Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 1.1 Toán tử đơn điệu 1.1.1 Một số tính chất khơng gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Toán tử đơn điệu 1.2 Bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân không gian 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian 11 Euclid 11 Banach 16 Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại 2.1.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đối ngẫu suy rộng 2.2 Tham số hiệu chỉnh 2.2.1 Độ lệch suy rộng 2.2.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 23 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 23 23 27 30 30 33 ii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu viết luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin - Viện Hàm lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, với giúp đỡ nhiệt tình PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy, truyền thụ kiến thức cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, tồn thể thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập Trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8C (khóa 2014-2016), bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 Tác giả luận văn Lương Thị Thương Bảng ký hiệu R N∗ Rn H X Ω C ∅ ∀x ∃x f (x) inf F (x) trường số thực tập số tự nhiên khác không gian Euclide n-chiều không gian Hilbert thực không gian Banach thực tập đóng lồi X tập lồi đóng khác rỗng X tập rỗng x tồn x cực tiểu hàm f (x) infimum tập {F (x) : x ∈ X} hx, yi kxk xn → x xn * x T I IΩ ∂IΩ D(T ) R(T ) Gr(T ) int C Of ∂f tích vơ hướng hai vectơ x y chuẩn véctơ x xn hội tụ mạnh đến x xn hội tụ yếu đến x tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert toán tử đồng H hàm tập Ω vi phân hàm miền xác định toán tử T miền giá trị toán tử T đồ thị toán tử T phần tập hợp C gradient hàm f vi phân hàm lồi f x∈X Mở đầu Cho X không gian Banach thực Ký hiệu X ∗ không gian liên hợp X, C tập lồi đóng khác rỗng X, A : X → X ∗ ánh xạ phi tuyến Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach (viết tắt VI(A, C)) phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ X thỏa mãn: x∗ ∈ C : hAx∗ , x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (0.1) Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) đưa nghiên cứu Stampacchia (xem [6]) vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu toán biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số nhiều toán kinh tế kỹ thuật Mặc dù có nhiều kết nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân, việc cải tiến phương pháp nhằm gia tăng hiệu ln đề tài thời sự, nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Trong khơng gian Hilbert H, bất đẳng thức biến phân VI(A, C) tương đương với toán điểm bất động: x∗ = PC (x∗ − µAx∗ ), (0.2) PC phép chiếu mêtric từ H lên tập lồi đóng C H µ > số tùy ý Do đó, phương pháp