Áp dụng phép biến đổi laplace giải bài toán biên ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Hữu Việt ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI BÀI TỐN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Phép biến đổi Laplace 1.1 Phép biến đổi Laplace hàm số thông thường 1.1.1 Định nghĩa hàm gốc 1.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 1.1.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 1.1.4 Biến đổi Laplace đạo hàm hàm gốc 1.1.5 Biến đổi Laplace tích chập 1.1.6 Phép biến đổi Laplace ngược 1.2 Hàm suy rộng 1.2.1 Định nghĩa hàm suy rộng 1.2.2 Các ví dụ 1.2.3 Các phép tính khơng gian hàm suy rộng 1.3 Hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach 1.4 Biến đổi Laplace với hàm suy rộng 1.4.1 Biến đổi Laplace hàm khả vi vơ hạn có giá compact 1.4.2 Biến đổi Laplace không gian hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach 1.4.3 Công thức nghịch đảo 1.4.4 Biến đổi Laplace tích chập hai hàm suy rộng 1.4.5 Điều kiện hàm ảnh 5 12 14 17 18 18 19 20 20 21 21 22 24 25 27 Chương Bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 30 2.1 Đặt toán 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.1 Đặt toán tổng quát 2.1.2 Trường hợp hệ số phương trình không phụ thuộc vào t 2.2 Áp dụng biến đổi Laplace giải toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 2.2.1 Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp ge = 2.2.2 Trường hợp ge 6= 2.3 Một vài ví dụ 2.3.1 Nghiệm phương trình truyền nhiệt (Ω = Rn ) 2.3.2 Bài toán phân bố nhiệt độ bên kim loại 30 32 34 34 37 38 38 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS - TS Hà Tiến Ngoạn Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thành kính đến thầy Thầy không hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà thầy cịn thơng cảm tạo điều kiện động viên em suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy giáo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái Ngun thầy giáo Viện Tốn học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam dạy bảo em tận tình suốt trình học tập làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang Hà Giang tạo điều kiện cho suốt trình học tập làm luận văn Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2011 Học viên Nguyễn Hữu Việt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Luận văn trình bày tổng quan sở phép biến đổi Laplace hàm số biến t xác định nửa trục dương, có độ tăng cấp mũ hữu hạn phụ thuộc vào tham số vectơ x Trên sở đó, dùng phép biến đổi Laplace công cụ để luận văn trình bày việc nghiên cứu tính giải tính nghiệm tốn biên-ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai, hệ số phương trình khơng phụ thuộc vào biến thời gian t Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [5] Bố cục luận văn gồm chương: • Chương Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace hàm số thông thường, nhắc lại khái niệm hàm suy rộng, hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach phép biến đổi Laplace hàm suy rộng nhận giá trị khơng gian Banach • Chương Luận văn trình bày tốn biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có hệ số khơng phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng biến đổi Laplace để biểu diễn nghiệm tốn số ví dụ áp dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép biến đổi Laplace 1.1 1.1.1 Phép biến đổi Laplace hàm số thông thường Định nghĩa hàm gốc Định nghĩa 1.1 Hàm biến thực f (t) gọi hàm gốc thoả mãn ba điều kiện sau : 1) f (t) = với t < Điều đặt thực tế t thường biến thời gian 2) f (t) liên tục khúc miền t ≥ Điều có nghĩa lấy khoảng (a,b) nửa trục thực t ≥ 0, chia thành số hữu hạn khoảng nhỏ, cho khoảng nhỏ f (t) liên tục mút khoảng nhỏ có giới hạn phía 3) f (t) khơng tăng nhanh hàm mũ t → +∞ Nghĩa tồn M > 0, σ0 > cho |f (t)| ≤ M eσ0 t , ∀t > 0, (1.1) σ0 gọi số tăng f (t) Rõ ràng σ0 số tăng số σ1 > σ0 số tăng Ví dụ 1.1 Hàm bước nhảy đơn vị  η (t) = t < t ≥ hàm gốc η(t) liên tục với t ≥ không tăng nhanh hàm mũ với số tăng σ0 = Ví dụ 1.2 Các hàm sơ cấp f (t) = tm , f (t) = sin t, f (t) = cos t liên tục không tăng nhanh hàm mũ chưa phải hàm gốc khơng thoả mãn điều kiện 1) Định nghĩa 1.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tuy nhiên hàm số sau :  f (t)η(t) = t < f (t) t ≥ hàm gốc 1.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace (hay cịn gọi tốn tử Laplace) định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 Giả sử f (t) hàm gốc xác định với t > Biến đổi Laplace hàm số f (t) định nghĩa ký hiệu Z+∞ F (p) = L{f (t)}(p) = e−pt f (t) dt (1.2) Định lý 1.1 Nếu f (t) hàm gốc với số tăng σ0 tồn biến đổi Laplace Z+∞ F (p) = L{f (t)}(p) = e−pt f (t) dt xác định với số phức p = σ + iτ cho σ > σ0 lim F (p) = Re(p)→∞ Hơn hàm biến phức F (p) giải tích miền Re(p) > σ0 với đạo hàm Z+∞ F (p) = (−t)e−pt f (t) dt (1.3) Chứng minh Với p = σ + iτ cho σ > σ0 ta có f (t) e−pt 13 Chứng minh Ta có Z+∞ L{f (t)}(p) = e−pt f (t)dt Áp dụng cơng thức tính phân phần ta Z+∞ Z+∞ +∞ +∞ e−pt f (t)dt = e−pt f (t) − f (t)(−pe−pt )dt = e−pt f (t) 0 Do |f (t)| ≤ M eσ0 t , nên Re(p) = σ > σ0 |f (t)e−pt | ≤ M e(σ−σ0 )t → t → +∞ Ta có −pt e +∞ f (t) = −f (0) Thay vào ta Z+∞ e−pt f (t)dt = pF (p) − f (0) L{f (t)}(p) = b Đạo hàm cấp cao : Định lý 1.3 Giả sử hàm f(t) có đạo hàm đến cấp n f (t), f (t), f (n) (t) hàm gốc Khi ta có L{f (n) (t)}(p) = pn F (p) − pn−1 f (0) − pf (n−2) f (0) − − f (n−1) (0) (1.10) Chứng minh Theo Định nghĩa 1.2 ta có Z+∞ L{f (n) (t)}(p) = e−pt f (n) (t)dt Áp dụng công thức (1.9) cho L{f (n) (t)}(p) ta L{f (n) (t)}(p) = pL{f (n−1) }(p) − f (n−1) (0) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Tương tự áp dụng công thức (1.9) cho L{f (n−1) (t)}(p) ta L{f (n) (t)}(p) = p2 L{f (n−2) }(p) − pf (n−2) (0) − f (n−1) (0) Áp dụng cơng thức (1.9) liên tiếp cuối ta L{f (n) (t)}(p) = pn F (p) − pn−1 f (0) − pf (n−2) f (0) − − f (n−1) (0) 1.1.5 Biến đổi Laplace tích chập a Định nghĩa tích chập hai hàm gốc Định nghĩa 1.3 Tích chập hai hàm gốc f (t) g(t) với t ≥ hàm số ký hiệu xác định công thức Zt (f ∗ g)(t) = f (τ )gτ (t − τ )dτ (1.11) Ví dụ 1.15 Cho f (t) = g(t) = sin t, ta có : Zt (f ∗ g)(t) = sin(t − τ )dτ = cos(t − τ )|t0 = − cos t b Tính chất Tính chất 1.6 Tích chập có tính giao hốn Cho hai hàm số f (t) g(t) với t > ta có (f ∗ g)(t) = (g ∗ f )(t) (1.12) Chứng minh Theo Định nghĩa 1.3 ta có Zt (f ∗ g)(t) = f (τ )g(t − τ )dτ Đặt τ1 = t − τ ⇒ dτ1 = −dτ Zt Zt ⇒ (f ∗ g)(t) = f (τ )g(t − τ )du = f (t − τ1 )g(τ1 )dτ1 = (g ∗ f )(t) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 t Ví dụ 1.16 Tính tích chập e ∗ t = Rt eτ (t − τ )dτ Tính tích phân bên vế phải phương pháp tích phân phần ta et ∗ t = Zt eτ (t − τ )dτ = t(et − 1) − (tet − et + 1) = et − t − Tính chất 1.7 Tích chập có tính chất kết hợp Cho hàm số f (t), g(t) h(t) với t > ta có (f ∗ (g ∗ h))(t) = ((f ∗ g) ∗ h)(t) (1.13) Tính chất 1.8 Nếu f (t) g(t) hai hàm gốc tích chập chúng (f ∗ g)(t) hàm gốc c Biến đổi Laplace tích chập Định lý 1.4 Nếu F (p) = L{f (t)}(p) G(p) = L{g(t)}(p) ta có L{f ∗ g}(p) = F (p)G(p) (1.14) Chứng minh Theo Định nghĩa 1.3 ta có Zt f (τ )g(t − τ )dτ (f ∗ g)(t) = Z+∞ Zt ⇒ L{f ∗ g} = e−pt dt f (τ )g(t − τ )dτ 0 Xét tích phân bên vế phải Vì ứng với t cố định tích phân theo τ lấy từ đến t, sau cho t biến thiên từ đến +∞ nên vế phải tích phân π lặp lấy miền quạt G: < arg(t + jτ ) < Vì Re(p) > σ + tính chất tích chập, tích phân lặp hội tụ tuyệt đối Do vậy, ta thay đổi thứ tự lấy tích phân Z+∞ Zt Z+∞ Z+∞ e−pt dt f (τ )g(t − τ )dτ = f (τ )dτ e−pt g(t − τ )dτ 0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên t http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Đổi biến t1 = t − τ ta có Z+∞ Z+∞ e−pt g(t − τ )dτ = e−pt e−pt1 g(t1 )dt1 τ Vậy Z+∞ Zt Z+∞ Z+∞ e−pt dt f (τ )g(t − τ )dτ = e−pτ f (τ )dτ e−pt1 g(t1 )dt1 = F (p)G(p) 0 0 Nghĩa L{f ∗ g} = F (p)G(p) Ví dụ 1.17 L{t ∗ sin t} = L{t}L{sin t} = 1 = p2 p2 + p2 (p2 + 1) d Cặp công thức Duhamel Định lý 1.5 Nếu F (p) = L{f (t)} G(p) = L{g(t)} ta có cặp công thức Duhamel sau : pF (p)G(p) = L{f (0)g(t) + f ∗ g} (1.15) pF (p)G(p) = L{g(0)f (t) + f ∗ g } (1.16) Chứng minh Ta cần chứng minh công thức (1.15) tính chất đối xứng ta suy cơng thức (1.16) Theo công thức đạo hàm hàm gốc (1.9) ta có L{f (t)} = pF (p) − f (0) Áp dụng cơng thức (1.14), tích chập hai hàm số f (t) g(t) L{f ∗ g} = L{f }L{g} = [pF (p) − f (0)]G(p) Mặt khác ta có L{f (0)g(t)} = f (0)G(p) Cộng hai vế hai đẳng thức với ta L{f (0)g(t)} + L{f ∗ g} = f (0)G(p) + [pF (p) − f (0)]G(p) = pF (p)G(p) ⇒ L{f (0)g(t) + f ∗ g} = pF (p)G(p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 1.1.6 Phép biến đổi Laplace ngược Như ta biết, phép biến đổi Laplace biến hàm gốc cho trước thành hàm ảnh Trong mục ta xét toán ngược lại Tức cho trước hàm ảnh, ta tìm hàm gốc Tuy nhiên, khơng phải hàm hàm ảnh Ta điều kiện để hàm hàm ảnh, nghĩa tồn hàm gốc a Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa 1.4 Cho hàm F (p), tồn hàm gốc f (t) cho L{f (t)}(p) = F (p) ta nói f (t) biến đổi Laplace ngược F (p) ký hiệu f (t) = L−1 {F (p)} (1.17) Ví dụ 1.18 Cho hàm f (t) = t, biến đổi Laplace f (t) Z+∞ F (p) = L{t}(p) = e−pt tdt = p Do −1  f (t) = L p2  b Quan hệ gốc ảnh Định lý 1.6 Nếu f (t) hàm gốc với số tăng σ0 L{f (t)} = F (p) điểm liên tục t hàm f (t) ta có f (t) = 2πi σ+i∞ Z ept F (p)dp, (1.18) σ−i∞ tích phân vế phải lấy đường thẳng Re(p) = σ theo hướng từ lên, với σ số thực lớn σ0 Cơng thức (1.18) gọi công thức nghịch đảo Mellin Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý c Điều kiện đủ để hàm có biến đổi ngược Định lý 1.6 cho thấy hàm phức giải tích có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 biến đổi ngược Chẳng hạn hàm F (p) = p2 khơng thể ảnh hàm gốc lim F (p) = ∞ Re(p)→∞ Định lý sau cho ta điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi ngược Định lý 1.7 Giả sử hàm phức F (p) thoả mãn ba điều kiện sau : i) F (p) giải tích nửa mặt phẳng Re(p) > σ0 ii) |F (p)| ≤ MR với p thuộc đường tròn |p| = R lim MR = R→∞ iii) Tích phân σ+i∞ R F (p)dp hội tụ tuyệt đối σ−i∞ Khi F (p) có biến đổi ngược hàm gốc f (t) cho công thức f (t) = 2πi σ+i∞ Z ept F (p)dp σ−i∞ 1.2 1.2.1 Hàm suy rộng Định nghĩa hàm suy rộng Định nghĩa 1.5 Cho tập D = D(R) gồm tất hàm khả vi vô hạn có giá compact R Khi hội tụ D định nghĩa sau: Dãy {ϕn }∞ n=1 ⊂ D gọi hội tụ tới hàm ϕ D thoả mãn điều kiện : i) Tồn tập compact K ⊂ R cho suppϕn ⊂ K, với ∀n ii) ∀k ∈ N: Dk ϕn (t) hội tụ đến Dk ϕ(t) K Tập D với hội tụ gọi không gian hàm Định nghĩa 1.6 Gọi D0 = D0 (R) tập gồm tất phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian hàm D Tập D0 với hội tụ yếu D0 gọi khơng gian hàm suy rộng Trong hội tụ yếu D0 định nghĩa sau : Dãy (fn )n=1,2, ∈ D0 gọi hội tụ f ∈ D0 (viết fn → f n → ∞ D0 ) ∀ϕ ∈ D hfn , ϕi → hf, ϕi n → ∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 1.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1.19 Giả sử f hàm thuộc L1loc (R), tức hàm khả tích địa phương Khi phiếm hàm tuyến tính Z f (ϕ) = hf, ϕi = f (t)ϕ(t)dt, (1.19) R với ϕ(t) ∈ D(R), hàm suy rộng thuộc D0 (R) Chứng minh Giả sử suppϕ ⊂ [−A, A] Khi tích phân ZA hf, ϕi = f (t)ϕ(t)dt −A tồn ϕ(t) hàm bị chặn f (t) hàm khả tích [−A, A] Cho ϕn (t) → D(R) 1) Tồn tập compact K ⊂ R, suppϕn ⊂ K 2) sup |ϕn (t)| → K Ta có