Ôi cữỡng vã phữỡng trẳnh
Phữỡng trẳnh mởt ân
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x), tập xác định của chúng lần lượt là D_f và D_g Tập D = D_f ∩ D_g là tập xác định chung của hai hàm Phương trình f(x) = g(x) được gọi là phương trình mở một ẩn, trong đó x là ẩn số và D là tập xác định của phương trình Nếu x_0 ∈ D là một nghiệm của phương trình f(x) = g(x), thì điều kiện f(x_0) = g(x_0) phải được thỏa mãn.
Trong lĩnh vực toán học, việc xác định điều kiện cần và đủ cho một phương trình là rất quan trọng Điều kiện cần là những yêu cầu tối thiểu để phương trình có thể được giải, trong khi điều kiện đủ đảm bảo rằng phương trình sẽ có nghiệm Để hiểu rõ hơn, cần phân tích kỹ lưỡng các điều kiện xác định của phương trình và mối quan hệ giữa chúng.
Khi giải mở phưỡng trình, chúng ta thường cần xác định hoặc có thể tính giá trị gần đúng của nghiệm Giá trị gần đúng này chính là nghiệm gần đúng của phương trình.
(iii) CĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) = g(x) l ho nh ở giao iºm cừa ỗ thà hai h m số y = f(x) v y = g(x).
Phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng
ành nghắa 1.1.3 Hai phữỡng trẳnh (cũng ân) ữủc gồi l tữỡng ữỡng náu chúng cõ cũng mởt têp nghiằm Náu phữỡng trẳnhf 1 (x) = g 1 (x) tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnhf 2 (x) =g 2 (x) thẳ ta viátf 1 (x) =g 1 (x) ⇔ f 2 (x) g 2 (x).
Ph²p bián ời tữỡng ữỡng
Giới thiệu về phương trình, thông thường ta biết đến phương trình như một phương trình tổng quát hơn Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương Ví dụ, cho phương trình f(x) = g(x), ta cần xác định miền xác định D; y h(x) là một hàm số xác định trên miền D (h(x) có thể là hằng số) Khi thực hiện các phép biến đổi, cần chú ý đến tính tương đương của phương trình.
D, phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi mội phữỡng trẳnh sau:
Phữỡng trẳnh hằ quÊ
Trong toán học, khi hai hàm số f(x) và g(x) bằng nhau, tức là f(x) = g(x), thì đạo hàm của chúng cũng sẽ bằng nhau, được biểu diễn là f'(x) = g'(x) Nếu chúng ta bình phương cả hai vế của phương trình f(x) = g(x), ta sẽ có [f(x)]² = [g(x)]², từ đó dẫn đến việc tìm ra các phương trình hàm số liên quan.
(i) Náu hai vá cừa mởt phữỡng trẳnh luổn cũng dĐu thẳ khi bẳnh phữỡng hai vá cừa nõ, ta ữủc phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng.
Náu ph²p bián ời mởt phữỡng trẳnh dăn án phữỡng trẳnh hằ quÊ thẳ sau khi giÊi phữỡng trẳnh hằ quÊ, ta phÊi thỷ lÔi cĂc nghiằm tẳm ữủc v o phữỡng trẳnh  cho º phĂt hiằn v loÔi bọ nghiằm ngoÔi lai.
Phữỡng trẳnh nhiãu ân
ành nghắa 1.1.6 Phữỡng trẳnh nhiãu ân l cĂc phữỡng trẳnh cõ dÔng
F = G, trong õ F v G l nhỳng biºu thực cừa nhiãu bián Ch¯ng hÔn,
2x 2 + 4xy −y 2 = −x+ 2y + 3 l mởt phữỡng trẳnh hai ân (x v y); x+y +z = 3xyz l mởt phữỡng trẳnh ba ân (x, y v z).
Nghiệm của phương trình hai ẩn \(x\) và \(y\) tại điểm \((x_0; y_0)\) (với \(x_0\) và \(y_0\) là số) được gọi là nghiệm của phương trình đó Khái niệm nghiệm của phương trình có thể mở rộng cho các phương trình ba ẩn, bốn ẩn, và nhiều ẩn khác.
Phữỡng trẳnh bêc nhĐt v bêc hai mởt ân
Phữỡng trẳnh bêc nhĐt
Kát quÊ giÊi v biằn luên phữỡng trẳnh dÔng ax+b = 0 ữủc tõm tưt nh÷ sau.
1) a 6= 0 : Phữỡng trẳnh cõ mởt nghiằm duy nhĐt x = −b a.
3) a = 0 v b = 0 : Phữỡng trẳnh cõ nghiằm úng vợi mồi x ∈ R.
Phữỡng trẳnh bêc hai
Kát quÊ giÊi v biằn luên phữỡng trẳnh dÔng ax 2 + bx + c = 0 ữủc tâm t t nh÷ sau.
1) a 6= 0 : Trð vã giÊi v biằn luên phữỡng trẳnh ax+b = 0.
∆> 0 : Phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm (phƠn biằt) x = −b−√
∆ = 0 : Phữỡng trẳnh cõ mởt nghiằm (k²p) x = − b
Ùng dửng cừa ành lỵ Vi-²t
Hai số x₁ và x₂ là các nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức x₁ + x₂ = -b/a và x₁x₂ = c/a Những hệ thức này thể hiện mối liên hệ quan trọng giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình.
(1) Náu a v c trĂi dĐu thẳ phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm trĂi dĐu.
(2) Nhâm nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc hai.
(3) Phan tẵch a thực th nh nhƠn tỷ Náu a thực f(x) = ax 2 + bx+ c cõ hai nghiằm x 1 v x 2 thẳ nõ cõ thº phƠn tẵch th nh nhƠn tỷ f(x) a(x−x 1 )(x−x 2 ).
(4) Tẳm hai số khi biát tẵch v tờng.
Phữỡng trẳnh quy vã phữỡng trẳnh bêc nhĐt, bêc hai
Phữỡng trẳnh chựa ân trong dĐu giĂ trà tuyằt ối
Giải phẫu trình chữa ấn trong đậu giá trà tuyết ối có thể giúp nâng cao hiểu biết về giá trị của trà tuyết ối hoặc bằng phận hai và giải đậu giá trà tuyết ối Một số phận trình chữa đậu giá trà tuyết ối hay gặp bao gồm:
Phữỡng trẳnh chựa ân dữợi dĐu côn
Giới thiệu về phương trình chữa ẩn dữ liệu, chúng ta thường bắt gặp phương trình hai ẩn và một phương trình hằng số chữa ẩn dữ liệu Một số phương trình chữa ẩn dữ liệu thường gặp bao gồm:
Hằ phữỡng trẳnh bêc nhĐt nhiãu ân
Hằ hai phữỡng trẳnh bêc nhĐt hai ân
ành nghắa 1.4.1 Cho hai phữỡng trẳnh bêc nhĐt hai ân a 1 x+b 1 y = c 1 v a 2 x+b 2 y = c 2 (tực l a 1 2 +b 1 2 6= 0 v a 2 2 +b 2 2 6= 0) Khi õ, ta cõ hằ hai phữỡng trẳnh bêc nhĐt hai ân sau:
Mội c°p số (x 0 ;y 0 ) ỗng thới l nghiằm cừa hai phữỡng trẳnh trong hằ ữủc gồi l nghiằm cừa hằ.
GiÊi hằ phữỡng trẳnh l tẳm tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa nõ.
CĂc khĂi niằm vã hằ phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng, hằ phữỡng trẳnh hằ quÊ cụng tữỡng tỹ nhữ ối vợi phữỡng trẳnh.
Nhên x²t 1.4.2 GiÊi sỷ (d) la ữớng th¯ng ax+by = c v (d 0 ) l ữớng th¯ng a 0 x+b 0 y = c 0 Khi â:
(i) Hằ cõ nghiằm duy nhĐt ⇔ (d) v (d 0 ) cưt nhau.
(ii) Hằ vổ nghiằm ⇔ (d) v (d 0 ) song song vợi nhau.
(iii) Hằ cõ vổ số nghiằm ⇔ (d) v (d 0 ) trũng nhau.
Hằ ba phữỡng trẳnh bêc nhĐt ba ân
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng ax + by + cz = d, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số, với a, b, c không đồng thời bằng 0 Phương trình này được sử dụng để mô tả các mặt phẳng trong không gian ba chiều.
Trong hệ phương trình ba ẩn gồm các phương trình dạng a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₂x + b₂y + c₂z = d₂ và a₃x + b₃y + c₃z = d₃, các biến x, y, z là những ẩn số cần tìm Mỗi bộ số (x₀; y₀; z₀) sẽ là nghiệm của hệ phương trình này, đồng thời cũng là nghiệm của từng phương trình riêng lẻ trong hệ.
Sỹ ỗng bián, nghàch bián cừa h m số
Tẵnh ỡn iằu cừa h m số
Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số đồng biến nếu với mọi cặp x₁, x₂ thuộc D, khi x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) cũng nhỏ hơn f(x₂) Cụ thể, nếu x₁ < x₂ thì suy ra f(x₁) < f(x₂), điều này cho thấy rằng hàm số f(x) có tính chất tăng dần trên khoảng D.
H m số y = f(x) nghàch bián (giÊm) trản D náu vợi mồi c°p x1, x2 thuởc D m x 1 nhọ hỡn x 2 thẳ f(x 1 ) lợn hỡn f(x 2 ), tực l x 1 < x 2 ⇒f(x 1 ) > f(x 2 ).
H m số ỗng bián ho°c nghàch bián trản D ữủc gồi chung l h m số ỡn iằu trản D. ành lỵ 1.5.1 Cho h m số y = f(x) cõ Ôo h m trản D.
(a) Náu f 0 (x) > 0 vợi mồi x thuởc D thẳ h m số f(x) ỗng bián trản D. (b) Náu f 0 (x) < 0 vợi mồi x thuởc D thẳ h m số f(x) nghàch bián trản D. Tõm lÔi, trản D
Chú ỵ 1.5.2 Náu f 0 (x) = 0,∀x ∈ D thẳ f(x) khổng ời trản D.
Chú ý 1.5.3: Ta có ánh lẵng mở rộng sau đây Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định D Nếu f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) với mọi x ∈ D và f'(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trong miền D, thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên miền D.
Quy tưc x²t tẵnh ỡn iằu cừa h m số
2 Tẳm Ôo h m f 0 (x) Tẳm cĂc iºm x i (i = 1,2, , n)) m tÔi õ Ôo h m bơng 0 ho°c khổng xĂc ành.
3 Sưp xáp cĂc iºm x i theo thự tỹ tông dƯn v lêp bÊng bián thiản.
4 Nảu kát luên vã cĂc khoÊng ỗng bián, nghàch bián cừa h m số.
Mởt số phữỡng phĂp cỡ bÊn giÊi phữỡng trẳnh 14
Lụy thứa hai vá 14 1 Mửc ẵch, phữỡng phĂp chung, dĐu hiằu nhên biát 14
2.1.1 Mửc ẵch, phữỡng phĂp chung, dĐu hiằu nhên biát
Khỷ dĐu côn thực, ữa phữỡng trẳnh  cho vã phữỡng trẳnh a thực ho°c nhỳng phữỡng trẳnh giÊi ữủc.
