Luận văn phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

ộ iá0 dụ đà0 ạ0 Đại ọ Tái uê uễ Tị Tu Tủ -ơ iệu ỉ lặ iải ệ -ơ ì 0á điệu ờn uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L Lu uLun ỏnỏ, L Đ ài iê ứu k0a ọ ấ ộ Mà số: 2009-T07-03 Tái uê - 2010 Da sá ữ -ời am ia iệ đ ài STT ọ ê ội du đà ƚҺὺເ ҺiƯп ПǥuɣƠп TҺaпҺ Mai Tỉ ເҺøເ Semiпaг, х©ɣ d uê đ uễ Tấ Tắ Dị ài liệu, â d uê đ T-ơ Mi Tuê Tổ ứ Semia, â d uê đ uễ Ta â d uê đ -ờ Đơ ị ối ợ í STT Tê ị n ội du ối ợ iê ứu Tả0 luậ, Semia iệ ô ệ Tônguyờcz o ọc d ĩ h ọtch 123 ƚiп s o iế u ài á0 k0a c h cca i n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn Һäເ vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ , n u u L ỏn Ta0 đổi, Tả0 luậ K0a T0á - ơL-LuTi ọ, T-ờ ĐKT ội Ta0 đổi, Tả0 luậ K0a ô ệ Tô i Đại ọ Tái uê Mụ lụ Mở đầu 11 -ơ ài 0á đặ kô ỉ ệ -ơ ì 0á 15 1.1 ài 0á đặ kô ỉ 15 1.1.1 ài 0á đặ kô ỉ 15 1.1.2 -ơ iệu ỉ 18 ờn y 1.2 ệ -ơ ì 0á ửc 23 gu cz in o họ chá 3d osĩ ọt 12 cạca hạiọhc ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL ỏn L 1.2.1 iu ài 0á 23 1.2.2 Sὺ ƚåп ƚ¹i пǥҺiƯm 25 1.2.3 -ơ iải -ờ ợ đặ ьiƯƚ 26 ເҺ-¬пǥ ҺiƯu ເҺØпҺ ҺƯ -ơ ì i 0á điệu 28 2.1 -ơ iệu ỉ ố độ ội ụ iệm ҺiÖu ເҺØпҺ 28 2.1.1 -ơ ì iệu ỉ 28 2.1.2 Sὺ Һéi ƚơ ເđa пǥҺiƯm ҺiƯu ເҺØпҺ 31 2.1.3 TҺam sè ҺiÖu ເҺØпҺ 35 2.1.4 Tèເ ®é Һéi ƚơ ເđa пǥҺiƯm ҺiƯu ເҺØпҺ 38 2.2 ΡҺ-¬пǥ iệu ỉ lặ ậ kô 40 2.2.1 Mô ả -ơ 40 2.2.2 Sὺ Һéi ƚô 43 -ơ Kế í 0á iệm ờn uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 47 3.1 ѴÝ dô 3.1 47 3.2 ѴÝ dô 3.2 50 K̟Õƚ luËп ເҺuпǥ 54 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 55 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun ỏnỏ, L Tóm ắ kế iê ứu Tô i u - Tê đ ài: -ơ iệu ỉ lặ iải ệ -ơ ì 0á ®¬п ®iƯu - M· sè: Ь2009-TП07-03 - TҺêi ǥiaп ƚҺὺເ iệ: 2009-2010 - ủ iệm đ ài: TS uễ Tị Tu Tủ Điệ 0ại: 0912211858; E-mail: uu220369@mail.0m - qua ủ ì: T-ờ Đại ọ K0a ọ, Đại ọ Tái uê n Mụ iêu đ ài uy z ng oc c i họ chá 3d osĩ ọt 12 cạca hạiọhc ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn L ồĐ Đ - ПǥҺiªп ເøu méƚ số -ơ iải ổ đị ệ -ơ ì 0á điệu - â a0 ă l iê ứu óm iệ đ ài - ụ ụ ô K, đà0 ạ0 Đ SĐ uê T0á ứ dụ Đại ọ ội du í - iê ứu -ơ iệu ỉ ệ -ơ ì 0á điệu; - iê ứu s ội ụ đá iá ố độ ội ụ iệm iệu ỉ ê sở ọ am số iệu ỉ; Kế í đạ đ-ợ - â d -ơ iệu ỉ ệ -ơ ì 0á điệu da ê mộ đ uấ uễ -ờ; - Đ-a a ọ iá ị am số iệu ỉ ậu iệm e0 uê lí độ lệ su ộ; Đá iá ố độ ội ụ iệm iệu ỉ ứ ѵίi ƚҺam sè ҺiƯu ເҺØпҺ ®· ເҺäп; ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ - Х©ɣ d -ơ iệu ỉ lặ, ứ mi s ội ụ -ơ á; - Đ-a a í dụ số mi ọa kế iê ứu Sả ẩm đ ài 5.1 Sả ẩm k0a ọ ã kế đ ài đ-ợ ô ố ô ì [1] u0, T T Tu ad L T Du0пǥ (2009), "Гeǥulaгizaƚi0п f0г ເ0mm0п fiхed ρ0iпƚs 0f п0п-self sƚгiເƚlɣ ρseud0ເ0пƚгaເƚiѵe maρρiпǥs iп Һilьeгƚ sρaເes", T¹ρ ເҺÝ K̟Һ0a ọ ô ệ Đại ọ Tái uê, 49(1), 27-31 [2] Пǥ Ьu0пǥ, Пǥ T T TҺuɣ aпd T M Tuɣeп (2009), "Гeǥulaгizaƚi0п f0г ເ0mm0п fiхed ρ0iпƚs 0f п0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs iп n yê u z ЬaпaເҺ sρaເes", T¹ρ ເҺÝ K0a ọ ô ệ Đại ọ Tái uê, ng oc ọc d 49(1), ρρ 32-36 h ch osĩ ọt 12 cca hạiọhc ăn h tn nv nvă đnạ vnă vnă ănvă ,ậlunậ ậ ậLun ậvn lnu Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [3] Пǥ T T TҺuɣ (2010), "Aп iƚeгaƚiѵe meƚҺ0d ƚ0 a ເ0mm0п s0luƚi0п 0f iпѵeгse-sƚг0пǥlɣ ρг0ьlems iп Һilьeгƚ sρaເes", Adѵaпເes aпd Aρρliເaƚi0пs iп MaƚҺemaƚiເal Sເieпເes, 3, ρρ 165-174 [4] Пǥ T T TҺuɣ (2010), "ເ0пѵeгǥeпເe гaƚes 0f ƚҺe Tik̟Һ0п0ѵ гeǥulaгizaƚi0п f0г ill-ρ0sed miхed ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies wiƚҺ iпѵeгsesƚг0пǥlɣ m0п0ƚ0пe ρeгƚuгьaƚi0пs", П0пliпeaг Fuпເƚi0пal Aпalɣsis aпd Aliai0s, (Đà ậ đă ăm 2010) [5] uễ Tị Tu Tủ, Đặ T ồi (2010), "Kế số -ơ iệu ỉ iải -ơ ì 0á điệu", Tạ í K0a ọ ô ệ Đại ọ Tái uê, 70(8), 61-64 ã kế đ ài đà đ-ợ á0 á0 ại: Te Ieai0al Sρгiпǥ SເҺ00l/ W0гk̟sҺ0ρ 0п 0ρƚimizaƚi0п aпd Iƚs Aρρliເaƚi0пs, ПҺa Tгaпǥ, Ma 1-3, 2010 T-ờ 0á IMA-UES0-IETAM, "ấ đẳ ứ iế â ấ đ ó liê qua", Һµ Пéi, 10-21/05/2010 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ội ả0 Tối -u Tí 0á k0a ọ lầ ứ 8, a ì, 20- 23/04/2010 5.2 Sả ẩm đà0 ạ0 - dẫ 05 luậ ă sĩ, 02 luậ ă đà ả0 ệ ô ăm 2009; 03 luậ ă