Một số phương pháp giải bất phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN PHI TUẤN PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN PHI TUẤN PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS TS ĐÀO TAM THANH HÓA, NĂM 2020 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sỹ khoa học Theo Quyết định số 1753/QĐ-ĐHHĐ ngày 22/6/2020 Phó Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Cơ quan Công tác Họ tên GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Trường ĐHKHTN – ĐHQGHN Trường ĐHGD ĐHQGHN Chức danh Hội đồng Chủ tịch Phản biện TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức Phản biện TS Nguyễn Hữu Hậu Trường Đại học Hồng Đức Ủy viên TS Phạm Thị Cúc Trường Đại học Hồng Đức Thư ký Xác nhận Ngƣời hƣớng dẫn Học viên sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2020 (Ký ghi rõ họ tên ) Nguyễn Phi Tuấn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Ngƣời cam đoan Nguyễn Phi Tuấn i LỜI CẢM ƠN Luận văn “ Phép nghich đảo ứng dụng vào việc giải tốn hình học sơ cấp” tác giả nghiên cứu hoàn thiện cách gần năm, luận văn khó hồn thành khơng có hướng dẫn bảo tận tình GS.TS Đào Tam , người mà tác giả biết ơn Trong trình học tập làm luận văn tác giả nhận quan tâm giúp đỡ, cổ vũ tạo điều kiện nhiều từ phía thầy cô giáo khoa, Khoa học Tự nhiên, Phòng Đào tạo sau Đại học Ban lãnh đạo trường Đại học Hồng Đức Tác giả trân trọng biết ơn giúp đỡ lớn lao Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPT Lê Văn Hưu - Ngôi trường mà tác giả công tác tạo điều kiện mặt thời gian, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý thầy cô, bạn đồng nghiệp độc giả để luận văn hoàn thiện ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ THỰC HÀNH VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Một số kiến thức liên quan đến đề tài 1.1.1 Phương tích điểm đường trịn 1.1.2 Góc hai đường cong 1.2 Một số kiến thức phép nghịch đảo phẳng 1.2.1 Khái niệm phép nghịch đảo mặt phẳng 1.2.2 Tính chất phép nghịch đảo Kết luận chương 15 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP 16 2.1 Các tốn dựng hình 16 2.1.1 Bài tốn dựng hình 16 2.1.2 Phương pháp giải 17 2.1.3 Các ví dụ 17 2.2 Các toán chứng minh 20 2.2.1 Bài toán chứng minh 20 2.2.2 Phương pháp giải toán chứng minh 20 2.2.3 Các ví dụ 21 2.3 Các toán tìm tập hợp điểm 34 2.3.1 Bài tốn quỹ tích 34 2.3.2 Phương pháp giải 35 2.3.3 Các ví dụ 35 2.4 Các dạng toán khác 45 2.5 Lợi dụng cách giải toán nghịch đảo để định hướng cách giải sơ cấp khác cho toán ban đầu 53 2.6 Phát triển toán nhờ biến đổi hình qua phép nghịch đảo 57 iii Kết luận chương 65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO .68 iv MỞ ĐẦU 1.1 Tính cấp thiết đề tài Trong chương trình Hình học sơ cấp trường Đại học sư phạm hay trường Đại học có khoa sư phạm nước giới quan tâm nghiên cứu chủ đề: “Phép nghịch đảo” Trong giáo dục tốn học trường phổ thơng, đặc biệt THPT chủ đề phép nghịch đảo ứng dụng giải toán quan tâm lớp