Chuyºn ời cĂc số hÔng chựa côn sao cho Êm bÊo tẵnh khổng Ơm ð hai vá (náu cƯn). °t iãu kiằn.
Lụy thứa hai vá, giÊi phữỡng trẳnh thu ữủc.
So sĂnh vợi iãu kiằn Kát luên nghiằm.
DĐu hiằu nhên biát p f(x) = g(x); p f(x) = pg(x); p 3 f(x) = g(x); p 3 f(x) = p 3 g(x); p f(x) +pg(x) = h(x); p f(x) +pg(x) = ph(x); p 3 f(x) +p 3 g(x) = h(x); p 3 f(x) +p 3 g(x) = p 3 h(x);
Trong õ, f(x), g(x), h(x) thổng thữớng l nhỳng a thực bêc nhĐt, bêc hai.
Vẵ dử 2.1.1 GiÊi phữỡng trẳnh: 4x 2 −8x+√
(ã thi thỷ ai hồc trữớng THPT Chuyản Phan Bởi ChƠu - Nghằ An) PhƠn tẵch.
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng
Bẳnh phữỡng hai vá cừa phữỡng trẳnh, ta ữủc
Ta bọ qua bữợc °t iãu kiằn º −4x 2 + 8x+ 1 ≥ 0v thỷ lÔi nghiằm sau khi giÊi Tiáp tửc, ta thu ữủc mởt a thực bêc bốn.
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng
Sỷ dửng mĂy tẵnh CASIO º phƠn tẵch th nh nhƠn tỷ
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm l x = 5−
4 Vẵ dử 2.1.2 GiÊi phữỡng trẳnh √
(ã thi HSG t¿nh Vắnh Long) PhƠn tẵch.
Sai lƯm thữớng g°p: Bẳnh phữỡng 2 vá m quản mĐt iãu kiằn khổng Ơm.
Dăn án viằc kát luên nghiằm x = −3 v x = 10 l sai.
CĂch 1: Bọ qua viằc x²t iãu kiằn, thỷ lÔi nghiằm tẳm ữủc Tực l sau khi tẳm ữủc nghiằm x = −3 v x = 10 ta phÊi thay v o phữỡng trẳnh ban ¦u º kiºm tra.
CĂch 2: °t iãu kiằn ho°c bián ời º Êm bÊo tẵnh khổng Ơm cừa 2 vá trữợc khi bẳnh phữỡng.
6−x Lúc n y, cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh ãu khổng Ơm Do õ, ta bẳnh phữỡng hai vá m khổng cƯn °t iãu kiằn.
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng2
" x = −3 x = 10 ối chiáu vợi iãu kiằn, ta thĐy ch¿ cõ x = −3 l thọa mÂn.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt l x = −3.
Vẵ dử 2.1.3 GiÊi phữỡng trẳnh x+√
4−x 2 (ã thi chồn ởi tuyºn THPT Chuyản Lam Sỡn, Thanh Hõa) PhƠn tẵch.
Sai lƯm thữỡng g°p: Dỗn côn thực vã mởt vá v ch¿ °t iãu kiằn cho vá phÊi khổng Ơm. x−2 = x√
Bài toán 4−x² đề cập đến việc giải phương trình bậc hai và mở rộng phương trình bậc bốn, nhấn mạnh sự cần thiết phải sử dụng máy tính để phân tích các yếu tố phức tạp Việc kết luận cần có sự chính xác và cẩn thận để đảm bảo không xảy ra sai sót trong quá trình giải quyết.
4−x 2 Sau õ bẳnh phữỡng hai vá thẳ b i toĂn s³ nhà nh ng hỡn (bọ qua viằc x²t iãu kiằn v ta thỷ lÔi nghiằm sau khi tẳm ữủc).
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
2 Thỷ lÔi, ta thĐy cĂc nghiằm ãu thọa mÂn.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ 4 nghiằm x = 0, x = 2, x = ±√
Vẵ dử 2.1.4 GiÊi phữỡng trẳnh √ x−px−√ x−1 = 1.
(ã thi HSG t¿nh QuÊng Bẳnh) PhƠn tẵch.
1) Bẳnh phữỡng hai vá khi chữa Êm bÊo tẵnh khổng Ơm. x+ (x−√ x−1)−2x.(x−√ x−1) = 1
2) Tiáp tửc bẳnh phữỡng hai vá khi chữa Êm bÊo tẵnh khổng Ơm.
Tứ õ, dăn án viằc kát luên nghiằm x = 4 v x = 4
1) Bián ời º hai vá cừa phữỡng trẳnh khổng Ơm
√x = 1 +px−√ x−1 Lúc n y, hai vá cừa phữỡng trẳnh ãu khổng Ơm v viằc bẳnh phữỡng hai vá cụng khổng cƯn iãu kiằn nỳa.Phữỡng trẳnh  cho trð th nh
2) án Ơy, náu khổng thĐy ữủc (∗) l phữỡng trẳnh bêc 2 theo √ x thẳ ta cõ thº °t iãu kiằn cho hai vá khổng Ơm (x ≥ 4
3) v sao õ tián h nh bẳnh phữỡng hai vá.
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng
⇔3x−4√ x−4 = 0 Ơy l phữỡng trẳnh bêc hai theo √ x
So sĂnh vợi iãu kiằn, ta thĐy x = 4 thọa mÂn.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt l x = 4.
Các dòng toán phức tạp thường gây khó khăn cho những người quen thuộc, nhưng chúng hoàn toàn có thể giải bớt bằng cách phân tích phức tạp một cách thực tế mà không cần lo ngại về tính chính xác của phương trình hay kết quả Tuy nhiên, cần có một số kỹ năng nhất định khi sắp xếp các yếu tố hợp lý, giúp bài toán trở nên dễ hiểu hơn Về phần đơn giản trong việc xác định, ta có thể giải xong rồi thu được kết quả.
GiÊi cĂc phữỡng trẳnh sau
2.2.1 Mửc ẵch, phữỡng phĂp chung, dĐu hiằu nhên biát
Bián ời ân, ữa phữỡng trẳnh  cho vã phữỡng trẳnh a thực ho°c nhỳng phữỡng trẳnh giÊi ữủc.
Ph÷ìng ph¡p chung °t ân phử, nảu iãu kiằn cừa ân phử (náu cõ). ữa phữỡng trẳnh  cho vã phữỡng trẳnh theo ân phử.
GiÊi phữỡng trẳnh theo ân phử v ối chiáu iãu kiằn cừa ân phử.
Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh ban Ưu ựng vợi nghiằm ân phử vứa tẳm ữủc.
So sĂnh vợi iãu kiằn Kát luên nghiằm.
DĐu hiằu nhên biát a.f(x) +b.pf(x) +c = 0; a.f 2 (x) +b.f(x) +c = 0; f 2 (x) + a.f(x)g(x) +b.g 2 (x) = 0; a.f(x)g(x) +b.pf(x)g(x) = 0; a.p 3 f(x) +b.pg(x) +c = 0; rax+b cx+d = mx+n cx+d ;
Trong õ, f(x), g(x), h(x) thổng thữớng l nhỳng a thực bêc nhĐt, bêc hai.
Vẵ dử 2.2.1 GiÊi phữỡng trẳnh
(ã thi thỷ Ôi hồc trữớng THPT Phan Chu Trinh, Nđng) PhƠn tẵch.
Phữỡng trẳnh a cho trð th nh√ x+ 1 +√
2x+ 3) 2 −20 Nhữ vêy, chúng ta  bián ời phữỡng trẳnh  cho vã phữỡng trẳnh bêc hai theo √ x+ 1 +√
2x 2 + 5x+ 3. Phữỡng trẳnh  cho trð th nh t 2 −t−20 = 0
Thỷ lÔi, ta thĐy ch¿ cõ x = 3 l thọa mÂn.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt l x = 3.
Vẵ dử 2.2.2 GiÊi phữỡng trẳnh x+ 2√
(ã thi HSG t¿nh Vắnh Phúc) PhƠn tẵch.
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
−x 2 + 8x−7 Dăn án viằc °t ân phử t= √
7−x−√ x−1. Tuy nhiản, chúng ta ch¿ giÊi quyát ữủc √
−x 2 + 8x−7ð vá phÊi, văn cỏn hÔng tỷ x−1 Do õ, hữợng i n y khổng khÊ thi.
Tứ Ơy, ta  giÊi quyát ữủc vĐn ã √
7−x,b = √ x−1 Phữỡng trẳnh  cho trð th nh phữỡng trẳnh theo √
−x 2 + 8x−7. Phữỡng trẳnh  cho trð th nh b 2 + 2a = 2b+ab
- Náu b = 2 ⇒√ x−1 = 2 ⇒ x= 5 Thỷ lÔi ta thĐy hai nghiằm ãu thọa mÂn.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm x = 4, x = 5.
Vẵ dử 2.2.3 GiÊi phữỡng trẳnh x 4 + 2x 3 + 2x 2 −2x+ 1 = (x 3 +x) s
(ã thi HSG t¿nh H Tắnh) PhƠn tẵch.
Trong bài viết này, chúng ta khám phá sự liên kết giữa hai phương trình và cách mà việc bậc hai và bậc một có thể tương tác với nhau Việc phân tích hai phương trình này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về toán học mà còn mở ra những ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau Một ví dụ cụ thể là việc giải phương trình \(4 + 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 + 1)p(x)(1 - x^2)\), thể hiện rõ nét sự kết hợp giữa các yếu tố đa thức và cách chúng tương tác trong không gian toán học.
Tuy nhiản, quay lÔi viằc x²t iãu kiằn: x ∈ (−∞,−1] ∪ (0,1] Ta khổng thº ữa x ∈ (−∞,−1] v o côn thực ữủc iãu n y dăn ta án suy nghắ x²t riảng trữớng hủp x∈ (−∞,−1].
- ỗng thới x = 1 khổng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh nản ta ch¿ x²t x ∈ (0,1).
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
Chia hai vá cừa phữỡng trẳnh cho (x 2 + 1)px(1−x 2 )
⇔ x 2 + 1 px(1−x 2 ) − 2px(1−x 2 ) x 2 + 1 = 1 (∗) °t t = x 2 + 1 px(1−x 2 ) > 0 Phữỡng trẳnh (∗) trð th nh t− 2 t = 1
So sĂnh vợi iãu kiằn, ta thĐy ch¿ cõ x = −1 +√
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt l x = −1 +√
Vẵ dử 2.2.4 GiÊi phữỡng trẳnh 2√
9x 2 + 16. (ã chồn ởi tuyºn trữớng HQG H Nởi) PhƠn tẵch.
1) Ngở nhên Ơy l dÔng mpA(x) +npB(x) = ppA(x)B(x) Dăn án viằc chia hai vá chop
Dạ d ng thĐy ữủc 2 vá cừa phữỡng trẳnh khổng Ơm iãu õ hữợng ta án viằc bẳnh phữỡng hai vá º giÊm thiºu lữủng côn thực trong phữỡng trẳnh.
2) Sai lƯm tiáp theo l ta °t t = √
8−2x 2 v cố gưng biºu diạn 9x 2 + 8x−32 theo t (bði vẳ dẵnh hÔng tỷ 8x).
3) °t hai ân phử, sau õ tẳm mối liản hằ giỳa hai ân phử tÔo th nh mởt hằ phữỡng trẳnh Vẵ dử nhữ
Tuy nhiên, để có được một bức tranh tổng thể, chúng ta phải quan sát vật chất phù hợp Trước mắt là một phương trình hàm quế bốn (nếu may mắn, ta sẽ giải ra nghiệm áp) Bài toán sẽ trở nên khó khăn và nặng nề Từ đó, ta nhận thấy việc áp dụng phương pháp vật chất phù hợp là rất quan trọng.
Bẳnh phữỡng hai vá v thu gồn ta ữủc
8−2x 2 Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng mt 2 −16t−m(8−2x 2 ) + 9x 2 + 8x−32 = 0
Ta mong muốn ∆ 0 = (Ax+B) 2 ⇔ ∆ 0 = 0 phÊi cõ nghiằm k²p Tực l
Tứ õ ta suy ra phữỡng trẳnh mợi l
x ≤ −84(8−2x 2 ) = (x+ 8) 2 Phữỡng trẳnh trản vổ nghiằm.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt l x = 4√
Phương pháp giải phương trình bậc hai là tìm số m sao cho phương trình có nghiệm thực, cụ thể là phương trình dạng ax² + bx + c = 0 với g(x) = -16 và h(x) = -mt² + x² + 8x = (9 + 2m)x² + 8x - 8m - 32 Để xác định điều kiện này, ta cần tính biệt thức ∆ = [A(x)]², trong đó A(x) là hệ số của x Việc này giúp xác định số nghiệm thực của phương trình dựa trên giá trị của m.
Bài toán giải phương trình bậc hai thường gặp ở nhiều kỳ thi, từ THCS cho đến THPT, đặc biệt là trong các kỳ thi HSG cấp tỉnh và khu vực Do đó, cần có những phương pháp hiệu quả để giải quyết bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác.
GiÊi cĂc phữỡng trẳnh sau
Sỷ dửng tẵnh ỡn iằu cừa h m số
2.3.1 Mửc ẵch, phữỡng phĂp chung, dĐu hiằu nhên biát
Biºn ời, ữa phữỡng trẳnh  cho vã phữỡng trẳnh cõ dÔng f(x) = c (ho°cf(u) = f(v)) vợi f l h m ỡn iằu trản D.
Dỹ oĂn, Ănh giĂ º tẳm ân mợi theo x º h m số theo ân mợi l h m ỡn iằu. ữa phữỡng trẳnh  cho vã phữỡng trẳnh theo ân mợi.
X²t h m số f(t) trản D v ch¿ ra ữủc f(t) l h m ỡn iằu.
Dỹ oĂn ữủc nghiằm º f(x) =c (ho°cf(u) =f(v)).
So sĂnh vợi iãu kiằn Kát luên nghiằm.
( f(x) ỡn iằu trảnD ⇒x 0 l nghiằm duy nhĐt.
Trong õ, f(x) thổng thữớng l nhỳng h m sỡ cĐp  hồc.
Vẵ dử 2.3.1 GiÊi phữỡng trẳnh √ 3 x+ 6 +x 2 = 7−√ x−1.
(ã thi HSG t¿nh LƠm ỗng) PhƠn tẵch.
Phữỡng trẳnh  cho cõ côn bêc hai v bêc ba Do õ, viằc Ăp dửng phữỡng phĂp bẳnh phữỡng hai vá s³ g°p nhiãu khõ khôn.
Náu ta có t = √(3x + 6) và t = √(x - 1), cho phép biến đổi phương trình theo t để mở rộng thành một phương trình thực hoặc phương trình giải ẩn Từ đó, ta nhận thấy việc sử dụng hàm số x² có thể giúp tính toán hiệu quả hơn trong quá trình giải.
Dạ thĐy x = 1 khổng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh nản ta ch¿ x²t x > 1 Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
M°t khĂc f(2) = 7 nản x = 2 l nghiằm duy nhĐt.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt l x = 2.
Vẵ dử 2.3.2 GiÊi phữỡng trẳnh 3 2x 3 −x+2 −3 x 3 +2x + x 3 −3x+ 2 = 0.
Ảnh hưởng của thi chồn ở Ninh Bình là một chủ đề quen thuộc, thường xuất hiện trong các kỳ thi THPT Cách giải quyết vấn đề này đòi hỏi sự chú ý đến việc áp dụng chính xác các công thức toán học Rõ ràng, phương trình có vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến số học.
3 2x 3 −x+2 +m(2x 3 −x+ 2) = 3 x 3 +2x +m(x 3 + 2x), trong õ m(2x 3 −x+ 2)−m(x 3 + 2x) =x 3 −3x+ 2 Dạ d ng tẵnh ữủc m = 1
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
X²t h m sè f(t) = 3 t +t, t ∈ R f 0 (t) = 3 t ln 3 + 1 > 0 ∀t Do õ, h m n y ỗng bián.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm l x = −2, x = 1.
Vẵ dử 2.3.3 GiÊi phữỡng trẳnh:
(ã thi HSG t¿nh QuÊng Ninh) PhƠn tẵch.
Sai lƯm thữớng g°p: Bián ời phữỡng trẳnh vã dÔng m(5x−7) 2 − 1
Lúc n y, ta s³ thĐy phữỡng trẳnh cõ dÔng f(u(x)) = f(v(x)) vợi u(x) 5x−6 v v(x) = x Viằc cỏn lÔi l x²t tẵnh ỡn iằu cừa h m số v ch¿ ra nghiằm cừa b i toĂn.
5 −6 = 1 nản phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
So sĂnh vợi iãu kiằn, ta thĐy x = 3
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt x = 3
Vẵ dử 2.3.4 GiÊi phữỡng trẳnh 2√ 3
(ã thi HSG HÊi Phỏng) PhƠn tẵch ối vợi b i toĂn n y, viằc lêp phữỡng hai vá hay °t t = √ 3
Biến đổi phương trình 2x−1 theo dạng khổng hiếu quế (với số hạng 27x^3) cho thấy rằng, việc áp dụng các quy tắc toán học có thể giúp xác định tính chất của hàm số Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ các khái niệm toán học để giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.