ả0 ệ à0 11/2010 - dẫ 03 si iê K, đà ả0 ệ đạ kế ố, ó 01 si iê đ-ợ iải kuế kí uộ i "Si iê iê ứu k0a ọ 0à quố 2009", 01 si iê đ-ợ đ d i "Si iê iê ứu k0a ọ 0à quố 2010" - dẫ 03 si iê làm kóa luậ ố iệ đà ả0 ệ đạ đim uấ sắ Đ ài ó ầ ụ ụ iệ iả uê đ "ài 0á ờn ọ iê a0 ọ T0á -ờ Đại đặ kô ỉ" si iê uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Һäເ K̟Һ0a Һäເ, Đại ọ Tái uê 10 1 1 −3 −2 −1 B3 = −1 −1 −2 −1 −3 0 fj = 0, j = 1, 2, Ta ó A1, A2, A3 ma ậ đối ứ đị kô âm i (A1) = (A2) = 3, г(A3) = DÔ ƚҺÊɣ г»пǥ х0 = (0, 0, 0, 0, 0)T ∈ Г5 lµ пǥҺiƯm ເã ເҺп ỏ ấ ệ (2.1) -ờ ợ â iờ sử dụ -ơ iệu ỉ lặ (2.16) đ ìm iệm ấ ỉ í dụ ki = - sau + i ấ ỉ a đầu z0 ƚïɣ ý ƚҺuéເ Г5, ເҺäп Һai d·ɣ sè −1/12 βm = (1 + m)−1/2 ѵµ êα n m = (1 + m) uy z ng oc c i họ chá 3d osĩ ọt 12 cạca hạiọhc ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn 1≤j≤5 L ồĐ ỏa mà điu kiệ Đị lý 2.10 (m+1) (m) z − z ≤ eгг ƚҺ× dõпǥ + Tг0пǥ ƚÝпҺ ƚ0¸п ƚҺư пǥҺiƯm, пÕu maх j j tính toán, với err sai số cho tr-ớc Sau kết tính toán Số lầ lặ m ǁх0 − zmǁ eгг 29 5.9299 × 10−5 0.00077717 9.5917 × 10−6 52 0.00017816 9.5457 × 10−7 97 2.8739 × 105 9.7834 ì 108 168 4.4859 ì 106 ả 3.1: ѵίi z0Σ= (1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5)T ∈ Г5 ѵµΣ zm+1 = zm − βm A0zm + αmA1zm + α2 m A2zm + zmm 66 Số lầ lặ m ǁх0 − zmǁ eгг 8.5032 × 10−5 27 0.00091206 9.5351 × 10−6 52 0.00017744 9.5213 × 10−7 97 2.8692 × 105 9.7746 ì 108 168 4.4834 ì 106 ả 3.2: ѵίi z0Σ= (1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5)T ∈ Г5 ѵµΣ zm+1 = zm − βm A1zm + αmA2zm + α2 m A0zm + α3 zmm ǁх0 − zmǁ Sè lÇп lặ m e 9.2541 ì 105 38 0.0013443 9.9215 ì 10−6 72 0.00023732 9.7432 × 10−7 130 3.6725 × 10−5 9.893 × 10−8 219n 5.5511 × 10−6 ê uy z ng oc c i họ chá 3d caosĩ hcọt 12 cạ hạiọ ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv nănvm,ậlun m m ậv lnu ậLun u0 u L uậLn áồná, L ồĐ Đ Ь¶пǥ 3.3: ѵΣίi z = (5, 5, 5, 5, 5)T ∈ Г5 ѵµ zm+1 = zm − βm A z + α A z + α2 m A2zm + α3 zmm eгг 9.18 ì105 Số lầ lặ m zm 38 0.0013366 9.8821 × 10−6 72 0.0002367 9.7284 × 10−7 130 3.669 × 10−5 9.8882 × 10−8 219 5.5494 × 10−6 Ь¶пǥ 3.4: ѵΣίi z0 = (5, 5, 5, 5, 5)T ∈ Г5 ѵµ zm+1 = zm − βm Σ Σ A1zm + αmA2zm + α2 m A0zm + α3 zmm Da ê kế ả 3.1, 3.2, 3.3 3.4 ƚa гόƚ гa méƚ sè пҺËп хÐƚ sau: • Tí ội ụ dà lặ kô ụ uộ à0 đim ọ a đầu, u iê đim ọ a đầu ó ả -ở đế iệu dà lặ T ế, 67 ếu đim uấ a đầu ầ iệm ài 0á ì a ầ í lầ lặ s0 i iệ ọ đim a đầu a i iệm đ đạ đ-ợ iệm ấ ỉ i sai số - ã ò A1, A2, A3 пҺ- пҺau ƚг0пǥ ƚõпǥ d·ɣ lỈρ 3.2 ѴÝ dơ 3.2 é ài 0á ị lồi: ìm mộ ầ х0 ∈ Һ sa0 ເҺ0 ϕj(х0) = miп ϕj(х), j = 1, , , (3.1) đâ j iếm àm lồi í -ờ, ửa liê ụ d-i ếu ê kô ia ile T0 í dơ пµɣ ƚa хÐƚ Һµm ϕj : L2[0, 1] → {+} đị ởi n yờ ọc ngduocz Σ 23 х) , ϕ j(х) = f caosĩ h(Ь ọtch 1jх, c 2hạiọhc ăn h ătn ạđi ănv j = 1, ănv ăđn ậvn nv lun i f : đ-ợ ເҺäп пҺậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn L ồĐ sau Đ , ƚ ≤ ь0 , , b0 < t ≤ b0 + s, (t − b0)2s f (t) = 2s ƚ − ь0 − , ƚ > + s, đâ ằ số d-ơ, s > đủ é j : L2[0, 1] L2[0, 1] 0á đ-ợ đị ởi 1() = k1(, s)(s)ds, 2() = k2(, s)(s)ds đâ k̟1(ƚ, s) = ƚ(1 − s) s(1 − ƚ) 68 , ƚ ≤ s, , s < ƚ, ѵµ (1 − s)2sƚ2 − k 2(t, s) = (1 − s)2ƚ3(1 + 2s) + (t − s)3 + , s2(1 − ƚ3)(2s −3) + + (s −ƚ)3 + , s2(1 − s)(1 − ƚ)2 t s, s t, àm đối ứ đị kô âm ì uô {0 ƚ, s ≤ 1} K̟Һi ®ã ϕjJ (х) = f J Σ (Ьj х, х) Ь j(х) ¸ρ dụ -ơ iệu ỉ lặ (2.16) Σ zm+1 = zm − βm A˜1 zm + αm A˜2 zm + α2mzm , z0 ∈ ГM ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os cca iọhc n hạ hạ nvă n t ă J nv đnạ vnă jvnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ u L uậLun áồná, L ồĐ đ ìm iệm ấ ỉ ệ -ơ ì ϕ (х) = θ, ∀j = 1, = (1 + m)−ρ, < ρ < , β = (1 + m)−1/2 ѵµ ѵίi α m m Σ ˜х ˜ (х A˜ (х) = f J (Ь ˜, х ˜) Ь ˜), j j j ë ®©ɣ Σ ˜ j = Ak̟ (ƚ ı, ƚ ) M Ь ı, =1 , ˜ı ∼ х(ƚı ), ı = 1, 2, , M, х ˜ = (х ˜1 , х ˜2 , , х ˜ M )T х ,1 A= M ѴiƯເ k̟iόm ƚгa ƚÝпҺ ®όпǥ đắ sơ đồ lặ da à0 iá ị sai số iữa ấ ỉ liê iế ma |z(m1) z (m) | e M Sau đâ kế mối liê ệ iữa số lầ lặ ố độ ội ụ iệm iệu ỉ -ơ iệu ỉ lặ (2.16) 69 í dụ 3.2 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ 70 Kế ả 3.5 đ-ợ í ѵίi ƚҺam sè ρ = , ƚг0пǥ Ь¶пǥ 3.6, = T0 ấ ả í dụ đ-ợ í 0á, đim ấ ỉ a đầu đ-ợ 16 10−3 ເҺäп lµ z0 = (5, 5, 5) T Số lầ lặ m M , = , s = 10 ѵµ M = 50 ǁх0 − zmǁ 32 eгг 0.00091935 0.011739 62 9.8652 × 10−5 0.0021074 114 9.6658 × 10−6 0.00032977 194 9.9717 × 10−7 5.1038 × 10−5 316 9.8618 × 10−8 7.3102 × 10−6 Ь¶пǥ 3.5: ρ = ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uLun ỏnỏ, L Số lầ lặ m ǁх0 − zmǁ eгг 0.00084675 0.0051627 8.9838 × 10−5 0.00078278 9.4758 × 10−6 0.00011169 86 9.9791 × 10−7 1.5268 × 10−5 123 9.921 × 10−8 1.9189 × 10−6 22 37 58 ả 3.6: = 16 0ài ậ хÐƚ пҺ- ƚг0пǥ ѴÝ dơ 3.1, ƚa ƚҺÊɣ: • TÝпҺ iệu -ơ lặ ò ụ uộ à0 iệ ọ iá ị am số dà Tг0пǥ ѵÝ dô ѵίi M = 50, ƚa ເҺäп = m ì 16 ầ í lầ lặ s0 i -ờ ợ ọ = í 0á пǥҺiÖm хÊρ хØ ѵίi ເïпǥ sai sè ເҺ0 - ã Ki số lầ lặ l ì iệm ấ ỉ ầ i iệm í 71 ài 0á a đầu ờn uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun ỏnỏ, L 72 Kế luậ T0 -ơ ôi đà đ-a a í dụ số kô ia ữu iu kô ia ô iu iệm -ơ iệu ỉ ệ -ơ ì 0á điệu ầ mm đ-ợ sử dụ MATLA 7.0 Kế đạ đ-ợ ấ -ơ ó kả ă i ká iệu ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 73 Kế luậ u Đ ài đà u đ-ợ kế sau đâ: Đ-a a -ơ iệu ỉ ệ -ơ ì 0á điệu ê sở iải mộ -ơ ì 0á ụ uộ am số da ê đ uấ uễ -ờ [6] ເҺØ гa ເ¸ເҺ ເҺäп ƚҺam sè ҺiƯu ເҺØпҺ ҺËu пǥҺiƯm e0 uê lý độ lệ su ộ Da ê ọ à, ố độ ội ụ iệm iệu ỉ đ-ợ đá iá ki am số ấ ỉ dầ đế â d mộ -ơ iệu ỉ lặ kô ia ile iải ệ -ơ ì 0á điệu S ội ụ -ơ đ-ợ ờn uy z số í ợ điu kiệ iế lậ da ê sở ọ dà c am ng oc ọ d ĩ h ọtch 123 s o hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ ®iƯu LiρsເҺiƚz ເđa 0á Đ-a a í dụ số mi ọa í kả i iệu -ơ Kiế ị ữ iê ứu iế e0 - iê ứu ài 0á mở ó iế ụ iê ứu i -ơ iế ậ kế đ ài -ờ ợ sau: Tìm iệm u ấ đẳ ứ iế â ỗ Һỵρ, j = 1, , П ѵίi П ≥ Mở ộ kế u đ-ợ lê l ài 0á ộ ệ ài 0á â ь»пǥ: ƚ×m х∗ ∈ K̟ sa0 ເҺ0 Fj (х∗ , ɣ) ≥ 0, ∀ɣ ∈ K̟ , j = 1, , , 74 đâ K mộ ậ lồi ká ỗ (em [7]) ờn uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 75 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 [1] Ɣ Alьeг aпd I Гɣazaпƚseѵa, П0пliпeaг ill-ρ0sed ρг0ьlems 0f m0п0ƚ0пe ƚɣρe, Sρгiпǥeг, 2006 [2] A Ь Ьak̟usҺiпsk̟ii aпd A Ǥ Ǥ0пເҺaгsk̟ii, Ill-Ρ0sed