Một số phương pháp giải phương trình lượng giác trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Giáo viên hướng dẫn : ThS NGƠ THỊ BÍCH THỦY Sinh viên thực : PHẠM VÂN KHÁNH Lớp sinh hoạt : 18ST Đà Nẵng, tháng 01 năm 2022 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy, người trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn ý kiến quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, bạn bè, bạn lớp 18ST trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, tháng năm 2022 Sinh viên Phạm Vân Khánh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Hàm số sin, hàm số cosin, hàm số tan hàm số cotan 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Chú ý 1.2 Tính tuần hồn hàm số lượng giác 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính tuần hoàn 1.3 Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác 1.3.1 Hàm số y  sin x 1.3.2 Hàm số y  cos x 10 1.3.3 Hàm số y  tan x 10 1.3.4 Hàm số y  cot x 12 1.4 Quan hệ giá trị lượng giác 13 1.4.1 Công thức lượng giác 13 1.4.2 Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt 14 1.5 Công thức lượng giác 15 1.5.1 Công thức cộng 15 1.5.2 Công thức nhân đôi 15 1.5.3 Công thức hạ bậc 15 1.5.4 Công thức biến đổi tích thành tổng 16 1.5.5 Cơng thức biến đổi tổng thành tích 16 1.5.6 Một số công thức khác 16 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 18 2.1 Dạng Phương trình lượng giác 18 2.1.1 Phương pháp giải 18 2.1.2 Ví dụ 1: 20 2.2 Dạng Phương trình theo hàm lượng giác 21 2.2.1 Phương pháp giải 21 2.2.2 Ví dụ 21 2.3 Dạng Phương trình bậc theo sin, cos 22 2.3.1 Phương pháp giải 22 2.3.2 Ví dụ 23 2.4 Dạng Phương trình đẳng cấp (thuần nhất) theo sin, cos 25 2.4.1 Phương pháp giải 25 2.4.2 Ví dụ 25 2.5 Dạng Phương trình đối xứng 27 2.5.1 Phương pháp giải 28 2.5.2 Ví dụ 28 2.6 Dạng Phương trình chứa giá trị tuyệt đối 30 2.6.1 Phương pháp giải 30 2.6.2 Ví dụ 30 2.7 Dạng Phương trình chứa 32 2.7.1 Phương pháp giải 32 2.7.2 Ví dụ 32 2.8 Dạng Phương trình tích số 35 2.8.1 Phương pháp giải 35 2.8.2 Ví dụ 35 2.9 Dạng Phương trình khơng mẫu mực 39 2.9.1 Phương pháp giải 39 2.9.2 Ví dụ 40 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình lượng giác mảng kiến thức quan trọng chương trình Đại số Giải tích lớp 11 (sách hành) Học sinh gặp nhiều khó khăn giải phương trình lượng trình lượng giác, đặc biệt phương trình lượng giác khơng mẫu mực Làm giúp em học sinh biết phân tích phương trình đề cho, từ tìm mối liên quan kiến thức học để định hướng cách giải vấn đề quan trọng trình dạy học phương trình lượng giác trường phổ thơng Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị cho thân kỹ giải phương trình lượng giác nói riêng bạn sinh viên sư phạm tốn nói chung, chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giải phương trình lượng giác chương trình tốn THPT” Mục đích nghiên cứu đề tài Tìm hiểu kiến thức lượng giác, đặc biệt phương trình lượng giác Hệ thống, phân loại phương trình lượng giác phương pháp giải cho dạng khác Phạm vi nghiên cứu Các phương trình lượng giác chương trình Đại số Giải tích lớp 11 (sách hành) Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu số tài liệu liên quan tới phương pháp giải phương trình lượng giác nhằm hiểu rõ nội dung phương trình lượng giác để từ rút cách giải phù hợp Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với số giáo viên THPT dạy chương hàm số lượng giác phương trình lượng giác – Đại số Giải tích lớp 11 (sách hành) để tham khảo kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn phương trình lượng giác Cấu trúc khóa luận: Khóa luận gồm hai chương sau: Chương Cơ sở lý luận 1.1 Hàm số sin, hàm số cosin, hàm số tan hàm số cotan 1.2 Tính tuần hồn hàm số lượng giác 1.3 Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác 1.4 Quan hệ giá trị lượng giác 1.5 Công thức lượng giác Chương Một số phương pháp giải phương trình lượng giác chương trình tốn THPT 2.1 Phương trình lượng giác 2.2 Phương trình theo hàm lượng giác 2.3 Phương trình bậc theo sin, cos 2.4 Phương trình đẳng cấp (thuần nhất) theo sin, cos 2.5 Phương trình đối xứng 2.6 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối 2.7 Phương trình chứa 2.8 Phương trình tích số 2.9 Phương trình khơng mẫu mực CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Hàm số sin, hàm số cosin, hàm số tan hàm số cotan 1.1.1 Định nghĩa - Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sin x sin :    x  y  sin x gọi hàm số sin, kí hiệu y  sin x Tập xác định hàm số sin  - Quy tắc tương ứng số thực x với số thực cos x cos :    x  y  cos x gọi hàm số cos, kí hiệu y  cos x Tập xác định hàm số cos  sin x (cos x  0) , kí hiệu cos x   y  tan x Tập xác định hàm số y  tan x D   \   k , k    2  - Hàm số tan hàm số xác định công thức y  - Hàm số cotan hàm số xác định công thức y  cos x (sin x  0) , kí hiệu sin x y  cot x Tập xác định hàm số y  cot x D   \ k , k   1.1.2 Chú ý 1  sin x,cos x  1.2 Tính tuần hồn hàm số lượng giác 1.2.1 Định nghĩa Hàm số y  f ( x) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn, tồn số T  cho với x  D ta có: x  T  D x  T  D f ( x  T )  f ( x) Số dương T nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn 1.2.2 Tính tuần hồn Hàm số y  sin x tuần hồn với chu kì T  2 Hàm số y  cos x tuần hồn với chu kì T  2 Hàm số y  tan x tuần hồn với chu kì T   Hàm số y  cot x tuần hồn với chu kì T   1.3 Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác 1.3.1 Hàm số y  sin x - Tập xác định D   - Tập giá trị T   1;1 - Hàm số tuần hồn với chu kì 2 , có nghĩa sin( x  k 2 )  sin x với k  - Khảo sát đồ thị hàm số y  sin x Trên đoạn  0;   , xét số thực x1 , x2  x1  x2   Đặt x3    x2 , x4    x1 Biểu diễn đường tròn lượng giác xét sin xi tương ứng ( i  1,2,3,4 )   Với x1 , x2 tùy ý thuộc đoạn 0;  x1  x2 sin x1  sin x2  2   x3 , x4 thuộc đoạn  ,   x3  x4 sin x3  sin x4 2      Vậy hàm số y  sin x đồng biến 0;  nghịch biến  ,    2 2  Bảng biến thiên: - Hàm số y  sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số đồng biến khoảng (   3  k 2 ) , k   khoảng (  k 2 ; 2  k 2 ;   k 2 ) nghịch biến  sin 3x   4sin 3x  sin 3x    sin x   k ,k    sin x   sin 3x   x     sin x    2.7 Dạng Phương trình chứa 2.7.1 Phương pháp giải  Dùng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình lượng giác chứa (Tùy theo mức độ đơn giản biểu thức f ( x) hay g ( x) mà lựa chọn cách biến đổi)  f ( x)  f ( x)  g ( x )    f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x )  f ( x)   f ( x )  g ( x )  h( x )   g ( x )    f ( x)  g ( x )  f ( x ) g ( x )  h( x)  Phương pháp đặt ẩn phụ: Để khử thức, ta đưa thêm nhiều ẩn phụ Tùy theo dạng phương trình mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp 2.7.2 Ví dụ a Ví dụ 16: Giải phương trình: sin x  cos x  sin x  cos x  32 (1) Đặt t  sin x  cos x  sin x  sin cos  t cos t    sin x cos   sin   cos x  cos x   sin( x  )  2sin( x  )  3 cos (1)  t  t   t   t t  2  t  t     t   t    2 t   4t  t t  5t    t    2sin( x   )   sin( x   )   sin      x    k  x    k 2   6   ,k     x    x   k 2  k 2   b Ví dụ 17: Giải phương trình:   8sin x cos2 x  2sin(3x  ) (1)   sin(3 x  )0  (1)   1  8sin x cos 2 x  4sin (3x   )  33   sin(3x  )   1  4sin x(1  cos x)  1  cos(6 x   )       sin(3x  )   1  4sin x  4sin x cos x  2(1  sin x)   sin(3x  )   1  4sin x  2(sin x  sin x)   2sin x    sin(3x  )    sin(3x  )     2sin x  sin x   sin     sin(3 x  )0        x   k 12  ,k   5   x  12  k  Thử lại với điều kiện sin(3x  - Khi x   )0     k , k  sin(3x  )  sin(  k 3 )  cos k 12 + cos k  (nếu k chẵn) (nhận) + cos k  1 (nếu k lẻ) (loại) 34 - Khi x  5  3   k , k  sin(3x  )  sin(  k 3 )  sin(  k ) 12 2 + sin( + sin(    k )  1 (nếu k chẵn) (loại)  k )  (nếu k lẻ) (nhận) Vậy nghiệm phương trình x   12  m2 , x  5  (2m  1) , m  12 2.8 Dạng Phương trình tích số 2.8.1 Phương pháp giải Dùng cơng thức lượng giác thích hợp, áp dụng đẳng thức, nhóm số hạng, … để biến đổi phương trình cần giải dạng tích phương trình phương trình đơn giản biết cách giải:  f ( x)  f ( x ) g ( x ) h( x )    g ( x )    h( x)  2.8.2 Ví dụ a Ví dụ 18: Giải phương trình: (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin x  sin x (1) (1)  (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin x(2cos x  1)  (2cos x  1)(sin x  cos x)   2cos x    sin x  cos x  35  cos x   sin( x   )     cos x  cos    x    k     x    k 2  ,k    x    k  b Ví dụ 19: Giải phương trình: (1  sin x )cos x  (1  cos x )sin x   sin x (1) (1)  cos x  sin x cos x  sin x  cos2 x sin x  sin x  2sin x cos x  cos2 x  (sin x  cos x )  sin x cos x (sin x  cos x)  (sin x  cos x )   (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)   (sin x  cos x ) sin x (cos x  1)  (cosx  1)    (sin x  cos x)(sin x  1)(cos x  1)    sin( x  )   sin x  cos x     sin x    sin x    cos x   cos x     36    x    k     x   k 2 ,k    x  k 2   c Ví dụ 20: Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin x  (1) Điều kiện: sin x   x  k  , k   (1)  2sin x  cos x  4sin x cos x  sin x  2sin x  sin x  4sin x cos x  cos x   sin x (2sin x  1)  cos x (4sin x  1)   sin x(2sin x  1)  cos x(2sin x  1)(2sin x  1)   (2sin x  1)(sin x  cos x  2sin x cos x)   2sin x    sin x  cos x  2sin x cos x    x   k 2   ,k  - Xét 2sin x    sin x   sin    x   k 2  - Xét sin x  cos x  2sin x cos x  Đặt t  sin x  cos x  sin( x  (2)  ), t  t  (sin x  cos x)   2sin x cos x  sin x cos x  37 1 t2 (2)  t  t    t  Khi t  1  1  (chọn) t  (loại) 2 1   1   sin x  cos x  sin( x  )    sin( x  )  10    10  )  k 2  x   arcsin( 4    10  )  k 2  x     arcsin(  4   10  )  k 2  x   arcsin( 4  ,k   5 10   arcsin( )  k 2 x   4 d Ví dụ 21: Giải phương trình: tan x  tan x  sin3x cos x   x   k  cos x  Điều kiện:   ,k  cos x   x    k   (1)  sin x sin x   sin x cos x cos x cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin 3x cos x cos x cos x  sin 3x  sin 3x cos x cos x cos x 38 (1)  sin 3x  sin3x cos x cos x  sin x   sin x (1  cos x cos x )     cos x cos x  - Xét sin x   3x  k  x  k ,k  - Xét cos x cos x   (1  cos x ) cos x   cos2 x  cos x    cos x  (chọn) cos x  2 (loại)  x  k 2  x  k , k  Vậy nghiệm phương trình x  k , x  k , k   2.9 Dạng Phương trình khơng mẫu mực 2.9.1 Phương pháp giải Nếu gặp phương trình lượng giác khơng thể giải theo cách thơng thường (đưa dạng tích, đặt ẩn phụ, …) ta linh hoạt nhận xét vế trái, vế phải phương trình biến đổi để đưa dạng quen thuộc  Phương pháp đưa tổng biểu thức không âm:  A1  A   A1  0, A2  0, , An  A1  A2   An      An   Phương pháp đối lập: 39 Ta có phương trình: f ( x)  g ( x) Nếu tồn A : f ( x)  A g ( x)  A ,  f ( x)  A x  (a, b) Khi đó: f ( x )  g ( x )   g ( x )  A  Nếu ta có f ( x)  A g ( x)  A , x  (a, b) phương trình vô nghiệm  Phương pháp chứng minh nghiệm nhất: Tùy theo dạng điều kiện phương trình, ta nhẩm nghiệm phương trình sau chứng tỏ nghiệm cách: dùng tính chất đại số, áp dụng tính đơn điệu hàm số,… * Chú ý: - Với T  n  m T n  T m A 1  A  1 , A  B  2   B   B  1 - Với A  B  A  B    2.9.2 Ví dụ a Ví dụ 22: Giải phương trình: 3sin x  2cos x  (1) Ta có: sin x  cos x  nên 3sin x  2cos x    sin x  (vô lý) cos x   Do dấu xảy  Vậy phương trình vơ nghiệm b Ví dụ 23: Giải phương trình: 3tan x  4sin x  tan x  4sin x   (1) Điều kiện: cos x   x    k  , k  (1)  tan x  tan x   4sin x  4sin x   40  ( tan x  1)  (2sin x  1)   tan x   ( tan x  1)   tan x    Vì  nên   2sin x   (2sin x  1)  sin x   2   tan x  tan   sin x  sin   x    x   k       x   k     x    k 2         x   k 2     x    k     5 x   k         x  5  k 2    k 2 , k  c Ví dụ 24: Giải phương trình: cos x  sin x  sin x  cos x   (1) 3 (1)  cos x  sin x  sin x  cos x   2 2 1      cos x  sin x    sin x  cos x    2 2              sin cos x  cos sin x    cos sin x  sin cos x   2 6 6      sin(   x)  sin( x   )  2 41   sin(  x)  1  sin( x   )      x    k 2    x      k 2     x   k    x   k 2 , k    x    k 2  d Ví dụ 25: Giải phương trình: sin x  cos x   sin( x   ) (1) (1)  sin x  (1  cos4 x)  4(sin x  cos x)  2sin x cos x  (1  2cos 2 x  1)  4(sin x  cos x )  2cos x(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)  2(cos x  sin x)(sin x  cos x )  4(cos x  sin x)  2(cos x  sin x)(cos x  sin x)(sin x  cos2 x)  4(cos x  sin x)   2(cos x  sin x)  (cos x  sin x)(sin x  cos x )  2  cos x  sin x   (cos x  sin x)(sin x  cos x)   sin x  cos x      sin( x  ) sin(2 x  )    4 42    sin( x  )    sin( x   ) sin(2 x   )    4   x   k   sin( x   )sin(2 x   )  1  4    x   k    cos3 x  cos( x   )   1       x   k   cos3 x  cos      x      2        x   k    cos3x  sin x    x   k      x   k  k 2  x   k , k      x    cos3 x     sin x  1    x     k 2   43 8 10 10 e Ví dụ 26: Giải phương trình: sin x  cos x  2(sin x  cos x)  (1)  (1  2sin x)sin x  (2cos x  1)cos8 x  cos x  cos x sin x  cos x.cos8 x  cos x  (sin x  cos8 x)cos x  cos x   cos x(sin x  cos8 x  )  cos x  0(2)  sin x  cos8 x  (3)  (2)  x    k , k  Từ (3) ta thấy: VT= sin x  cos8 x  sin x   (3) : vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  44   k , k  cos x (1) KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu đề tài, tơi làm vấn đề sau:  Liệt kê kiến thức chương hàm số lượng giác phương trình hàm số lượng giác chương trình Đại số Giải tích lớp 11 (sách hành)  Đưa dạng toán phương trình lượng giác, qua hệ thống phương pháp giải dạng phương trình lượng giác Do thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến độc giả để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hồng Đức (Chủ biên), Đỗ Hoàng Hà, Lê Hoàng Nam, Đoàn Minh Châu, Đào Thị Ngọc Hoa, Phương pháp giải dạng toán THPT Lượng giác, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nộị [2] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đoàn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài, Đại số 10, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đoàn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài, Đại số Giải tích 11, Nxb Giáo dục Việt Nam [5] TS Nguyễn Cam, Phương pháp giải Toán lượng giác, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Võ Anh Khoa, Hoàng Bá Minh, Lượng giác – Một số chuyên đề ứng dụng 46 ... lượng giác 1.5 Công thức lượng giác Chương Một số phương pháp giải phương trình lượng giác chương trình tốn THPT 2.1 Phương trình lượng giác 2.2 Phương trình theo hàm lượng giác 2.3 Phương trình. ..  17 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Dạng Phương trình lượng giác 2.1.1 Phương pháp giải a Phương trình sin x  m - Nếu m  phương trình. .. 1.5.6 Một số công thức khác 16 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 18 2.1 Dạng Phương trình lượng giác 18 2.1.1 Phương pháp