chiếu số biến thể phương pháp dùng để giải bất đẳng thức biến phân (0.1) Nếu ánh xạ A đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz C số µ > đủ nhỏ, ánh xạ xác định vế phải (0.2) ánh xạ co Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm dãy lặp Picard un+1 = PC (un − µA(un )) (0.3) hội tụ mạnh tới nghiệm tốn (0.1) Phương pháp chiếu khơng dễ dàng thực thi phức tạp tập lồi C Để khắc phục nhược điểm này, Yamada [7] đề xuất phương pháp lai đường dốc vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert H Chú ý rằng, tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn, nói chung, tốn đặt khơng chỉnh Do đó, tốn bất đẳng thức biến phân VI(A, C), nói chung, tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa nghiệm tốn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải toán này, phải sử dụng phương pháp giải ổn định Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [4] tài liệu trích dẫn) Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày lại số kết [4] hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu không gian Banach Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân đơn điệu" nhằm giới thiệu số khái niệm tính chất không gian Banach, không gian Hilbert, ánh xạ đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân không gian Euclid không gian Banach Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[3] Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu" nhằm giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại ánh xạ đối ngẫu suy rộng, đồng thời trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [4] Chương Bất đẳng thức biến phân đơn điệu Chương trình bày khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert; bất đẳng thức biến phân đơn điệu không gian Euclid không gian Banach; số ví dụ bất đẳng thức biến phân đơn điệu Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1]-[3] 1.1 1.1.1 Tốn tử đơn điệu Một số tính chất khơng gian Banach Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu k.k, kí hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach X, kí hiệu hx∗ , xi giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X gọi không gian lồi chặt với x, y ∈ SX , x 6= y suy k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1) Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach thực X gọi khơng gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay khơng gian có tính chất E-S)
X phản xạ X hội tụ yếu phần tử xn * x hội

tụ chuẩn kxn k → kxk kéo theo hội tụ mạnh kxn − xk → Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian lồi địa phương f : X → R ∪ {±∞} Khi đó, (i) Hàm f gọi nửa liên tục x¯ ∈ X (với f (¯ x) < ∞), với  > 0, tồn lân cận U x¯ cho f (¯ x) −  ≤ f (y) ∀y ∈ U ; (ii) Hàm f gọi nửa liên tục X f nửa liên tục x¯ ∈ X 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 Cho H không gian tuyến tính R, tích vơ hướng xác định H ánh xạ h., i : H × H −→ R (x, y) 7−→ hx, yi thỏa mãn điều kiện sau đây: hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; hλx, yi = λ hx, yi với x, y ∈ H, λ ∈ R; hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = ⇔ x = Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai vectơ x, y H Định nghĩa 1.1.5 Cặp (H, h., i), H khơng gian tuyến tính R, h., i tích vơ hướng H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.6 Mọi không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức p (1.1) kxk = hx, xi ∀x ∈ H Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.1) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Khơng gian Rn khơng gian Hilbert với tích vơ hướng n X hx, yi = x k yk k=1 Trong x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , chuẩn cảm sinh kxk = hx, xi = n X xk xk = k=1 n X x2k k=1 Định nghĩa 1.1.9 Tập hợp C ⊆ H gọi tập lồi ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Định nghĩa 1.1.10 Tập C ⊂ H gọi tập đóng dãy hội tụ {xn } ⊂ C có giới hạn thuộc C, nghĩa với {xn } ⊂ C cho xn → x kéo theo x ∈ C Định lý 1.1.11 Nếu C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H tồn phần tử x0 ∈ C cho kx0 k ≤ kxk với x ∈ C Chứng minh Áp dụng đẳng thức hình bình hành, với x, y ∈ C ta có kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk + kyk)2 Do x + y kx − yk = 2(kxk + kyk ) − 2 2 Đặt d = inf kxk Vì C tập lồi nên x + y x∈C ≥ d Từ (1.2) ta có (1.2) x+y ∈ C, kéo theo kx − yk2 ≤ 2(kxk2 + kyk2 ) − 4d2 (1.3) 29 hàm µ(t) Trong bất đẳng thức (2.22) ta suy σµ (α) hàm khơng tăng  Bổ đề 2.1.5 Cho X khơng gian có tính chất E-S, X ∗ không gian ∗ lồi chặt, A, Ah : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại với miền xác định D(A) = D(Ah ), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng X cho (2.1) Khi đó, lim xγα = x∗ , x∗ ∈ Ω kx∗ k = α→∞ min{kxk | x ∈ Ω} Chứng minh Trước tiên ta thấy rằng, tính lồi đóng tập Ω khơng gian X có tính chất E-S, phần tử x∗ tồn xác định Áp dụng (2.3), (2.19) định nghĩa ánh xạ đối ngẫu J µ , ta có bất đẳng thức µ(kxγα k)(kxγα k  h ∗ + g(kx k) − kx k) − α α δ  h ∗ ∗ − kx k + g(kx k) ≤ ∀x∗ ∈ S, α α ∗ kxγα k δ từ suy tính bị chặn dãy {xγα1 } α → ∞ Do xγα1 * x¯ ∈ X x¯ ∈ Ω theo Định lí Mazur Ta thấy x¯ = x∗ tính chất J µ Từ (2.19), ta có   γ h γ γ hyα − y , xα − zi + α µ(kxα k) − µ(kzk) (kxγα k − kzk) + αhJ µ z, xγα − zi ≤ hy h − f δ , z − xγα i ∀y h ∈ Ah z, ∀z ∈ Ω Từ điều kiện đơn điệu toán tử Ah ta suy bất đẳng thức   ky h − f δ k∗ γ µ(kxα k) − µ(kzk) (kxγα k − kzk) + hJ µ z, xγα − zi ≤ kz − xγα k α (2.23) Ta có đánh giá hJ µ z, xγα ky h − f δ k∗ − zi ≤ kz − xγα k ∀z ∈ Ω α (2.24) Trong (2.24), cho α → ∞ ta nhận hJ µ z, x¯ − zi ≤ ∀z ∈ Ω (2.25) 30 Do (2.25) đảm bảo đẳng thức x¯ = x∗ xảy Nếu (2.23) z = x∗ kxγα k → kx∗ k α → ∞ Vì X khơng gian có tính chất E-S nên suy bổ đề chứng minh  2.2 2.2.1 Tham số hiệu chỉnh Độ lệch suy rộng Bây ta xét nguyên lý độ lệch suy rộng (2.20) Rõ ràng ρµ (α) = ασµ (α) Từ Bổ đề 2.1.4, ρµ (α) đơn trị liên tục với α ≥ α0 > Ta nghiên cứu α → ∞ Từ Bổ đề 2.1.5 θX ∈ / Ω, lim ρµ (α) = ∞ α→∞ Cho θX ∈ Ω xγα → θX α → ∞ Từ Bổ đề 1.2.16 bất đẳng thức biến phân (2.18) tương đương với f δ ∈ B h xγα + αJ µ xγα , với B h toán tử đơn điệu cực đại cho ∗ B h = Ah + ∂IΩ : X → 2X , (2.26) ∗ ∂IΩ : X → 2X vi phân hàm tập Ω Rõ ràng D(B h ) = Ω Do đó, có phần tử ξαγ ∈ B h xγα cho ξαγ + αJ µ xγα = f δ (2.27) Ta dãy {ξαγ } bị chặn α → ∞ Tính đơn điệu B h cho ta bất đẳng thức hξαγ − ξ h , xγα i ≥ ∀ξ h ∈ B h (θX ) (2.28) Sử dụng tính chất (J ν )∗ = (J µ )−1 ánh xạ đối ngẫu J µ khơng gian X có tính chất E-S, ta thu từ (2.27) đẳng thức sau: xγα ν ∗ = (J )  f δ − ξγ  α α , 31 J ν ánh xạ đối ngẫu X ∗ với hàm đo ν(t) = µ−1 (t) Khi (2.28) viết sau D ξγ − ξh α α ν ∗ , (J )  f δ − ξ γ E α α ≥ ∀ξ h ∈ B h (θX ) Khơng khó để suy từ bất đẳng thức kξαγ − f δ k∗ ≤ kξ h − f δ k∗ ∀ξ h ∈ B h (θX ), (2.29) bảo tồn tính bị chặn {ξαγ } Do đó, ξαγ * ξ ∈ X ∗ α → ∞ (2.30) Vì tốn tử đơn điệu cực đại B h demi-đóng, ξαγ ∈ B h (xγα ) xγα → θX α → ∞, ta có giới hạn nghiệm ξ ∈ B h (θX ) Từ hội tụ yếu (2.30) (2.29) suy bất đẳng thức sau: kξ − f δ k∗ ≤ lim inf kξαγ − f δ k∗ α→∞ ≤ lim sup kξαγ − f δ k∗ α→∞ h ≤ kξ − f δ k∗ (2.31) ∀ξ h ∈ B h (θX ) Do đó, kξ − f δ k∗ = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ B h (θX )} (2.32) Vậy dãy {ξαγ } hội tụ yếu đến ξ ξ xác định từ (2.32) Sự biểu diễn toán tử B h (2.26) nghĩa θX ∈ intΩ tập Ah B h trùng θX Do đó, trường hợp này, ξ ∈ Ah (θX ) kξ − f δ k∗ = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ Ah (θX )} Kết (2.31) suy hội tụ chuẩn: kξαγ − f δ k∗ → kξ − f δ k∗ α → ∞ Tương tự trên, ta tìm từ (2.27) ρµ (α) = kξαγ − f δ k∗ , (2.33) 32 ξ ∈ B h (θX ) Cuối ta cần chứng minh X ∗ không gian E-S, ξαγ → ξ α → ∞ Ta nêu bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Cho B h định nghĩa (2.26) Cho X không gian ∗ có tính chất E-S, X ∗ khơng gian lồi chặt, A, Ah : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại với miền xác định D(A) = D(Ah ), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng X cho (2.1) Khi đó, (i) θX ∈ / Ω lim ρµ (α) = ∞; α→∞ (ii) θX ∈ Ω ξαγ * ξ α → ∞, ξαγ ∈ B h xγα ξ ∈ B h (θX ) Thêm vào đó, lim ρµ (α) = kξ − f δ k∗ , α→∞ (iii) θX ∈ ∂Ω ξ thỏa mãn điều kiện (2.32); (iv) θX ∈ intΩ ξ thỏa mãn điều kiện (2.33); (v) X ∗ khơng gian E-S ξαγ * ξ α → ∞ Thay xét bất đẳng thức (2.18), ta xét bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh sau: hAh x + αJ µ (x − z ) − f δ , z − xi ≥ ∀z ∈ Ω, x ∈ Ω, (2.34) z phần tử cố định X Bổ đề 2.2.2 Cho xγα nghiệm bất đẳng thức (2.34) B h định nghĩa (2.26) Cho X khơng gian có tính chất E-S, X ∗ ∗ không gian lồi chặt, A, Ah : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại với miền xác định D(A) = D(Ah ), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng X cho (2.1) đúng, hàm σ(α) = kxγα − z k đơn trị, liên tục khơng tăng Thêm vào đó, xγα → x∗ α → ∞, x∗ ∈ Ω định nghĩa toán cực tiểu sau: kx∗ − z k = min{kx − z k | x ∈ Ω} 33 Hàm ρµ (α) = αµ(kxγα − z k) hàm đơn trị liên tục Hơn nữa, (i) z ∈ / Ω lim ρµ (α) = ∞; α→∞ (ii) z ∈ Ω ξαγ * ξ0 α → ∞, ξαγ ∈ B h xγα ξ0 ∈ B h (z ) Thêm vào đó, lim ρµ (α) = kξ0 − f δ k∗ ; α→∞ (iii) z ∈ ∂Ω ξ0 ∈ B h z có đẳng thức kξ0 − f δ k∗ = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ B h z }; (iv) z ∈ intΩ ξ0 ∈ Ah z kξ0 − f δ k∗ = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ Ah z } Chứng minh Chứng minh trình bày tương tự lập luận bổ đề trước  2.2.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh Sử dụng Bổ đề 2.1.4 - 2.2.1, ta phát biểu chứng minh nguyên lý độ lệch suy rộng cho bất đẳng thức biến phân (2.18) Trước tiên ta xét trường hợp toán tử đơn điệu cho xác Định lý 2.2.3 Cho X khơng gian có tính chất E-S với X ∗ lồi chặt, A : X → X ∗ đơn điệu cực đại toán tử hemi-liên tục với miền xác định D(A), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng Giả sử bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S khác rỗng x¯∗ ∈ S nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, f δ δ−xấp xỉ f cho kf − f δ k∗ ≤ δ ≤ θX ∈ / Ω Khi tồn α ¯ > cho ρ(¯ α) = α ¯ kxδα k = kδ p , k > 1, p ∈ (0, 1], (2.35) xδα nghiệm (cổ điển) bất đẳng thức biến phân hiệu 34 chỉnh hAx + αJx − f δ , z − xi ≥ ∀z ∈ Ω, x ∈ Ω, (2.36) với α = α ¯ Hơn nữa, (i) δ → α ¯ → 0; (ii) δ → p ∈ (0, 1) xδα → x¯∗ δ → 0; α ¯ (iii) δ → 0, p = S = {x0 } xδα * x0 tồn δ số C > cho ≤ C α ¯ Chứng minh Trong Định lí 1.1.35, toán tử đơn điệu cực đại toán tử hemi-liên tục A định nghĩa tập D(A) Vì intD(A) ∩ Ω 6= ∅ Do đó, trường hợp áp dụng kết Bổ đề 1.2.13 Định lí 1.2.20 Theo chứng minh Định lí 2.1.1, ta suy bất đẳng thức kxδα k2 ≤ δ α ∗  + kx k kxδα k + δ ∗ kx k ∀x∗ ∈ S α (2.37) ∀x∗ ∈ S (2.38) Suy kxδα k ≤ 2kx∗ k + δ α Cố định x∗ ∈ S chọn α cho 2αkx∗ k < (k − 1)δ p , k > 1, p ∈ (0, 1] (2.39) Suy ρ(α) = αkxδα k ≤ αkx∗ k + δ < (k − 1)δ p + δ ≤ kδ p Mặt khác, từ Bổ đề 2.2.1 lim ρ(α) = ∞ α→∞ Sau tồn α ¯ suy từ tính liên tục ρ(α) Tiếp theo, từ (2.39) ta có bất đẳng thức (k − 1)δ p α ¯> 2kx∗ k (2.40) 35 Do đó, δ 2kx∗ kδ 1−p ≤ α ¯ k−1 δ δ → δ → p ∈ (0, 1), ≤ C với C = 2kx∗ k(k − 1)−1 Vây α ¯ α ¯ δ → p = Dễ dàng thấy (2.38) suy tính bị chặn dãy {xδα¯ } Vì thế, ta thu kết xδα¯ * x¯ ∈ X δ → Vậy Ω tập đóng yếu theo định lí Mazur, nên suy x¯ ∈ Ω Vì vậy, x¯ ∈ S Xét tốn tử đơn điệu cực đại ∗ B : A + ∂IΩ : X → 2X Rõ ràng D(A) = Ω Theo Bổ đề 1.2.16, từ bất đẳng thức biến phân (2.36) với α = α ¯ , ta có f δ ∈ Bxδα¯ + α ¯ Jxδα¯ Điều có nghĩa tồn ξαδ¯ ∈ Bxδα¯ cho ξαδ¯ + α ¯ Jxδα¯ = f δ Từ (2.35), ta nhận ρ(¯ α) = α ¯ kxδα¯ k = kξαδ¯ − f δ k∗ = kδ p Suy giới hạn: ξαδ¯ → f δ → Viết lại tính chất đơn điệu toán tử B sau hξαδ¯ − Az − y, xδα¯ − zi ≥ ∀z ∈ Ω, ∀y ∈ ∂IΩ z (2.41) Vì θX ∗ ∈ ∂IΩ z với z ∈ Ω, ta đặt y = θX ∗ Sau đó, cho (2.41) qua giới hạn δ → 0, ta hf − Az, x¯ − zi ≥ ∀z ∈ Ω Bất đẳng thức sau tương đương với (1.9) theo Bổ đề 1.2.13 Nghĩa x¯ ∈ S Cho p ∈ (0, 1) Cùng với (2.38), bất đẳng thức (2.37) cho ta 36 đánh giá kxδα¯ k ≤ 2δ + kx∗ k ∀x∗ ∈ S α ¯ (2.42) Hơn với tính hội tụ yếu xδα¯ đến x¯ ∈ S, từ (2.42) ta có k¯ xk ≤ lim inf kxδα¯ k ≤ lim sup kxδα¯ k ≤ kx∗ k ∀x∗ ∈ S δ→0 (2.43) δ→0 Do x¯ = x¯∗ ngiệm có chuẩn nhỏ x¯∗ ∈ S Tuy nhiên hội tụ kxδα¯ k đến k¯ x∗ k δ → suy từ (2.43) Vì X khơng gian có tính chất E-S, nên điều kiện ii) thỏa mãn Từ (2.35), ta có kδ p (2.44) α ¯= δ kxα¯ k Ta thấy kxδα¯ k > với δ > đủ nhỏ x¯∗ 6= θX Sau ta giả thiết θX ∈ / Ω Khi đó, từ (2.44) ta có α ¯ → δ → p ∈ (0, 1) Nếu p = xδα¯ * x0 6= θX Từ tính chất liên tục yếu chuẩn khơng gian Banach, ta có kx0 k ≤ lim inf δ→0 kxδα¯ k, ta kết luận α ¯ → δ →  Định lý 2.2.4 Cho X khơng gian có tính chất E-S với X ∗ lồi chặt, A : X → X ∗ đơn điệu cực đại toán tử hemi-liên tục với miền xác định D(A), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng Giả sử bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S khác rỗng x¯∗ ∈ S nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, f δ δ−xấp xỉ f cho kf − f δ k∗ ≤ δ ≤ θX ∈ / Ω, θX ∈ Ω kξ0δ − f δ k∗ > kδ p , k > 1, p ∈ (0, 1], ξ0δ định nghĩa sau: (i) θX ∈ intΩ ξ0δ = A(θX ); (ii) θX ∈ ∂Ω kξ0δ − f δ k = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ B(θX )}, B = A + ∂IΩ Khi kết luận Định lí 2.2.3 (2.45) 37 Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.1, ta có lim ρ(α) = kξ0δ − f δ k∗ α→∞ Trong (2.40), tồn α > cho ρ(α) < kδ p Điều kiện (2.36) đảm bảo α ¯ thỏa mãn (2.45) tồn Vì khả giải bất đẳng thức biến phân (2.36) tương đương với f ∈ Bx, D(B) = Ω Bx = Ax với x ∈ intΩ, kết (2.45) θX ∈ / S Những khẳng định lại chứng minh Định lí 2.2.3  Cùng với (2.36), ta nghiên cứu bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh hAxδα + αJ(xδα − z ) − f δ , z − xδα i ≥ ∀z ∈ Ω, xδα ∈ Ω z điểm bất động X Với điều kiện Định lí 2.2.3 2.2.4, khơng khó để chứng minh rằng: (i) Nếu z ∈ / Ω Định lí 2.2.3 ρ(α) = αkxδα − z k Vectơ x¯∗ định nghĩa toán cực tiểu sau: k¯ x∗ − z k = min{kx∗ − z k | x∗ ∈ S} (ii) Nếu z ∈ Ω Định lí 2.2.4 đúng, chứng minh rằng: trường hợp z ∈ intΩ, (2.45) thay bất đẳng thức kξ0δ − f δ k∗ = min{ζ − f δ k∗ | ζ ∈ Bz }, B = A + ∂IΩ Tiếp theo ta bỏ qua tính chất hemi-liên tục A ta xét định lí sau Định lý 2.2.5 Giả sử A tốn tử đơn điệu cực đại Khi tất điều kiện Định lí 2.2.3 2.2.4 (2.1) thỏa mãn Mặt khác, θX ∈ intΩ, ξ0δ định nghĩa toán cực tiểu: kξ0δ − f δ k∗ = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ A(θX )} (2.46) Tương tự, z ∈ intΩ, ξδ0 định nghĩa kξδ0 − f δ k∗ = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ Az } (2.47) 38 Nếu θX ∈ ∂Ω (tương ứng, z ∈ ∂Ω) ξδ0 định nghĩa (2.46) (tương ứng, (2.47)), A thay B = A + ∂IΩ Bây ta phân tích bất đẳng thức biến phân với toán tử cho xấp xỉ Định lý 2.2.6 Giả sử X không gian có tính chất E-S với X ∗ ∗ lồi chặt, A : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại với miền xác định D(A), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng, với điều kiện (2.1), bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S khác rỗng x¯∗ ∈ S ∗ nghiệm có chuẩn nhỏ Cho Ah : X → 2X với h > toán tử đơn điệu cưc đại, Ω ⊂ D(Ah ) intD(Ah ) ∩ Ω 6= ∅ Cho điều kiện (2.5) (2.6), g(t) hàm khơng âm, liên tục hàm tăng < δ + h ≤ Hơn nữa, giả sử trường hợp θX ∈ Ω, bất đẳng thức biến phân phụ   δ kξ0 − f k∗ > k + g(0) (δ + h)p , k > 1, p ∈ (0, 1], (2.48) thỏa mãn, ξ0 định nghĩa toán cực tiểu sau: (1) θX ∈ intΩ kξ0 − f δ k∗ = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ Ah (θX )}; (2) θX ∈ ∂Ω kξ0 − f δ k∗ = min{kζ − f δ k∗ | ζ ∈ B h (θX )}, B h = Ah + ∂IΩ Khi tồn α ¯ thỏa mãn phương trình   γ γ ρ(¯ α) = α ¯ kxα¯ k = k + g(kxα¯ k) (δ + h)p , k > 1, p ∈ (0, 1], (2.49) xγα¯ nghiệm bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.8) với α = α ¯ γ = (δ, h) Hơn nữa, (i) γ → α ¯ → 0; (ii) γ → p ∈ (0, 1) xγα¯ → x¯∗ δ+h → 0; α ¯ 39 (iii) γ → 0, p = S = {x0 } xγα¯ * x0 tồn δ+h số C > cho ≤ C α ¯ Chứng minh Áp dụng tính đơn điệu toán tử A, bất đẳng thức (2.12) điều kiện (2.5) (2.6) định lí, ta tính  δ h  h γ ∗ γ γ + g(kxα k)+kx k kxα k+ + g(kxα k) kx∗ k ∀x∗ ∈ S ≤ α α α α (2.50) Từ suy kxγα k2 δ kxγα k ≤ 2kx∗ k + δ h + g(kxγα k) ∀x∗ ∈ S α α Do đó, ρ(α) = αkxγα k ≤ 2αkx∗ k + δ + hg(kxγα k) Nếu cho x∗ ∈ S, tham số α cho 2αkx∗ k < (k − 1)(δ + h)p , k > 1, p ∈ (0, 1], nghĩa α< k−1 (δ + h)p , ∗ 2kx k (2.51)  ρ(α) < k +  g(kxγα k) (δ + h)p (2.52) Xét trường hợp thứ θX ∈ Ω Theo Bổ đề 2.1.5 2.2.1, ta có lim kxγα k = α→∞ lim ρ(α) = kξ − f δ k∗ , α→∞ ξ ∈ B h (θX ) Khi đó, từ tính liên tục ρ(α), g(t) từ (2.48), (2.52) tồn nghiệm α ¯ > phương trình (2.49) Hơn nữa, từ (2.51) suy α ¯> k−1 (δ + h)p ∗ 2kx k (2.53) Như chứng minh Định lí 2.2.4, khẳng định (i) (ii) cho 40 nδ + ho suy từ (2.53), trường hợp cho p = α ¯ p ∈ (0, 1) Nếu điều kiện đơn điệu toán tử Ah dùng (2.12) với α = α ¯ ta có bất đẳng thức tương tự (2.50): dãy kxγα¯ k2 ≤  δ h  h + g(kx∗ k)+kx∗ k kxγα¯ k+ + g(kx∗ k) kx∗ k ∀x∗ ∈ S α ¯ α ¯ α ¯ α ¯ δ Tương tự trên, ta có đánh giá kxγα¯ k ≤ kx∗ k + δ h + g(kx∗ k) α ¯ α ¯ (2.54) Do đó, dãy {xγα¯ } bị chặn nên xγα¯ * x¯ ∈ Ω γ → Vì x¯ ∈ S Thật vậy, bất đẳng thức biến phân (2.8) f δ ∈ B h xγα¯ + α ¯ Jxγα¯ , B h = Ah + ∂IΩ Điều nghĩa tồn ξαγ¯ ∈ B h ξαγ¯ cho ξαγ¯ + α ¯ Jxγα¯ = f δ Từ đẳng thức cuối (2.49) suy hội tụ mạnh {ξαγ¯ } đến f γ → Từ (2.6), với x ∈ Ω y ∈ Ax, ta trích dãy {y h }, y h ∈ Ah x, cho y h → y h → Khi đó, tính đơn điệu toán tử B h thể bất đẳng thức sau: hξαγ¯ − y h , xγα¯ − xi ≤ ∀x ∈ Ω Cho γ → ta hf − y, x¯ − xi ≤ ∀x ∈ Ω, ∀y ∈ Ax Từ Bổ đề 1.2.13, ta suy x¯ ∈ S khẳng định định lí p = chứng minh Cho p ∈ (0, 1) Sử dụng tính hội tụ yếu xγα¯ đến x¯ ∈ S bất đẳng thức (2.48), ta chắn Định lí 2.2.3 x¯ = x¯∗ kxγα¯ k → k¯ x∗ k γ → Vậy tính hội tụ mạnh xγα¯ → x¯∗ đưa vào không gian X có tính chất E-S Chứng minh α ¯ → γ → Nhằm điều kiện (2.48) đảm bảo θX ∈ / S Nếu θX ∈ N f ∈ B(θX ), B = 41 A+∂IΩ Theo định nghĩa toán tử B B h , tồn ξ h ∈ B h (θX ) cho kξ h − f k∗ ≤ hg(0) Khi   h h δ δ kξ − f k∗ ≤ kξ − f k∗ + kf − f k∗ ≤ hg(0) + δ ≤ (k + g(0) (δ + h)p , điều mâu thuẫn với (2.48) Chứng minh α ¯ (2.49) Giả sử (2.49) có hai nghiệm α ¯ β¯ cho   ρ(¯ α) = α ¯ kxγα¯ k = k + g(kxγα¯ k) (δ + h)p (2.55)   ¯ = βkx ¯ γ¯k = k + g(kxγ¯k) (δ + h)p , ρ(β) β β (2.56) xγα¯ xγβ¯ thỏa mãn tương ứng bất đẳng thức sau: hyαγ¯ + α ¯ Jxγα¯ − f δ , z − xγα¯ i ≥ ∀z ∈ Ω, yαγ¯ ∈ Ah xγα¯ , xγα¯ ∈ Ω, (2.57) ¯ γ¯ − f δ , z − xγ¯i ≥ ∀z ∈ Ω, y γ¯ ∈ Ah xγ¯, xγ¯ ∈ Ω (2.58) hyβγ¯ + βJx β β β β β Đặt x = xγβ¯ (2.57) z = xγα¯ (2.58) cộng bất đẳng thức vừa thu Ta suy ¯ γ¯, xγα¯ − xγ¯i ≤ hyαγ¯ − yβγ¯, xγα¯ − xγβ¯i + h¯ αJxγα¯ − βJx β β Nếu x ∈ / Ω từ Bổ đề 2.2.1, ta có lim ρ(α) = ∞ Do yêu cầu α→∞ (2.48) trường hợp bỏ qua  Chú ý 2.2.7 Các toán ứng dụng quan trọng quy toán bất đẳng thức biến phân cho tập Ω định nghĩa sau [5] Ω = {u | u = u(x) ∈ X, u(x) ≥ 0} Ω = {u | u = u(x) ∈ X, u(x)|∂Ω = 0}, x ∈ G, G tập đo bị chặn Rn X không gian Banach 42 Kết luận Đề tài luận văn đề cập đến bất đẳng thức biến phân đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Nội dung bao gồm: (1) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại bất đẳng thức biến phân đơn điệu với ánh xạ đối ngẫu suy rộng (2) Trình bày nguyên lý độ lệch suy rộng phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu Việc cải tiến phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu nhằm gia tăng hiệu vv hướng phát triển đề tài 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2005) [2] Nguyễn Bường, Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2001) [3] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2003) Tiếng Anh [4] Ya I Alber and I P Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer Verlag, New York (2006) [5] J.-L Lions, Quelques methodes de resolution des problems aux limits non linéaires, Dunod, Paris (1969) [6] G Stampacchia, "Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes", Comptes Rendus de lÁcadémie des Sciences, Paris, 258, 4413–4416 (1964) [7] Y Yamada, "The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intesectionof the fixed point sets of nonexpansive mappings, Inhently parallel algorithms in feasibility and optimization and their applications", Edited by D Butnariu, Y Censor, and S Reich, North-Holland, Amsterdam, Holland, 473–504 (2001)