Ta bián ời phữỡng trẳnh vã dÔng
2x−1 = (3x−1) 3 + 4x−1 iãu n y khiạn ta nghắ án viằc vá trĂi "thiáu" (√ 3
2x−1) 3 v s p 3 (3x−1) 3 ãu bơng 1 (cũng bêc vợi 4x − 1) Nản ta ngh¿ án viằc tĂch 4x − 1 theo (2x−1) v (3x−1).
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt x = 0.
GiÊi cĂc phữỡng trẳnh sau
Mởt số b i toĂn chồn lồc
Mở rộng nội dung về sự phát triển của các biện pháp cải cách trong ngành công an, bài viết nhấn mạnh tầm quan trọng của việc áp dụng các phương pháp hiện đại nhằm nâng cao hiệu quả công tác Các chiến lược cải cách này không chỉ giúp tăng cường tính chuyên nghiệp của lực lượng mà còn đảm bảo sự công bằng và minh bạch trong quá trình thực thi nhiệm vụ Việc áp dụng công nghệ mới và các phương pháp quản lý tiên tiến sẽ góp phần tạo ra một môi trường làm việc hiệu quả hơn cho các cán bộ công an.
B i 1 GiÊi phữỡng trẳnh p x−2√ x−1 +px+ 3−4√ x−1 = 1.(ã thi HSG t¿nh Vắnh Long)
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi q
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm l mồi x ∈ [2; 5].
(ã thi HSG t¿nh ỗng Nai) PhƠn tẵch.
Phương trình bậc 5 có thể được giải bằng cách chuyển đổi thành một phương trình bậc thấp hơn Để thực hiện điều này, ta cần xác định một nghiệm cụ thể, chẳng hạn như x = 2, để từ đó rút gọn phương trình ban đầu.
(x−2)(x 4 +x 3 +x 2 −9x+ 7) = 0 án Ơy, ta cõ thº sỷ dửng tẵnh ỡn iằu cừa h m số º chựng minh x 4 + x 3 + x 2 −9x+ 7 = 0 l vổ nghiằm Sau Ơy l mởt hữợng i khĂc, ỡn giÊn v rĐt àp.
Dạ thĐy, x = 2 l nghiằm cừa phữỡng trẳnh
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
Phữỡng trẳnh (∗) ð trản ta viát lÔi l
Dạ thĐy phữỡng trẳnh n y vổ nghiằm.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt x = 2.
(ã thi chồn ởi tuyºn LƠm ỗng) PhƠn tẵch.
Thông thường, khi nhắc đến bài toán, chúng ta thường nghĩ đến sự tĩnh lặng của những con số, đặc biệt trong phương trình có các hằng số thực bậc 2 và bậc 3, chỉ ra tính duy nhất của bài toán Tuy nhiên, đối với những bài toán thi HSG, người ra phải tính toán những con số hợp lý, vì bài toán có mở một hướng đi "riêng".
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng
√x−1 + 1 = 0 Dạ thĐy phữỡng trẳnh thự hai vổ nghiằm vẳ vá trĂi luổn dữỡng.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt x = 2.
2. (ã thi HSG t¿nh Bán Tre) Líi gi£i. iãu kiằn:
NhƠn hai vá cho 2, phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
3−x) 2 = 1 Dạ thĐy phữỡng trẳnh thự nhĐt vổ nghiằm nản ta ch¿ x²t
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ hai nghiằm x = 2±√
(ã thi HSG t¿nh QuÊng Nam) Líi gi£i. iãu kiằn: x ≥ 0, y ≥ 1, z ≥ 2
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
x = 1 y = 5 z = 11Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm l (x, y, z) = (1,5,11).
Mởt số phữỡng phĂp cỡ bÊn giÊi hằ phữỡng trẳnh 36
Vẵ dử minh hồa
Vẵ dử 3.1.1 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
Phân tích phương trình giời hạn bậc hai là một kỹ thuật quan trọng trong toán học Việc hiểu rõ các phương pháp giải và ứng dụng của chúng giúp chúng ta tối ưu hóa quá trình giải quyết bài toán Một trong những phương pháp phổ biến là sử dụng công thức nghiệm và đồ thị để phân tích và tìm ra các nghiệm của phương trình.
LĐy PT (1) cởng PT (2), ta ữủc
LĐy PT (2) trứ PT (1), ta ữủc
2x = 2 ⇔x = 2 T÷ìng tü, ta công câ y = 2.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm (x, y) = (2,2).
Vẵ dử 3.1.2 GiÊi hả phữỡng trẳnh sau
(ã thi HSG HÊi Phỏng) PhƠn tẵch.
Dạ d ng thĐy ữủc, ð phữỡng trẳnh thự hai ta cõ thº phƠn tẵch theo x+1 y v x+y −3 Do õ, hằ Â cho ữủc viát lÔi nhữ sau
Líi gi£i. iãu kiằn: y 6= 0, x+ 1 y ≥ 0, x +y ≥3. °t a r x+ 1 y, b = √ x+y −3, a, b ≥0 Hằ Â cho viát lÔi
Thỷ lÔi, ta thĐy tĐt cÊ ãu thọa mÂn.
Vêy hằ phữỡng trẳnh  cho cõ 4 nghiằm:
Vẵ dử 3.1.3 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
(ã thi HSG H Tắnh) PhƠn tẵch.
Tữỡng tỹ b i toĂn trản, ta cụng phƠn tẵch phƠn trẳnh thự hai cừa hằ theo x 2 +y 2 −1 v x y Do õ, hằ Â cho ữủc viát lÔi nhữ sau
Líi gi£i. iãu kiằn: xy 6= 0, x 2 + y 2 6= 1. °t a = x 2 +y 2 −1, b = x y, ab 6= 0 Hằ Â cho trð th nh
Thỷ lÔi ta thĐy ãu thọa mÂn.
Vêy hằ Â cho cõ 4 nghiằm phƠn biằt:(x, y) = (1,−1),(−1,1),(3,1),(−3,−1). Vẵ dử 3.1.4 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau
(ã thi HSG iằn Biản) PhƠn tẵch.
Người ra ã Â "che" i ân số bơng cĂch nhƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh thự nhĐt cho y Do đó, để thấy được ữủc ân phử cƯn °t, ta l m ngữủc lÔi bơng cĂch chia hai vá cừa phữỡng trẳnh thự nhĐt cho y.
Tứ Ơy, ta thĐy hai ân cừa hằ chẵnh l x+y v x y. Líi gi£i. iãu kiằn: y 6= 0
Hằ Â cho tữỡng ữỡng vợi
So sĂnh vợi iãu kiằn ban Ưu, ta thĐy cÊ hai nghiằm trản ãu thọa mÂn. Vêy hằ phữỡng trẳnh  cho cõ hai nghiằm l (x, y) = (12
Vẵ dử 3.1.5 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
5(x+y) x+y + 6xy + 6(x+z) x+z + 5xz = 4 6(y+ z) y +z + 4yz + 4(x+y) x+y + 6xy = 5 4(x+ z) x+z+ 5xz + 5(y+ z) y +z + 4yz = 6
(ã chồn ởi tuyºn trữớng PTNK, TPHCM) PhƠn tẵch.
Vã hẳnh thực b i toĂn n y khĂ phực tÔp Tuy nhiản, náu quan sĂt kắ, chúng ta s³ dạ d ng thĐy ữủc cĂc ân phử lƯn lữủt l x+y x+y + 6xy, y +z y +z+ 4yz, x+z x+z+ 5xz.
Tứ õ, hằ phữỡng trẳnh  cho trð th nh hằ phữỡng trẳnh bêc nhĐt ba ân thổng thữớng.
Líi gi£i. °t a = x+y x+ y+ 6xy, b = y+ z y +z + 4yz, c = x+z x+z+ 5xz. Hằ Â cho trð th nh
Vêy hằ Â cho cõ nghiằm l (x, y, z) = (−14
Vẵ dử 3.1.6 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
1 +x 2 (ã thi HSG t¿nh Phú Thồ) PhƠn tẵch.
- Ð VT cõa PT(1) câ x 2 + 1 v VP cõa PT(1) câ y.
Do õ, mởt suy ngh¿ thổng thữớng l ta chia hai vá cừa PT(1) cho y º xuĐt hiằn phƯn thỷ nghàch Êo cừa y
1 +x 2 PT(1) ⇔ x 2 + 1 y +y +x = 4 (Sai lƯm thữớng g°p ð Ơy l chúng ta quản x²t trữớng hủp y=0)
Tứ Ơy, ta thĐy hai ân phử cừa b i toĂn chẵnh l x 2 + 1 y v x+y. Líi gi£i.
Dạ thĐy y = 0 khổng l nghiằm cừa hằ nản ta ch¿ x²t y 6= 0.
Khi õ, PT(1) cừa hằ tữỡng ữỡng x 2 + 1 y +x+y = 1 °t u = x 2 + 1 y , v = x+y
Vêy hằ phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm l (x, y) = (1,2),(−2,5).
B i têp vên dửng
GiÊi cĂc hằ phữỡng trẳnh sau
7(2x+y) x+ y+ 8xy + 8(2z+ x) x+ z+ 7xz = 6 8(2y +z) y+ z+ 6yz + 6(2x+y) x+y + 8xy = 7 6(2z+ x) x+ z+ 7xz + 7(2y +z) y +z + 6yz = 8.
Sỷ dửng tẵnh ỡn iằu cừa h m số
Vẵ dử 3.2.1 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
(ã thi chồn ởi tuyºn trữớng THPT chuyản Lữỡng Thá Vinh, ỗng Nai) PhƠn tẵch.
- MĐu chốt cừa b i toĂn n y l thĐy ữủc dÔng f(u) =f(v) ð PT(1) Tứ õ, chựng minh tẵnh ỡn iằu cừa h m số v ch¿ ra u = v.
- Náu quan sĂt kắ, ta thĐy VT cừa PT(1) cõ dÔng 2a 3 + a v h m số f(t) = 2t 3 +t l h m ỡn iằu Do õ, chúng ta hy vồng (2y−3)√ y−2 2(√ y −2) 3 +√ y −2 º PT(1) cõ dÔng f(u) = f(v) m ta cƯn Thêt vêy, ta câ
2 , y ≥ 2. X²t h m sè: f(t) = 2t 3 +t, t∈ (0,+∞) f 0 (t) = 6t 2 + 1 > 0 nản Ơy l h m ỗng bián.
Tứ PT (1) cừa hằ, ta cõ: f(2x+ 1) = f(√ y −2)
2.6 + 4 −6 = 0 nản (*) cõ úng mởt nghiằm l y = 6
2. Vêy hằ Â cho cõ nghiằm duy nhĐt (x, y) = (1
2,6). Vẵ dử 3.2.2 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
(ã thi HSG t¿nh Bán Tre) PhƠn tẵch.
Dạ thĐy hằ Â cho cõ dÔng
⇒ Viằc cƯn l m ch¿ l chựng minh f(t) l h m ỡn iằu, suy ra x = y v giÊi mởt trong hai phữỡng trẳnh cừa hằ º tẳm nghiằm.
Dạ thĐy náu x = 0 thẳ y = 0 v ngữủc lÔi nản ta cõ nghiằm (x, y) = (0,0).
Do vêy, ta ch¿ x²t x, y >0 X²t h m số f(t) = t 2 +√ t
Hằ Â cho ữủc viát lÔi
( x = f(y) y = f(x) ⇒x = y. Thay v o hằ Â cho, ta cõ x 2 +√ x = 2x
5 2 Vêy hằ Â cho cõ 3 nghiằm l (x, y) = (0,0),(1,1),(3−√
2 ). Vẵ dử 3.2.3 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
(ã thi HSG t¿nh Vắnh Phúc) PhƠn tẵch.
- Náu quan sĂt kắ, ta thĐy PT(1) l phữỡng trẳnh bêc hai theo √
Phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ tữỡng ữỡng vợi
Thay v o phữỡng trẳnh thự hai cừa hằ, ta ữủc
Dạ thĐy x = 0 khổng l nghiằm cừa (∗)
√2x > 0, ∀x ≥ 0 Do õ, h m n y ỗng bián. M°t khĂc, vợi f(2) = √ 3
2.2 = 4 nản x = 2 l nghiằm duy nhĐt cõa (∗).
Vêy hằ Â cho cõ nghiằm duy nhĐt l (x, y) = (2,−3).
Vẵ dử 3.2.4 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
Phương trình 9 − 27x² + y² + xy − 3x − 4y − 4 = 0 là một phương trình bậc hai có hai biến Để giải quyết, chúng ta cần phân tích và tìm hiểu các điều kiện cần thiết Phương trình này có thể được coi là một phương trình bậc hai theo y, với điều kiện ∆ ≥ 0 (theo x) Từ đó, chúng ta có thể xác định được các giá trị của x.
Tứ hai ỵ trản, ta dạ d ng ch¿ ra nghiằm cừa b i toĂn.
Phữỡng trẳnh thự hai cừa hằ tữỡng ữỡng vợi y 2 + (x−4)y +x 2 −3x+ 4 = 0 (∗) º PT(*) cõ nghiằm
Tứ ¯ng thực trản v phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ, ta suy ra x = 4
GiÊi cĂc hằ phữỡng trẳnh sau
Mởt số b i toĂn chồn lồc
Tữỡng tỹ, ð mửc n y trẳnh b y thảm mởt số b i têp vã hằ phữỡng trẳnh. Thổng qua cĂc ph²p bián ời tữỡng ữỡng hủp lẵ º cõ lới giÊi àp cho b i to¡n.
(ã thi chồn ởi tuyºn Nha Trang, KhĂnh Hỏa) Líi gi£i.
Vêy hằ phữỡng trẳnh  cho cõ 4 nghiằm l (x, y) = (−2,−16
(ã thi chồn ởi tuyºn THPT Chuyản Lam Sỡn, Thanh Hõa) Líi gi£i.
Ta thĐy náu x = 0 thẳ y = 0 v ngữủc lÔi nản hằ phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm (x, y) = (0,0).
X²t trữớng hủp xy 6= 0 LĐy PT(1) chia cho PT(2), ta ữủc
- Náu x 2 = 4y 2 , hằ Â cho trð th nh
3y 2 , hằ Â cho trớ th nh
Vêy hằ Â cho cõ 5 nghiằm l (x, y) = (0,0),(2,1),(−2,−1),( 15
(ã thi HSG t¿nh Yản BĂi) Líi gi£i.
Phữỡng trẳnh thự hai cừa hằ tữỡng ữỡng vợi:
Thay v o phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ, ta ữủc: x 3 −y 3 = (6x 2 −12x+ 8) + (9y 2 + 12y + 27)
Thay lÔi v o phữỡng trẳnh thự hai cừa hằ, ta ữủc:
Thỷ lÔi ta thĐy cÊ hai nghiằm ãu thọa mÂn.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm l (x, y) = (3,−2),(2,−3).
2y = y 2 −x 2 (ã thi chồn ởi tuyºn t¿nh QuÊng Ninh) Líi gi£i. iãu kiằn: x, y 6= 0.
LĐy PT(1) + PT(2), ta ữủc
LĐy PT(1) - PT(2), ta ữủc:
Hằ Â cho tữỡng ữỡng vợi
2 Thỷ lÔi, ta thĐy nghiằm n y thọa mÂn.
Vêy hằ phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt l (x, y) = (
(ã thi HSG TP Hỗ Chẵ Minh) Líi gi£i. iãu kiằn: x, y 6= 0.
Hằ phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi
2 Thỷ lÔi, ta thĐy nghiằm n y thọa mÂn.
Vêy hằ phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt l (x, y) = (
KT LUN là một khóa học chuyên sâu, nơi người học có cơ hội tham khảo nhiều tài liệu giá trị từ các nguồn trên internet Tại đây, chúng tôi cam kết cung cấp những kiến thức thực tiễn và hữu ích, giúp người tham gia phát triển kỹ năng và nắm bắt cơ hội nghề nghiệp tốt hơn.
1 Hằ thống lÔi lỵ thuyát chung vã mởt số phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh.
2 GiÊi mởt số b i toĂn minh hồa vã phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh trong c¡c ký thi HSG c§p t¿nh, th nh phè v THPTQG.
3 Trẳnh b y mởt số b i toĂn hay vã phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh.
Mặc dù có nhiều khó khăn và thách thức trong quá trình phát triển, nhưng sự kiên trì và nỗ lực không ngừng của cộng đồng vẫn mang lại hy vọng cho tương lai Đặc biệt, việc khôi phục và gìn giữ các giá trị văn hóa truyền thống là rất cần thiết để tạo động lực cho sự phát triển bền vững.
Tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn!