ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VIỆT HÀ HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ VIỆT HÀ HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO PHƢƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ VIỆT HÀ HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO PHƢƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành :Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dƣơng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu Lời nói đầu Phương trình tốn tử 1.1 1.2 1.3 Tốn tử đơn điệu không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Toán tử đơn điệu Phương trình tốn tử đơn điệu 10 1.2.1 Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 10 1.2.2 Ví dụ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 12 Một số toán liên quan đến phương trình tốn tử đơn điệu 17 1.3.1 Bài tốn điểm bất động 17 1.3.2 Bài toán cân thị trường 19 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử: Tốc độ hội tụ xấp xỉ hữu hạn chiều 2.1 21 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử 21 2.1.1 Toán tử hiệu chỉnh 22 2.1.2 Hiệu chỉnh trường hợp toán tử A liên tục đóng yếu 23 ii 2.1.3 2.2 Hiệu chỉnh trường hợp toán tử A đơn điệu 26 Xấp xỉ hữu hạn chiều 30 2.2.1 Sự hội tụ 30 2.2.2 Tốc độ hội tụ 31 Tài liệu tham khảo 39 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014–2016) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Việt Hà Bảng ký hiệu R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A tốn tử đơn điệu không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu tốn tử A hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y kxk xn → x chuẩn vectơ x xn hội tụ mạnh đến x xn ⇀ x xn hội tụ yếu x I ánh xạ đơn vị Lời nói đầu Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh khơng gian Hilbert H: Tìm phần tử x0 ∈ H thỏa mãn (1) A(x0 ) = f A : D(A) ⊆ H → H, f ∈ H, D(A) ký hiệu tập xác định toán tử A Ta xét phương trình tốn tử (1) trường hợp f khơng biết xác mà cho xấp xỉ fδ , thỏa mãn k f − fδ k ≤ δ , δ → (2) Nếu khơng có điều kiện đặc biệt đặt lên tốn tử A (chẳng hạn tính đơn điệu đơn điệu mạnh), phương trình tốn tử (1), nói chung, tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa toán (khi kiện thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải loại toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn ban đầu Những người có cơng đặt móng cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh nhà toán học A N Tikhonov [6], M.M Lavrentiev [5] V.K Ivanov [4] vv Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu giải tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Kể từ năm 1963 A.N Tikhonov [6] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh phát triển sơi động có mặt hầu hết tốn thực tế Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử đơn điệu (1) không gian Hilbert báo [3] Cụ thể nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh phương trình tốn tử (1) trường hợp tốn tử A liên tục, đóng yếu, đơn điệu; đồng thời nghiên cứu tốc độ hội tụ xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Giới thiệu tốn tử đơn điệu, phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Hilbert, không gian Banach số toán liên quan đến toán tử đơn điệu, tốn điểm bất động, tốn cân Chương 2: Trình bày kết nghiên cứu [3] phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh Chương Phương trình tốn tử Chương trình bày khái niệm tốn tử đơn điệu, phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach không gian Hilbert; giới thiệu số toán liên quan đến phương trình tốn tử tốn tử đơn điệu Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[3] 1.1 1.1.1 Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Khơng gian Banach Mục trình bày khái niệm số kết không gian Banach Các kiến thức mục tham khảo [2] Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X Ánh xạ d : X × X → R gọi mêtric thỏa mãn tiên đề sau: (i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với mêtric d xác định gọi không gian mêtric, ký hiệu (X,d) Định nghĩa 1.1.2 Không gian mêtric (X,d) gọi không gian đầy đủ (hay không gian đầy) dãy Cauchy X hội tụ Định nghĩa 1.1.3 Cho khơng gian tuyến tính X trường số thực, ánh xạ ||.|| : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn tiên đề sau: (i) ||x|| ≥ với x ∈ X; ||x|| = ⇔ x = 0; (ii) ||kx|| = |k|.||x|| với x ∈ X, với k ∈ R; (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y ∈ X Khơng gian tuyến tính X với chuẩn k.k xác định gọi không gian định chuẩn, ký hiệu (X, ||.||) Định nghĩa 1.1.4 Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ yếu tới x0 ∈ X, ký hiệu xn ⇀ x0 với f ∈ X ∗ -không gian liên hợp X ta có f (xn ) → f (x0 ) n → ∞ Nhận xét 1.1.5 Một dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu, ngược lại chưa Ví dụ, khơng gian l2 lấy dãy {ei}∞ i=1 cho hei , e j i = i = j hei , e j i = i 6= j Khi đó, với ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , , ϕn , ) ∈ l2 ta có he j , ϕ i = ϕ j Vì ϕ ∈ l2 nên lim ϕ j = 0, tức dãy {e j }∞j=1 hội tụ yếu đến phần j→∞ √ ∞ tử Nhưng dãy {e j } j=1 không hội tụ mạnh Thật vậy, kei − e j k = nên dãy {e j }∞j=1 khơng phải dãy bản, không hội tụ mạnh Chú ý 1.1.6 Trong không gian định chuẩn X dãy {xn } hội tụ mạnh đến x0 xn ⇀ x0 kxn k → kx0 k Định nghĩa 1.1.7 Tốn tử A từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y liên tục với dãy {xn } ⊂ X xn → x ∈ X A(xn ) → A(x) Tính liên tục tốn tử tuyến tính A xác định cách A(xn ) → với dãy {xn } ⊆ X xn → [ f2 (t) − f1 (t)] dt = ∑ (cn − an ) cos(nt) dt n=0 1 2 = ( ∞ π ∑ (cn − an)2 n=1 )1 = ε1 r π Như vậy, toán lại ổn định, tức liệu ban đầu an cho xấp xỉ cn 17 với sai số nhỏ, chuỗi Fourier tương ứng sai khác không nhiều L2 [0, π ] Vì tính khơng nghiệm tốn đặt khơng chỉnh nên người ta thường có tiêu chuẩn cho lựa chọn nghiệm Ta sử dụng nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, nghĩa ta tìm nghiệm x0 ∈ S thỏa mãn A(x0 ) = f , kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : Ax = f }, S tập nghiệm tốn (1.1), giả thiết khác rỗng Bằng cách chọn x∗ ta có nghiệm mà ta muốn xấp xỉ 1.3 1.3.1 Một số toán liên quan đến phương trình tốn tử đơn điệu Bài tốn điểm bất động Cho C tập lồi không gian Hilbert thực H T : C → C ánh xạ Bài toán điểm bất động, ký hiệu FP(T,C) (fixed point problem), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ = T (x∗ ) (1.2) Việc tìm nghiệm tốn điểm bất động (1.2) tương đương với việc giải phương trình toán tử: (T − I)(x∗ ) = 0, (1.3) I tốn tử đơn vị khơng gian Hilbert H Định lý điểm bất động Banach đưa luận án Banach vào năm 1922 sau: 18 Định lý 1.3.1 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Khi đó, T có điểm bất động q X với xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn } định nghĩa xn+1 = T (xn ), với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới q Chứng minh Sự tồn tại: Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T (xn ) với n ≥ Do T ánh xạ co không gian mêtric X nên tồn số k ∈ [0, 1) cho d(T (x), T (y)) ≤ kd(x, y) Xét: d(xn , xn+1) = d(T (xn−1 ), T (xn )) ≤ kd(xn−1 , xn ) ≤ k2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ ≤ kn d(x0 , x1 ) Lấy m > n ta có: d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2) + + d(xm−1 , xm ) ≤ (kn + kn+1 + + km−1 )d(x0 , x1 ) ≤ kn (1 + k + + km−n−1 )d(x0 , x1 ) ≤ kn d(x0 , x1 ) → n → ∞ 1−k Vậy {xn } dãy Cauchy không gian mêtric đầy đủ X Do dãy {xn } hội tụ tới phần tử q ∈ X Với n ≥ ta có ≤ d(q, T (q)) ≤ d(q, xn ) + d(xn , T (q)) = d(q, xn ) + d(T (xn−1 ), T (q)) ≤ d(q, xn ) + kd(xn−1 , q) Vì dãy {xn } hội tụ phần tử q ∈ X nên d(q, xn ) + kd(xn−1 , q) → n → ∞ Từ ≤ d(q, T (q)) ≤ suy d(q, T (q)) = hay T (q) = q Vậy q điểm bất động ánh xạ T 19 Tính nhất: Giả sử tồn p ∈ X cho T (p) = p Khi d(q, p) = d(T (q), T (p)) ≤ kd(q, p) Với k ∈ [0, 1) từ đẳng thức suy d(q, p) = q = p Vậy q Bài toán điểm bất động sử dụng để xây dựng, phân tích tính tốn nghiệm cho toán cân kinh tế 1.3.2 Bài toán cân thị trường Bây ta xét toán cân thị trường mơ tả dạng phương trình tốn tử Một sở sản xuất phân phối n mặt hàng ký hiệu i, i = 1, 2, , n cho m đại lý tiêu thụ đại lý ký hiệu j, j = 1, 2, , m Ký hiệu p véc tơ n-chiều biểu thị giá mặt hàng gồm thành phần p = (p1 , p2 , , pn ) Giả sử lượng cầu mặt hàng thứ i tất đại lý di Nói chung di phụ thuộc vào giá tất mặt hàng, tức di = di (p) Khi ta có m di (p) = ∑ di j (p), j=1 di j (p) nhu cầu mặt hàng thứ i đại lý thứ j Tương tự ta có lượng cung mặt hàng thứ i cho tất đại lý, ký hiệu si , nói chung, phụ thuộc vào giá tất mặt hàng, tức m si (p) = ∑ si j (p), j=1 si j (p) lượng cung mặt hàng thứ i cho đại lý thứ j với véc tơ giá p Ta tổng hợp lượng cầu tất mặt hàng thành véc tơ cột n-chiều d với thành phần sau: {d1 , d2 , , dn } lượng cung n mặt hàng thành véc tơ cột n-chiều s với thành phần sau: 20 {s1 , s2 , , sn } Điều kiện cân thị trường yêu cầu lượng cung mặt hàng phải lượng cầu mặt hàng với véc tơ giá p∗ , tương đương với hệ phương trình sau: s(p∗ ) = d(p∗ ) Hệ phương trình biểu diễn dạng phương trình tổng quát ta xác định véc tơ x ≡ p A(x) ≡ s(p) − d(p) 21 Chương Hiệu chỉnh phương trình tốn tử: Tốc độ hội tụ xấp xỉ hữu hạn chiều Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử trường hợp tốn tử liên tục, đóng yếu có tính chất đơn điệu Phần thứ hai chương giới thiệu xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] 2.1 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử Cho H khơng gian Hilbert thực, A : H → H toán tử phi tuyến Ta xét phương trình tốn tử đề cập Chương 1: Tìm phần tử x0 ∈ H thỏa mãn A(x0 ) = f0 , (2.1) f0 phần tử cho trước thuộc H Trong chương ta giả thiết tập nghiệm S toán (2.1) khác rỗng Nếu A toán tử đơn điệu S tập lồi đóng H Cho x∗ phần tử H, phần tử x0 ∈ H gọi nghiệm 22 tốn (2.1) có x∗ -chuẩn nhỏ x0 ∈ S, kx0 − x∗ k = kx − x∗ k x∈S Bài tốn (2.1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh, nghiệm (2.1) không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu A f0 Vì vậy, ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định toán này, cho sai số kiện ban đầu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần nghiệm xác tốn ban đầu Một phương pháp hiệu sử dụng rộng rãi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 2.1.1 Toán tử hiệu chỉnh Cho A toán tử khả nghịch lân cận x0 giả sử A(x0 ) = f Với phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh (2.1), biết kiện fδ cho k fδ − f k ≤ δ , (2.2) chí tồn A−1 , xδ := A−1 fδ xấp xỉ tồi cho nghiệm toán Để nhận nghiệm ổn định ta phải sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Định nghĩa 2.1.1 Cho A : X → Y tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y Toán tử T ( f , α ), phụ thuộc vào tham số α , tác động từ Y vào X gọi toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (2.1), (i) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử T ( fδ , α ) xác định với α ∈ (0, α1 ) với fδ ∈ Y thỏa mãn k fδ − f k ≤ δ , δ ∈ (0, δ1 ); (ii) Tồn hàm α = α (δ , fδ ) phụ thuộc vào δ cho với ε > 0, 23 tìm δ (ε ) ≤ δ1 để với fδ ∈ Y thỏa mãn k fδ − f k ≤ δ ≤ δ (ε ) kxαδ − x0k ≤ ε , x0 nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ toán (2.1) xαδ ∈ T ( fδ , α (δ , fδ )) Toán tử hiệu chỉnh T ( f , α ) định nghĩa nói chung đa trị Phần tử xấp xỉ xαδ ∈ T ( fδ , α (δ , fδ )) gọi nghiệm hiệu chỉnh phương trình (2.1), cịn α = α (δ , fδ ) gọi tham số hiệu chỉnh Tham số hiệu chỉnh α (δ , fδ ) phải chọn cho lim α (δ , fδ ) = δ →0 Từ Định nghĩa 2.1.1 ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ tốn đặt không chỉnh phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu bao gồm việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin tốn sai số kiện ban đầu Với cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh α hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xδα đến nghiệm x0 tốn (2.1) chậm tùy ý Để nhận đánh giá sai số, nghĩa đánh giá kxαδ − x0 k, người ta phải sử dụng thêm thông tin nghiệm Một giả thiết thông dụng "điều kiện nguồn" (hay "điều kiện trơn" nghiệm): tồn z ∈ H cho x0 − x∗ = A′ (x0 )∗ z 2.1.2 Hiệu chỉnh trường hợp toán tử A liên tục đóng yếu Nội dung phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử (2.1) dựa việc tìm phần tử cực tiểu xδα phiếm 24 hàm Tikhonov Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + α kx − x∗ k2 , (2.3) α > tham số hiệu chỉnh fδ xấp xỉ f0 thỏa mãn k fδ − f k ≤ δ (2.4) Kết phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với điều kiện đặt cho toán tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tử cực tiểu xδα xấp xỉ tốt cho nghiệm x0 tốn (2.1) Ta có định lý sau Định lý 2.1.2 Cho A toán tử liên tục đóng yếu, α > {xk } dãy cực tiểu (2.3) với fδ thay fk cho fk → fδ Khi đó, tồn dãy hội tụ dãy xk giới hạn dãy hội tụ phần tử cực tiểu (2.3) Sau kết toán tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm cho hiệu chỉnh Tikhonov Định lý 2.1.3 Cho A toán tử liên tục đóng yếu, fδ ∈ Y thỏa mãn (2.4) tham số α (δ ) chọn cho α (δ ) → δ /α → δ → Khi δ δ dãy {xαkk }, δk → 0, αk = α (δk ) xαkk dãy cực tiểu (2.3) có dãy hội tụ Giới hạn dãy hội tụ nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ (2.1) Ngồi nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ nhất lim xαδ (δ ) = x0 δ →0 Để nhận kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, người ta cần thêm vài giả thiết cho tốn tử A Ta có định lý sau Định lý 2.1.4 Cho D(A) tập lồi, fδ ∈ Y thỏa mãn (2.4) x0 nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ phương trình A(x) = f Hơn nữa, giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: 25 (i) A khả vi Fréchet; (ii) Tồn số L ≥ cho kA′ (x0 ) − A′ (x)k ≤ Lkx0 − xk với x ∈ D(A); (iii) Tồn phần tử z ∈ X cho x0 − x∗ = A′ (x0 )∗ z và; (iv) Lkzk < Khi đó, (1) Nếu α = cδ , c > 0, 1 + ckzk kxδα − x0 k ≤ √ p δ c (1 − Lkzk) (2) Nếu tham số hiệu chỉnh α chọn thỏa mãn δ ≤ kA(xδα ) − fδ k ≤ c1 δ , c1 ≥ 1, (2.5) kxδα − x0 k ≤ 2(1 + c1 )kzk − Lkzk 1/2 δ Tham số hậu nghiệm chọn theo (2.5) nguyên lý độ lệch Morozov Với nguyên lý độ lệch cổ điển, tham số hiệu chỉnh α chọn thỏa mãn kA(xδα ) − fδ k = cδ , c ≥ Với α > fδ ∈ H nghiệm hiệu chỉnh xδα (2.3) tìm phương pháp bình phương tối thiểu dựa việc giải phương trình đây: δ δ δ ∗ A xα A xα − fδ + α xα − x = 0, ′∗ (2.6) A′ đạo hàm Fréchet A A′∗ toán tử liên hợp A′ Nếu A 26 tốn tử tuyến tính bị chặn phương trình (2.6) có dạng: δ δ ∗ A (A xα + α xα − x = A∗ fδ (2.7) ∗ 2.1.3 Hiệu chỉnh trường hợp toán tử A đơn điệu Trong trường hợp A toán tử đơn điệu, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov bao gồm việc giải phương trình tốn tử: ∗ δ δ A xα + α xα − x = f δ (2.8) Việc giải toán (2.3), (2.7) phức tạp việc giải phương trình (2.8) Phương trình (2.8) có nghiệm xαδ với α > fδ ∈ H dãy nghiệm xαδ hội tụ theo chuẩn H đến x0 δ α α dần Ta có kết sau Định lý 2.1.5 Cho fδ ∈ H với k fδ − f0 k < δ x0 nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ toán (2.1) Giả sử, điều kiện sau thỏa mãn: (i) A khả vi Fréchet lân cận x0 ; (ii) Tồn số L > cho: ′ A (x0 ) − A′ (x) ≤ L kx0 − xk với z ∈ S (x0 , r), S (x0 , r) hình cầu với tâm x0 bán kính r; (iii) Tồn phần w ∈ H cho x0 − x∗ = A∗ (x0) w (iv) L kwk < e Với tham số α chọn thỏa mãn α = O (δ p ), < p < ta có δ xα − x0 = O (δ q ) , q = − p, p