Ρг0ьlems: TҺe0гɣ aпd Aρρliເaƚi0пs, K̟luweг Aເademiເ ΡuьlisҺeгs D0гdгeເҺƚ, Ь0sƚ0п, L0пd0п (1994) [3] Ѵ Ьaгьu, П0пliпeaг Semiǥг0uρs aпd Diffeгeпƚial Equaƚi0пs iп ЬaпaເҺ Sρaເes, П00гdҺ0ff Iпƚeгпaƚi0пal ΡuьlisҺiпǥ, Leɣdeп TҺe ên uy z ПeƚҺeгlaпds, 1976 g n oc ọc d ĩ h ọtch 123 s o hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [4] F Ьг0wdeг (1966), "Eхisƚeпເe aпd aρρг0хimaƚi0п 0f s0luƚi0пs 0f п0п- liпeaг ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies", Ρг0ເ Пaƚ Aເad Sເi USA, 56(4), ρρ 1080-1086 [5] Пǥ Ьu0пǥ (2005), "0п m0п0ƚ0пe ill-ρ0sed ρг0ьlems", Aເƚa MaƚҺemaƚiເa Siпiເa, 21(5), ρρ 1001-1004 [6] Пǥ Ьu0пǥ (2006), "Гeǥulaгizaƚi0п f0г uпເ0пsƚгaiпed ѵeເƚ0г 0ρƚimiza- ƚi0п 0f ເ0пѵeх fuпເƚi0пals iп ЬaпaເҺ sρaເes", ເ0mρuƚaƚi0пal MaƚҺe- maƚiເs aпd MaƚҺemaƚiເal ΡҺɣsiເs, 46(3), ρρ 354- 360 [7] Пǥ Ьu0пǥ (2007), "Гeǥulaгizaƚi0п eхƚгaǥгadieпƚ meƚҺ0d f0г sɣsƚems 0f equiliьгium ρг0ьlems", ເ0mρuƚaƚi0пal MeƚҺ0ds iп Aρρlied MaƚҺe- maƚiເs, 7(3), ρρ 1-9 [8] Пǥ Ьu0пǥ, Пǥ T T TҺuɣ aпd L T Du0пǥ (2009), "Гeǥulaгizaƚi0п f0г ເ0mm0п fiхed ρ0iпƚs 0f п0п-self sƚгiເƚlɣ ρseud0ເ0пƚгaເƚiѵe maρ76 is i ile saes", Tạ í K0a ọ ô ệ Đại ọ Tái uê, 49(1), 27-31 [9] Ьu0пǥ, Пǥ T T TҺuɣ aпd T M Tuɣeп (2009), "Гeǥulaгizaƚi0п f0г ເ0mm0п fiхed ρ0iпƚs 0f п0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs iп ЬaпaເҺ saes", Tạ í K0a ọ ô ệ Đại ọ Tái uê, 49(1), 32-36 [10] I Ekelad ad Temam (1970), ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Ѵaгiaƚi0пal Ρг0ьlems, П0гƚҺ-Һ0llaпd ΡuьlisҺiпǥ ເ0mρaпɣ, Amsƚeгdam, Һ0llaпd [11] Ѵ K̟ Iѵaп0ѵ, Ѵ Ѵ Ѵasiп aпd Ѵ Ρ Taпaпa, TҺe0гɣ 0f Liпeaг IllΡ0sed Ρг0ьlems aпd Iƚs Aρρliເaƚi0пs, M0sເ0w Пauk̟a (iп Гussiaп), 1978 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [12] J S Juпǥ, Ɣ J ເҺ0 aпd Г Ρ Aǥaгwal (2005), "Iƚeгaƚiѵe sເҺemes wiƚҺ s0me ເ0пƚг0l ເ0пdiƚi0пs f0г a familɣ 0f fiпiƚe п0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs iп ЬaпaເҺ sρaເes", Fiхed Ρ0iпƚ TҺe0гɣ aпd Aρρliເaƚi0пs, 2, ρρ 125- 135 [13] M M Laѵгeпƚieѵ (1967), S0me Imρг0ρeгlɣ Ρ0sed Ρг0ьlems iп MaƚҺemaƚiເal ΡҺɣsiເs, Sρгiпǥeг, Пew Ɣ0гk̟ [14] W Tak̟aҺasҺi, T Tamuгa aпd M T0ɣ0da (2002), "Aρρг0хimaƚi0п 0f ເ0mm0п fiхed ρ0iпƚs 0f a familɣ 0f fiпiƚe п0пeхρaпsiѵe maρρiпǥs iп ЬaпaເҺ sρaເes", Sເi MaƚҺ Jρп, 56, ρρ 475-480 [15] A П Tik̟Һ0п0ѵ (1963), "0п ƚҺe s0luƚi0п 0f ill-ρ0sed ρг0ьlems aпd ƚҺe meƚҺ0d 0f гeǥulaгizaƚi0п", D0k̟l Ak̟ad Пauk̟ SSSA, 151, ρρ 501-504 (Гussiaп) [16] A П Tik̟Һ0п0ѵ aпd Ѵ I Aгseпiп, S0luƚi0пs 0f Ill-ρ0sed Ρг0ьlems, Wileɣ Пew Ɣ0гk̟, 1977 [17] Пǥ T T TҺuɣ (2010), "Aп iƚeгaƚiѵe meƚҺ0d ƚ0 a ເ0mm0п s0luƚi0п 77 0f iпѵeгse-sƚг0пǥlɣ ρг0ьlems iп Һilьeгƚ sρaເes", Adѵaпເes aпd Aρρliເa- ƚi0пs iп MaƚҺemaƚiເal Sເieпເes, 3, ρρ 165-174 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 78 [18] Пǥ T T TҺuɣ (2010), "ເ0пѵeгǥeпເe гaƚes 0f ƚҺe Tik̟Һ0п0ѵ гeǥulaгiza- ƚi0п f0г ill-ρ0sed miхed ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies wiƚҺ iпѵeгse-sƚг0пǥlɣ m0п0ƚ0пe euai0s", 0liea Fui0al Aalsis ad Alia- i0s, (Đà ậ đă ăm 2010) [19] uễ Tị Tu Tủ, Đặ T ồi (2010), "Kế số -ơ iệu ỉ iải -ơ ì 0á điệu", Tạ í K0a ọ ô ệ Đại ọ Tái uê, 70(8), .61-64 [20] M M Ѵaiпьeгǥ, Ѵaгiaƚi0пal MeƚҺ0d aпd MeƚҺ0d 0f M0п0ƚ0пe 0ρeг- aƚ0гs iп ƚҺe TҺe0гɣ 0f П0пliпeaг Equaƚi0пs, Пew Ɣ0гk̟, J0Һп Wileɣ, 1973 [21] E Zeidleг, П0пliпeaг Fuпເƚi0пal Aпalɣsis aпd Iƚs Aρρliເaƚi0пs, Sρгiпǥeг, Пew Ɣ0гk̟, 1985 n yê u z [22] L ເ Zeпǥ aпd J ເ Ɣa0 (2006), iƚeгaƚi0п sເҺeme wiƚҺ ρeгng"Imρliເiƚ oc ọc i d h chá osĩ ọt 12 cạca hạiọhc ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn L ồĐ Đ ƚuгьed maρρiпǥ f0г ເ0mm0п fiхed ρ0iпƚs 0f a fiпiƚe familɣ 0f п0пeх- ρaпsiѵe maρρiпǥs", П0пliпeaг Aпalɣsis, 64, ρρ 2507-2515 [23] Һ K̟ Хu (2003), "Aп iƚeгaƚiѵe aρρг0aເҺ ƚ0 quadгaƚiເ 0ρƚimizaƚi0п", J0uгпal 0f 0ρƚimizaƚi0п TҺe0гɣ aпd Aρρliເaƚi0пs, 116, ρρ 659-678 [24] S Хu, Ɣ Liu aпd Г ເҺeп (2007), "TҺe ເ0пѵeгǥeпເe 0f aп eхρliເiƚ iƚeгaƚi0п sequeпເe f0г sƚгiເƚlɣ asɣmρƚ0ƚiເallɣ ρseud0-ເ0пƚгaເƚiѵe maρρiпǥs", Aρρlied MaƚҺemaƚiເal Sເieпເes, 56(1), 2799-2804 79 ủ iệm đ ài ậ Tủ -ở ị uễ Tị Tu Tủ ờn uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 80