Bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

§å ¸n tèt nghiƯp Lời nói đầu Toán học môn khoa học chiếm vị trí quan trọng thiếu cc sèng ngi Cïng víi sù ph¸t triĨn néi toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Giải tích số hay gọi phơng pháp số môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần phơng trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối u Việc giải toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay hàm số dới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hàm số dới dạng bảng hàm số đơn giản Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờng nghiên cứu toán nội suy, toán xấp xỉ toán xấp xỉ trung bình phơng Trong đồ án em đề cập đến toán dùng phơng pháp xấp xỉ trung bình phơng hay gọi phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm thực nghiệm Để hoàn thành đồ án em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội đà quan tâm giúp đỡ em tạo điều kiện cho em suốt trình làm đồ án Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp -ngời đà trực tiếp tận tình hớng dẫn, bảo kinh nghiệm tài liệu suốt trình em làm đồ án tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2008 Bùi Văn Bằng Chơng I PHƯƠNG PHáP BìNH PHƯƠNG TốI THIểU LậP CÔNG THứC Từ THựC NGHIệM 1.1 Giới thiệu chung 1.1.1 Đặt vấn đề Có nhiều phơng pháp khác để lập đa thức từ thực nghiệm mà ta đà biết đến nh phép nội suy để lập đa thức cấp n: hàm số (đại số lợng giác) xấp xỉ mà ta đà biết giá trị hàm điểm Phơng pháp nội suy nói sử dụng thực tiễn có điều cần cân nhắc là: + Trong đa thức nội suy ta đòi hỏi ( xi ) = Tuy nhiên đòi hỏi ý nghĩa nhiều thực tế Bởi số giá trị hàm điểm , thực tế cho dới dạng bảng thờng thu đợc từ kết đo đạc tính toán thực hành - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp -Những số y i nói chung xấp xỉ với giá trị hàm Sai số mắc phải nói chung khác không Nếu buộc thực chất đà đem vào toán c¸c sai sè  i cđa c¸c sè liƯu ban đầu nói (chứ làm cho giá trị hàm nội suy (x) hàm trùng điểm ) + Để cho đa thức néi suy  (x) biĨu diƠn xÊp xØ hµm mét cách sát thực đơng nhiên cần tăng số mốc nội suy (nghĩa làm giảm sai số công thức nội suy) Nhng điều lại kéo theo cấp đa thức nội suy tăng lên đa thức nội suy thu đợc cồng kềnh gây khó khăn cho việc thiết lập nh dựa vào để tính giá trị gần khảo sát hàm 1.1.2 Bài toán đặt Chính lý nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ sát thực thông qua hai toán: Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ) Giả sử đà biết giá trị điểm tơng ứng hàm Tìm hàm xấp xỉ với hàm - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp (1 - 1) víi  i (x) hàm đà biết, hệ số số Trong giải toán cần chọn hàm m (x) cho trình tính toán đơn giản đồng thời nhng sai số i có tính chất ngẫu nhiên (xuất thu đợc số liệu ) cần phải đợc chỉnh lý trình tính toán Trong toán tìm hàm xấp xỉ việc chọn dạng hàm xấp xỉ m (x ) lµ tïy thc ý nghÜa thùc tiƠn hàm Bài toán (tìm tham số hàm có dạng đà biết) Giả sử đà biết dạng tổng quát hàm (1 - 2) đó: số Giả sử qua thực nghiệm ta thu đợc n giá trị hàm ứng với giá trị đối Vấn đề từ số liệu thực nghiệm thu đợc cần xác định giá trị tham số thức (1 2): để tìm đợc dạng cụ thể biểu phụ thuộc hàm số 1.2 Sai số trung bình phơng phơng pháp bình phơng tối thiểu tìm xÊp xØ tèt nhÊt víi mét hµm 1.2.1 Sai sè trung bình phơng - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Tốn Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -Những hàm thực nghiệm thu đợc thờng mắc phải sai số có tính chất ngẫu nhiên Những sai số xuất tác động yếu tố ngẫu nhiên vào kết thực nghiệm để thu đợc giá trị hàm Chính lý trên, để đánh giá sai khác hai hàm thực nghiệm ta cần đa khái niệm sai số (hoặc độ lệch) cho mặt chấp nhận đợc thực tế, mặt lại san sai số ngẫu nhiên (nghĩa gạt bỏ đợc yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết cđa thùc nghiƯm) Cơ thĨ nÕu hai hµm thùc chÊt gần sai số đa phải bé miền xét Khái niệm sai số nói có nghĩa không ý tới kết có tính chất cá biệt mà xét miền nên đợc gọi sai số trung bình phơng 1.2.2 Định nghĩa Theo định nghĩa ta gọi n sai số (hoặc độ lệch) trung bình phơng hai hàm tập n = n [ f ( xi )   ( xi )]  n i 1 (2 - 1) 1.2.3 ý nghÜa cña sai sè trung bình phơng - - Sinh viên thực hiện: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tèt nghiÖp -Để tìm hiểu ý nghĩa sai số trung bình phơng ta giả thiết , (x) hàm liên tục đoạn tập hợp điểm cách Theo định nghĩa tích phân xác định ta có (2 - 2) Trong ®ã 2 = b a b [ f ( x)   ( x)] dx a (2 - 3) Giả sử có số hữu hạn cực trị số dơng cho trớc Khi đoạn riêng biƯt sÏ cã k cho (víi , ) Gäi tổng độ dài k đoạn nói Với n đủ lớn n đủ bé, tõ (2 – 2) ta suy  <  (  bÐ tïy ý) Tõ(2 - 3) suy b  (b  a ) > [ f ( x)   ( x)] dx a k bi   [ f ( x)   ( x)] dx i 1    Do ®ã - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Tốn Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiÖp -NghÜa lµ tổng độ dài đoạn bé tùy ý Tóm lại: Với n đủ bé (n lớn) đoạn điểm đoạn (trừ mà có tổng độ dài bé tùy ý), ta có Trong số dơng tùy ý cho trớc Từ nhận xét ta rút ý nghĩa thực tiễn sai số trung bình phơng nh sau: Nếu sai số trung bình phơng n hai hàm f(x) (x) tập hợp n điểm (n đủ lớn) mà bé với tuyệt đại đa số giá trị x [a, b] cho sai số tuyệt đối f(x) (x) bé 1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng Từ ý nghĩa sai số trung bình phơng nói ta nhận thấy giá trị điểm hàm sai số trung bình phơng n = n [ yi  ( xi )] n i 1 kh¸ bÐ hàm (x) xấp xỉ tốt với hàm Cách xấp xỉ hàm số lấy sai số trung bình phơng làm tiêu chuẩn đánh giá nh gọi xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình ph¬ng - - Sinh viên thực hiện: Bùi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiÖp -Râ rµng: NÕu hµm (nghĩa thu đợc thực nghiệm ) cách xấp xỉ nói đà san sai lạc điểm (nảy sinh sai số ngẫu nhiên thực nghiệm) Đó lý giải thích lý phơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sử dụng rộng rÃi thực tiễn Ta xét trờng hợp phụ thuộc tham số (2 - 4) Trong số hàm có dạng (2 - 4) ta gọi hàm (2 - 5) xấp xỉ tốt theo nghĩa trung bình phơng với hàm sai số trung bình phơng với bé Cụ thể Trong (2 - 6) Tõ (2 - 6) ta nhËn thÊy (2 - 5) tơng đơng với đẳng thức - 7) - - Sinh viên thực hiện: Bùi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 (2 Đồ án tèt nghiÖp -Tõ ®ã viƯc tìm hàm xấp xỉ tốt (trong số hàm dạng (2 - 4) với hàm bình phơng ) ®a vỊ t×m cùc tiĨu cđa tỉng ®ã Bởi phơng pháp tìm xấp xỉ tốt theo nghĩa trung bình gọi phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm thực nghiệm Chơng II Các phơng pháp xấp xỉ 2.1 Xấp xỉ hàm thùc nghiƯm b»ng ®a thøc suy réng - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp -2.1.1 Định nghĩa Giả sử cho hệ hàm: Ta gọi hàm đa thức suy rộng cÊp m nÕu cã d¹ng (3 - 1) hệ số số Hệ hàm đà cho gọi hệ 2.1.2 Nội dung Theo phần tìm hàm xấp xỉ giả sử đà biết n giá trị thực nghiệm tơng ứng hàm điểm Khi việc tìm đa thức suy rộng có dạng (3 - 1) mà xấp xỉ với hàm nói chuyển việc tìm m+1 hệ số (3 - 1) Để trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy rộng với cấp m không lớn Tuy nhiên ta phải chọn n đủ lớn giả thiết n m + Khác với toán nội suy ta không cần xác định m + giá trị từ n phơng trình: (vì số phơng trình thờng nhiều số ẩn) - 10 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 ... ) đa tìm cực tiểu tổng Bởi phơng pháp tìm xấp xỉ tốt theo nghĩa trung bình gọi phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm thực nghiệm Chơng II Các phơng pháp xÊp xØ 2.1 XÊp xØ hµm thùc nghiƯm... vào để tính giá trị gần khảo sát hàm 1.1.2 Bài toán đặt Chính lý nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ sát thực thông qua hai toán: Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ) Giả sử đà biết giá trị điểm tơng ứng hàm. .. 1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng Từ ý nghĩa sai số trung bình phơng nói ta nhận thấy giá trị điểm hàm sai số trung bình phơng n = n  [ yi   ( xi )] n i bé hàm (x) xấp xỉ tốt với hàm