Nghiên cứu đề tài Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi số học 6 nhằm tìm ra những phương pháp giải các chuyên đề, nội dung một cách hiệu quả nhất để góp phần giúp học sinh đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy Toán học nói chung và bộ môn số học nói riêng.
CƠ SỞ LÍ LUẬN
PHÉP CHIA HẾT
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: abqr với 0 r b
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
Khi a chia cho b có thể xảy ra b số dư: r0;1; 2; ; b Đặc biệt: r0 thì a bq Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết cho a
Vậy a b Có số nguyên q sao cho a bq
5 Nếu a b và c bất kì có ac b
12 Nếu a b , c b và m, n bất kì có: amcn b
14 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
1.1.3 Một số dấu hiệu chia hết
Dấu hiệu chia hết cho 2
Dấu hiệu chia hết cho 5
Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc9)
Nhận xét: Dư trong phép chia của một số cho 3 (hoặc 9) cũng chính là dư trong phép chia tổng các chữ số của số đó cho 3 (hoặc 9)
Dấu hiệu chia hết cho 11
Dấu hiệu chia hết cho 19
Dấu hiệu chia hết cho 27 (hoặc 37)
Dấu hiệu chia hết cho 7 (hoặc 13)
ƯCLN, BCNN
1.2.1 Ước chung lớn nhất (ƯCLN)
Ước: Cho a, b là hai số nguyên Nếu a b thì b được gọi là ước của a
Ước chung: Mỗi số nguyên được goi là ước chung của nhiều số
1 2 n a ,a , ,a A khi đó là ước của mỗi số đó
Ước chung lớn nhất Ước chung lớn nhất của các số nguyên a , a , , a 1 2 n là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng
+ Với kZ, k 0 ta có: (ka , ka , , ka ) 1 2 n k(a , a , , a ) 1 2 n
1.2.2 Bội chung nhỏ nhất (BCNN)
Bội: Nếu một số a chia hết cho một số b thì a được gọi là bội của b
Bội chung: Một số nguyên được gọi là bôi chung của các số
1 2 n a , a , , a khi nó là bội của mỗi số đó
Bội chung nhỏ nhất: Mỗi bội chung m0của các số a , a , , a 1 2 n gọi là bội chung nhỏ nhất của các số đó nếu mọi bôi chung của các số
1 2 n a , a , , a đều là bội chung của m
+ Nếu các số a , a , , a 1 2 n nguyên tố sánh đôi thì
+ Nếu số nguyên b là bội chung của các số a , a , , a 1 2 n nguyên tố sánh đôi thì b là bội của tích a a a 1 2 n
DẠNG TOÁN “ SUY LUẬN LOGIC ”
1.3.1 Vận dụng nguyên lý Dirchlet
Nguyên lý Dirichlet, một định lý dễ dàng chứng minh bằng phương pháp phản chứng, đã được nhà toán học Đức Dirichlet áp dụng để chứng minh nhiều định lý quan trọng trong toán học.
Nguyên tắc Dirichlet được diễn đạt một cách đơn giản như sau: Khi có 9 con thỏ được nhốt vào 4 cái chuồng, thì ít nhất một trong các chuồng sẽ chứa tối thiểu 3 con thỏ Nguyên tắc này có thể được diễn đạt theo nhiều cách khác nhau.
Dạng 1: Nếu có một ánh xạ từ tập hợp M có n + 1 phần tử vào tập hợp N có n phần tử ít nhất cũng có hai phần tử của tập hợp M có cùng một ảnh là một phần tử của tập hợp M có cùng một ảnh là một phần tư của tập hợp N qua ánh xạ đó:
Dạng 2: Nếu tập hợp E gồm n tập hợp con gồm n phần tử và được phân ra thành n tập hợp con đôi một không vuông góc với nhau mà N > nk thì có ít nhất một tập hợp con chứa nhiều hơn một phần tử
Dạng 3: Minh họa bằng hình ảnh
Nếu nhốt N con thỏ vào n chuồng mà N > nk thì có ít nhất một chuồng dốt nhiều hơn k con thỏ
Phương pháp lập bảng là một công cụ hữu ích để giải các bài toán liên quan đến hai nhóm đối tượng, chẳng hạn như tên người và nghề nghiệp, vận động viên và giải thưởng, hoặc tên sách và màu bìa Để giải quyết bài toán, chúng ta cần tạo một bảng với các hàng và cột, trong đó các cột đại diện cho nhóm đối tượng thứ nhất và các hàng đại diện cho nhóm đối tượng thứ hai.
Dựa vào các điều kiện trong đề bài, chúng ta tiến hành loại bỏ dần các ô giao giữa mỗi hàng và mỗi cột bằng cách ghi số 0 Các ô còn lại, không bị loại bỏ, chính là kết quả cuối cùng của bài toán.
1.3.3 Phương pháp giải ngược từ cuối
Một số bài toán cho phép tìm số chưa biết thông qua việc thực hiện liên tiếp các phép tính đã cho Khi áp dụng phương pháp này, kết quả của mỗi phép tính sẽ trở thành một phần đã biết cho phép tính tiếp theo Quá trình này tiếp tục cho đến khi tìm ra số cần tìm Phương pháp này được gọi là tính ngược từ cuối.
DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Các công thức toán chuyển động:
+ Tính vận tốc (km/giờ): v = S : t
Tính thời gian đi: TG đi = TG đến – TG khởi hành – TG nghỉ (nếu có)
Tính thời gian khởi hành: TG khởi hành = TG đến – TG đi a) Cùng chiều Đi cùng lúc, đuổi kịp nhau
- Tìm thời gian đi đuổi kịp nhau
TG đi đuổi kịp nhau bằng = Khoảng cách hai xe : Hiệu vận tốc
- Chỗ kịp đuổi nhau cách điểm khởi hành = Vận tốc TG đi đuôi kịp nhau b) Cùng chiều đi, không cùng lúc, đuổi kịp nhau
- Tìm thời gian xe (người) đi trước (nếu có)
- Tìm quãng đường xe đi trước: S = v t
- Tìm TG đi đuổi kịp nhau = Quãng đường xe (người) đi trước: Hiệu vận tốc
- Ô tô đuổi kịp xe máy lúc = Thời điểm khởi hành của ô tô + TG đi đuổi kịp nhau
*Lưu ý: TG xe đi trước = TG xe ô tô khởi hành – TG xe máy khởi hành
13 c) Ngược chiều, đi cùng lúc, đi lại gặp nhau
- Tìm TG để đi gặp nhau:
TG đi để gặp nhau = S khoảng cách 2 xe : Tổng vận tốc
- Ô tô gặp xe máy lúc:
Thời điểm khởi hành của ô tô (xe máy) + TG đi gặp nhau
- Chỗ gặp nhau cách điểm khởi hành = Vận tốc + TG đi gặp nhau
*Lưu ý: TG xe đi trước = TG xe ô tô khởi hành – TG xe máy khởi hành d) Ngược chiều, đi trước, đi lại gặp nhau
- Tìm TG xe (người) đi trước (nếu có)
- Tìm quãng đường xe đi trước : S = v t
- Tìm quãng đường còn lại = Quãng đường đã cho (khoảng cách hai xe) – Quãng đường xe đi trước
- Tìm TG đi để gặp nhau = Quãng đường còn lại : Tổng vận tốc
Thời gian đi gặp nhau = Thời điểm gặp nhau lúc 2 xe – Thời điểm khởi hành
- Tính vận tốc xuôi dòng = v thuyền khi nước lặng + v dòng nước
- Tính vận tốc ngược dòng = v thuyền khi nước lặng – v dòng nước
- Tính vận tốc dòng nước = (v xuôi dòng – v ngược dòng) : 2
- Tính vận tốc khi nước lặng = v khi nước lặng = v xuôi dòng – v dòng nước
- Tính vận tốc tàu (thuyền) khi nước lặng = v ngược chiều + v dòng nước
CÁC PHƯƠNG PHÁP
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
2.1.1 Phương pháp 1: Đựa vào định nghĩa phép chia hết Để chứng minh a chia hết cho b (b khác 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b), a= b.
Bài 1: Các tích sau có chia hết cho 4 không? a) 5.12 b)14.28 c) 126.572
Giải a 5.12 5.3.4 4 (Vì 12 = 3.4 chia hết cho 4) b 14.28 4 (Vì 28 = 7.4 chia hết cho 4) c 126.527 4 (Vì 527 = 143.4 chia hết cho 4)
Bài 2: Không thực hiện phép chia chứng tỏ rằng: a) 39.2015 chia hết cho 13 b) 009.2010 chia hết cho 3
Giải a Ta có: 39.2015 3.13.2015 13 (vì 13 1 3 ) b Ta có: 2010 3 nên 2009.2010 3 c Ta có: 187 17 nên 187.2014 17
Bài 3: Chứng tỏ rằng số có dạng aaa bao giờ cũng chia hết cho 3, cho 37
Ta có: aaa a.111 a.3.37 chia hết cho 3, cho 37
Bài 4: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13
Ta có: abcabcabc000abc abc(1000 1) abc.1001abc.11.7.13
Nên abcabc chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13
Bài 5: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11
Gọi hai số đó là ab và ba
2.1.2 Phương pháp 2: Sử dụng dấu hiệu chia hết
Bài 1: Tìm các số a,b sao cho a56b 45
Ta thấy 45 = 5.9 mà 5; 9 1 Vậy a56b 45 a56b 5 và a56b 9
Vậy a = 7, b = 0 ta có số 7560 a = 2, b = 5 ta có số 2565
Bài 2: Tìm các chữ số a,b sao cho a – b = 4 và 7a5b1 3
Ta có 13 chia cho 3 dư 1 nên để 13 a b 3 thì (a+b) chia cho 3 dư 2 (1)
Mà theo đầu bài a – b = 4 nên 0 b 5 4 a 9 4 a b 14 (2)
Mặt khác a – b là số chẵn nên a + b là số chẵn (3)
Bài 3: Cho A 2 2 2 2 3 2 60 Chứng minh rằng A chia hết cho 3,7 Giải
2.1.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết
Trong n số nguyên liên tiếp, luôn có một và chỉ một số chia hết cho n (n ≥ 1) Điều này được chứng minh bằng cách chia n số nguyên liên tiếp cho n, ta nhận được n số dư khác nhau, trong đó chỉ có một số dư bằng 0, cho thấy có duy nhất một số chia hết cho n.
Bài 1: Chứng minh rằng: a) Tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 c) Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải a Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
Số chẵn đó chia hết cho 2
Tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 Do đó, tích của ba số nguyên liên tiếp cũng sẽ chia hết cho 2.
Trong 3 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3
Tích 3 số đó chia hết cho 3, mà (2,3) = 1
Tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6 Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và 2n + 1 (với n ∈ Z), do đó tích của chúng là 2n(2n + 1) = 4n(n + 1) Vì n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp, nên trong đó có một số chia hết cho 2, dẫn đến n(n + 1) chia hết cho 2 Do đó, ta có 4n(n + 1) chia hết cho 8.
Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Bài 2: Chứng minh rằng: n 4 6 n 3 11n 2 6 n 24 với n Z
Ta có: n.(n 1) 2 (Ví dụ 1) n.(n 1).(n 2) 3 (Ví dụ 1) n.(n 1).(n 2).(n3) 4 (Tích của 4 số nguyên liên tiếp có ít nhất một số chia hết cho 4)
Bài 3: Chứng minh rằng: n 4 4 n 3 14 n 2 16n 384 n chẵn, n 4
Với k 2 nên k-2, k-1, k+1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên (k 2).(k 1).(k 1)k 8
Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 Chứng minh rằng: p 2 1 24
Có p 2 1 (p 1)(p 1) vì p là số nguyên tố nên p > 3 p 1 2k(k 2,3, ) p 1 2k 2
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp p-1, p, p+1 có 1 số chia hết cho 3 Vì p nguyên tố nên p không chia hết cho 3 p 1
2.1.4 Dùng định lí về chia có dư Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p:
Ta viết: n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, …,p-1; kN Rồi xét tất cả các trường hợp của r
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3) (n + 6) chia hết cho 2
Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k +1 hoặc n = 2k
Bài 2: Chứng minh rằng: a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4
Giải a Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n +2,
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là n n 1 n 2
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận 1 trong 3 số dư 0 ;1; 2
Nếu r = 1 thì n3k 1 ( k là số tự nhiên) n 2 3k 1 2 (3k 3) 3
Tóm lại, n n 1 n 2 3 với mọi n là số tự nhiên b Chứng minh tương tự ta có: n n 1 n 2 n 4 4 với mọi n là số tự nhiên
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n
Phương pháp này thường áp dụng để chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số Tuy nhiên, khi chứng minh cho các số tự nhiên lớn hơn 10, phương pháp này không hiệu quả do cần phải xem xét nhiều trường hợp khác nhau.
2.1.5 Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Dirichlet
Nguyên tắc Dirichlet nêu rõ rằng: “Nếu có n + 1 con thỏ được xếp vào n chuồng, thì ít nhất một chuồng sẽ chứa từ 2 con thỏ trở lên.” Trong dạng toán này, giáo viên chỉ cần giới thiệu cho học sinh về nguyên tắc này và cung cấp bài tập ứng dụng để rèn luyện khả năng suy luận một cách dễ hiểu.
Bài 1: Cho 3 số lẻ, chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8
Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số sau: 1; 3;5;7, ta chia 4 số dư này (4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng)
Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm
Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8
Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 8
Bài 2: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 5
Khi chia một số cho 5, có thể nhận được các số dư là 0, 1, 2, 3 hoặc 4 Theo nguyên tắc Dirichlet, trong bất kỳ tập hợp 6 số tự nhiên nào, sẽ luôn có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 5 Điều này cũng áp dụng cho hiệu của hai số chia hết cho 5.
Bài 3: Một lớp có 50 học sinh Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau
Giả sử có không quá 4 học sinh có tháng sinh giống nhau
Trong một năm có 12 tháng, lớp học không có quá 50 học sinh, cụ thể là tối đa 12.4H học sinh Theo nguyên tắc Dirichlet, sẽ có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau.
Một số dạng toán về ƯCLN, BCNN
+ Cho ƯCLN (a, b) = d Nếu chia a, b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau
+ Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của 2 số a, b (kí hiệu (a, b)) và BCNN của 2 số a, b (kí hiệu a,b ) với tích của 2 số a và b là:
*Chứng minh: Đặt a, b d a md và b md Với m, n *
2.2.1 Bài toán cơ bản liên quan đến ước và bội
Bài 1: Tìm số chia và thương của một phép chia có số bị chia bằng 145, số dư bằng 12 biết rằng thương khác 1(số chia và thương là các số tự nhiên)
Gọi x là số chia, a là thương, ta có 145 = ax + 12 (x > 12) Như vậy, x là ước của 145 – 12 = 133
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 133 = 7 19 Ước của 133 mà lớn hơn 12 là: 19 và 133
Nếu số chia bằng 19 thì thương bằng 7 Nếu số chia bằng 133 thì thương bằng
Vậy số chia bằng 19 và thương bằng 7
Bài 2: Một phép chia số tự nhiên có số bị chia bằng 3193 Tìm số chia và thương của phép chia đó, biết rằng số chia có hai chữ số
3193 không chia hết cho 2 3193 không chia hết cho 2k không chia hết cả 4k, 6k, 8k
Tương tự: 3193 không chia hết cho 3k, 5k, 7k, 9k
Số chia của 3193 là một số nguyên tố
Gọi số chia là ab b chỉ có thể là 1, 3, 7, 9
Ngoài ra, ta nhận thấy thương của phép chia cũng phải là một số nguyên tố
24 b = 9 a = 1, 2, 5, 7, 9 thương không là số tự nhiên b = 7 a = 1, 3, 4, 6, 9 thương không là số tự nhiên b = 3 a = 1, 2, 4, 5, 7, 8 thương không là số tự nhiên b = 1 a = 3, 4, 6, 1 tìm được a = 3
Bài 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 600
Phân tích 600 ra thừa số nguyên tố
600 2 3.5 3 2 Ghép các thừa số lại để được tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
Vậy hai số tự nhiên là 24 và 25
Bài 4: Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 5 chia hết cho n + 1
Ta có: n 5 n 1 4 Để n 5 n 1 thì n 1 4 n 1 n 1 là ước của 4
Ta có bảng sau: n + 1 1 2 4 n 0 1 3 Vậy n 0;1;3
Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 1 + 2 + 3 +…+ n = 820
Bài 6: Hãy viết số 100 dưới dạng tổng các số lẻ liên tiếp
Giả sử số 100 viết được dưới dạng k số lẻ liên tiếp là: n + 2; n + 4; …; n + 2k,
Có hai đáp số: 49; 51 và 1 + 3 +…+19
Bài 7: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chữ số của nó với n (n là số tự nhiên, có thể gồm một hoặc nhiều chữ số)
Gọi số phải tìm là abc, ta có: abc 100n 10n n abc.n abc n Đặt abcn.k(kN)thì: n.k 111.n n.k.n.
Chia cả hai vế cho n khác 0 ta được k 111 n.k , tức là111 k n 1 Như vậy k và n – 1 là ước của 111
Bài toán có 4 đáp số k n-1 n abc
2.2.2 Tìm số tự nhiên khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN, BCNN
Bài 1: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 6
Gọi hai số phải tìm là a và b (a < b) Ta có (a, b) = 6 nên a = 6a’, b = 6b’ trong đó (a’,b’) = 1 (a, a’, b, b’ N)
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết a b , 240 và a b , 16
Giả sử; a b , vì a,b 16 nên a = 16m, b = 16n với m, n * , m, n 1 và m n ab = 16m 16n = 256mn vì ab = 3840 nên 256mn = 3840
3 5 48 80 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 16 và 240, 48 và 80
Bài 3: Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết ab 216 và a b , 6
Giả sử a b vì a,b 6 a 6m; b 6n với m, n * , m, n 1 ; m n khi đó ab6m.6n36mn
Lại có: ab216 nên 21636mmn 6
2 3 12 18 Vậy 2 số tự nhiên a, b cần tìm là: 6 và 36; 12 và 18
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên a,b > 0, biết b 180 và a, b 60
Giả sử: a b , vì a,b 3 nên a 3m, b 3n với m, n *
Suy ra ab 3m.3n 9mn vì ab 180 nên 1809mnmn20
4 5 12 15 Vậy 2 số tự nhiên a, b cần tìm là: 3 và 60: 12 và 15
Bài 5: Tìm số tự nhiên a, biết rằng 398 chia cho a dư 38, còn 450 chia cho a dư 18
Số 398 chia cho a dư 38 nên a là ước của 398 – 38 = 360 và a > 38
Số 450 chia cho a dư 18 nên a là ước của 450 – 18 = 432 và a > 18
Do đó a là ước chung của 398 và 450, đồng thời a > 38 ƯCLN (360, 432) = 72 mà 72 > 38 nên a = 72
Bài 6: Ba khối 6,7,8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang?
Số hàng dọc tối đa có thể xếp là ƯCLN (300, 276, 252), cho phép xếp được 12 hàng dọc Khi đó, khối 6 sẽ có 25 hàng ngang, khối 7 có 23 hàng ngang và khối 8 có 21 hàng ngang.
Bài 7: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3, cho 5, cho 7 được số dư theo thứ tự là 2, 3, 4
Gọi: a3m2(mN)2a6m4, chia cho 3 dư 1 a 5n3(nN)2a 10m6,chia cho 5 dư 1
Do đó 2a 1 BC 3,5,7 Để a nhỏ nhất thì 2a – 1 là BCNN (3, 5, 7)
Bài 8: Một số tự nhiên chia cho 3 thì dư 1, chia cho 4 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 3, chia cho 6 thì dư 4 và chia hết cho 13 a) Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên b) Tìm dạng chung của tất cả các số có tính chất trên
Giải a Gọi x là số phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 nên x + 2 là BC
Để tìm giá trị của x thỏa mãn điều kiện BCNN (3, 4, 5, 6) = 60, ta có phương trình x + 2 = 60n, dẫn đến x = 60n – 2 với n = 1, 2, 3, … Tuy nhiên, x cần phải là số nhỏ nhất và chia hết cho 13 Qua việc thử nghiệm với các giá trị của n, ta thấy rằng khi n = 10, x = 598 là giá trị thỏa mãn cả hai điều kiện trên.
Số nhỏ nhất phải tìm là 598 b Số phải tìm phải thỏa mãn hai điều kiện: x + 2 chia hết cho 60 (1) và chia hết cho 13 (2)
Với k = 1, giá trị nhỏ nhất của x bằng 598
Bài 9: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15, nhưng xếp hàng
41 thì vừa đủ Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000
Gọi số người của đơn vị là a (người) a N,a 1000 Khi xếp hàng
Do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a 41;a 1000 nên a = 615 Đáp số: 615 người
Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết a chia cho b được 2,6 và a b , 5
Vậy hai số cần tìm là 65 và 25
2.2.3 Tìm ƯCLN của các biểu thức số
Bài 1: Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (với n thuộc số tự nhiên)
Gọi d là ước chung của 2n -1 và 9n + 4 2n 1 d và 9n4 d
Nếu n 17k 9 thì 2n – 1 không chia hết cho 17
Do đó ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) = 1 Đáp số: ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) = 1 Khi n 17k 9 k N
Bài 2: Tìm ƯCLN của 7n +3 và 8n – 1 (với n thuộc số tự nhiên)
Gọi d là ước chung của 8n -1 và 7n + 3 8n1 d và 7n3 d
Nếu n31k 4 thì 8n -1 không chia hết cho 31
Do đó ƯCLN 8n 1;7n 3 1 Đáp số: ƯCLN 8n 1;7n 3 17 , Khi n 31k 4 k N
2.3.4 Vận dụng thuật toán Ơ-Clit tìm ƯCLN
Bài 2: Tìm ƯCLN (A, B) biết rằng A là số gồm 1991 chữ số 2, B là số gồm 8 chữ số 2
Ta có 1991 chia cho 8 dư 7; còn 8 chia cho 7 dư 1
Theo thuật toán Ơclit: ƯCLN (a, b) = ƯCLN
Bài 4: Tìm ƯCLN của các số sau: (187231, 165148)
Giải Để tìm ƯCLN của hai số tự nhiên a và b bất kỳ ta dùng cách chia liên tiếp hay còn gọi là thuật toán Ơclit như sau:
Bước 1: Lấy 187231 chia cho 165148,187231 không chia hết cho 165148 Bước 2: Lấy 165148 chia cho số dư 22083 được 7 dư 10567
Bước 3: Lấy 22083 chia cho số dư 10567 được 2 dư 949
Bước 4: Lấy 10567 chia cho số dư 949 được 11 dư 128
Bước 5: Lấy 949 chia cho số dư 128 được 7 dư 53
Bước 6: Lấy 128 chia cho số dư 53 được 2 dư 22
Bước 7: Lấy 53 chia cho số dư 22 được 2 dư 9
Bước 8: Lấy 22 chia cho số dư 9 được 2 dư 4l
Bước 9: Lấy 9 chai cho số dư 4 được 2 dư 1
Bước 10: Lấy 4 chia cho số dư 1 được 4 dư 0
Một số dạng toán suy luận và phương pháp giải
2.3.1 Nguyên lý Dirchlet với các bài toán đại số
Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 20032003…200300…0 chia hết cho 2002
Xét dãy số gồm 2002 số hạng sau:
Khi chia tất cả các số hạng của dãy cho 2002, ta nhận được 2002 số dư từ 1 đến 2002, vì không thể có số dư 0 do các số hạng là số lẻ Với 2002 phép chia, theo nguyên tắc Dirichlet, sẽ có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 2002.
Giả sử hai số đó là am và an m, n N;1 m n 2002 Với
Ta có: an am chia hết cho 2002
Vậy tồn tại một số có dạng 20032003…200300…0 chia hết cho 2002
Bài 2: CMR từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100
Tất cả các số dư trong phép chia cho 100 được chia thành 51 nhóm như sau: 0 , 1;99 , 2;98 , 49;51 , 50
Có 52 số nên theo nguyên tắc Dirchlet có hai số mà các số dư khi chia cho
Hai số thuộc cùng một nhóm sẽ có hai trường hợp: hoặc là có hiệu chia hết cho 100, tức là số dư của chúng bằng nhau, hoặc là tổng của chúng chia hết cho 100, nếu số dư khác nhau.
Bài 3: Cho 2002 số tự nhiên khác 0 sao cho 4 số khác nhau bất kỳ trong chúng đều lập thành một tỷ lệ thức Chứng minh rằng trong các số đã cho luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau
Vào năm 2002, chúng tôi đã chứng minh rằng một tập hợp các số tự nhiên chỉ có thể chứa tối đa 4 giá trị khác nhau Cụ thể, nếu giả sử có hơn 4 số khác nhau trong tập hợp, ví dụ như a1, a2, a3, a4, a5, thì sẽ có 5 số khác nhau, điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu.
Không mất tính tổng quát giả sử a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 (1)
Theo đề bài ta có: a a 1 4 a a 2 3 (2)
Từ (1) không xảy ra: a a 1 2 a a 3 4 hoăc a a 1 3 a a 2 4
Tương tự 4 số khác nhau: a ,a ,a ,a ,a 1 2 3 4 5 thì a a 1 5 a a 2 3 (3)
Vậy trong 2002 số tự nhiên khác nhau đã cho không thể có hơn 4 số khác nhau Mà 2002 4.500 2
Theo nguyên tắc Dirchlet luôn tìm được ít nhất 500 1 501 số bằng nhau
Bài 4: CMR trong các số tự nhiên thế nào cũng có k số sao cho 1983 k 1 chia hết cho 10 5
Khi lấy 10^5 + 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta có 10^5 + 1 giá trị khác nhau của 1983^k - 1 Khi chia 10^5 + 1 số này cho 10, số dư có thể có tối đa là 10, tức là có ít nhất 5 số dư khác nhau Theo nguyên tắc Dirichlet, sẽ có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 10, giả sử đó là 1983^m - 1 và 1983^n - 1 (với m > n) Do đó, hiệu của hai số này phải chia hết cho 10^5 * 1983^(m - n).
Nhưng 105 và 1983n nguyên tố cùng nhau, do đó phải có 1983 m n 1chia hết cho 10 Như vậy có số 5 k' m n sao cho 1983 k 1 chia hết cho 105
Bài 5: a) CMR trong m số nguyên bất kỳ bao giờ cũng có một số chia hết cho m hoặc tổng của một nhóm các số trong m số đó chia hết cho m b) Có hay không một số có dạng: 19911991….1991 0000000 chia hết cho 1990
Giải a.Gọi m số nguyên đã cho là a ,a , ,a 1 2 m Nếu không có số nào chia hết cho m thì ta lập m tổng: a 1
Có tất cả hai trường hợp:
Một trong các tổng trên chia hết cho m
Không có tổng nào trong số các tổng trên chia hết cho m, vì vậy số dư khi chia mỗi tổng cho m sẽ là một số từ 1 đến m - 1, tức là có tổng cộng m - 1 số dư Với m tổng, theo nguyên tắc Dirichlet, sẽ tồn tại ít nhất hai tổng có cùng số dư.
0 khi chia cho m Hiệu của hai tổng này (là tổng của một số các số các số đã cho) chia hết cho m b.Ta lặp dãy số có dạng:
Chia các số từ 1 đến 1990 cho 1990, ta có 1989 số dư khác 0 Theo nguyên tắc Dirichlet, sẽ có ít nhất hai số có cùng một số dư, và hiệu của hai số này sẽ có dạng 1991, 1991…0000, tức là chia hết cho 1990.
Bài 6: Trong một lớp học có 30 học sinh Chứng tỏ tằng trong số học sinh ta sẽ tìm thấy 2 học sinh có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau
Bảng chữ cái tiếng Việt có 29 chữ cái, trong khi số học sinh lại nhiều hơn số chữ cái này Điều này dẫn đến việc ít nhất một chữ cái sẽ đại diện cho nhiều hơn một học sinh, tức là sẽ có ít nhất hai học sinh có tên bắt đầu bằng cùng một chữ cái.
Bài 7: CMR trong n +1 số tự nhiên thì bao giờ cũng tìm được hai số khi chia hết cho n thì cho cùng một số dư
Khi chia mỗi số trong n + 1 số cho n, ta thu được n + 1 số dư Các số dư này có thể nhận các giá trị từ 0 đến n - 1, nghĩa là tổng cộng có không quá n giá trị khác nhau.
Mà ta lại có n + 1 số Vậy phải có 2 số ta chia cho n cho ta cùng một số dư
Bài 1: Trong một buổi học nữ công ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm 3 bông hoa cúc, đào, hồng.Bạn làm hoa hồng nói với bạn làm hoa cúc: Thế là trong chúng ta chẳng ai làm loại hoa trùng với tên của mình cả! Hỏi ai đã làm hoa nào?
Ta có bảng sau cúc đào hồng
Cúc không có không Đào không có
Nhìn vào bảng ta thấy: Cúc làm hoa đào Đào làm hoa hồng
Bài 2: Ba người thợ hàn, thợ tiện, thợ điện đang ngồi nói chuyện trong giờ giải lao Người thợ hàn nhận xét: Ba ta làm nghề trùng với tên của 3 chúng ta nhưng không ai làm nghề trùng với tên của mình cả
Bác Điện hưởng ứng: Bác nói đúng
Em hãy cho biết tên và nghề nghiệp của mỗi người đó
Nghề Tên hàn tiện điện
Bác Điện hưởng ứng bác thợ hàn nên bác Điện không làm thợ hàn
Bác Điện làm thợ hàn
Bác Hàn phải làm thợ điện
Bác Tiện làm thợ hàn
Bài 3: Năm người thợ tên là: Da, Điện, Hàn, Tiện và Sơn làm 5 nghề khác nhau trùng với tên của 5 người đó nhưng không có ai tên trùng với nghề của mình Tên của bác thợ da trùng với nghề của anh vợ mình và vợ bác chỉ có 2 anh em Bác tiện không làm thợ sơn mà lại là em rể của bác thợ hàn Bác thợ sơn và bác thợ da là hai anh em cùng họ Em cho biết bác da và bác tiện làm nghề gì?
Da Điện Hàn Tiện Sơn da 0 0 điện 0 0 x hàn x 0 0 tiện 0 sơn 0 0 0
Bác Tiện không phải là thợ sơn hay thợ hàn, vì bác là em rể của bác thợ hàn Do đó, bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ điện.
Một số dạng toán chuyển động và phương pháp giải
Bài 1: Một người đi từ A đến B với vận tốc 15 km/h Sau đó 1h30ph, người thứ 2 cũng rời A đi về B, vận tốc 20km/h và đến B trước người thứ nhất 30 phút Tính quãng đường AB
Thời gian đi AB của người thứ hai ít hơn người thứ nhất là:
Giả sử người thứ hai đi sau người thứ nhất 2 giờ thì hai người đến B cùng lúc Trong hai giờ đi trước, người thứ nhất đi được:
Thời gian đến người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất là:
Quãng đường AB dài: 20 6 = 120 (km)
Bài 2: Lúc 14h20 phút một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 48km/h Sau 10 phút một ô tô xuất phát từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 60 km/h Hỏi: a) Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ? b) Chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km?
6giờ được quãng đường là:
6= 8 (km) Hiệu vận tốc hai xe là:
Thời gian hai xe gặp nhau là:
3 ( giờ) = 40 phút Hai xe gặp nhau lúc 14 giờ 20 phút + 40 phút = 15 giờ b Chỗ gặp nhau cách A là: 60 2
Bài 3: Lúc 7 giờ 50 phút, bác An đi từ A đến B với vận tốc 80 m/phút, đến 7 giờ 55 phút bác Bình đi từ A đến B với vận tốc 90 m/phút đuổi theo bác An Hỏi: a) Bác Bình đuổi kịp bác An lúc mấy giờ? b) Chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Giải a Thời gian bác An đi trước bác Bình là:
7 giờ 55 phút -7 giờ 50 phút = 5 phút
Khi bác Bình bắt đầu đi bác An đã đi được là:
Thời gian bác Bình đuổi kịp bác An là:
Bác Bình đuổi kịp bác An lúc:
7 giờ 55 phút + 40 phút = 8 giờ 35 phút b Khoảng cách từ chỗ gặp nhau đến A là:
Bài 4: Đồng hồ đang chỉ 4 giờ 10 phút Sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng?
Ta xét thời điểm 4 giờ, lúc đó kim phút còn cách kim giờ là 1
3vòng Muốn kim phút nằm đối diện với kim giờ thì trong cùng một thời gian, kim phút phải quay nhiều hơn kim giờ:
Mỗi giờ kim phút quay được một vòng, kim giờ quay được 1
12 vòng, kim phút quay nhanh hơn kim giờ:
112 12 (vòng) Thời gian để kim phút và kim giờ nằm đối diện trên một đường thẳng
6 12: 11 (vòng) 54 ph 33s Lúc đó là 4 giờ 54 phút 33 giây, sau lúc 4 giờ 10 phút là 44 phút 33 giây
Bài 5: Hiện nay là 12 giờ đúng Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì kim giờ và kim phút trùng khít lên nhau 1 lần nữa?
Trong 1 giờ kim phút chạy được 1 vòng
Trong 1 giờ kim giờ chay được là 1
Trong 1 giờ kim phút chạy nhiều hơn kim giờ: 1 11
11212 (vòng) Lúc 12 giờ kim phút trùng kim giờ
Khi kim phút trùng với kim giờ 1 lần nữa thì kim phút phải chay phải chạy nhiều hơn kim giờ đúng một vòng
Vậy thời gian để kim phút trùng với kim giờ một lần nữa là:
Bài 6: Lúc 7 giờ một ô tô trở hàng đi từ A với vận tốc 40km/h Đến 10 giờ một ô tô du lịch cũng đi từ A với vận tốc 60km/h và đi cùng chiều với ô tô chở hàng Hỏi ô tô du lịch đuổi kịp xe ô tô chở hàng lúc mấy giờ?
Thời gian ô tô chở hàng đi trước ô tô du lịch là:
10 – 7 = 3 (giờ) Trong 3 giờ ô tô chở hàng đi được quãng đường dài là:
Hiệu vận tốc hai xe là:
Thời gian hai xe đuổi kịp nhau là:
Hai xe đuổi kịp nhau lúc:
Bài 7: Một xe máy đi từ B đến C với vận tốc 45km/h Cùng lúc đó một ô tô đi từ A với vận tốc 50km/h để đuổi theo xe máy Hỏi:a) Sau bao lâu ô tô đuổi kịp xe máy, biết rằng A cách B là 11 km b) Nơi gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Giải a Hiệu vận tốc của hai xe là:
Hai xe gặp nhau sau:
Nơi gặp nhau cách A là:
Bài 1: Hai xe ô tô đi từ 2 địa điểm A và B về phía nhau, xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ, xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút Biết rằng để đi cả quãng đường AB, xe thứ nhất cần 2 giờ, xe thứ hai cần 3 giờ Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?
Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước
Trong 1 giờ, xe thứ nhất đi được 1
2quãng đường, xe thứ hai đi được 1
3quãng đường, hai xe gần nhau được:
236 (quãng đường) Trong 7h 10ph – 7h = 10 phút đi trước, xe thứ nhất đi được:
Lúc xe thứ 2 khởi hành, hai xe cách nhau:
11212 (quãng đường) Hai xe gặp nhau sau:
12 6: 10 (h) = 1h 6ph Lúc hai xe gặp nhau: 7h 10ph + 1h 6ph = 8h 16ph
Bài 2: Hai người đi bộ cùng một lúc từ hai xã A và B cách nhau 18 km và đi ngược chiều nhau để gặp nhau Vận tốc của người đi từ A là 4 km/h, của người đi từ B là 5km/h Họ xuất phát lúc 5 giờ 15 phút Hỏi: a) Hai người gặp nhau lúc mấy giờ? b) Khi gặp nhau mỗi người đi được bao nhiêu km?
Giải a Tổng vận tốc hai người là:
Thời gian hai người gặp nhau là:
Hai người gặp nhau lúc:
5 giờ 15 phút + 2 giờ = 7 giờ 15 phút b Khi gặp nhau người đi từ A đi được quãng đường là:
4 2 = 8 (km) Khi gặp nhau người đi từ A đi được quãng đường là:
2.4.3 Chuyển động của vật có chiều dài đáng kể
Bài 1: Một đoàn tàu chạy ngang qua một Cái cột điện hết 15 giây Với vận tốc đó đoàn tàu chui qua một đường hầm dài 540m hết 1 phút Hỏi: a) Vận tốc của đoàn tàu b) Chiều dài của đoàn tàu
Đoàn tàu chui qua đường hầm trong 1 phút, tức là trong thời gian này, nó đã di chuyển được quãng đường bằng tổng chiều dài của đường hầm và chiều dài của đoàn tàu Khi đoàn tàu chạy ngang qua cột điện, thời gian là 15 giây, trong khoảng thời gian này, nó đã đi được quãng đường bằng với chiều dài của chính nó.
Vậy thời gian để đoàn tàu đi quãng đường dài 540m là:
Vận tốc của đoàn tàu là:
540 : 45 = 12 (m/giây) b Chiều dài đoàn tàu là:
Bài 2: Một xe lửa đi hết một cái cầu dài 12m hết 12 giây và đi hết một cái cầu dài 480m hết 20 giây Tính chiều dài và vận tốc của xe lửa
Trong 12 giây xe lửa đi 12m cộng với chiều dài xe lửa Trong 20 giây, xe lửa đi 148m cộng với chiều dài xe lửa
Như vậy trong: 20 – 12 = 8 (s) Xe lửa đi được
Chiều dài của xe lửa: 17 12 – 12 = 192 (m)
Bài 3: Một đoàn xe lửa dài 160m chạy qua một đường hầm xuyên qua núi với vận tóc 40km/h Từ lúc toa bắt đầu chui vào hầm đến lúc toa cuối cùng ra khỏi hầm mất 4 phút 30 giây Hỏi đường hầm dài bao nhiêu mét?
3 m/phút; 4 phút 30 giây = 4,5 phút Quãng đường xe lửa đi được trong 4,5 phút là:
3 4,5 = 3000 (m) Quãng đường này gồm chiều dài của đường hầm và chiều dài của đoàn xe lửa Vậy chiều dài đường hầm là:
2.4.4 Chuyển động có dòng nước
Bài 1: Một ca nô chạy xuôi khúc sông AB hết 6 giờ và chạy ngược khúc sông ấy hết 9 giờ Hỏi một phao trôi theo dòng nước từ A đến B trong bao lâu? Giải
Trong 1 giờ, ca nô chạy xuôi được 1
6AB, ca nô chạy ngược được 1
Do vận tốc xuôi trừ vận tốc ngược bằng 2 lần vận tốc dòng nước nên trong một giờ dòng nước trôi được:
Thời gian phao trôi từ A đến B:
Bài 2: Vận tốc dòng nước chảy là 20 m/phút Một người bơi xuôi dòng trên khúc sông dài 800m trong 8 phút Hỏi người đó bơi ngược dòng đoạn sông ấy hết bao nhiêu thời gian?
Vận tốc bơi xuôi dòng của người đó là:
Vận tốc thực của người đó là:
Vận tốc bơi ngược dòng của người đó là:
Người đó bơi ngược dòng trên đoạn sông ấy hết khoảng thời gian là:
Bài 3: Một ca nô đi xuôi dòng với vận tốc 29 km/h và đi ngược dòng với vận tốc 24km/h Hỏi: a) Tính vận tốc thực của ca nô b) Nếu ca nô đi xuôi dòng đoạn sông dài 34,8km hết bao nhiêu? c) Nếu ca nô đi ngược dòng đoạn sông dài 34,8 km hết bao nhiêu?
Giải a Vận tốc thực của ca nô là: (29 + 24) : 2 = 26,5 (km/giờ) b Thời gian ca nô đi xuôi dòng trên khúc sông dài 34,8 km là:
34,8 : 19 = 1,2 ( giờ) c Thời gian ca nô đi ngược dòng trên khúc sông dài 34,8 km là:
Bài 4: Quãng đường AB dài 143km, vận tốc dòng nước là 6 km/h Một ca nô đi xuôi dòng từ A về B và một ca nô khác đi ngược dòng từ B về A Hai ca nô cùng khởi hành lúc 8 giờ 30 phút Vận tốc thực của mỗi ca nô là 26 km/h Hỏi đến mấy giờ hai ca nô gặp nhau?
Ca nô đi từ A xuôi dòng với vận tốc là:
Ca nô đi từ B ngược dòng với vận tốc là:
Tổng vận tốc của hai ca nô là:
Thời gian từ lúc hai ca nô khởi hành đến lúc gặp nhau là:
Hai ca nô gặp nhau lúc:
8 giờ 30 phút + 2 giờ 45 phút = 11 giờ 15 phút
2.4.5 Chuyển động có vận tốc thay đổi trên từng đoạn
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài tập 1: Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37
(Đề thi học sinh giỏi môn toán - lớp 6 năm 2018 thành phố Hà Nội)
Ta có: abc 37 100.abc 37 abc00 37
ab.1000 c00 37 ab.999 c00 ab 37 ab.999 cab 37
Bài tập 2: Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số
25; 28; 35 thì được các số dư lần lượt là 5; 8; 15.
(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán)
Gọi số tự nhiên phải tìm là x
Từ giả thiết suy ra x 20 25 và x 20 28 và x 20 35 x 20
Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k 700 k N
Vì x là số tự nhiên có 3 chữ số suy ra:
Bài tập 3: Chứng minh rằng số
(Đề thi học sinh giỏi thành phố đà nẵng lớp 6)
Ta thấy: 111111111 có tổng các chữ số bằng 9 nên 111111111 9 (1)
Mà tổng (10 72 10 63 10 9 1) có tổng các chữ số bằng 9
Bài tập 4: Tìm a,b biết a 4 b 5 và a, b 140
Giải Đặt a, b d a md, b nd với m, n * ; m, n 1
Vậy hai số cần tìm là 27 và 35
Bài tập 5: Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết a + b = 128 và a, b 16
Giả sử ab, vì a, b 16 nên a = 16m; b = 16n với m, n *
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 16 và 112; 48 và 80
Bài tập 6: Tìm a, b biết a + b = 42 và a, b 72
Giải Đặt a, b d a md, b nd với m, n * ; m, n 1
Từ (1) và (2) d ƯC (42, 72 ) mà ƯCLN (42,72) = 6 d Ư(6) nên
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1), (2) để tính ra m và n ta thấy chỉ có d=
Chỉ có m = 3 và n = 4 là thỏa mãn Khi đó a = 18 và b = 24 Vậy hai số cần tìm là 18 và 24
Bài tập 7: Tìm a, b biết a – b = 7 và a, b 140
Giải Đặt a, b d a md, b nd với m, n * ; m, n 1.Giả sử a > b khi đó m > n do đó a – b = d (m – n ) = 7 (1)
Từ (1) và (2) d ƯC ( 7, 140 ) mà ƯCLN ( 7, 140 ) = 7 d Ư (7) nên
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1), (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 7 là thỏa mãn
Chỉ có m = 5 và n = 4 là thỏa mãn Khi đó a = 35 và b = 28 Vậy hai số cần tìm là 35 và 28
Trong bài tập này, hai lớp 6A và 6B cùng tham gia thu nhặt giấy vụn với khối lượng thu được khác nhau Cụ thể, lớp 6A có một học sinh thu được 26kg, trong khi các bạn còn lại mỗi người thu được 11kg Đối với lớp 6B, một bạn thu được 25kg, và các bạn còn lại mỗi người thu được 10kg Mục tiêu là tính số học sinh trong mỗi lớp, với tổng khối lượng giấy thu được của mỗi lớp nằm trong khoảng từ 200kg đến 300kg.
Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x(kg) thì x26 11, x 25 10 do đó x 15 BC(11,10)
Ta tìm được x = 235 Do đó lớp 6A có 20 học sinh, lớp 6B có 22 học sinh
Một đơn vị bộ đội có số người khi xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15, nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ Từ thông tin này, ta có thể tính được số người của đơn vị, biết rằng có một số người chưa đến.
(Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 cấp tỉnh năm 2018)
Gọi số người của đơn vị là a (người) a N, a 1000 Khi xếp hàng
Do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a 41;a 1000 nên a = 615
Bài tập 10: Tìm a,b biết a 4 b 5 và a, b 140
Giải Đặt a, b d a md, b nd với m, n * ; m, n 1
Vậy hai số cần tìm là 27 và 35
Bài tập 11: Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết a + b = 128 và a, b 16
Giả sửab, vì a, b 16 nên a = 16m; b = 16n với m, n *
3 5 48 80 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 16 và 112; 48 và 80
Bài tập12: Tìm a, b biết a + b = 42 và a, b 72
Giải Đặt a, b d a md, b nd với m, n * ; m, n 1
Từ (1) và (2) d ƯC (42, 72 ) mà ƯCLN (42,72) = 6 d Ư(6) nên
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính ra m và n ta thấy chỉ có d
Chỉ có m = 3 và n = 4 là thỏa mãn Khi đó a = 18 và b = 24 Vậy hai số cần tìm là 18 và 24
Bài tập 13: Tìm a, b biết a – b = 7 và a b , 140
Giải Đặt a, b d a md, b nd với m, n * ; m, n 1
Giả sử a > b khi đó m > n do đó a – b = d (m – n) = 7 (1)
Từ (1) và (2) d ƯC ( 7, 140 ) mà ƯCLN ( 7, 140 ) = 7 d Ư (7) nên
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1), (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 7 là thỏa mãn
Chỉ có m = 5 và n = 4 là thỏa mãn Khi đó a = 35 và b = 28 Vậy hai số cần tìm là 35 và 28
Bài tập 14: Tìm số tự nhiên a, biết rằng 350 chia cho a thì dư 14, còn 320 chia cho a thì dư 26
Số 350 chia cho a dư 14 nên a là ước của 350 -14 = 336 và a > 14
Số 320 chia cho a dư 26 nên a là ước của 320 – 26 = 294 và a > 26
Do đó a là ước chung của 336 và 294, đồng thời a > 26 ƯCLN (360,432) = 42 mà 42 > 26 nên a = 26
Để chia 200 bút bi, 240 bút chì và 320 tẩy thành những phần thưởng bằng nhau, cần tìm ước số chung lớn nhất (USCLN) của ba số này USCLN của 200, 240 và 320 là 40 Do đó, số phần thưởng tối đa có thể chia được là 40 phần Mỗi phần thưởng sẽ bao gồm 5 bút bi (200/40), 6 bút chì (240/40) và 8 tẩy (320/40).
Số phần thưởng phải tìm làƯCLN (200, 240, 320) = 40
Mỗi phần thưởng có 5 bút bi, 6 bút chì và 8 tẩy
Bài tập 16 yêu cầu tính số học sinh của hai lớp 6A và 6B khi mỗi lớp thu nhặt giấy vụn Lớp 6A có một bạn thu được 26kg, các bạn còn lại thu 11kg mỗi người, trong khi lớp 6B có một bạn thu 25kg và các bạn còn lại thu 10kg Tổng số giấy thu được của mỗi lớp nằm trong khoảng từ 200kg đến 300kg.
Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x(kg) thì x26 11, x 25 10 do đó x 15 BC(11,10)
Do đó lớp 6A có 20 học sinh, lớp 6B có 22 học sinh
Gia đình Lan gồm 5 thành viên: ông nội, bố, mẹ, Lan và em Hoàng Vào sáng chủ nhật, cả nhà dự định đi xem xiếc nhưng chỉ mua được 2 vé Mọi người trong gia đình đã đưa ra 5 ý kiến, trong đó có đề xuất Hoàng và Lan đi xem.
Bố và Mẹ đi Ông và bố đi
Cuối cùng, gia đình đã đồng thuận với đề nghị của Lan, vì nó đáp ứng một phần nhu cầu của cả bốn thành viên còn lại Bạn có biết ai đã đi xem xiếc hôm đó không?
Nếu chọn đề nghị thứ nhất thì đề nghị thứ hai bị bác bỏ hoàn toàn Vậy không thể chọn đề nghị thứ nhất
Nếu chọn đề nghị thứ hai thì đề nghị thứ nhất bị bác bỉ hoàn toàn Vậy không thể chọn đề nghị số hai
Nếu chọn đề nghị thứ ba thì đề nghị thứ tư bị bác bỏ hoàn toàn Vậy không thể chọn đề nghị thứ ba
Nếu chọn dề nghị thứ tư thì đề nghị thứ ba bị bác bỏ hoàn toàn Vậy không thể chọn đề nghị thứ tư
Nếu lựa chọn đề nghị thứ năm, cả bốn đề nghị còn lại sẽ được chấp nhận một phần và bác bỏ một phần Do đó, vào sáng hôm đó, Hoàng và Bố đã quyết định đi xem xiếc.
Bài tập 18: Tìm số tự nhiên x, biết rằng tổng các chữ số của x bằng y, tổng các chữ số của y bằng z và x + y + z = 60
Từ đầu bài ta có x là số có 2 chữ số Đặt x ab x 10ab y a b, z có 2 trường hợp:
Kết luận: Có 3 số 44, 47, 50 đều thỏa mãn đề bài
Bài tập 19: Với một số nguyên dương n,
Trong bài toán M B M, ta xem xét một bảng ô vuông kích thước n x n, trong đó mỗi ô vuông được tô bằng màu đỏ hoặc xanh Mục tiêu là tìm số n nhỏ nhất sao cho bất kỳ cách tô nào cũng cho phép chọn được một hình chữ nhật có kích thước m x k (với 2 ≤ m, k ≤ n), sao cho bốn ô vuông ở bốn góc của hình chữ nhật này đều có cùng màu.
(Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 6 – KHTN Hà Nội)
Gọi một hình chữ nhật (HCN) thỏa mãn đề bài là một HCN tốt
Với n 2;3;4 thì tồn tại cách tô sao cho không tồn tại HCN tốt
Ta chứng minh: n N ,n * 5, hình vuông n n luôn tồn tại một HCN tốt Với n = 5, xét hình vuông 5 5:
Theo nguyên lý Dirchlet, mỗi cột luôn tồn tại ít nhất 3 ô cùng màu
Nếu tồn tại một cột có 5 ô đỏ (xanh), dễ thấy luôn tồn tại một HCN tốt với 4 đỉnh màu xanh
Nếu tồn tại một cột có 4 ô màu đỏ hoặc màu xanh Giả sử cột đó có 4 ô đỏ:
Trong 4 cột còn lại, nếu có nhiều hơn một cột với 2 ô đỏ, sẽ tồn tại một hình chữ nhật tốt với 4 đỉnh màu đỏ Vì vậy, trong số 4 cột này, chỉ có một số cột nhất định thỏa mãn điều kiện này.
71 nhất một cột có 2 ô đỏ Tức là ta sẽ có 3 cột có ít nhất 4 ô xanh, do đó tồn tại một HCN tốt với 4 đỉnh màu xanh
Theo nguyên lý Dirichlet, trong trường hợp có tất cả các cột được tô 3 ô đỏ, 2 ô xanh hoặc 3 ô xanh, 2 ô đỏ, sẽ có ít nhất 3 cột có 3 ô được tô cùng màu Để giữ tính tổng quát, giả sử rằng các ô này được tô cùng màu đỏ.
Xét 4 hàng bất kỳ trong 5 hàng Do hàng còn lại là tối đa 3 ô đỏ nên tổng số ô đỏ của 3 cột ở 4 hàng này không nhỏ hơn: 3 3 – 3 = 6 = 4 + 2
Do đó theo nguyên lý Dirchlet, tồn tại 2 cột có cùng ô đỏ ở 2 trong 4 hàng này nên tồn tại một HCN tốt với 4 đỉnh màu đỏ
Vậy, luôn tồn tại một HCN tốt trong hình vuông 5 5
Với n > 5, hình vuông n n chứa hình vuông 5 5 nên luôn tồn tại một HCN tốt
Vậy, n = 5 là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn đề bài
Nhận xét: Đây là câu tổ hợp trong của đề thi chọn đội tuyển của trường
KHTN đã được giới thiệu trên diễn đàn VMF, bắt nguồn từ việc tìm kiếm cách vẽ cho trường hợp n = 5 Tác giả nghi ngờ rằng việc vẽ như vậy là không khả thi, từ đó nảy sinh ý tưởng áp dụng nguyên lý Dirichlet Công việc tiếp theo là phân chia các trường hợp và giải quyết bài toán.
Bài tập 20: Cho A, B là hai tập con của tập 1; 2;3; ;100 thỏa A B và
A B Xác định số phần tử lớn nhất của tập AB sao cho với nA, ta luôn có 2n 2 B
(Đề thi Olympic truyền thồng 2011- 2012)
Ta chia tập 1; 2;3; ;49 thành 3 tâp con như sau:
Nhóm 1: Gồm 16 tập con chứa đúng 2 phần tử:
Các tập này đều có dạng: x, 2x 2
Nhóm 2: Gồm 17 tập con chứa đúng một phần tử:
Theo nguyên lý Dirichlet, nếu A ≥ 34, sẽ có ít nhất một trong 16 tập con trong nhóm một có hai phần tử thuộc tập A Điều này có nghĩa là tồn tại hai số x và 2x + 2 cùng nằm trong tập A, dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Ta thấy rõ dàng 2 tập A, B thỏa mãn đề bài và AB 66
Vậy, số phần tử lớn nhất của tập AB là 66
Bài toán này có bản chất đơn giản, nhưng đòi hỏi sự kiên nhẫn trong việc phân hoạch tập số từ 1 đến 49 Đây là một trong những bài dễ dẫn đến sai sót trong đáp số.
Bài tập 21 yêu cầu tìm tập con M của tập X = {1, 2, 3, , 15} sao cho không có ba phần tử nào trong M là số chính phương Mục tiêu là xác định số lượng phần tử lớn nhất có thể của tập M.
(Đề thi học sinh giỏi Toán 6 - Hà Nội)
Gọi bộ ba phần tử bất kỳ của X có tích là số chính phương là một bộ xấu
Chia tập X thành 5 tập con như sau:
Ta thấy rằng các bộ ba phần tử của A (i 1, 2,3, 4) i đều là các bộ xấu
Theo nguyên lý Dirichlet, nếu M ≥ 12, thì trong 5 tập hợp, ít nhất có hai tập là tập con của M, điều này dẫn đến việc M chứa ít nhất một bộ xấu Do đó, kết luận rằng M phải nhỏ hơn hoặc bằng 11.
Giả sử M 11 Áp dụng nguyên lý Dirchlet, có 1 trong 5 tập trên là tập con của M Để M không chứa bộ xấu thì tập B phải là tập con của M, các tập
A (i 1, 2,3, 4)i mỗi tập có 2 phần tử thuộc M
Vì B M nên ta có 10 M Ta có 2 bộ xấu đi với 10 là (2; 5; 10), (6; 10;
15) Dễ thấy rằng nếu cả 3 và 12 không thuộc M thì sẽ có ít nhất một trong hai bộ xấu trên được chứa trong M
