(Luận văn) phương pháp dykstra lai ghép cho hai toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HOÀNG NGUYÊN lu an n va PHƯƠNG PHÁP DYKSTRA LAI GHÉP CHO p ie gh tn to HAI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HOÀNG NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP DYKSTRA LAI GHÉP CHO HAI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU lu an n va tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie gh Mã số: w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi GS.TS NGUYỄN BƯỜNG z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục lu Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii an n va Mở đầu to Một số vấn đề 1.1 Không gian Hilbert vấn đề liên quan 1.2 Một số vấn đề giải tích lồi p ie gh tn Toán tử đơn điệu, nghiệm phương trình tốn tử đơn oa nl 1.3 w 11 d điệu bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 19 an lu Phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tử đơn điệu Bài tốn tìm giao điểm hai khơng gian đóng lm ul 2.1 27 nf va 2.2 27 z at nh oi thuật toán Neumann Phương pháp Dykstra tìm khơng điểm tổng hai toán tử đơn điệu 29 z 40 l gm 41 m co Tài liệu tham khảo @ Kết luận an Lu n va ac th si ii Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi nhận hướng dẫn bảo tận tình GS.TS Nguyễn Bường (Viện Cơng nghệ Thơng tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tơi lu an xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn xin gửi lời tri ân sâu sắc đến n va thầy tn to Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Toán - Tin, phịng Đào ie gh tạo, q thầy giảng dạy lớp cao học toán K7Y (01/2014–01/2016) trường p Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến nl w thức quý báu tạo điều kiện cho tơi q trình học tập nghiên cứu d oa Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp an lu người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho nf va suốt trình học tập thực luận văn lm ul Trong trình thực hiện, cố gắng luận văn không tránh z at nh oi khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý Thầy, Cơ Độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện z Xin trân trọng cảm ơn! gm @ Nguyễn Thị Hoàng Nguyên co l Thái Nguyên, 2015 m Học viên Cao học Tốn Khóa 01/2014–01/2016, an Lu Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên n va ac th si iii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: lu an n va không gian số thực H không gian Hilbert thực X∗ không gian đối ngẫu X to R tn phép chiếu trực giao điểm x tập C PC (x) gh tích vơ hướng hai vectơ x y p ie hx, yi xn hội tụ mạnh đến x oa xn hội tụ yếu x d xn * x chuẩn vectơ x nl xn → x w kxk lu x gán y spanC tổ hợp tuyến tính C ∀ ∃ tồn ∅ tập rỗng Id ánh xạ đơn vị nf va an x := y z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Toán tử đơn điệu công cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn bất đẳng thức biến phân Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ gradient gradient, lu an chứng minh tồn nghiệm cho nhiều lớp toán cân n va bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu Từ tốn tìm to tn giao điểm hai khơng gian đóng chứng minh nhà tốn ie gh học Neumann thuật toán chiếu luân hướng cổ điển vào năm 1933 Và p sau nhà toán học Dykstra sử dụng phép chiếu lên hai tập đóng lồi nl w khơng gian Hilbert để xây dựng phép chiếu lặp lên giao chúng d oa Đề tài luận văn trình bày cách tiếp cận đối ngẫu để mở rộng thuật an lu toán Dykstra nhằm xây dựng toán tử giải cho toán tử tổng hai toán tử nf va đơn điệu cực đại từ toán tử giải đơn điệu lm ul Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới z at nh oi thiệu số kiến thức không gian Hilbert thực, giải tích lồi, phép chiếu khơng gian Hilbert, tốn tử đơn điệu, nghiệm phương trình z tốn tử đơn điệu nghiệm bất đẳng thức biến phân không gian gm @ Hilbert Chương gồm hai mục Mục 2.1 nêu tốn tìm giao điểm m co lai ghép cho hai toán tử đơn điệu cực đại l hai không gian đóng Mục 2.2 trình bày phương pháp Dykstra an Lu Qua q trình hồn thành luận văn, tác giả nhận thấy luận văn thể phần nhỏ vấn đề đề cập luận văn Tuy n va ac th si nhiên, thông qua việc trình bày luận văn tác giả trau dồi kiến thức khởi đầu định hướng cho tiếp cận vấn đề sau Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Nguyễn Thị Hoàng Nguyên Học viên cao học tốn khóa 01/2014 – 01/2016 Chun ngành Tốn ứng dụng lu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số vấn đề Trong chương nhắc lại số kiến tức giải lu tích hàm, giải tích lồi, tốn tử đơn điệu toán bất đẳng thức biến an n va phân, có liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài Các kiến thức Không gian Hilbert vấn đề liên quan p 1.1 ie gh tn to chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [6] nl w Trong tồn đề tài, chúng tơi đề cập đến khơng gian Hilbert thực, d oa với tích vơ hướng h., i chuẩn ||.|| Phép chiếu lên tập U đóng lồi nf va đến x an lu khác rỗng H kí hiệu PU xn −→ x có nghĩa dãy xn hội tụ mạnh z at nh oi lm ul 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho khơng gian tuyến tính H trường số thực R, ta gọi z tích vô hướng không gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H @ an Lu n va c) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R m b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H co a) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H l gm vào trường R ký hiệu h., i thỏa mãn điều kiện sau: ac th si d) hx, xi > x 6= hx, xi = x = Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa ta suy 1) hx, λyi = λhy, xi, ∀x, y ∈ H; 2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi, ∀x, y, z ∈ H; Định nghĩa 1.2 Không gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert lu Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong khơng gian tiền Hilbert H, với an n va x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: to gh tn |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi p ie Chứng minh Với số thực α ta có w d oa nl ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi Nên ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi an lu  lm ul thuộc tuyến tính nf va Dấu đẳng thức bất đẳng thức xảy x y phụ z at nh oi Định lí 1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert, H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định z p hx, xi với x ∈ H (1.1) gm @ ||x|| = m co l Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Ta dễ dàng chứng p minh hàm số ||x|| = hx, xi với x ∈ H, chuẩn H an Lu Thật vậy, từ điều kiện d) ta có ||x|| > x 6= 0, ||x|| = x = n va ac th si Từ điều kiện a), c) ta suy ||λx|| = |λ|.||x|| Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có (1.2) |hx, yi| ≤ ||x||.||y|| Từ hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi ≤ ||x||2 + 2||x||.||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2 Suy ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| lu an Định nghĩa 1.3 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ đối n va với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.1) H gọi gh tn to khơng gian Hilbert thực p ie Ví dụ 1.1 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng w hx, yi = n X xk yk oa nl k=1 d x = (x1 , x1 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn chuẩn cảm sinh lu ∞ X z at nh oi k=1 lm ul Ví dụ 1.2 Không gian nf va an n X p x2k ) ||x|| = hx, xi = ( l = {x = {xn }n ∈ R : |xn |2 < +∞} n=1 l gm n=1 x n yn @ hx, yi = ∞ X z không gian Hilbert với tích vơ hướng m co x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 chuẩn cảm sinh v u n n X p uX ||x|| = hx, xi = t |xk |2 = ( |xk |2 ) n va k=1 an Lu k=1 ac th si 27 Chương Phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tử đơn điệu lu an Trong chương chúng tơi trình bày thuật tốn Neumann tìm giao n va điểm hai khơng gian đóng phương pháp Dykstra lai ghép cho Bài tốn tìm giao điểm hai khơng gian đóng thuật tốn Neumann p 2.1 ie gh tn to hai toán tử đơn điệu Các kết trình bày dựa tài liệu số [5] oa nl w d Trước hết nhắc lại số định nghĩa kí hiệu hay dùng nf va an lu chương lm ul Kí hiệu 2.1 Giả sử A: H −→ 2H tốn tử Thì : z at nh oi domA = {x ∈ H| Ax 6= ∅}, miền hữu dụng (miền xác định) A; ranA = {u ∈ H| (∃x ∈ H) u ∈ Ax}, khoảng biến thiên giao độ (miền ảnh) A; z gm @ zerA = {x ∈ H| ∈ Ax}, tập điểm A; gra(A) = {(x, u) ∈ H × H| u ∈ Ax}, đồ thị A l an Lu {(x, u) ∈ H × H| u ∈ Ax} m co Ánh xạ ngược A toán tử A−1 : H −→ 2H với đồ thị A−1 Toán tử giải A JA = (Id + A)−1 Chúng tơi xây dựng tốn tử A∼ n va ac th si 28 sau A∼ :H −→ 2H x 7→ A∼ (x) = −A−1 (−x) Chú ý 2.1 Bây giả sử A đơn điệu, nghĩa là, cho (x, u) (y, v) gra(A), (2.1) hx − y, u − vi ≥ lu JA : ran(Id + A) −→ H ánh xạ đơn trị Hơn nữa, toán tử A đơn an n va điệu cực đại tính chất sau thỏa mãn, cho (x, u) ∈ H × H, (2.1) to cho (y, v) ∈ gra(A), (x, u) ∈ gra(A) Định lí Minty gh tn khẳng định A đơn điệu cực đại ran(Id + A) = H p ie Trong trường hợp này, ta có (2.2) oa nl w JA− = Id − JA (JA−1 )∼ = Id + A∼ d Cuối cùng, phần tương đối C tập lồi H an lu [ nf va sriC = {x ∈ C| (2.3) λ(C − x) = span(C − x)} λ>0 lm ul Định nghĩa 2.1 Cho C D hai tốn tử đơn điệu từ H đến 2H , z at nh oi C + D xác định sau z (C + D)(x) = C(x) + D(x) = {x1 ∗ + x2 ∗ : x1 ∗ ∈ C(x), x2 ∗ ∈ D(x)}, l gm @ tốn tử đơn điệu m co Định lí 2.1 (Thuật tốn Von Neumann, xem [5] tài liệu trích dẫn) an Lu Cho z ∈ H, cho U V khơng gian véctơ đóng H, đặt (2.4) n va x0 = z (∀n ∈ N ) yn = PV xn xn+1 = PU yn ac th si 29 Thì xn −→ PU ∩V z yn −→ PU ∩V z Kết không cho trường hợp U V giao hai tập đóng, lồi Trước tiên, kết dãy vô hạn (xn )n∈N (yn )n∈N (2.4) hội tụ yếu, khơng chúng hội tụ mạnh; thứ hai, ví dụ đơn giản mà điểm giới hạn khơng hình chiếu z lên U ∩ V Trong trường hợp U V nón lồi, đóng khơng gian Euclid, cải biên phép lặp (2.4), phát biểu thuật toán Dykstra dạng (2.5) Kết mở rộng cho lu tập đóng lồi (xem [5], tài liệu trích dẫn) an n va Định lí 2.2 (Thuật toán Dykstra) Cho z ∈ H, cho U V tập p ie gh tn to đóng, lồi H, cho U ∩ V 6= ∅ đặt      x0 = z,    yn = PV (xn + pn ),  p0 = 0, (∀n ∈ N )   pn+1 = xn + pn − yn ,     q0 = 0,   xn+1 = PU (yn + qn ),  qn+1 = yn + qn − xn+1 w d oa nl (2.5) nf va an lu 2.2 z at nh oi lm ul Thì xn −→ PU ∩V z yn −→ PU ∩V z Phương pháp Dykstra tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu z @ gm Cho C D hai toán tử đơn điệu, cực đại từ H đến 2H Bao hàm co l thức ∈ Cx + Dx với bao hàm thức đối ngẫu ∈ C −1 u + D∼ u dễ dàng m phân tích cho tốn phi tuyến với đối ngẫu bao hàm Nghĩa có (2.6) n va zer(C + D) 6= ∅ ⇔ zer(C −1 + D∼ ) 6= ∅ an Lu mệnh đề tương đương: ac th si 30 Hiện tượng đối ngẫu chứng minh đặc biệt việc nghiên cứu tính tiệm cận tổ hợp hai tốn tử giải (xem [5] tài liệu trích dẫn) Trong mục ta xét liên quan (2.5) (2.14) xuất tốn tử xấp xỉ Kí hiệu 2.2 Một hàm f : H −→ [−∞; +∞] hàm thường domf = {x ∈ H| f (x) < +∞} 6= ∅ Lớp hàm thực lồi, thường nửa liên tục yếu, từ H vào [−∞; +∞], kí hiệu Γ0 (H) Và với f ∈ Γ0 (H), liên hợp f f ∗ ∈ Γ0 (H), định nghĩa sau lu an f ∗ : u 7→ suphx, ui − f (x), va x∈H n gh tn to vi phân f toán tử đơn điệu cực đại p ie ∂f :H −→ 2H (2.7) nl w x 7→ u ∈ H|(∀y ∈ H)hy − x, ui + f (x) ≤ f (y) oa Tập hợp điểm đạt cực tiểu f arg f = zer∂f , bao hình d Moreau f hàm lồi liên tục: an lu nf va envf : H −→ R : x 7→ inf + ||x − y||2 , y∈H (2.8) lm ul z at nh oi hàm phản xạ hàm f f v : x 7→ f (−x) Với x ∈ H, hàm y 7→ f (y) + ||x − y||2 /2 có điểm cực tiểu nhất, xác định proxf x Cịn khơng thì, proxf x = J∂f z @ gm Mệnh đề 2.1 C D hai toán tử đơn điệu cực đại từ H đến 2H Thì m ta có zer(C −1 + Id + D∼ ) = JC −1 +D∼ co l zer(C + Id − JD ) 6= ∅ JC −1 +D∼ tồn tại, trường hợp an Lu Chứng minh Về chất JC −1 +D∼ nghiệm bao hàm n va ∈ (C −1 + Id + D∼ )u, nghĩa là, zer(C −1 + Id + D∼ ) tồn điểm ac th si 31 Mặt khác, từ (2.6), áp dụng cho C toán tử đơn điệu, cực đại JD−1 , từ (2.2) ta có zer(C + Id − JD ) 6= ∅ ⇔ zer(C −1 + (JD−1 )∼ ) 6= ∅ ⇔ zer(C −1 (2.9) ∼ + Id + D ) 6= ∅ Vậy định lí chứng minh  Định lí 2.3 C D hai toán tử đơn điệu cực đại từ H đến 2H , cho (2.10) u0 ∈ H (∀n ∈ N )( ) = JD un un+1 = JC lu an n va Khi đó, gh tn to i) Nếu zer(C + Id − JD ) 6= ∅ − un −→ JC −1 +D∼ p ie − un+1 −→ JC −1 +D∼ ii) Nếu zer(C + Id − JD ) = ∅ ||un || −→ +∞ ||vn || −→ +∞ nl w d oa Kết mục định lý tính tiệm cận mở rộng (2.5) từ nf va an lu việc chiếu lên tập lồi đóng toán tử giải toán tử đơn điệu cực đại Định lí 2.4 sử z ∈ H, cho A B hai toán tử đơn điệu, cực đại từ H   yn = JB (xn + pn ), z (∀n ∈ N ) z at nh oi lm ul  pn+1 = xn + pn − yn , @ (2.11) l gm đến 2H ,     x0 = z,    p0 = 0,      q0 = 0, m co   xn+1 = JA (yn + qn ), n va Khi đó, an Lu  qn+1 = yn + qn − xn+1 ac th si 32 i) Nếu z ∈ ran(Id + A + B) xn −→ JA+B z yn −→ JA+B z ii) Nếu z ∈ / ran(Id + A + B) ||pn || −→ +∞ ||qn || −→ +∞ Chứng minh Từ (2.11) ta có (∀n ∈ N ) pn+1 + qn + yn = xn + pn − yn + qn + yn (2.12) = x n + p n + qn Mặt khác, (∀n ∈ N ) pn + qn = z − xn Theo (2.11), đồng thức lu chắn n = Và, pn + qn = z − xn với vài giá an n va trị n ∈ N , sau pn+1 +qn+1 = xn +pn −yn +yn +qn −xn = z −xn+1 gh tn to Ta có (2.13) p ie (∀n ∈ N ) z = pn+1 + qn + yn = pn + qn + xn d oa nl w Ta viết lại (2.11) sau      x0 = z,    yn = JB (z − qn ),  p0 = 0, (∀n ∈ N )   pn+1 = z − qn − yn ,     q0 = 0,   xn+1 = JA (z − pn ),  qn+1 = z − pn+1 − xn+1 nf va an lu (2.14) z at nh oi lm ul z Bây đặt gm @ (2.15) an Lu (∀n ∈ N ) − un = −pn+1 − qn + z = yn m Từ (2.15) (2.13) ta có co l u0 = −z (∀n ∈ N ) un = qn − z = −pn+1 n va − un = −pn+1 − qn+1 + z = xn+1 (2.16) ac th si 33 Tiếp theo, từ (2.15) (2.14), dãy (un )n∈N (vn )n∈N thỏa mãn phương trình (∀n ∈ N ) = −pn+1 = qn − z + yn = un + JB (−un ), (2.17) un+1 = qn+1 − z = −pn+1 − xn+1 = − JA (vn + z) Bây ta định nghĩa hai toán tử cực đại sau (2.18) C −1 = −z + A D∼ = B (2.19) lu C : H −→ 2H : v −→ A−1 (v + z) D = B ∼ an n va Dễ thấy tn to p ie gh Hơn nữa,(2.2) cho ta kết ⇔ u + z =v + z − JA (v + z) = JA−1 (v + z) oa nl w (∀u ∈ H)(∀v ∈ H) u =v − JA (u + v) (2.20) −1 d ⇔ v − u ∈A (u + z) = Cu lu nf va an ⇔ u =JC v, lm ul (∀u ∈ H)u + JB − u = −(−u − JB (−u)) z at nh oi (2.21) = −JB −1 (−u) = JD u Do viết lại (2.17) sau z (2.22) gm @ (∀n ∈ N )vn = JD un un+1 = JC m khác, từ (2.19), với x ∈ H, ta có: co l Đây trình lặp (2.10) với điểm u0 = −z Mặt (2.23) n va ⇔ x = J(−z+A)+B = JC −1 +D∼ an Lu x = JA+B z ⇔ ∈ x + (−z + Ax + Bx) ac th si 34 Vì vậy, z ∈ ran(Id + A + B) ⇔ z ∈ dom(Id + A + B)−1 ⇔ JA+B z exits (2.24) ⇔ JC −1 +D∼ exits Do đó, từ Mệnh đề 2.1 Định lí 2.3 ta có kết sau i) Nếu z ∈ ran(Id + A + B), theo (2.16) ta có lu yn = − un −→ JC −1 +D∼ = JA+B z, an va n to gh tn xn+1 = − un+1 −→ JC −1 +D∼ = JA+B z p ie ii) Nếu z ∈ / ran(Id + A + B), (2.15) tương đương với d oa nl w ||pn+1 || = ||vn || −→ +∞ ||qn || = ||un +z|| ≥ ||un ||−||z|| −→ +∞ an lu Chú ý 2.2 Giả sử Định lí 2.4 ta bổ sung giả thiết A + B toán tử nf va đơn điệu cực đại, điều ∈ sri(domA − domB); (xem [5] lm ul tài liệu trích dẫn) kết luận (ii) khơng Định lí 2.4 nên z at nh oi (∀z ∈ H) xn −→ JA+B z yn −→ JA+B z Từ đây, ta có kết sau Định lí 2.5 Cho ϕ ψ hàm Γ0 (H) cho z (2.25) m co lấy l gm @ inf(ϕ + envψ)(H) > −∞ an Lu u0 ∈ H (∀n ∈ N )vn = proxψ un un+1 = proxϕ n va ta có (2.26) ac th si 35 i) Hàm ϕ∗ + ψ ∗ + ||.||2 /2 có điểm cực tiểu w, − un −→ w − un+1 −→ w ii) Nếu arg ϕ + envψ = ∅ ||un || −→ +∞ ||vn || −→ +∞ Định lí 2.6 sử z ∈ H, cho f g hàm Γ0 (H) cho (2.27) domf ∩ domg 6= ∅ Đặt lu an n va (∀n ∈ N )   yn = proxg (xn + pn ),  pn+1 = xn + pn − yn , p ie gh tn to     x0 = z,    p0 = 0,      q0 = 0, (2.28)   xn+1 = proxf (yn + qn ), d Khi đó, oa nl w  qn+1 = yn + qn − xn+1 an lu nf va i) xn −→ proxf +g z yn −→ proxf +g z v ||qn || −→ +∞ z at nh oi lm ul ii) Nếu arg f ∗ ( + z) + envg ∗ = ∅ ||pn || −→ +∞ Chứng minh Đặt A = ∂f , B = ∂g Thì JA = proxf , JB = proxg , z (2.28) trường hợp đặc biệt (2.11) Chúng ta đặt (2.15), gm @ (2.29) m an Lu Thì ta đạt (2.16), co l u0 = −z (∀n ∈ N ) un = qn − z = −pn+1 (2.30) n va (∀n ∈ N ) − un = yn − un+1 = xn+1 ac th si 36 Và (2.17) (∀n ∈ N ) = un + proxg (−un ) (2.31) un+1 = − proxf (vn + z) Bây định nghĩa hai hàm Γ0 (H) sau: ϕ : H −→ [−∞; +∞] (2.32) v v→ f (v + u) − ||z||2 ψ = g ∗ ∗ Thì lu ϕ∗ = f − h., zi + ||z||2 , ψ ∗ = g v , (envψ)∗ = g v + ||.||2 an n va (2.33) tn to 1 ϕ∗ (x) + ψ ∗ (x) + ||x||2 =f (x) − hx, zi + ||z||2 2 + g(x) + ||x||2 =(f + g)(x) + ||z − x||2 p ie gh Do với x ∈ H, ta có d oa nl w (2.34) an lu nf va Bây giờ, đặt C = ∂ϕ D = ∂ψ, theo (2.32), ta có lm ul (∀v ∈ H), Cv =∂f ∗ (v + z) = A−1 (v + z) ∗ (2.35) ∼ Vì thế, từ (2.20) (2.21) ta có z at nh oi Dv = − ∂g (−v) = B v z @ (∀v ∈ H) proxϕ v =v − proxf (v + z) gm (2.36) l proxψ v =v + proxg (−v) (2.37) n va ϕ + envψ = f ∗ ( + z) − ||z||2 + envg ∗v an Lu u0 = −z Mặt khác, từ (2.32) cho ta kết luận: m co Mà ta thấy đưa (2.31) sơ đồ lặp (2.26) với bắt đầu khởi động ac th si 37 Do đó, từ (2.33) tính đối ngẫu Fenchel ta có (2.27) ⇔ f + g ∈ Γ0 (H) ⇒ proxf +g z exists ⇔ arg f + g + ||z − ||2 6= ∅ 1 ⇔ arg f − h., zi + ||z||2 + g + ||.||2 6= ∅ 2 ⇔ arg ϕ∗ + (envψ)∗v 6= ∅ ⇔ inf(ϕ + envψ)(H) > −∞ lu an ⇔ (2.25) (2.38) n va tn to Bây ta có kết luận ie gh i) Theo (2.34), điểm đạt cực tiểu ϕ∗ + ψ ∗v + ||.| |2 /2 w = proxf +g z p Vì vậy, từ Định lí 2.6(i) (2.30) ta có: w d oa nl yn = − un −→ proxf +g z xn+1 = − un+1 −→ proxf +g z an lu ii) Từ (2.37), ta có arg f ∗ ( + z) + envg ∗v = ∅ ta suy nf va arg ϕ + envψ = ∅ Lần lượt, Định lý 2.5(ii) (2.29) ta có lm ul ||pn+1 || = ||vn || −→ +∞ z at nh oi z ||qn+1 || = ||un + z|| > ||un || − ||z|| −→ +∞ gm @  l m co Chú ý 2.3 Định lý 2.6 xác Định lý 2.4 áp dụng cho A = ∂f an Lu B = ∂g Thực vậy, từ: ∂f + ∂g ⊂ ∂(f + g), ta có với p ∈ H, n va p = J∂f +∂g z ⇔ z − p ∈ ∂f (p) + ∂g(p) ⇒ z − p ∈ ∂(f + g)(p) ac th si 38 (2.39) ⇔ p = proxf +g z Qua Định lý 2.4 , ta có xn −→ proxf +g z yn −→ proxf +g z, (2.40) z ∈ ran(Id + ∂f + ∂g) (2.41) miễn lu Một điều kiện đủ cho kết luận cho z ∈ H có: an (2.42) n va ∈ sri(domf − domg) to gh tn (xem [5]), tài liệu trích dẫn) Mặt khác, Định lý 2.6(i), ta đạt p ie (2.40) cho z ∈ H với (2.27), nghĩa là, (2.43) oa nl w ∈ (domf − domg) d Từ (2.43) hạn chế (2.41) lu nf va an Lưu ý với điều kiện (2.42), phương pháp ln hướng để tính tốn p = proxf +g z cho tùy ý z ∈ H thuật tốn Douglas–Rachford cho tính lm ul tốn khơng điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại (xem [5], tài liệu z at nh oi trích dẫn) Thật vậy, từ (2.42), p đặc trưng bao hàm z gm @ ∈ ∂(f + g)(p) = ∂f + ∂g + p − z = Cp + Dp, m co l C = −z + ∂f D = Id + ∂g đơn điệu cực đại an Lu Chú ý 2.4 Chof g hàm tập đóng lồi U V H Thì theo Định lý 2.6(i) qui Định lý 2.2 Nếu mở rộng cho U n va ac th si 39 V không gian đóng, ta đạt Định lý 2.1, từ trường hợp (2.5) cho ta kết (∀n ∈ N ) yn = PV (xn + pn ) = PV xn + PV pn = PV xn xn+1 = PU (yn + qn ) = PU yn + PU qn = PU yn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 Kết luận Đề tài trình bày tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert giới thiệu tốn tìm giao điểm hai khơng gian đóng Đề tài trình bày thuật tốn Neumann phương pháp Dykstra lu an lai ghép cho hai toán tử đơn điệu va n Đóng góp tác giả luận văn tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp to p ie gh tn kiến thức làm chi tiết số chứng minh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu (2003), Nhập mơn Giải tích lồi lu ứng dụng, Viện Toán học, Hà Nội an va n [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học gh tn to Kỹ thuật, Hà Nội p ie [3] Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc nl w gia, Hà Nội d oa [4] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nxb Khoa học z at nh oi lm ul Tiếng Anh nf va an lu tự nhiên Công nghệ [5] Bauscheke H H and Combettes D L (2008), "A Dykstra-like algorithm for two monotone operators", Pacific Journal of Optimization, z gm @ vol 4, pp 383-391 m Comm Pure Appl Math., 20, 493 - 519 co l [6] Lions J L and Stampacchia G (1967), Variational Inequalities, an Lu n va ac th si