phương pháp giải toán nâng cao Đại số 10 – 279 toán chọn lọc, NXB Trẻ, 2010 75 11 Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục, 2010 12 Trần Phương, Lê Hồng Đức, tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn Đại số sơ cấp, NXB Hà Nội, 2012 13 Nguyễn Vũ Thanh, Toán nâng cao đại số 9, NXB Đà Nẵng, 2010 14 Tôn Thân (chủ biên), Các dạng toán phương pháp giải Toán tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010 76 ... MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số phương pháp chung giải hệ phương trình:  Phương pháp  Phương pháp cộng đại số  Phương pháp đặt ẩn phụ  Phương. .. phương trình đại số chương trình đại số lớp - Sưu tầm phân loại số dạng hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số phương pháp giải dạng - Đề xuất hệ thống số toán học sinh giỏi đề thi vào 10 Phương. .. cứu Khóa luận tập chung nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số tốn liên quan đến hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số Phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập