Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http //www lrc tnu edu vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THANH HIẾU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THANH HIẾU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THANH HIẾU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương 1.1 1.2 Mét sè kiÕn thøc bỉ trỵ Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Bài toán đặt không chØnh 1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 12 Hệ phương trình toán tử 17 18 19 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Sự tồn nghiệm Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình với toán tử đơn điệu 2.1 21 Phương ph¸p hiƯu chØnh 2.1.1 ¸ 21 21 23 28 31 nh x¹ đơn điệu cực đại 2.1.2 Sự hội tụ nghiệm hiƯu chØnh 2.1.3 Tham sè hiƯu chØnh 2.1.4 Tèc ®é hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không không gian Hilbert 34 34 2.2.1 Mô tả phương pháp S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Kết tính toán thử nghiệm 42 2.2.2 Sù hội tụ phương pháp 2.3 Kết luận 45 Tài liƯu tham kh¶o 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mét sè ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X không gian liên hợp Rn không gian Euclide tập rỗng x := y x định nghĩa y x với x tồn I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận ab a tương đương với b a = o(b) a vô bé bậc cao b a = O(b) a bị chặn b A toán tử liên hợp toán tử D(A) miền xác định toán tử R(A) miền giá trị toán tử xk x dÃy {xk } héi tơ m¹nh tíi x xk * x d·y {xk } héi tơ u tíi x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên X n chiÒu x x A A A A http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, dẫn đến việc giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ kiện (sai ly) dẫn đến sai khác lớn (đi dặm) nghiệm, chí làm cho toán trở lên vô nghiệm vô định Người ta nói toán đặt không chỉnh (ill-posed) Do số liệu thường thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) sau lại xử lý máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số Chính thế, yêu cầu đặt phải có phương pháp giải ổn định toán đặt không chỉnh, cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Những người có công đặt móng cho lý thuyết toán đặt không chỉnh lµ Tikhonov A N., Lavrent'ev M M, Lions J J., Ivanov V K Xét toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tử: tìm x0 X cho A(x0 ) = f, (0.1) A toán tử từ không gian Banach phản xạ thực X vào X -không gian liên hợp X , f phần tử cho trước thuộc X Một hướng nghiên cứu quan trọng toán (0.1) việc xây dựng phương pháp giải Bài toán (0.1), toán tử A tính chất đơn điệu đơn điệu mạnh, nói chung toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Năm 1963, A N Tikhonov [14] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn kể từ lý thuyết toán đặt không chỉnh phát triển sôi động có mặt hầu hết toán thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (0.1) không gian Hilbert thực H dựa việc tìm phần tử cực tiểu xh, phiếm hàm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + kx xk2 (0.2) > tham sè hiƯu chØnh phơ thc vµo h vµ δ , x phần tử cho trước đóng vai trò tiêu chuẩn chọn nghiệm (Ah , f ) xấp xỉ (A, f ) Hai vấn đề cần giải tìm phần tử cùc tiĨu cđa phiÕm hµm Tikhonov vµ chän tham sè hiệu chỉnh phần tử cực tiểu = (h, ) thích hợp để xh, (h,) dần tới nghiệm xác toán (0.1) h dần tới không Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp toán phi tuyến Đối với lớp toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X X , F Browder [8] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu phương pháp F Browder đề xuất sử dơng mét to¸n tư M : X → X ∗ có tính chất h-liên tục (hemicontinuous), đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh U s , ánh xạ đối ngẫu tổng quát X , toán tử có tính chất Bằng phương pháp này, Ya I Alber [4] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + αU s (x − x∗ ) = fδ (0.3) cho toán (0.1) Một mở rộng toán (0.1) toán tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử Aj (x) = fj , S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∀j = 1, , N, (0.4) http://www.lrc-tnu.edu.vn ë Aj : X X toán tử đơn điệu, đơn trị fj X Dựa việc sử dụng phương trình (0.3) để hiệu chỉnh cho phương trình (0.4), Nguyễn Bường [9] đà kết hợp phương trình dạng để hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.4) sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham sè N X αµj Ahj (x) + αU s (x − x∗ ) = θ, j=1 µ1 = < µj < µj+1 < 1, trêng hỵp fj (0.5) j = 2, , N − = θ, ë Ahj xấp xỉ Aj Mục đích đề tài đọc hiểu trình bày lại phương pháp hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử (0.4) sở kết Nguyễn Bường Nguyễn Thị Thu Thủy [9], [16] Cuối đưa kết số minh họa Kết đà đăng Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, tập 68, số năm 2010 Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung luận văn, phần kết luận cuối phần tài liệu tham khảo Chương giới thiệu số kiến thức toán đặt không chỉnh, hệ phương trình với toán tử đơn điệu số phương pháp giải phương trình toán tử đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh dạng phương trình toán tử phụ thuộc tham số cho hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach phản xạ thực X phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không không gian Hilbert thực H giải hệ phương trình toán tử đơn điệu với toán tử ngược đơn điệu mạnh Kết tính toán thông qua ví dụ số trình bày cuối chương cho thấy tính hiệu phương S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ph¸p Trong trình làm luận văn, đà nhận nhiều giúp đỡ từ thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp gia đình Nhân dịp cho phép bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới người đà giúp hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thu Thuỷ, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học đà tận tình giảng dạy, bảo giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất thầy cô giáo đà trực tiếp giảng dạy trang bị cho kiến thức suốt trình học tập trường, thầy cô giáo môn Toán-Lý, Khoa Khoa học Cơ trường Đại học Nông lâm Thái Nguyên đà tạo nhiều điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên trình học tập công tác Những lời cảm ơn cuối muốn gửi tới người thân yêu gia đình đà giúp đỡ, chia sẻ, động viên nhiều để vượt qua khó khăn đạt kết học tập công tác Thái Nguyên, tháng 11 năm 2010 Tác giả Phạm Thanh HiÕu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch¬ng Mét sè kiến thức bổ trợ Trong chương trình bày khái quát toán đặt không chỉnh hệ phương trình với toán tử đơn điệu Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2], [5], [6], [17] 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Bài toán đặt không chỉnh Để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh chương sau, mục nhắc lại số khái niệm toán đặt không chỉnh Xét toán dạng phương trình toán tử (1.1) A(x) = f, A : X Y toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f phần tử thuộc Y Việc tính giá trị f với x cho trước gọi toán thuận, việc tìm x từ kiện f gọi toán ngược Sau định nghĩa Hadamard Định nghĩa 1.1 từ không gian X (xem [1] tài liệu dẫn) Cho vào không gian A:XY toán tử Y Bài toán (1.1) gọi toán đặt chỉnh 1) phương trình A(x) = f cã nghiƯm víi mäi f ∈Y; 2) nghiƯm nµy nhÊt vµ; Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 toán tử đơn điệu cực đại có tính chất Do đó, phương trình (2.14) có nghiệm, kí hiệu xn với n > (ii) Từ (2.14), ta cã: N X αnµj hAj (xn ), xn − xi + αn hxn − x∗ , xn − xi = 0, ∀x ∈ S (2.15) j=1 Do Aj (x) = 0, j = 1, , N, tõ (2.15) vµ tÝnh ®¬n ®iƯu cđa Aj ta cã αn hxn − x∗ , xn − xi = N X αnµj hAj (xn ) − Aj (x), x − xn i ≤ 0, ∀x ∈ S j=1 Do ®ã hxn − x∗ , xn − xi ≤ ⇔hxn − x∗ , xn − x∗ i ≤ hxn − x∗ , x − x∗ i ⇔kxn − x∗ k2 ≤ kxn − x∗ kkx − x∗ k Suy kxn − x∗ k kx x k, x S Bất đẳng thức cho ta tính bị chặn dÃy dÃy cđa d·y (2.16) {xn } Suy ra, tån t¹i mét {xn } héi tơ u ®Õn x ∈ H Gi¶ sư xnk * x ∈ H k + Trước hết, ta chứng minh đơn điệu cđa x ∈ S1 ThËt vËy, (2.14) vµ tÝnh chÊt A1 ta cã thÓ viÕt hA1 (x), xnk − xi ≤ hA1 (xnk ), xnk − xi N X ≤( αnµkj kAj (xnk )k + αnk kxnk − x∗ k)(kx − xnk k), j=2 ∀x ∈ H Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Với tính chất bị chặn, cho h-liên tơc cđa to¸n tư Aj , j = 2, , N vµ xnk → x, k → +∞ bÊt đẳng thức cuối ta hA1 (x), x xi ≤ 0, ∀x ∈ H Thay x bëi tx + (1 − t)x, < t < bÊt đẳng thức cuối, chia hai vế cho t, cho t ta hA1 (x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ H ¸p dơng Bổ đề Minty, suy x S1 Bây giờ, ta chứng minh tính chất đơn điệu cña x ∈ Sj , j = 2, , N ThËt vËy, tõ (2.15) Aj , ®a ®Õn hA2 (x), xnk − xi + N X αnµkj −µ2 hAj (x), xnk − xi j=3 + αn1−µ hxnk − x∗ , xnk − xi ≤ 0, ∀x ∈ S1 k Cho k +, ta thu bất ®¼ng thøc sau hA2 (x), x − xi ≤ 0, x S1 , Bất đẳng thức tương đương víi hA2 (x), x − xi ≥ 0, ∀x ∈ S1 Thay cho x bëi tx + (1 − t)x, < t < vào bất đẳng thức trên, chia vế (1 t) cho t 1, ta hA2 (x), x xi ≥ 0, ∀x ∈ S1 Gi¶ sư (2.17) x˜ S1 S2 Do x không điểm toán tử đơn điệu A2 x nghiƯm cđa (2.17), nªn ta cã = hA2 (˜ x), x˜ − xi ≥ hA2 (x), x˜ − xi ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Từ suy ra, hA2 (x), x˜ − xi = = hA2 (˜ x), x˜ − xi Do ®ã, hA2 (˜ x) − A2 (x), x˜ − xi = Do tÝnh chÊt ngược đơn điệu mạnh A2 nên = hA2 (˜ x) − A2 (x), x˜ − xi ≥ mA2 kA2 (˜ x) − A2 (x)k2 ≥ 0, mA2 > Từ suy ra, có nghĩa kA2 ( x) − A2 (x)k = nªn A2 (x) = A2 ( x) = Điều x = S2 S˜i = ∩il=1 Sl , ®ã S˜i cịng tập lồi đóng, Si 6= Bây giờ, giả i ta cần chứng minh x Si+1 Thật từ sử đà chứng minh x S Đặt (2.14) với y Si ta có thÓ viÕt N X hAi+1 (y), xnk − yi + αnµkj −µi+1 hAj (y), xnk − yi j=i+2 i+1 + αn1−µ hy − x, xnk − yi ≤ k Cho k + bất đẳng thức cuối ta hAi+1 (y), x yi 0, y Si Lý luận tương tự trên, ta có x Si+1 , điều có nghĩa x S , S tập lồi đóng H Từ (2.16) x S suy x phần tử có x -chuẩn nhỏ S Điểm tính chất lồi đóng tập S tính chÊt låi chỈt cđa X , suy x = x0 Điều kéo theo, dÃy {xn } hội tụ yếu đến x Mặt khác, từ (2.16) xnk * x, ta cã lim kxn k = kxk n→+∞ Do ®ã, lim xn = x0 n→+∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 (iii) Giả sử xm nghiệm (2.14) n thay m Khi đó, tõ (2.14) ta cã N X αnµj hAj (xn ), xn − xm i + αn hxn − x∗ , xn − xm i j=1 + N X µj αm hAj (xm ), xm − xn i + αm hxm − x∗ , xm − xn i = j=1 Từ tính chất đơn điệu Aj đẳng thức trên, ta thu n hxn xm , xn − xm i ≤ (αn − αm )hxm − x∗ , xm − xn i + N X µj (αnµj − αm )hAj (xn ), xm − xn i j=2 Suy ra, N |αn − αm | C X µj µj kxn − xm k ≤ kxm − x∗ k + |αn − αm |, αn αn j=2 ®ã C số dương thỏa mÃn kAj (xn )k C Sử dụng định lý Lagrange cho hàm số khả vi f (t) = tà , < < 1, t [1, +) đoạn [a, b], víi a = αn , b = αm hc a = m , b = n ta N X µj |αnµj − αm | ≤ N |αn − αm | j=2 Khi ®ã, |αn − αm | |αn − αm | kxm − x∗ k + CN αn αn |αn − αm | =K , K = kxm − x∗ k + CN αn kxn − xm k Vậy ta có điều phải chứng minh S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp Để tìm nghiệm xấp xỉ toán (2.1) [16], Nguyễn Thị Thu Thủy đà trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không không gian Hilbert thực H , với dÃy lặp tổng quát {zn } xây dựng sau: từ điểm ban đầu z0 zn+1 H , ta xác định zn+1 ∈ H, n = 0, 1, 2, bëi X N = zn − βn αnµj Aj (zn ) + αn (zn − x∗ ) , z0 ∈ H, (2.18) j=1 x điểm H , {n } {n } dÃy số dương Để chứng minh hội tụ dÃy lặp (2.18) ta cần bổ đề sau (xem [4]) Bổ ®Ị 2.5 Gi¶ sư {un }, {an }, {bn } dÃy số dương thỏa mÃn điều kiện: un+1 ≤ (1 − an )un + bn , ≤ an ≤ 1, P∞ bn = (ii) lim n=0 an = +∞, n→+∞ an (i) Khi ®ã, lim un = n→+∞ Sù héi tơ cđa d·y lỈp (2.18) khẳng định định lý sau Định lý 2.9 Giả sử điều kiện sau thỏa m·n: ≥ αn & 0, βn → n → +∞; |αn+1 − αn | βn (ii) lim = 0, lim = 0; n→+∞ n→+∞ αn βn αn2 P∞ (iii) j=1 βn αn = +∞ (i) Khi ®ã zn → x0 Chøng minh cã x∗ -chuÈn nhá nhÊt n → +∞ Tríc hÕt, ta cã kzn − x0 k ≤ kzn − xn k + kxn − x0 k Theo Định lý 2.8, số hạng thứ hai bên vế phải bất đẳng thức hội tơ vỊ n → ∞ V× vËy ta chØ cÇn chøng minh r»ng zn xÊp xØ xn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 n Đặt n = kzn − xn k Khi ®ã ta cã ∆n+1 = kzn+1 − xn+1 k X N µj = kzn − xn − βn αn Aj (zn ) + αn (zn − x∗ ) −(xn+1 − xn )k j=1 X N µj z − x − β α A (z ) + α (z − x ) ≤ n n j n n n ∗ +kxn+1 − xn k, n n j=1 (2.19) ®ã X 2 N µj zn − xn − βn αn Aj (zn ) + αn (zn − x∗ ) = kzn − xn k j=1 µj µj +βn2 αn Aj (zn ) + αn (zn − x∗ ) −2βn zn − xn , αn Aj (zn ) +αn (zn − x∗ ) − αnµj Aj (xn ) + αn (xn − x∗ ) µj ≤(1 − 2βn αn )kzn − xn k2 + βn2 α A (z ) + α (z − x ) n n ∗ , n j n (2.20) vµ N X µ j α A (z ) + α (z − x ) j n n n ∗ n j=1 X N X N µ µ j j = α A (z ) + α (z − x ) − α A (x ) − α (x − x ) j n n n ∗ j n n n ∗ n n j=1 j=1 X 2 N ≤ αnµj kAj (zn ) − Aj (xn )k + αn kzn − xn k j=1 X 2 N ≤ αnµj Lkzn − xn k + αn kzn − xn k ≤ c1 kzn − xn k2 , j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 c1 số dương, với toán tử L = max 1jN , mAj lµ h»ng sè (2.13) m Aj Aj toán tử ngược đơn điệu mạnh Kết hợp (2.19), (2.20), bất đẳng thức cuối Định lý 2.8, ta n+1 n (1 2n n + c1 βn2 ) + K |αn+1 − αn | n Bình phương hai vế bất đẳng thức cuối sau áp dụng bất đẳng thøc s¬ cÊp (xem [7]) (a + b)2 ≤ (1 + τn γn )a2 + (1 + )b2 , n n ta thu bất đẳng thức sau 2n+1 ≤ ∆2n (1 − 2βn αn + c1 βn2 ) (1 + αn βn ) 2 αn − αn+1 K + 1+ βn αn αn 2 αn − αn+1 2 , ≤ ∆n (1 − αn βn ) + K αn βn (1 + αn βn ) αn2 βn (2.21) ®ã c2 lµ h»ng sè (cã thĨ phơ thc vµo z0 ) áp dụng Bổ đề 2.5 cho dÃy số {n} (2.21) thỏa mÃn với un = 2n , an = αn βn , 2 αn − αn+1 bn = K αn βn (1 + αn n ) n2 n Định lý chứng minh Chó ý 2.2 C¸c d·y βn = (1 + n)−1/2 vµ αn = (1 + n)−p , < 2p < 1/N thỏa mÃn điều kiện Định lý 2.9 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 2.3 KÕt qu¶ tÝnh toán thử nghiệm Chúng đà viết chương trình tính toán thử nghiệm phương pháp hiệu chỉnh lặp (2.18) ngôn ngữ MATLAB 7.0.1 đà thử nghiệm chạy m¸y tÝnh Lenovo G450 cho vÝ dơ sau VÝ dơ 2.1 Xét hệ phương trình toán tử (2.1) với Aj ma trận vuông cấp M = xác ®Þnh bëi Aj = BjT Bj , j = 1, 2, 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −2 −2 −2 B1 = 2 −2 −4 ; B2 = −3 −3 −3 1 −1 −2 1 −1 −2 −1 2 −1 −1 −1 −1 −1 −2 −2 −2 B3 = 3 −3 −6 2 −2 −4 −6 −4 −4 2 Ta cã A1 , A2 , A3 ma trận đối xứng xác định không âm víi r(A1 ) = r(A2 ) = r(A3 ) = nên phương trình (2.1) toán đặt không chỉnh Hệ (2.1) trường hợp hệ số có dạng 15 phương trình Èn Ax = θ víi r(A) = Nh vËy hệ (2.1) cho ta nghiệm siêu phẳng kh«ng gian R5 DƠ thÊy r»ng x0 = (0, 0, 0, 0, 0)T ∈ R5 lµ nghiƯm cã chn nhá nhÊt cđa (2.1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 B©y giê sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (2.18) để tìm nghiệm xấp xỉ cho ví dụ x∗ = θ nh sau + Víi xÊp xØ ban ®Çu z0 tïy ý thuéc R5 , chän hai d·y sè βn = (1 + n)−1/2 vµ αn = (1 + n)1/12 thỏa mÃn điều kiện Định lý 2.9 + Trong tÝnh to¸n thư nghiƯm, nÕu to¸n, víi err max |zjn+1 − zjn | ≤ err th× dõng tÝnh 1≤j≤5 (n) (n) (n) (n) (n) lµ sai sè cho tríc, zn = (z1 , z2 , z3 , z4 , z5 )T Sau kết tính toán err Số lần lặp m kx0 zm k 9.2626 × 10−5 118 0.00093259 9.9179 × 10−6 145 0.00015812 9.5342 × 10−7 184 1.82 × 10−5 9.79 × 108 229 2.1802 ì 106 Bảng 2.1 zn+1 z0 = (2, 2, 2, 2, 2)T ∈ R5 , 1/3 1/2 = zn − βn A1 zn + αn A2 zn + αn A3 zn + αn zn err Số lần lặp m kx0 zm k 9.4203 ì 10−5 152 0.0014363 9.7791 × 10−6 188 0.00017861 9.6197 × 10−7 232 2.0848 × 10−5 9.8483 × 10−8 283 2.4787 × 10−6 B¶ng 2.2 zn+1 z0 = (2, 2, 2, 2, 2)T ∈ R5 , 1/3 1/2 = zn − βn A2 zn + αn A3 zn + αn A1 zn + αn zn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 err Số lần lặp m kx0 zm k 9.368 × 10−5 136 0.0013864 9.717 × 10−6 171 0.00017265 9.9687 × 10−7 213 2.0884 × 10−5 9.9129 × 10−8 263 2.4061 ì 106 Bảng 2.3 zn+1 T z0 = (7, 7, 7, 7, 7) ∈ R 1/3 1/2 = zn − βn A1 zn + αn A2 zn + αn A3 zn + αn zn err Sè lần lặp m kx0 zm k 9.6786 ì 105 202 0.002011 9.8641 × 10−6 251 0.0002356 9.7177 × 10−7 308 2.6384 × 10−5 9.7661 × 10−8 372 2.9786 × 10−6 B¶ng 2.4 zn+1 NhËn xÐt 2.1 T z0 = (7, 7, 7, 7, 7) ∈ R 1/3 1/2 = zn − βn A2 zn + αn A3 zn + αn A1 zn + αn zn Qua tính toán thử nghiệm ta thấy: ã Tính hội tụ dÃy lặp không phụ thuộc vào điểm chọn ban đầu, nhiên điểm chọn ban đầu có ảnh hưởng đến hiệu dÃy lặp Thực tế thấy, điểm xuất phát ban đầu gần nghiệm toán cần số lần lặp so với việc chọn điểm ban đầu xa nghiệm để đạt nghiệm xấp xỉ với sai số cho trước ã Vai trò cđa A1 , A2 , A3 lµ nh d·y lỈp Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Kết luận Đề tài luận văn đà đề cập đến vấn đề sau: ã Trình bày phương pháp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu sở giải phương trình toán tử phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ thực ã Trình bày phương pháp lặp bậc không giải hệ phương trình toán tử với toán tử ngược đơn điệu mạnh không gian Hilbert ã Đưa ví dụ số không gian hữu hạn chiều có tính chất minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải hệ phương trình toán tử Víi nh÷ng øng dơng quan träng thùc tÕ, nh÷ng vấn đề trình bày đề tài đà nhiều nhà toán học quan tâm, sâu nghiên cứu Mặc dù đà có cố gắng nỗ lực song hẳn đề tài không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kì Anh Nguyễn Bường (2005), Bài toán không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, [3] Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội Phạm Thanh Hiếu (2010), Ví dụ số phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu, Đại học Thái Nguyên, [4] Tạp chí Khoa học Công nghệ, (6), tr 56-59 68 Ya I Alber (1975), On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach space, Sibirian Mathematics Journal, , pp 26 3-11 [5] Ya Alber and I Ryazantseva (2006), Monotone Type, [6] Nonlinear Ill-Posed Problems of Springer V Barbu (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, Noordhoff International Publishing, Leyden The Netherlands [7] A Bakunshinky and A Goncharsky (1989), ory and Applications, [8] Ill-Posed Problems: The- Kluwer Academic Publishers F Browder (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc Nat Acad Sci USA, (4), pp 56 1080-1086 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 [9] Ng Buong (2006), Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces, matics and Mathematical Physic, (3), pp 354-360 46 [10] I Ekeland and R Temam (1970), Problems, Computational Mathe- Convex Analysis and Variational North- Holland Publ, Company, Amsterdam, Holland [11] H W Engl (1983), Discrepancy Principle for Tikhonov Regularization for Problems of Optimal Pogramming with Montone Map, Zh, Sib Mat , pp 214 24 [12] A Neubauer (1988), Tikhonov regularization of ill-posed linear oper- ator equations on convex sets, J of App Theory, , pp 304-302 53 [13] I P Ryazansteva (1983), Operator Method of Regularization for Problems of Optimal Programming with Monotone Maps, Sib Mat Zh, , 24 pp 214 [14] A N Tikhonov (1963), On the solution of ill-posed problems and the method of regularization, Dokl Akad Nauk SSSA, , pp 501-504 151 (Russian) [15] A N Tikhonov and V I Arsenin (1977), lems, Solutions of Ill-posed Prob- Wiley New York [16] Ng T T Thuy (2010), An iterative method to a common solution of inverse-strongly problems in Hilbert spaces, Advances and Applications in Mathematical Siences, [17] E Zeidler (1985), (3), pp 165-174 Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Danh môc công trình công bố [1] Phạm Thanh Hiếu (2010), Ví dụ số phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu, Thái Nguyên, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học (6), tr 56-59 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 X¸c nhËn cđa ngêi híng dÉn khoa häc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn