Phương trình toán tử đơn điệu nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn non Môc lục Mở đầu Chương Bài toán đặt không chỉnh phương trình toán tử đơn điệu 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 13 16 16 18 20 1.1.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 1.1.2 Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.3 Ví dụ toán đặt không chỉnh 1.2 Phương trình toán tử đơn điệu 1.2.1 Toán tử đơn điệu 1.2.2 Phương trình với toán tử đơn điệu 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Chương 2.1 Nghiệm hiệu chỉnh tốc độ hội tụ Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn ®iÖu 22 22 22 26 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 28 2.1.1 HiƯu chØnh tr­êng hỵp nhiễu vế phải 2.1.2 Hiệu chỉnh trường hợp tổng quát 2.2 2.2.1 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường hợp nhiễu vế phải 28 2.2.2 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh tr­êng hỵp 30 KÕt qu¶ sè 32 tæng quát 2.3 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Phụ lục 38 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại Học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình cô giáo Tiến Sỹ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp q b¸u cđa c¸c gi¸o s­ cđa ViƯn To¸n häc, Viện Công nghệ Thông tin thuộc viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô giáo Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đà quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đà theo sát động viên vượt qua khó khăn sống để có điều kiện tốt nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009 Tác giả Nguyễn Thị Vân Mở đầu Rất nhiều toán thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa toán (khi kiện thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Do tính không ổn định toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số lời giải Vì nảy sinh vấn đề tìm phương pháp giải ổn định cho toán đặt không chỉnh cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần tới nghiệm toán ban đầu Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh cho toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tử Ax = f A : X X gian Banach phản xạ X (0.1) toán tử đơn điệu đơn trị vào không gian liên hợp X h-liên tục từ không X Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài trình bày hai chương Chương giới thiệu số kiến thức toán đặt không chỉnh, phương trình toán tử đơn điệu, định nghĩa, định lý bổ đề quan trọng giải tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài Đồng thời trình bày khái niệm toán tử hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh trường hợp tổng quát Trong chương nghiên cứu hội tụ tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.1) hai trường hợp: nhiễu vế phải f nhiễu toán tử A vế phải f phần cuối chương hai ví dụ kết số giải hệ phương trình đại số tuyến tính phương trình tích phân Fredholm loại I Một số ký hiệu chữ viết tắt X không gian Banach thực X không gian liên hợp Rn không gian Euclide tập rỗng x := y x định nghĩa y x với x tồn I ánh xạ đơn vị AT ma trËn chun vÞ cđa ma trËn a∼b a tương đương với b A toán tử liên hợp toán tử D(A) miền xác định toán tử R(A) miền giá trị toán tử xk x dÃy {xk } héi tơ m¹nh tíi x xk * x d·y {xk } héi tơ u tíi x X n chiỊu x x A A A A Ch­¬ng Bài toán đặt không chỉnh phương trình toán tử đơn điệu 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh Chúng trình bày khái niệm toán đặt không chỉnh sở xét toán dạng phương trình toán tử A(x) = f, A:XY Banach Y,f (1.1) toán tử từ không gian Banach phần tử thuộc X vào không gian Y Sau định nghĩa Hadamard (xem [1] tài liệu dẫn): Định nghĩa 1.1.1 Cho A toán tử từ không gian X vào không gian Y Bài toán (1.1) gọi toán đặt chỉnh (well-posed) 1) phương trình A(x) = f có nghiƯm víi mäi f ∈Y; 2) nghiƯm nµy nhÊt; 3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Nếu điều kiện không thoả mÃn toán (1.1) gọi toán đặt không chỉnh (ill-posed) Đối với toán phi tuyến điều kiện thứ hai không thoả mÃn Do hầu hết Vì S0 tập lồi, nên tx1 + (1 t)x ∈ S0 , < t < Do ®ã, U s [(tx1 + (1 − t)x) − x∗ ], tx1 + (1 − t)x − x1 = U s (tx1 + (1 − t)x − x∗ ), (1 − t)(x − x1 ) ≥ 0, ∀x ∈ S0 hay (1 − t) U s (tx1 + (1 − t)x − x∗ ), x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ S0 (1 − t), råi cho t ta nhận Chia hai vế cho U s (x1 − x∗ ), x − x1 Bất đẳng thức tương đương với kx1 − x∗ k ≤ kx − x∗ k, ∀x S0 Do phần tử mạnh đến x S0 thỏa mÃn (2.5) nhất, nên d·y {xδα } héi tô x1 = x0 Nhờ kết này, ta xác định toán tử hiệu chỉnh dựa vào việc giải phương trình (2.3) phụ thuộc T (f, ) = () để nghiệm phương trình hội tụ tới nghiệm phương trình toán tử đặt không chỉnh (2.1) Vì lẽ mà phương trình (2.3) gọi phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (2.1) 2.1.2 Hiệu chỉnh trường hợp tổng quát Bây ta xét trường hợp tổng quát toán tử f biết xấp xỉ Tức thay cho cho A ta chØ biÕt xÊp xØ Ah f ta chØ biết f A vế phải thỏa mÃn (2.2) thay tháa m·n kAh (x) − A(x)k ≤ hg(kxk), h 0, 26 (2.7) từ X vào g(t) hàm giới nội Ah toán tử đơn điệu h-liên tục X Ta có kết sau (xem [3]) Định lý 2.1.2 Với α > 0, h > vµ fδ ∈ X , phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + U s (x − x∗ ) = fδ (2.8) δ h xτα , τ = (h, δ) Ngoµi nÕu α, , → 0, th× nghiƯm α α τ hiƯu chØnh {x } hội tụ đến phần tử x0 S0 tháa m·n (2.5) cã nhÊt nghiƯm Chøng minh T­¬ng tự chứng minh Định lý 2.1.1, phương trình (2.8) xτα , τ = (h, δ) Ta sÏ chøng minh {x } hội h tụ đến phần tử x0 ∈ S0 tháa m·n (2.5) α, , → Cũng chứng minh Định lí 2.1.1 tõ (2.1) vµ (2.8) ta cã Ah (xτα ) − A(x) + f0 − fδ , xτα − x + α U s (xτα − x∗ ) − U s (x − x∗ ), xτα − x = α U s (x − x∗ ), x − xτα cã nghiƯm nhÊt, ký hiƯu lµ Tõ tính chất (2.4) ánh xạ Us suy αmU kxτα − xks ≤ α U s (x − x∗ ), x − xτα + Ah (xτα ) − Ah (x) + Ah (x) − A(x) + f0 − fδ , x − xτα Do A Ah toán tử đơn điệu nên từ bất đẳng thức suy
mU kxτα − xks ≤ α U s (x − x∗ ), x − xτα + hg(kxk) + δ kx − x k Chia hai vế bất đẳng thức cho ta hg(kxk) + kx − xτα k mU kxτα − xks ≤ U s (x − x0 ), x − xτα + α (2.9) Các lập luận lại tương tự chứng minh Định lý 2.1.1 27 2.2 Tốc độ hội tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh ë mơc 2.1.1 ta ®· nghiệm hiệu chỉnh x thu từ phương Vấn đề đặt hội tụ nhanh chậm nào, = () đà chọn? trình (2.3) hội tụ đến phần tử ã x0 nghiệm (2.1), Hệ thức sau sử dụng đánh giá tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh: cho a, b, c số không âm đủ bé, ap ≤ baq + c th× ta cã ap = O bp/(p−q) + c • α,
p > q > NÕu (xem [4]) ρ(h) Qui ­íc viÕt v« cïng bé: Giả sử đại lượng vô bé h → NÕu tån t¹i mét sè α > vµ h»ng sè M > cho |ρ(h)| ≤ M hα th× ta viÕt ρ(h) = O(hα ) Viết có nghĩa h nhỏ (h) đại lượng nhỏ h (h) tiến đến số không chậm M h 2.2.1 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường hợp nhiễu vế phải Trong mục trình bày kết tốc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh víi ®iỊu kiƯn toán tử A thoả mÃn 0 kA(y) A(x) − A (x)(y − x)k ≤ τ˜ky − xkkA (x)(y x)k với y thuộc lân cận S0 x S0 , > số (xem [4]) Định lý 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thoả mÃn: 28 (2.10) i) A khả vi Fréchet lân cận S0 với (2.10) x = x0 ; ii) Tồn phần tử zX cho A (x0 )∗ z = U s (x0 − x∗ ); iii) Tham sè hiÖu chØnh α ®­ỵc chän cho α ∼ δ p , < p < Khi ®ã, kxδα − x0 k = O(δ θ1 ),  θ1 =  1−p p , s1 s ii) định lý suy s mU kxδα − x0 k ≤ U s (xδα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xδα − x0 fδ − f, xδα − x0 + U s (x0 − x∗ ), x0 − xδα (2.11) ≤ α δ ≤ kxδα − x0 k + z, A (x0 )(x0 − xδα ) α Chøng minh Tõ (2.1), (2.3), (2.4) điều kiện Mặt khác, z, A0 (x0 )(x0 − xδα ) ≤ kzkkA0 (x0 )(x0 − xδα )k, đây, 0 kA (x0 )(x x0 )k ≤ kA(xδα ) − A(x0 )k + τ˜kxδα − x0 kkA (x0 )(xδα − x0 )k ≤ kA(xδα ) − fδ k + δ + τ˜kxδα − x0 kkA (x0 )(xδα − x0 )k Khi α, δ ®đ nhỏ kx x0 k 21 , nên
kA (x0 )(xδα − x0 )k ≤ αkxδα − x∗ ks−1 + δ V× vËy, tõ (2.11), (2.12), điều kiện iii) p < δ < ta cã s mU kxδα − x0 k ≤ C1 δ 1−p kxδα − x0 k + C2 p Ci , i = 1, số dương Sử dụng hệ thøc a, b, c ≥ 0, p > q, ap ≤ baq + c ⇒ ap = O(bp/(p−q) + c) 29 (2.12) ta thu kx x0 k = O( ), định lý chứng minh Chú ý 2.2.1 §iỊu kiƯn (2.10) cã thĨ thay b»ng kA(y) − A(x) − A (x)(y − x)k ≤ τ˜kA(y) A(x)k với y thuộc lân cận cđa S0 vµ x ∈ S0 ThËt vËy, bất đẳng thức (2.12) thay kA0 (x0 )(xδα − x0 )k ≤ kA(xδα ) − f k + kA(xδα ) − A(x0 ) − A0 (x0 )(xδα − x0 )k   δ ≤ (˜ τ + 1) kA(xα ) − fδ k + δ   δ s−1 ≤ (˜ τ + 1) αkxα − x∗ k + kết luận định lý không thay ®ỉi 2.2.2 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chỉnh trường hợp tổng quát Bây ta nghiên cøu tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh trường hợp toán tử A cho xấp xỉ Ah thỏa mÃn (2.7) thay điều kiện (2.10) b»ng 0 kAh (y) − Ah (x) − Ah (x)(y − x)k ≤ τ˜ky − xkkAh (x)(y − x)k (2.13) Khi ta có kết sau (xem [4]) Định lý 2.2.2 i) Ah Giả sử điều kiện sau thoả mÃn: khả vi Fréchet lân cận x = x0 ; 30 S0 với (2.13) ii) Tồn phần tử zh X cho Ah (x0 )∗ zh = U s (x0 − x∗ ); iii) Tham sè hiÖu chØnh chọn cho ( + h)p , < p < Khi ®ã, (
kxτα − x0 k = O (δ + h)θ2 , θ2 = ) 1−p p , 1−s s ii) định lý ta có mU kx x0 ks ≤ U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 ≤ fδ − Ah (xτα ), xτα − x0 + U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα α ≤ (δ + hg(kx0 k))kxτα − x0 k + zh , Ah (x0 )(x0 − xτα ) Chứng minh Từ (2.1), (2.8) điều kiÖn (2.14) Ta cã zh , A0h (x0 )(x0 − xτα ) ≤ kzh kkA0h (x0 )(xτα − x0 )k, kAh (x0 )(x x0 )k ≤ kAh (xτα ) − Ah (x0 )k + τ˜kxτα − x0 kkAh (x0 )(xτα − x0 )k ≤ kAh (xτα ) − fδ k + δ + hg(kx0 k) + τ˜kxτα − x0 kkAh (x0 )(xτα − x0 )k Do kxτα − x0 k → với , h đủ nhỏ, ta nhận
kAh (x0 )(x0 − xτα )k ≤ αkxτα − x∗ ks−1 + δ + hg(kx0 k) V× vËy, tõ (2.14) suy (δ + hg(kx0 k))kxτα − x0 k α
+ 2kzh k αkxτα − x∗ ks−1 + δ + hg(kx0 k) mU kxτα − x0 ks ≤ 31 Do α ∼ (δ + h)p , < p < tõ bÊt ®¼ng thøc cuèi cïng suy mU kxτα − x0 ks ≤ C1 (δ + h)1−p kxτα − x0 k + C2 (δ + h)p Còng nh­ chøng minh Định lý 2.2.1 ta có
kx x0 k = O ( + h)2 Định lý chứng minh 2.3 Kết số Trong mục đưa ví dụ kết sè minh häa cho tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiệu chỉnh hệ phương trình đại số tuyến tính không gian không gian L2 [0, 1] RM phương trình tích phân Fredholm loại I Chương trình thực nghiệm viết ngôn ngữ MATLAB 7.0 đà thử nghiệm chạy máy tính ACER 1.73 GHz Ram 504 Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình toán tử (2.1) với A ma trận vuông cấp M = xác định 1.0001 0.0001 0   −0.0001 1.0002 −0.0001  0      A=5∗ −0.0001 1.0002 −0.0001       0 −0.0001 1.0002 −0.0001   0 −0.0001 1.0002 −0.0001 f = (0 0 0)T ∈ R5 A ma trận đối xứng, xác định không âm detA = nên phương trình (2.1) toán đặt không chỉnh Ta có hệ phương trình đại 32