(Luận văn) phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THANH HUYỀN lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THANH HUYỀN lu an n va tn to PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG p ie gh GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si iii Möc löc lu an B£ng kỵ hiằu M Ưu Chữỡng Phữỡng trẳnh to¡n tû khæng gian Banach n va 1.1 1.1.1 Khổng gian Banach lỗi, trỡn 1.1.2 nh xÔ ối ngău Php chiáu m¶tric Phữỡng trẳnh toĂn tỷ ỡn iằu 10 1.2.1 To¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach 10 1.2.2 Phữỡng trẳnh toĂn tỷ t khæng ch¿nh 14 ie 1.2 p gh tn to Khæng gian Banach nl w Phữỡng trẳnh to¡n tû J -ìn i»u 16 oa 1.3 lu Phữỡng trẳnh toĂn tỷ j -ìn i»u 17 nf va an 1.3.2 To¡n tû J -ìn i»u 16 d 1.3.1 2.1 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u 19 z at nh oi 2.1.1 Hằ phữỡng trẳnh to¡n tû v  ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p 19 2.1.2 Sü hëi tư cõa ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p 24 Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ J -ỡn iằu 27 z 2.2 lm ul Ch÷ìng Mởt số phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ 19 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 27 2.2.2 Ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song ©n 29 2.2.3 Ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song hi»n 36 m 41 an Lu 42 n va T i li»u tham khÊo co Kát luên l gm @ 2.2.1 ac th si BÊng kỵ hiằu lu an n va khæng gian Hilbert thüc E khæng gian Banach E∗ khæng gian ối ngău cừa E SE mt cƯu ỡn v cõa E R tªp c¡c sè thüc R+ tªp c¡c số thỹc khổng Ơm têp rộng x vợi mồi x gh tn to H mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A ie D(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A A−1 to¡n tû ng÷đc cõa to¡n tû A p R(A) nl w khỉng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n oÔn [a, b] d khổng gian cĂc dÂy số khÊ têng bªc p nf va l∞ an lp , p < lu C[a, b] toĂn tỷ ỗng nhĐt oa I khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc p lm ul Lp [a, b], ≤ p < ∞ khỉng gian c¡c d¢y sè bà ch°n z at nh oi trản oÔn [a, b] khoÊng cĂch tứ phƯn tỷ x án têp hủp C lim supn xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf n xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } xn x0 dÂy {xn } hởi tử mÔnh và x0 xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và x0 J Ănh xÔ ối ngău chuân tưc z d(x, C) m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u Kh¡i ni»m b i to¡n °t khỉng ch¿nh ÷đc nh  To¡n håc Jacques Hadamard ngữới PhĂp ữa vo nôm 1932 nghiản cựu Ênh hững cừa bi toĂn giĂ tr biản vợi phữỡng trẳnh vi phƠn ặng l ngữới  ch nhỳng b i to¡n khæng lu ên ành l  "b i to¡n °t khæng ch¿nh" (xem wikipedia.org/wiki/Jacques an va Hadamard.) n X²t b i toĂn ngữủc: tẳm mởt Ôi lữủng vêt lỵ x E chữa biát tứ bở dỳ tn to kiằn (f0 , f1 , , fN ) ∈ F N +1 , ð ¥y E v  F l  c¡c khỉng gian Banach, N ≥ ie gh Tr¶n thỹc tá, cĂc dỳ kiằn ny thữớng khổng ữủc biát chẵnh xĂc, m thữớng p ch ữủc biát xĐp x bði fiδ ∈ F thäa m¢n (1) i = 0, 1, , N, oa nl w kfiδ − fi k ≤ δi , d vỵi δi > (sai số cho trữợc) Bở hỳu hÔn dỳ ki»n (f0 , f1 , , fN ) nhên ữủc lu toĂn hồc bi nf va an bơng viằc o Ôc trỹc tiáp trản cĂc tham số Bi toĂn ny ữủc mổ hẳnh hõa lm ul Ai (x) = fi , (2) i = 0, 1, , N, z at nh oi ð ¥y Ai : D(Ai ) ⊂ E → F v  D(Ai ) l kỵ hiằu miÃn xĂc nh cừa cĂc toĂn tû Ai t÷ìng ùng, i = 0, 1, , N z B i to¡n (2), nâi chung, l  mët b i to¡n °t khỉng ch¿nh theo ngh¾a nghi»m @ gm cõa b i to¡n khỉng phư thc li¶n tưc vo dỳ kiằn ban Ưu Do õ, ngữới ta co l ph£i sû dưng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ên ành b i to¡n n y cho sai sè m cừa dỳ kiằn Ưu vo cng nhọ thẳ nghiằm tữỡng ựng phÊi xĐp x nghiằm cừa hiằu quÊ l phữỡng ph¡p ch¿nh l°p an Lu b i to¡n ban ¦u Mët cĂc phữỡng phĂp ữủc sỷ dửng khĂ rởng rÂi v  n va ac th si Mưc ti¶u cõa à ti luên vôn l trẳnh by lÔi mởt số phữỡng phĂp chnh lp giÊi hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ (2) trữớng hủp toĂn tỷ A0 ỡn iằu, h-liản töc (hemi-continuous), cán c¡c to¡n tû Ai , i = 1, , N khĂc cõ tẵnh chĐt ỡn iằu ngữủc mÔnh khổng gian Banach thỹc phÊn xÔ E cĂc bi bĂo [7] v [16] cổng bố nôm 2014 v 2018 Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng "Phữỡng trẳnh to¡n tû khỉng gian Banach" giỵi thi»u v· khỉng gian Banach lỗi, trỡn, Ănh xÔ ối ngău, php chiáu mảtric; trẳnh by khĂi niằm phữỡng trẳnh toĂn tỷ ỡn iằu t khổng chnh khổng gian Banach, phữỡng trẳnh to¡n tû j -ìn i»u khỉng gian Banach cịng vẵ dử và phữỡng trẳnh tẵch lu phƠn Fredlhom t khỉng ch¿nh an va Ch÷ìng "Mët sè ph÷ìng ph¡p giÊi hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ" trẳnh by n phữỡng phĂp chnh lp giÊi hằ phữỡng trẳnh trẳnh toĂn tỷ ìn i»u cịng tn to sü hëi tư cõa ph÷ìng phĂp; trẳnh by phữỡng phĂp chnh lp song song ân, ie gh ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song hi»n gi£i hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ j -ỡn p iằu khỉng gian Banach cịng sü hëi tư cõa c¡c ph÷ìng phĂp ny w oa nl Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi d Nguyản Trong quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny, Trữớng Ôi hồc an lu Khoa hồc  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt  tổi ữủc tham gia hồc têp, nghiản nf va cựu Tổi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Pháng  o tÔo, Khoa ToĂn - lm ul Tin, xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án cĂc quỵ thƯy, cæ khoa z at nh oi To¡n - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản nõi chung v quỵ thƯy cổ trỹc tiáp giÊng dÔy lợp Cao hồc ToĂn K11A (khõa 2017 - 2019)  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho z @ tổi hon thnh khõa hồc gm  hon thnh luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng co l dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS NGUYN THÀ THU THÕY Tỉi xin an Lu cỉ ¢ d nh cho tổi m tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cỉ v  xin gûi líi tri ¥n cõa tỉi èi vợi nhỳng iÃu Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới n va ac th si  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 TĂc giÊ luên vôn TrƯn Thanh Huy·n lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Phữỡng trẳnh toĂn tỷ khổng gian Banach lu an n va Chữỡng ny giợi thiằu mởt số kián thực cỡ bÊn và khổng gian Banach phữỡng trẳnh toĂn tỷ ỡn iằu, phữỡng trẳnh toĂn tỷ j -ỡn iằu vẵ gh tn to lỗi v trỡn, Ănh xÔ ối ngău, php chiáu mảtric; trẳnh by khĂi niằm và ie dử và phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredlhom t khæng ch¿nh khæng gian p Hilbert Nëi dung cõa chữỡng ữủc viát trản cỡ s tờng hủp kián thực tø c¡c oa nl w t i li»u [1], [2], [3] v  [5] d 1.1 Khæng gian Banach an lu nf va Cho E l khổng gian Banach v kỵ hiằu E l khổng gian ối ngău cừa lm ul E Trong luên vôn ny ta sỷ dửng kỵ hiằu k.k cho chuân cừa cÊ hai khổng gian E v  E ∗ Vỵi méi x ∈ E v  x∗ ∈ E ∗ ta vi¸t x∗ (x) bði hx∗ , xi ho°c hx, x∗ i z at nh oi (tẵch ối ngău) Náu E = H l khổng gian Hilbert thẳ tẵch ối ngău chẵnh l tẵch vổ hữợng h., i v cÊm sinh chuân tữỡng ựng k.k z gm Khổng gian Banach lỗi, trỡn @ 1.1.1 l ành ngh¾a 1.1.1 (xem [2, 3]) Khỉng gian Banach E ữủc gồi l phÊn xÔ x (x) = x (x ) x E an Lu tÔi phƯn tỷ x E cho m co náu vợi mồi phƯn tỷ x E , khổng gian liản hủp thự hai cừa E , Ãu tỗn n va ac th si nh lỵ 1.1.2 (xem [2, 3]) Gi£ sû E l  khæng gian Banach Khi â, c¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) E l khổng gian phÊn xÔ (ii) Mồi dÂy b chn E Ãu cõ dÂy hởi tử yáu nh nghắa 1.1.3 (xem [3]) Khổng gian Banach E ữủc gồi l (i) lỗi cht náu vợi mồi x, y thuởc m°t c¦u ìn SE := {x ∈ E : kxk = 1} cõa khæng gian Banach E , x 6= y , th¼ k(1 − λ)x + λyk < 1, (0, 1); lu (ii) lỗi Ãu náu vỵi måi <  ≤ 2, kxk ≤ 1, kyk ≤ v  kx − yk ≥  th¼ tỗn an va tÔi = () > cho n x + y < − δ; gh tn to ie (iii) trìn n¸u giợi hÔn p kx + tyk kxk t0 t w lim oa nl tỗn tÔi vợi mồi x, y ∈ SE d Mỉ-un trìn cõa E x¡c ành bði n kx + yk + kx − yk o ρE (τ ) = sup − : kxk = 1, kyk = τ nf va an lu lm ul ành ngh¾a 1.1.4 (xem [3]) Khỉng gian Banach E ữủc gồi l trỡn Ãu náu z at nh oi ρE (τ ) = τ →0 τ lim hE (τ ) = lim τ →0 z V½ dư 1.1.5 (xem [3, V½ dư 2.1.2, 2.1.3, 2.2.3]) @ an Lu l khổng gian lỗi cht m i=1 co l gm (i) Khæng gian Rn , n ≥ vợi chuân kxk2 ữủc xĂc nh bi X 1/2 n kxk2 = xi , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , n va ac th si (ii) Khæng gian Rn , n vợi chuân kxk1 xĂc nh bði x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , kxk1 = |x1 | + |x2 | + + |xn |, khổng phÊi l khổng gian lỗi cht (iii) Khổng gian lp , Lp [a, b] vỵi < p < l cĂc khổng gian lỗi Ãu 1.1.2 nh xÔ ối ngău Php chiáu mảtric nh nghắa 1.1.6 (xem [13, nh nghắa 3.3]) nh xÔ J s : E 2E , s > ∗ (nâi chung l  a trà) x¡c ành bði n o s ∗ s−1 J (x) = us ∈ E : hx, us i = kxkkus k, kus k = kxk , x∈E lu an va ữủc gồi l Ănh xÔ ối ngău tờng quĂt cõa khæng gian Banach E Khi s = 2, n Ănh xÔ J ữủc kỵ hiằu l J v ữủc gồi l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cõa tn to E Tùc l  x ∈ E p ie gh n o ∗ J(x) = u ∈ E : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk , nl w V½ dư 1.1.7 (xem [13, M»nh · 3.6, M»nh · 3.14 ], [3, V½ dư 2.4.11]) d an lu I oa (i) Trong khæng gian Hilbert H , Ănh xÔ ối ngău chuân tưc l Ănh xÔ ỡn nf va (ii) Trong khổng gian lp (1 < p < ∞) v  Lp [0, 1] (1 < p < ), Ănh xÔ ối z at nh oi lm ul ngău chuân tưc ữủc xĂc nh tữỡng ùng nh÷ sau:  ∞ p−1 p Jx = |xi | sgn (xi ) ∀x = (xi )∞ i=1 ∈ l i=1 v  |x|p−1 sgn (x) ∀x ∈ Lp [0, 1], p−1 kxk z Jx = @ m co l gm Ơy sgn(x) l hm dĐu cừa x ÷đc x¡c ành bði cỉng thùc:    −1, n¸u x < 0,   sgn(x) = 1, n¸u x > 0,     0, n¸u x = an Lu n va ac th si K (t, s) sin(ωs)ds K (t, s) cos ωs cos ωsds = − − ε ε ω ∂s 0 ≤ ε Mε < , ω 2Ω 2ΩMε Do â, ε Z Z