chuyên mơn tốn Phép nghịch đảo chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia Nhiều dạng tốn khó hình học liên quan đến đường thẳng đường tròn tháo gỡ nhờ sử dụng phép nghịch đảo Phép nghịch đảo cho phép chuyển toán phức tạp toán quen thuộc đơn giản Các dạng toán bao gồm: Các tốn tìm tập hợp điểm; tốn dựng hình; tốn chứng minh hệ thức độ dài, so sánh độ dài đường thẳng, chứng minh thẳng hàng, đồng qui, chứng minh họ đường thẳng, đường tròn qua điểm cố định, tốn quan hệ song, vng góc đường thẳng, đường trịn trực giao Các dạng tốn nêu phản ánh phong phú tài liệu tham khảo nước nước Nhiều tốn khó nghịch đảo tuyển chọn đề thi học sinh giỏi: Đề thi đề nghị olimpic truyền thống; Đề thi đề nghị IMO 2003; Nga đề nghị kỳ thi IMO 1985; USAMO 1990; IMO 1996; IMO 1995 Tuy nhiên qua nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy tác giả chưa thật nhấn mạnh để chốt lại cách sâu sắc tri thức phương pháp cho việc giải dạng toán nhờ sử dụng phép nghịch đảo Đặc biệt chưa quan tâm đầy đủ việc chuyển hóa sư phạm từ hướng giải nghịch đảo để định hướng cho việc giải phương pháp phổ thông khác gần gủi với học sinh Cũng tài liệu tham khảo tác giả chưa quan tâm đến việc sáng tạo, phát triển toán tài liệu giáo khoa, sách tập thành toán Việc nghiên cứu tri thức phương pháp cho dạng toán, nghiên cứu mở rộng phát triển toán mới; nghiên cứu trang bị cho giáo viên kiến thức phép nghịch đảo kỹ năng, kỹ thuật giải tốn khó góp phần định hướng bồi dưỡng nghiệp vụ cho giáo viên, chuẩn bị kiến thức kỹ đáp ứng yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi toán Nhiều toán Trường THPT giải cách sử dụng phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp biến hình giải nhờ sử dụng phép nghịch đảo tính chất chúng Vì lý nói chúng tơi chọn đề tài “ Phép nghich đảo ứng dụng vào việc giải tốn hình học sơ cấp” Để góp phần làm sâu sắc đề tài nghiên cứu hạn chế xét phép nghịch đảo ứng dụng việc giải tốn hình học sơ cấp mặt phẳng 1.2 Mục tiêu nghiên cứu Trang bị cho giáo viên toán kiến thức kĩ giải toán nhờ sử dụng phép nghịch đảo Từ góp phần bồi dưỡng cho giáo viên tiềm bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học lớp chun chọn mơn tốn 1.3 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu - Khai thác tri thức phương pháp giải dạng tốn hình học sơ cấp nhờ sử dụng phép nghịch đảo tính chất nó, nghiên cứu vai trị định hướng giải tốn hình học phát triển tốn nhờ khai thác tiềm phép nghịch đảo - Một số tốn hình học giải bẳng ứng dụng phép nghịch đảo 1.4 Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết chuẩn bị phép nghịch đảo - Nghiên cứu tính chất phép nghịch đảo - Nghiên cứu áp dụng phép nghịch đảo vào giải tốn hình học sơ cấp 1.5 Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý thuyết qua tài liệu hình học sơ cấp trường đại học sư phạm - Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán nước giới - Nghiên cứu dạng toán nghịch đảo qua ki thi quốc gia, quốc tế - Nghiên cứu toán sách giáo khoa phổ thơng giải nhờ sử dụng phép nghịch đảo mặt phẳng 1.6 Dự kiến kết Trên sở tiếp cận nghiên cứu khái niệm tính chất phép nghịch đảo vai trị chúng, chúng tơi cho rằng: “Nếu tìm tịi khai thác ứng dụng khác kiến thức phép nghịch đảo vào việc giải dạng tốn khó hình học sơ cấp góp phần trang bị cho giáo viên kiến thức kĩ đáp ứng yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi toán theo chủ đề ứng dụng phép nghịch đảo” 1.7 Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu kết luận gồm chương: Chương : Một số sở lý thuyết phép nghịch đảo Chương : Một số ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn hình học phổ thông nâng cao N A1 ,k  : B1  B1 ' N A1 ,k  : C1  C1 ' N A1 ,k  : D1  D1 ' N A1 ,k  : A2  A2 ' N A1 ,k  : B2  B2 ' N A1 ,k  : C2  C2 ' N A1 ,k  : D2  D2 ' Suy B1, C1, D1 thẳng hàng, Ta có d1 , d giao A2 ' , d1 cắt  O4  D1 ', D2 ' , d cắt  O3  B1 ', B2 ' ,  O3  cắt  O4  C1 ', C2 ' Áp dụng trực tiếp bổ đề trên, ta có A2 ', B2 ', C2 ', D2 ' đồng viên Suy A2 , B2 , C2 , D2 đồng viên Chiều ngược lại chứng minh tương tự, suy đpcm Chúng ta hồn tồn xét phép nghịch đảo tâm A2 làm hoàn tồn tương bổ đề có hai chiều 2.5 Lợi dụng cách giải toán nghịch đảo để định hƣớng cách giải sơ cấp khác cho toán ban đầu Ở mục chúng tơi trình bày số dạng toán giải phương pháp nghịch đảo Ở quan tâm chủ yếu chuyển hình tốn cho thành hình khác nhờ sử dụng phép nghịch đảo, qua chuyển toán cho dạng quen thuộc dễ thực lời giải Trong mục tri thức phương pháp mà quan tâm lựa chọn phép nghịch đảo để dựng ảnh đơn giản nhất, thuận tiện cho việc phát lời giải 53 Trong mục quan tâm chủ yếu sử dụng phép nghịch đảo không để giải tốn sơ cấp cho mà cịn sau giải nghịch đảo giúp làm sáng tỏ ý tưởng cho việc tìm tịi cách giải sơ cấp khác Có thể hình dung quy trình tìm tịi lời giải toán sơ cấp sau Bước : Nghiên cứu cách giải phương pháp nghịch đảo Bước : Chọn phép nghịch đảo tiến hành cách giải sử dụng phép nghịch đảo Bước : Chuyển ý tưởng cho cách giải sơ cấp khác Bước : Thực cách giải sơ cấp cho toán Dưới chúng tơi trình bày vài ví dụ minh họa Ví dụ [12] Xét tốn “ Cho đường tròn  C  tâm O đường thẳng d không cắt  C  ; A điểm thuộc d Dựng đường tròn   tiếp xúc với d A tiếp xúc với đường tròn  C  Xét thêm trường hợp đường thẳng d cắt  C  ” a Phân tích tìm tịi cách giải nhờ sử dụng phép nghịch đảo Trước tiên ta nhận thấy tâm K đường tròn   cần dựng thuộc đường thẳng m vng góc với đường thẳng d A Bài toán cần phải xác định điểm I – Điểm tiếp xúc   với  C  Điều khó với học sinh phương diện kỹ thuật Chúng ta sử dụng phép nghịch đảo để tìm điểm I Muốn ta dùng phép nghịch đảo cực A có tỉ số k phương tích điểm A đường tròn  C  , Ký hiệu k  PA/(C ) Qua phép nghịch đảo đường trịn   cần dựng có ảnh đường thẳng  ' tiếp xúc với đường tròn C  I ' Ở điều kiện   tiếp xúc với d nên tiếp tuyến  ' đường tròn   phải song song với d Khi I ' tiếp điểm nằm đường thẳng qua O vng góc với d ( xem hình vẽ đây) 54 Khi điểm I giao đường thẳng AI ' với đường tròn  C  tâm K đường tròn cần dựng giao trung trực AI với đường thẳng m đường thẳng qua A vuông góc với d Vậy đường trịn cần dựng xác định có tâm K bán kính KA Do đường thẳng qua O vng góc với d cắt  C  hai điểm I ' I '' nên tốn có hai nghiệm hình b Định hướng cách giải sơ cấp khác Nhờ cách giải nghịch đảo gợi ý cho tư tưởng tìm điểm I cách khác Thật giả   tiếp xúc với  C  I Khi ba điểm O, I , K thẳng hàng Giả sử AI cắt  C  I ' Khi tam giác OII ' tam giác KIA hai tam giác cân đồng dạng theo dấu hiệu (góc-góc) từ OI ' song song với AK Từ suy I ' giao đường thẳng qua O song song với m hay I ' giao đường thẳng qua O vng góc với d đường tròn  C  Từ suy cách tìm điểm I Lới giải túy sử dụng tam giác đồng dạng 55 không sử dụng phép nghịch đảo, nhiên phép nghịch đảo cho ta ý tưởng giải toán cách khác nhờ sử dụng tam giác đồng dạng Ví dụ [12] Xét tốn “ Cho đường tròn C (O; R) , I điểm cố định nằm đường tròn Đường thẳng d qua I cắt đường tròn  C  hai điểm A, B Các tiếp tuyến A, B  C  cắt M Tìm quỹ tích điểm M Hãy xét trường hợp điểm I nằm ngồi đường trịn” a Phân tích cách giải nhờ sử dụng phép nghịch đảo Do trực tiếp giải tốn khó khăn nên thay tìm quỹ tích M ta tìm quỹ tích M ' ảnh M qua phép nghịch đảo chọn Để đơn giản việc dựng ảnh, ta chọn phép nghịch đảo có cực O bảo tồn đường tròn  C  Muốn phương tích nghịch đảo chọn k  R Khi đường trịn  C  đường tròn nghịch đảo Qua phép nghịch đảo tâm O tỉ số k trên, ta ảnh tiếp tuyến MA đường trịn đường kính OA , ảnh tiếp tuyến MB đường trịn đường kính OB Khi dễ dàng kiểm tra giao điểm M ' hai đường trịn nói ảnh điểm M qua phép nghich đảo NOk : M  M ' điểm M ' trung điểm đoạn AB Do M ' nhìn OI góc vng M ' thuộc đường trịn đường kính OI Đường trịn trực giao với OI Quỹ tích cần tìm đường trịn đường kính OI Từ suy quỹ tích điểm M đường thẳng vng góc với OI H hay nói cách khác H hình chiếu M OI cố định Điều giải thích sau: Do tứ giác IHMM ' nội tiếp tron đường tròn ( IM ' M  IHM  900 ) nên R2 OI OH  OM '.OM  R , từ OH  , H điểm cố định OI Trường hợp điểm I nằm ngồi đường trịn ta có cách giải tương tự Tuy nhiên cần ý quỹ tích lúc phần đường tròn OI nằm đường tròn OI 56 b Định hướng cách giải sơ cấp Do đường trịn quỹ tích tốn trực giao với đường thẳng OI Từ đường thẳng MH vng góc với OI , suy hình chiếu M lên OI điểm H cố định Suy quỹ tích M đường thẳng vng góc với OI H 2.5 Phát triển toán nhờ biến đổi hình qua phép nghịch đảo Việc dạy học trường phổ thông yêu cầu học sinh phải tiếp cận phát vấn đề mới, tăng cường phát triển tư người học Đó nhân tố việc phát triển lực người học theo tinh thần đổi giáo dục toán học trường phổ thơng Để thực nhiệm vụ nói người giáo viên cần phải chuẩn bị tri thức kỷ để đáp ứng nhu cầu giáo dục toán học, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi toán Việc nghiên cứu phép nghịch đảo hội cho người giáo viên tri thức kỷ nói Nhờ phép nghịch đảo chuyển hóa toán từ 57 dạng sang dạng khác Từ cho phép học sinh nhìn nhận vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau, biết cách tìm tịi sáng tạo tốn Ví du [7] Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ba nửa đường trịn đường kính AB, BC, CA nằm phía đường thẳng AB Dựng đường tròn tiếp xúc với ba nửa đường trịn Lời giải Phân tích: Giả sử ta dựng đường tròn  C  thỏa yêu cầu tiếp xúc với nửa đường tròn  C1  ,  C2  ,  C3  có đường kính AB, BC, CA Xét phép nghịch đảo có cực điểm A , phương tích k  AB AC Qua phép nghịch đảo này, ta có: Điểm B biến thành C 58 Đường tròn  C2  biến thành  C2  (do PA/ BC  AB AC ) Đường tròn  C3  biến thành đường thẳng Bm ( Bm tiếp xúc với  C2  B  C3  tiếp xúc với  C2  C ) Đường tròn  C1  biến thành Cn ( Cn tiếp xúc với  C2  C  C1  tiếp xúc với  C2  B ) Đường tròn  C  biến thành đường tròn  C ' (do  C  không qua A) Do  C  tiếp xúc với  C1  ,  C2  ,  C3  Suy  C ' tiếp xúc với Cn ,  C2  , Bm Suy tâm O '  C ' nằm đường trung trực BC gọi I trung điểm BC ta có IO '  BC Cách dựng: - Dựng Cn, Bm tia tiếp tuyến phía với nửa đường trịn  C2  C , B tức từ C , B kẻ tia vng góc với BC phía với nửa đường tròn  C2  - Dựng đường trung trực d BC Lấy I trung điểm BC O '  d cho O ' I  BC ( O ' nằm phía với nửa đường trịn  C2  ) BC   - Dựng đường tròn  O ';  Kẻ đường thẳng d ' qua O ' vng góc   BC   với Bm , d ' cắt đường tròn d’  O ';  H ', K ' Lấy J ' trung điểm   O'I - Dựng J giao điểm AJ ' với đường tròn  C2  H giao điểm AH ' với đường tròn  C3  K giao điểm AK ' với đường tròn  C1  - Dựng đường tròn qua điểm J , H , K Đường tròn qua J , H , K đường trịn  C  cần dựng Chứng minh: 59 Xét phép nghịch đảo cực điểm A phương tích k  AB AC Qua phép nghịch đảo này, ta có: Điểm B biến thành C Đường tròn  C2  biến thành  C2  (do PA/ BC  AB AC ) Đường tròn  C3  biến thành đường thẳng Bm ( Bm tiếp xúc với  C2  B  C3  tiếp xúc với  C2  C ) Đường tròn  C1  biến thành Cn ( Cn tiếp xúc với  C2  C  C1  tiếp xúc với  C2  B ) Điểm J biến thành J ' (do AB AC  AJ AJ ' ) Điểm H biến thành H ' (do AB AC  AH AH ' ) Điểm K biến thành K ' (do AB AC  AK AK ' ) Suy :  C  biến thành  C ' Ta có, O ' H '  d  O '; Bm  , O ' K  d O '; Cn  , O ' I  BC nên đường tròn BC    O ';  tiếp xúc Bm, Cn,  C2  H ', K ', J ' Suy  C  tiếp xúc   với  C1  ,  C2  ,  C3  H, K, J Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Do nhất, suy H ', K ', J ' nhất,  C  Ta biến đổi toán toán ban đầu thành toán sau Bài tốn : Cho nửa đường trịn đường kính BC , kẻ phía hai tia Bm, Cn vng góc với BC Dựng đường trịn tiếp xúc với đường Bm, Cn nửa đường tròn đường kính BC Bài tốn : Xét toán “ Cho đoạn thẳng AB , M điểm thuộc đoạn thẳng phía đường thẳng AB dựng nửa đường tròn  C1  , C2  , C3  có đường kính 60 AB, AM , MB Giả sử O tâm đường tròn  C  tiếp xúc với đường tròn  C1  ,  C2  ,  C3  Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ,  C  có bán kính r ” Chúng ta xây dựng toán dựa vào kết quả, hay định lí biết cách lựa chon phép nghịch đảo với tâm tỉ số nghich đảo khác thu kết toán khác hay toán ban đầu Ví dụ [7] Cho tam giác ABC , ta chứng minh đường cao AA', BB ', CC ' đồng qui điểm H Từ kết ta xây dựng toán khác sau Hai tứ giác A ' HC ' B, A ' HB ' C nội tiếp Do AC ' AB  AH AA'  AB ' AC - Xét phép nghịch đảo tâm A , tỉ số k  AC ' AB Ta có N( A,k ) : BB '  ( ACC ') N( A,k ) : CC '  ( ABB ') N( A,k ) : AH  AH Qua phép nghịch đảo đó, ta có tốn : Trong tam giác ABC , gọi B ', C ' hình chiếu B, C lên hai đường thẳng AC, AB Gọi A ' giao điểm 61 thứ hai hai đường tròn ( ABB '),( ACC ') Chứng minh đường AA' đường cao tam giác ABC Ta lại có HA.HA '  HB.HB '  HC.HC '  k - Xét phép nghịch đảo tâm H , tỉ số k Ta có N( H ,k ) : AB  ( AC ' HB ') N( H ,k ) : BC  ( BA ' HC ') N( H ,k ) : CA  (CB ' HA ') Qua phép nghịch đảo cho ta toán: Trong tam giác ABC , gọi A ', B ', C ' hình chiếu điểm A, B, C lên đường thẳng BC, AC, AB Chứng minh đường tròn ( AB ' C '),( BA ' C '),(CB ' A') đồng qui điểm Gọi D trung điểm đoạn BC , BC Ta có phép nghịch đảo này, điểm B, C, C ', B ' điểm bất động Xét phép nghịch đảo tâm D , tỉ số k  N( D,k ) : AC  ( DB ' C ) N( D,k ) : AB  ( DBC ') N( D,k ) : BB '  ( DBB ') N( D,k ) : CC '  ( DCC ') N( D,k ) : BC  BC Do N( D ,k ) : A  E ; N( D ,k ) : H  F ; N( D ,k ) : A '  G Qua phân tích trên, tốn: Trong tam giác ABC , gọi A ', B ', C ' hình chiếu điểm A, B, C lên hai đường thẳng BC, AC, AB Gọi E, F giao điểm thứ hai cặp đường tròn  B 'CD   BC ' D  ,  BB ' D   CC ' D  , G giao điểm thứ hai đường thẳng BC với đường tròn ( DEF ) Chứng minh a Chứng minh điểm A, E, D thẳng hàng b Chứng minh điểm F , H , D thẳng hàng c Chứng minh tâm đường tròn ( DEF ) nằm đường thẳng BC DA '.DG  DB2 62 Ví dụ [12] Xét tốn “ Cho đường tròn C (O; R) , I điểm cố định nằm đường tròn Đường thẳng d qua I cắt đường tròn  C  hai điểm A, B Các tiếp tuyến A, B  C  cắt M Tìm quỹ tích điểm M Hãy xét trường hợp điểm I nằm ngồi đường trịn” [Tài liệu số 12 tr 36] Bài toán giải nhờ sử dụng phép nghịch đảo mục 2.3.5 Dựa vào tính chất phép nghịch đảo liên quan đến mối liên hệ đường thẳng đường tròn, đường tròn với đường trịn biến đổi thành tốn sau : “ Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R I điểm nằm đường trịn, đường thẳng d qua I cắt đường tròn (C) hai điểm A, B Gọi   đường tròn qua I; B tiếp xúc với đường tròn (C) ( ) đường tròn qua I; A tiếp xúc với (C) A Hãy tìm quỹ tích giao điểm M  I hai đường tròn   ( ) đường d di động qua I” ( xem hình 46) Hướng giải Để tìm quỹ tích điểm M ta chuyển tìm quỹ tích điểm M ' ảnh M qua phép nghịch đảo tâm I , tỉ số k  PI /( O )  IA.IB , qua phép nghịch đảo đường tròn   ( ) tương ứng có ảnh tiếp tuyến A B đường tròn  O  Khi giao điểm M hai đường 63 tròn biến thành giao điểm M ' hai tiếp tuyến nêu trên, có nghĩa IM IM '  k Việc tìm quỹ tích điểm M ' đường thẳng d quay quanh I xét mục 2.3.5 Bài tốn giải kiến thức phổ thơng, nhờ sử dụng phương tích điểm với đường tròn Tuy nhiên tốn chưa trình bày tài liệu tham khảo 64 Kết luận chƣơng Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng phép nghịch đảo tính chất chúng nhằm trang bị số kir thuật để giải dạng toán : Dựng hình, quỹ tích, tốn chứng minh, số dạng toán khác Nổi bật chương đề cập tới hai vấn đề quan sau đây, kèm theo ví dụ minh họa: - Sử dụng phép nghịch đảo nhằm định hướng cho việc tìm tịi lời giải tốn sơ cấp, tốn phổ thơng - Đề xuất tốn nhờ sử dụng phép nghịch đảo để thay đổi điều kiện cho toán, dẫn tới kết luận Các vấn đề định hướng đề xuất tốn có ý nghĩa thiết thực việc tiếp cận phát vấn đề, việc tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi 65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Quá trình nghiên cứu luận văn, rút kết luận sau - Trang bị số kỷ dựng ảnh giúp sinh viên toán học sinh giỏi toán phát triển kỷ giải vấn đề ứng dụng phép nghịch đảo giải toán sơ cấp Những kỷ có nhờ sử dụng tri thức phương tích điểm đường tròn, kiến thức ảnh đường thẳng đường tròn trường hợp đường qua không qua tâm nghịch đảo - Giúp người học biết định hướng phương pháp cho việc giải dạng tốn: Dựng hình; tìm tập hợp điểm; tốn chứng minh hình học số dạng toán khác nhờ sử dụng phép nghịch đảo - Giúp sinh viên, học giáo viên tốn chuyển hóa lời giải toán phương pháp nghịch đảo sang phương pháp giải toán sơ cấp Kết nghiên cứu giúp phát triển lực phát giải vấn đề nghiên cứu toán sơ cấp - Luận văn đưa định hướng phát toán nhờ biến đổi tốn thơng qua sử dụng tính chất phép nghịch đảo Kết góp phần rèn luyện cho học sinh, sinh viên cách thức sáng tạo toán nhờ sử dụng phép nghịch đảo Qua nghiên cứu đề xuất kiến nghị : Tăng cường seminar cho sinh viên chủ đề phát toán mới, kiến thức nhờ sử dụng phép nghịch đảo 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Anh Dũng, Phép nghịch đảo qua tốn hình học thi olympic Việt Nam, TH&TT số 1/2019 trang 9-12 [2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xn Bình (2000), Tốn nâng hình học 10, Nxb Giáo dục [3] Nguyễn Mộng Hy (2008), Các phép biến hình mặt phẳng, Nxb Giáo dục [4] Hidetoshi Fukagawa, John F Rigby Người dịch Trần Anh Dũng (2007), Những Bài toán cổ truyền nhật kỉ XVIII Thế kỉ XIX, Nxb Giáo dục [5] Nguyễn Phi Mãng, Tứ giác điều hòa cách nhìn Phép nghịch đảo, TH&TT số 1/2017 trang 15-27 [6] Nguyễn Đinh Nhân, Đào Tam (1985), Bài giảng phép nghịch đảo, Trường Đại học Vinh [7] Trần Lê Nam (Chủ biên), Nguyễn Dương Hoàng, Phan Thị Hiệp (2019), Giáo trình hình học sơ cấp nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam [8] Nguyễn Văn Nho (2005), Những định lý chọn lọc hình học phẳng qua kỳ thi Olympic, Nxb Giáo Dục [9] Văn Phú Quốc (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [10] Đỗ Thanh Sơn (1994), Phép biến hình mặt phẳng, Nxb Giáo Dục [11] Đỗ Thanh Sơn (2009), Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi, Nxb Giáo Dục [12] Đào Tam, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Lưu Xuân Tình (2004), Tuyển tập 200 tốn vơ địch tốn tập Hình học phẳng, Nxb Giáo dục 67