Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm green đa cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM VŨ KHẮC NGHỊ XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM VŨ KHẮC NGHỊ XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƢỚI BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu Luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tơi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 11 tháng năm 2018 Tác giả Vũ Khắc Nghị i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin trân trọng kính gửi đến PGS.TS Phạm Hiến Bằng, người thầy hết lịng học trị, lịng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy người động viên, giúp đỡ, bảo tận tình trình giảng dạy trình hướng dẫn để em hồn thành tốt luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến q thầy, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Thái Ngun; thầy, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy, Viện Tốn học Việt Nam tận tình giảng dạy để em có kiến thức quý báu làm hành trang trình học tập nghiên cứu sau Xin chân thành cảm ơn thầy, thuộc phịng Đào tạo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho em thủ tục hành suốt trình học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt thầy, tổ Tốn, trường THPT Phú Bình, tỉnh Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để em yên tâm hoàn thành tốt luận văn Lời cuối cùng, không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi lời tri ân đến tất bạn bè tôi, người bên động viên giúp vượt qua khó khăn q trình thực luận văn Vũ Khắc Nghị ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chƣơng Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm đa điều hòa 1.2 Hàm đa điều hòa cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford Taylor 1.6 Hàm Green đa phức 12 Chƣơng Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới hàm Green đa cực 19 2.1 Xấp xỉ condenser hàm chỉnh hình 19 2.2 Xấp xỉ condenser hàm Green 27 2.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đa vị dùng để nghiên cứu hàm đa điều hòa giải tích phức nhiều biến có nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết vị giải tích phức biến, lý thuyết nhiều biến thiếu nhiều phương pháp sử dụng trường hợp cổ điển Tuy nhiên, nhiều kết đẹp đẽ lý thuyết vị chưa chứng minh không lý thuyết đa vị Chẳng hạn, định lý biểu diễn Riesz phát biểu rằng, thứ nhất, hàm điều hòa miền tốt D tổng hàm điều hòa với giá trị biên hàm điều hòa Thứ hai, hàm điều hòa u với giá trị biên giới hạn tổ hợp tuyến tính với hệ số dương hàm Green L1(D) Do đó, định lý quan trọng cho mơ tả đầy đủ hàm Phát biểu thứ không xảy hàm đa điều hòa hàm điều hòa thay hàm đa điều hòa Đối với phát biểu thứ hai ta gặp số trở ngại Đầu tiên, lý thuyết vị tổ hợp tuyến tính hàm Green với hệ số dương điều hòa ngồi cực Trong lý thuyết đa vị có tương tự hàm Green giới thiệu V P Zahariuta [8] gọi hàm Green đa cực Chúng hàm cực đại, tức là, (dd cg )n cực, tổng u hàm Green đa cực (dd cu )n , nói chung, khơng cực Trong [6], Poletsky chứng minh L1(D) , hàm Green đa cực trù mật nón hàm đa điều hịa với giá trị biên Trường hợp đặc biệt định lý xấp xỉ hàm cực trị tương đối tập compact đa qui K Zahariuta [8] tồn xấp xỉ với hội tụ K Trong [9] Zahariuta Skiba tồn xấp xỉ n Vấn đề tồn xấp xỉ nhiều biến đặt Zahariuta (xem [8]) Gần đây, Aytuna, Rashkovskii Zahariuta chứng minh điều cho cặp miền Reinhardt (xem [2]) Theo hướng nghiên cứu chọn: “Xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực” đề tài nghiên cứu Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày số tính chất kết sở lý thuyết đa vị + Trình bày số kết xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 39 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, viết chủ yếu dựa vào tài liệu [1] [6] Chương 1: Trình bày số tính chất kết sở lý thuyết đa vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford Taylor, hàm Green đa phức Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại chi tiết số kết Poletsky xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa dƣới Định nghĩa 1.1.1 Cho n tập mở hàm nửa liên tục không trùng với liên thông a b n u : , thành phần Hàm u gọi đa điều hòa với u(a , hàm b) điều hòa trùng :a thành phần tập hợp b Kí hiệu PSH ( ) lớp tất hàm đa điều hòa Sau vài tính chất hàm đa điều hịa dưới: Mệnh đề 1.1.2 Nếu u, v u PSH ( ) u v hầu khắp nơi , v Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hòa thỏa mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức u tập mở liên thông bị chặn PSH ( ) , u với z u(z ) Định lý 1.1.4 Cho PSH ( ) , v , y y n tập mở u sup lim sup u(y ) i ) Họ PSH ( ) nón lồi, tức u, v n PSH ( ) , Khi số không âm ii ) Nếu liên thông u j u lim u j j iii ) Nếu u : PSH ( ) u , u j compact , u Định lý 1.1.5 Cho PSH ( ) dãy giảm, j PSH ( ) hội tụ tới u tập j PSH ( ) n tập mở i ) Cho u, v hàm đa điều hòa v lồi, v (u / v) đa điều hòa ii ) Cho u PSH ( ) , v PSH ( ) , v Nếu : Nếu : lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hòa iii ) Cho u, v : [0, ) PSH ( ) , u [0, , v , v (u / v) PSH ( ) ) lồi (0) Nếu 1.2 Hàm đa điều hòa dƣới cực đại n Định nghĩa 1.2.1 Cho tập mở u PSH ( ) Ta nói u hàm đa điều hòa cực đại viết u mở, compact tương đối G hàm v nửa liên tục trên G , v PSH (G ) v u G v MPSH ( ) với tập u G Sau vài tính chất hàm đa điều hòa cực đại: Mệnh đề 1.2.2 Cho n tập mở u PSH ( ) Khi khẳng định sau tương đương: i ) Với tập mở compact tương đối G hàm v PSH ( ) , lim inf(u(z ) v(z )) ii ) Nếu v cho u iii ) Nếu v \ K , u iv ) Nếu v v PSH ( ) , G tập mở compact tương đối v G u u v G ; tồn tập compact K PSH ( ) với v G , u 0, với z , v G ; PSH ( ) , G tập mở compact tương đối lim inf(u(z ) v(z )) z G , u 0, với , v G ; v ) u hàm cực đại 1.3 Hàm cực trị tƣơng đối Định nghĩa 1.3.1 Giả sử tập mở Hàm cực trị tương đối E uE , (z ) sup v(z ) : v PSH ( ), v n E tập định nghĩa : 1, v E (z ) Sau vài tính chất hàm cực trị tương đối: Mệnh đề 1.3.2 Nếu E1 E2 n Định nghĩa 1.3.3 Miền bị chặn hàm : ( uE , uE , 2 gọi miền siêu lồi tồn , 0) đa điều hòa âm, liên tục cho với c z Mệnh đề 1.3.4 Nếu đối uE , , điểm : (z ) c miền siêu lồi E tập compact tương ta có lim uE , (z ) z Ta D phần Vi Ki nên Do tính cực đại i i i i Gi i Gi nằm D i Vi i i v i i i Vi \ Gi Do i i Gi Từ ta Fi D i i i D {z cho Gi đa diện giải tích với hệ i i e i p( i Vi i e p( i i [3], tồn q2 hợp Rqi D i i ) fk , nghĩa là, U i : gki (z ) k 1, N} U i chứa Gi Đặt Vi Ui \ D i i Vi Gi Lân cận tập compact tương đối U i Vì lân cận i Gi nên suy D Gi (xem [3]) Ta lấy tập mở U i ri , nên Gi i m (U i , g1i , , gNi ) , gki | gki | i i cho Lấy tập mở U i i i , nên D , biên Gi , i D i i Vi \ Gi , nên ta có tìm với i i i Gi Nhưng i i đạt cực đại Vi \ Gi Biên Vi \ Gi gồm biên Vi , đó D Gi Vì i K i Vì Mặt khác Gi i ) Gi D Vi i i Gi , với q1 đủ lớn cho với q i ep , | fk | k Vi : riq gkiq q gNi 25 1, q2 k ta có N Theo Định lý thành phần liên thông tập {z nên N} i m, giao với D i đa diện với hệ i (U i \ D Nhắc lại p pq i i , riq (g2qi , v q g1qi ), , riq (gNi g1qi )) , sup k N log fkq p f1q D Từ suy pq( i i (p ) )( p ( ( ) i p( ) i i ) i p ) ( p( ) i i i ) ( i Lấy q q2 i i i p i cho U i D i i ) với q Cho F thành phần liên thông Fi Ta F gkiq (z ) Gi Nếu z g1q (z ) e pq ( F i i ) q i i {v i f1q (z ) e } có giao với K i i Ki fkq (z ) pq ( i i ) p e i Do z thuộc thành phần R tập Rqi Nếu z1 gkiq (z1 ) g1q (z ) fkq (z1 ) R với số k Từ ta có f1q (z1 ) e pq ( i i ) [gkiq (z1 ) 26 g1q (z1)] e pq ( i i ) e p( i i ) , v (z1 ) hàm fkq i f1q , i Do F Ui D i i , nên i N , xấp xỉ K k Do N Rqi Vì Rqi R n Ta hàm điều chỉnh cho hệ phương trình f1 fn có khơng điểm đơn Giả sử hệ phương trình f1 điểm đơn Ma trận Jacobian f fn khơng có khơng (f1, , fn ) khơng đồng 0, khơng điểm D nằm đường cong phức, v số Nhưng v K v G1 Theo Định lý Sard, tồn Xấp xỉ ta ổn định với n điểm (c1, , cn) với k Đặt gi ảnh điểm | ck | trình g1 với gn cho f không suy biến tất nghịch fi ci Khi hệ phương có khơng điểm đơn D , xấp xỉ K đối p 2.2 Xấp xỉ condenser hàm Green Bổ đề sau sử dụng tồn xấp xỉ chỉnh hình hàm cực trị tương đối condenser đa qui để đạt xấp xỉ vài loại hàm cực trị hàm Green với độ đo Monge-Ampère điều chỉnh Bổ đề 2.2.1 [6] Cho K (K1, , Km , 1, , miền siêu lồi chặt D n D ) condenser đa qui Khi tồn dãy số dương i hàm Green g j D , với tập mở Vij , Wij (Wmj m m , số 0) cho ij Wij D i 27 Vij D , ij ij i j hội tụ đến 0, i gj i Vij , g j tập Z i j ij Vi j \ Wi j , i (dd c )n m , (dd cg j )n j Zi j ij 2i , j i (dd c )n Zi j i Chứng minh Với i Wij , cực g j nằm hợp ij i j Zi j m , ta chọn dãy tăng số Đặt K2i K i , K 2i , j 1, j D Lấy ij 2i 1, j ij cho i Bây ta xây dựng condenser đa qui K j tạo ij thành họ tập compact K ij số ij (z, K j , D) với j Với j ta chọn dãy Chú ý (z, K, D) hệ hàm chỉnh hình f1 j , , fnj số nguyên p j xấp xỉ K j j / j Giả sử hệ f1 j số j fnj có nghiệm đơn đủ nhỏ cho ij aj i j ij với i 1, j i 1, j j j j 2m Đặt vj log fkj n p j sup k Ta thêm số j vào tất tham số xấp xỉ cho ij vj , Kij ij ij i 1, j ij ij Gij Gij Lấy hàm phụ 28 Gij D ij ij ij (1 ij ij )( ij Khi Gij ta có vij ij ij ) vij vj Vì ij ij ij ij K ij v j D , nên ta có (1 ij ij )( ij ( ij ij ij Do tập Fij ij {vij ij ij ij ij ) ( ) ij ij ( ij ij ij ij ij ) vij ) } Gij chứa K ij compact Gij Theo nguyên lý so sánh, ta có (dd cv j )n (dd cvij )n Gij Do tính cực đại (dd c Fij ij )n Fij Gij \ Kij nên ta nhận ij (dd cv j )n (dd c Gij ij )n (1 Gij j ) (dd c )n (2.3) Gij Bây ta lấy tập Pij cực vij nằm Gij lập hàm Green g ij D i 1, j với cực Pij với trọng / p j Các hàm g ij có cực với trọng tương tự v j Pij , gij gij vj Lấy ij Vì gij ij vij i 1, j D ij aj ( ij i 1, j vij D i 1, j i 1, j i 1, j ij i 1, j Vì i 1, j D D ) D vij max {gij , ij i 1, j ij } Khi i 1, j ij vij Gij , ij Gij đạt cực đại D Theo nguyên lý so sánh, ta có 29 ij i 1, j i 1, j ij \ Gij , nên ta có (dd cvij )n D (dd c )n aj D i 1, j i 1, j Theo (2.3), ta có (dd cvij )n D (dd c gij )n , D i 1, j D Do tính cực đại g ij (dd cv j )n i 1, j \ Gij , nên ta nhận i 1, j (dd cgij )n Gij a j (dd c )n Gij (2.4) Gij Vì (dd c )n (dd c )n , G2 i , j G2 i 1, j nên theo (2.3) (2.4) ta có (dd cv j )n G2 i , j G2 i i Bây với jG (dd cv j )n 1, j (dd c )n (2.5) i 1, j m , đặt Vij G2i 1, j Wij G2i , j Với j , xét hàm Green g j D có cực với trọng / p j cực v j nằm G2m (G2i 1, j i \ G2i, j ) , (dd cg j )n Vij m (dd cv j )n Theo định nghĩa g j (2.4), Vij j (dd c )n Vij Mặt khác, ta có (dd g j ) c Vij (dd v j ) n c n Vij Theo (2.3) (2.5), 30 m k i (dd cv j )n G2 k , j \G k 1, j (dd cg j )n 2m j Vij Đặt j 2m / j j (dd c )n Vij (dd c )n Do bất đẳng thức trên, ta có j D (dd cg j )n (dd cg j )n Zi j (dd cg j )n Vi j Vi (1 j 1, j ) (dd c )n (1 j Vi j Vi (dd c )n j (dd c )n ) 1, j Zij Tương tự, ta có (dd cg j )n (1 j Zij ) (dd c )n (1 j Vij Vi (dd c )n (dd c )n ) 1, j j Zij Vì g j v j D , nên g j i Vij g j ij Wij Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.2 [6] Giả sử dãy hàm Green g j D thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2.1 Khi dãy g j hội tụ đến (z ) compact D i \ Ki , i m Hơn nữa, (z, K, D) tập hàm liên tục ( (z ))(dd cg j )n lim j D Chứng minh Đặt gij Vi j g j ij ( (z ))(dd c )n D gj Zi j , Z ij tập mở Vì g j Wi j , nên {gi j 31 ij j i ij } tập compact Z i j Đặt gi j max{gi j , i Z i j , ij j } Khi hàm g j định nghĩa tương tự g i j m , g j hàm đa điều hòa D Hơn nữa, theo (2.3), ta có (dd cg j )n (dd cg j )n Zi j Zi j Đặt ij j ij Ta có j i :1 m j hội tụ đến Đặt v j j g j Vì v j ij Z ij , tính cực đại v bên hợp Z ij , nên lớn D Do đó, lấy tích phân phần, ta nhận )(dd c )n ( ( v j )(dd c )n D )dd cv j ( D (dd c )n D ( v j )dd cv j (dd c )n ( v j )(dd cv j )n D D Do )(dd c )n (v j D v j (dd cv j )n D D m i (dd c )n v j (dd cv j )n Zi j (dd c )n Zi j Giá (dd c )n nằm biên K i , (dd cv j )n g j ij j Do đó, từ bất đẳng thức trên, ta có 32 i Giá m )(dd c )n (v j n j i D (dd cg j )n ij (dd c )n i Zij Zij Do (2.3) bất đẳng thức tích phân Bổ đề 2.2.1, ta có (dd cg j )n (dd cg j )n Zij (dd c )n Zij j Zij Từ c (v j m n )(dd ) ( i D n j ij i ) (dd c )n n j j ij Zi j Vì vậy, (dd c ) lim j với a a} 0 chọn Cố định số đặt u j {v j vj | z |2 cho | z |2 / D , Chú ý dd c n | z |2 cndV , n số cn phụ thuộc vào n , dV dạng thể tích Đặt Ej {z D: u j } Vì u j / nên E j tập compact D E j {v j D v j / E j , / 2} Do tính cộng tính tốn tử Monge-Ampère nguyên lý so sánh, ta có (dd cv j )n Ej dd c ( | z |2 ) Ej n (dd cu j )n Ej 33 (dd c )n Ej cnm(E j ) (dd c )n n {v j /2} Do lim m(E j ) j Đặt Fj z B vj { E j Lấy r } cho r , lấy j cho m(E j ) w B(z 0, r ) D v j (z ) m(B ) m(B ) Vì v j (z ) đến B )dV ( B (w ) m(B(z, r )) với j m(B ) v j (z )dV (z ) v jdV B \Fj j0 Nếu v jdV B Fj )dV ( (z ) (2 m ) B Fj (z ) , nên v j hội tụ đến tập compact D i D Do hàm g j hội tụ \ Ki , i m Phát biểu cuối bổ đề suy trực tiếp từ bất đẳng thức tích phân Bổ đề 2.2.1 2.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới hàm Green đa cực Định lý 2.3.1 [6] Nếu D cạn n miền siêu lồi mạnh với hàm vét u hàm đa điều hòa âm D với giá trị biên 0, tồn dãy hàm Green đa cực đa phức g j hội tụ đến u C (( L1(D) Hơn nữa, u liên tục D (u(z ))(dd cg j )n lim j D (u(z ))(dd cu)n D 34 , 0]) , Chứng minh Trước tiên ta chứng minh định lý hàm đa điều hòa liên tục u D với giá trị biên 0, mà có tập mở D D cho D siêu phẳng trơn, u D , đạt cực đại D \ D , thuộc lớp C hàm đa điều hòa chặt D Khi u có hữu hạn cực tiểu địa phương z1, , z p Theo Định lí Sard, với j mj j m j 1, j (1) ij 2j 1j D ta tìm số cho: / j hàm u không suy biến {u i 1, j (2) Nếu z k cực tiểu địa phương u thành phần liên thông tập {u p k m(Bkj ) i 1, j ij u(z k ) ij i }, i 1, j mj ; , } chứa z k thuộc mặt cầu Bkj 1/ j Theo điều kiện thứ tập Kij {u ij } có biên trơn tập đa qui Vì condenser K j tạo K ij i m j , có hàm cực trị tương đối liên tục Với j j ij , ta lấy dãy hàm Green g jm Định lý 2.2.2 chọn dãy g jq hội tụ L1loc (D) đến hàm đa điều hịa m Nhưng g jq khơng thể hội tụ đến v j đến j j m tập compact D \ D , nên g jq m i , vj { , g jq hội tụ m j ij tập { } Tập { j ij j i 1, j } \ Kij v j v j L1(D) Với j khắp nơi trừ tập } mặt trơn chứa cực tiểu địa 35 phương z k Trong trường hợp thứ v j hợp thứ hai { j ij { j j ij } Trong trường } thuộc mặt cầu Bkj Đặt A cận u D Khi tồn điểm thuộc Bkj , v j (z ) j A Nếu Bkj mặt cầu có tâm điểm có bán (z ) kính gấp hai lần bán kính Bkj p k B kj p v jdV k A j Am(Bkj ) Như vj j 2A j dV D Vì j hội tụ đến u , nên v j hội tụ đến u L1(D) hàm (dd c j )n hội tụ yếu* đến (dd cu )n Lấy tập trù mật đếm hàm { q } C (( , 0]) Khi đó, tồn dãy g jp hội tụ đến u L1(D) j lim j q (u(z ))(dd cg jp )n j D q (u(z ))(dd cu)n D với q Định lí chứng minh cho hàm có dạng đặc biệt Giả sử xác định lận cận V D Lấy u hàm đa điều hòa liên tục D với giá trị biên Khi dãy hàm đa điều hòa uk max{u, k } D uk k V \ D , giảm dần D hội tụ đến u D Đặc biệt, (dd cuk )n hội tụ yếu* đến (dd cu )n Do để chứng minh định lý cho hàm liên tục ta cần chứng minh cho hàm liên tục mà có thác triển đa điều hòa liên tục đến V 36 Nếu u hàm có dãy giảm dần hàm đa điều C (D j ) (xem [4, Định lý 2.9.2]) hội tụ đến hòa uk D j , uk u D Bổ sung thêm k | z |2 chặt, uk k k | z |2 1k vào uk , số k , k hội tụ đến D , ta giả sử hàm uk đa điều hòa D , chúng hội tụ đến u D Chọn dãy số {uk k 1k hội tụ đến cho với k , tập } siêu mặt trơn compact D Ta định nghĩa hàm đa điều hòa uk : uk uk Wk {uk 1k } , uk D , đạt cực đại D \Wk Do hàm uk hội tụ đến u Vì định lý chứng minh cho hàm vậy, nên định lý chứng minh cho hàm đa điều hòa liên tục Hàm đa điều hòa u D tùy ý thuộc L1loc (D) , u có giá trị biên thuộc L1(D) Đặt u j max{u, j } , j 1,2, , D u j j D Khi {u j } dãy giảm hàm D hội tụ đến u Do chúng hội tụ đến u L1(D) Lại áp dụng Định lý 2.9.2 [4], u j xấp xỉ dãy giảm {uk j } hàm đa điều hịa liên tục Vì u j D, nên dễ thấy hàm uk j sửa đổi để D hội tụ đến u j L1(D) Kết kéo theo tồn hàm Green hội tụ đến u j , hội tụ đến u L1(D) 37 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford Taylor, hàm Green đa phức Một số kết xấp xỉ condenser hàm chỉnh hình (Định lý 2.1.7), xấp xỉ condenser hàm Green (Định lý 2.2.2), xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực (Định lý 2.3.1) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị , Nxb Đại học sư phạm TIẾNG ANH [2] Aytuna A, Rashkovskii A, and Zahariuta V.P (2002), “Width asymptotics for a pair of Reinhardt domains”, Ann Polon Math., 78, 31-38 [3] Bishop E (1961), “Mappings of partially analytic spaces”, Amer J Math., 83, 209-242 [4] Klimek M (1991), Pluripotential Theory, Oxford Sci Publ MR 93h:32021 [5] Nivoche S (2001), “Sur une conjecture de Zahariuta et un probl_eme de Kolmogorov”, C R Acad Sci Paris Ser I Math 333, 839-843 [6] Poletsky E.A (2002), “Approximation of plurisubharmonic functions by multipole Green functions”, Tran Amer Math Soc Vol 355, No 4, Pag 1579-1591 [7] Sibony N (1975), “Prolongemant de fonctions holomorphes bornees et metrique de Caratheodory”, Invent Math., 29, 205-230 MR 52:6029 [8] Zahariuta V.P (1984), Spaces of analytic functions and maximal plurisubharmonic functions, Doc Sci Thesis [9] Zahariuta V.P, Skiba N.P (1976), “Estimates of n-diameters of some classes of functions analytic on Riemann surfaces”, Mat Zametki, 19, 899-911; English transl., Math Notes 19, 525-532 MR 54:7801 39 ... 12 Chƣơng Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới hàm Green đa cực 19 2.1 Xấp xỉ condenser hàm chỉnh hình 19 2.2 Xấp xỉ condenser hàm Green 27 2.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực ... Nghiên cứu toán xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày số tính chất kết sở lý thuyết đa vị + Trình bày số kết xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực Phƣơng pháp... Bedford Taylor, hàm Green đa phức Một số kết xấp xỉ condenser hàm chỉnh hình (Định lý 2.1.7), xấp xỉ condenser hàm Green (Định lý 2.2.2), xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực (Định lý 2.3.1)