Kián thực cỡ sð
Phữỡng trẳnh Newton
Trong lý thuyết cỡ học cơ học, một chất điểm được mô tả bằng một hàm trong không gian có ba chiều Hàm này xác định vị trí của chất điểm theo biến thời gian Tốc độ của chất điểm được biểu diễn bằng một hàm khác, cũng theo biến thời gian, cho thấy sự thay đổi vị trí của chất điểm Cuối cùng, gia tốc của chất điểm được xác định thông qua hàm tốc độ, phản ánh sự thay đổi tốc độ theo thời gian.
X²t chĐt iºm chuyºn ởng trong mởt trữớng ngoÔi lỹc:
F : R 3 →R 3 , (1.4) trong õ F(x) l lỹc tĂc dửng lản chĐt iºm tÔi và trẵ x Theo ành luêt
II Newton, tÔi mội iºm x trong khổng gian, lỹc tĂc dửng lản chĐt iºm bơng tẵch cừa khối lữủng v gia tốc, nghắa l : mx 00 (t) =F(x(t)),∀t∈ R + (1.5)
Nhữ vêy, mối quan hằ giỳa h m x(t) v cĂc Ôo h m cừa nõ trong trữớng hủp n y ữủc gồi l Phữỡng trẳnh vi phƠn.
Phương trình (1.5) là phương trình vi phân cấp hai Chính xác hơn, ta có thể mở rộng một hệ phương trình vi phân và cự một hướng tọa độ, ta có một phương trình tường ứng Trong trường hợp này, x là biến phụ thuộc, còn t là biến độc lập Ta có thể tổng số lượng biến phụ thuộc bằng cách tham khảo vào các biến phụ thuộc và x²t (x, t) ∈ R.
Ta có hệ phương trình điều kiện mở: x'0(t) = v(t), v'0(t) = 1 mF(x(t)) Để tìm nghiệm cho các hàm x(t) thỏa mãn các điều kiện này, ta cần xác định sự chuyển động của hệ thống trong không gian lớn hơn Trong một vùng lớn, lực hấp dẫn tác động lên vật thể được coi như không đáng kể so với lực khác trong hệ.
Tứ phữỡng trẳnh cuối ta cõ ữủc hằ phữỡng trẳnh vi phƠn:
Tián h nh lĐy tẵch phƠn hai lƯn theo t phữỡng trẳnh Ưu tiản trong (1.8), ta ữủc: x 1 (t) = C 1 +C 2 t trong õ C 1 , C 2 l cĂc hơng số.
TÔi t = 0, C 1 = x 1 (0), C 2 = v 1 (0), tữỡng tỹ vợi hai phữỡng trẳnh cỏn lÔi, ta thu ữủc: x(t) = x(0) +v(0)t− g
Do õ, to n bở trÔng thĂi (trữợc v sau) cừa chĐt iºm ữủc xĂc ành duy nhĐt bơng cĂch xĂc ành và trẵ ban Ưu x(0) v vên tốc ban Ưu v(0).
Tứ vẵ dử n y, ta nhận thấy rõ ràng sự hiện diện của các phương trình vi phân luôn có thể tách biệt Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể áp dụng một cách trực tiếp Nếu ta điều chỉnh một cách hợp lý với lực hấp dẫn, thì việc phân tích sẽ trở nên hiệu quả hơn.
|x| 3 , γ, M > 0, (1.10) khi õ ta thu ữủc mởt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn:
PhƠn loÔi phữỡng trẳnh vi phƠn
U → V cõ Ôo h m liản tửc án cĐp k Ta kẵ hiằu:
Mởt phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng cõ dÔng:
F ∈ C(U), U l mởt têp hủp mð, U ⊂ R k+2 , t l bián ởc lêp, x l bián phử thuởc Ôo h m cao nhĐt cừa x xuĐt hiằn trong F ữủc gồi l cĐp cừa phữỡng trẳnh vi phƠn.
Vợi I ⊆J l mởt khoÊng, nghiằm cừa (1.12) l h mφ ∈ C k (I) sao cho:
F(t, φ(t), φ (1) (t), , φ (k) (t)) = 0, ∀t ∈ I Các phương trình có dạng (1.12) rất khó giải quyết Do đó, giá trị F có thể giải được với điều kiện cao nhất của x, khi phương trình (1.12) trở thành phương trình vi phân có dạng: x (k) = f(t, x, x (1), , x (k−1)) Theo định lý, phương trình này có thể giải được lớn hơn khi điều kiện (t, y) ∈ U nếu đạo hàm bậc cao nhất ∂y/∂F k(t, y) ≠ 0 Đây là dạng phương trình vi phân mà chúng ta sẽ xem xét trong thời gian tới Cho x: R → R n, khi đó, hệ phương trình vi phân tổng thể có dạng.
Hằng phương trình vi phân tuyện tính có dạng x_i(k) = g_i(t) + Xf_i,j,l(t)x_l(j) Hằng (1.17) được gọi là hằng phương trình vi phân tuyện tính thuần nhất khi g_i(t) ≡ 0 Hơn nữa, bắt đầu từ hằng này, có thể xây dựng một hằng cụ thể để giải quyết và hằng cấp mởt mới thông qua việc thay đổi biến phụ thuộc Nếu y = (x, x(1), , x(k−1)), thì ta có thể thiết lập hằng phương trình vi phân cấp mởt mới.
Náu thảm t v o bián phử thuởc bơng cĂch °t z = (t, y) l m cho vá phÊi ởc lêp vợi t thẳ ta ữủc hằ phữỡng trẳnh:
Phữỡng trẳnh ặ-tổ-nổm cĐp mởt
X²t phữỡng trẳnh x 0 = f(x), x 0 (0) = x 0 , f ∈ C(R) (1.20) Náu f(x) 6= 0, tứ (1.20) suy ra: x 0 f(x) = 1, lĐy tẵch phƠn hai vá, ta ữủc:
0 x dy f (y), nghiằm cừa (1.20) phÊi thọa mÂn F(x(t)) = t Do õ, ta thu ữủc nghiằm duy nhĐt: φ(t) =F −1 (t), φ(0) = F −1 (0) = x 0 (1.22) trong â F −1 (t) l ¡nh x¤ nghàch £o cõa F(t).
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét khoảng thời gian tối thiểu trong một hàm số f(x) tại điểm x₀ Nếu f(x₀) > 0, điều này cho thấy hàm số f dương trong khoảng (x₁, x₂) xung quanh x₀, ngược lại nếu f(x₀) < 0, hàm số f sẽ âm trong khoảng đó Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số trong các khoảng lân cận của x₀.
T + = lim x→x 2 F(x) ∈ (0,∞], T − = lim x→x 1 F(x) ∈ [−∞,0) (1.23) Khi â φ ∈ C 1 (T − , T + ) v t→Tlim+ φ(t) = x 2 , lim t→T − φ(t) = x 1 (1.24)
Trong trữớng hủp °c biằt, φ ữủc xĂc ành vợi mồi t > 0 khi v ch¿ khi:
T + Z x 0 x 2 dy f(y) = +∞, (1.25) cõ nghắa l , náu f (x) 1 khổng tẵch hủp gƯn x 2 Tữỡng tỹ, φ ữủc xĂc ành vợi mồi t < 0 khi v ch¿ khi f (x) 1 khổng tẵch hủp gƯn x 1
Trong trường hợp T+ < ∞, có hai trường hợp xảy ra: học x2 = ∞ hoặc học x2 < ∞ Trong trường hợp thực nghiệm, nếu φ phân kì đến +∞ thì không có cách nào để mở rộng nó ra ngoài T+ Trong trường hợp thứ hai, nếu φ ôt án đến x2 tại thời điểm T+, chúng ta có thể mở rộng như sau: nếu f(x2) > 0 thì x2 không thể chạm tối đa và chúng ta có thể tổng hợp nó thành phần mở rộng cần thiết Ngược lại, nếu f(x2) = 0, chúng ta có thể mở rộng φ bằng cách thiết lập φ(t) = x2 với t ≥ T+ Tuy nhiên, trong trường hợp này, φ có thể không phải là phần mở rộng duy nhất như chúng ta thấy trong dữ liệu Rõ ràng, lớp liên tục cũng áp dụng cho t < 0.
Vẵ dử 1.3.1 Náu f(x) =x, x 0 > 0, ta cõ (x 1 , x 2 ) = (0,∞) v
Do õ, nghiằm n y ữủc xĂc ành vợi mồi t ∈ R Chú ỵ rơng Ơy l mởt nghiằm vợi mồi x 0 ∈ R.
Vẵ dử 1.3.2 Cho f(x) = x 2 , x 0 > 0 Ta cõ (x 1 , x 2 ) = (0,∞) v
Figure 1.1: °c biằt, nghiằm n y khổng cỏn xĂc ành vợi mồi t ∈ R Hỡn nỳa, do lim t↑1/x 0 φ(t) = ∞, nản khổng cõ cĂch n o º mð rởng nghiằm n y vợi t≥ T +
BƠy giớ ta xem x²t sỹ °c biằt cĂc nghiằm cừa f(x)? Ró r ng, náu f(x0) = 0, ta cõ nghiằm tƯm thữớng φ(t) = x 0 , (1.30) vợi iãu kiằn ban Ưu x(0) = x 0 Náu ta cõ
| Z x 0 x 0 +ε dyf(y)| < ∞, (1.31) thẳ ta cõ ữủc nghiằm khĂc cừa phữỡng trẳnh  cho l : ϕ(t) = F −1 (t), F(x) Z x 0 x dyf(y), (1.32) vợi ϕ(0) = x 0 khĂc vợi φ(t).
Vẳ vêy, vợi x 0 = 0 cõ mởt số nghiằm cõ thº thu ữủc bơng cĂch kát hủp nghiằm tƯm thữớng vợi cĂc nghiằm ð trản nhữ sau: φ(t) =˜
(1.35) Nghiằm φ˜ vợi t0 = 0 v t1 = 1 ữủc mổ tÊ dữợi Ơy:
Tứ cĂc vẵ dử nảu trản ta cõ kát luên:
• CĂc nghiằm cõ thº tỗn tÔi àa phữỡng trong miãn xĂc ành ối vợi bián t, ngay cÊ khi f l mởt h m số àp.
• CĂc nghiằm cõ thº khổng duy nhĐt.
Chú ỵ: Cõ mởt cĂch khĂc º giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn ban Ưu bơng phữỡng phĂp tĂch bián: x 0 = f(x)g(t) (1.36)
Nghiằm tữớng minh cừa phữỡng trẳnh vi phƠn
Chúng ta thường gặp phải những phương trình vi phân có thể giải quyết một cách rõ ràng Thật không may, không có công thức chung để giải phương trình vi phân Hơn nữa, việc tìm nghiệm tường minh gần như không thể, trừ trường hợp hợp phương trình đang xét có dạng cụ thể Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một số loại phương trình cấp một có thể giải quyết rõ ràng Một trong những trường hợp phổ biến là tìm nghiệm cho các biến số trong phương trình vi phân cấp một cho thấy một dòng có thể giải quyết Trong nhiều trường hợp, phương trình có thể giải được sẽ là:
Nghiằm cừa phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt x 0 = a(t)x (1.37) ữủc cho bði: φ(t) =x 0 A(t, t 0 ), A(t, s) = exp
Z s t a(s)ds, (1.38) v nghiằm cừa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt tữỡng ựng: x 0 = a(t)x+g(t), (1.39) ữủc cho bði φ(t) = x 0 A(t, t 0 ) +
Tiáp theo chúng ta chuyºn sang b i toĂn bián ời phữỡng trẳnh vi phƠn. Cho mởt iºm cõ tồa ở (t, x), ta cõ thº ời th nh tồa ở mợi (s, y) trong â: s = σ(t, x), y = η(t, x) (1.41)
Mởt hàm φ(t) cho sự biến đổi thành hàm ψ(t) bằng cách lối bọ tứ: s = σ(t, φ(t)), ψ = η(t, φ(t)) Thật không may, điều này không phải lúc nào cũng có thể xảy ra Trong bài viết này, chúng ta chú ý đến trường hợp đặc biệt của trạng thái biến đổi: s = σ(t), y = η(t, x).
(t = const, s = const) Biºu thà bián ời nghàch Êo bði: t = τ(s), x = ξ(s, y), (1.44) mởt ựng dửng ỡn giÊn cừa quy tưc chuội cho thĐy φ(t) thọa mÂn: x 0 = f(t, x) (1.45) khi v ch¿ khi ψ(s) = η(τ(s), φ(τ(s))) thọa mÂn: y 0 = τ 0 (∂η
Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét các phương trình có cấp độ cao hơn thông qua việc sử dụng các biến đổi τ = τ(s) và ξ = ξ(s, y) Các cổng thực trong bối cảnh này thường hỗ trợ việc tối ưu hóa các tính toán phức tạp, dẫn đến hiệu suất tốt hơn trong việc xử lý dữ liệu Cụ thể, công thức dy/ds = dy(t(s), x(t(s))) ds = ∂y cho thấy mối liên hệ giữa các biến và sự thay đổi của chúng theo thời gian.
∂x dx dt dt ds (1.47) BƠy giớ chúng ta hÂy nhẳn xem bián ời nhữ thá n o º giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn.
Mởt phữỡng trẳnh vi phƠn (phi tuyán) ữủc gồi l thuƯn nhĐt náu nõ câ d¤ng: x 0 = f(x t) (1.48) °t y = x t ,(t6= 0), tứ (1.47) bián phữỡng trẳnh cừa chúng ta th nh: y 0 = ∂y
Phữỡng trẳnh n y cõ thº tĂch ữủc Tứ (1.49) ta cõ: y 0 = f (y)−y t
LĐy tẵch phƠn hai vá v kát hủp mởt số bián ời, ta thu ữủc nghiằm cừa phữỡng trẳnh.
Tờng quĂt hỡn, x²t phữỡng trẳnh vi phƠn x 0 = f( ax+bt+ c αx+βt+γ) (1.50)
Cõ hai trữớng hủp xÊy ra Náuaβ−αb = 0, phữỡng trẳnh vi phƠn cõ dÔng: x 0 = ˜f(ax+ bt), (1.51) °t y = ax+ bt thẳ (1.51) bián ời th nh: y 0 = af˜(y) + b (1.52)
Náu aβ −αb 6= 0, chúng ta cõ thº sỷ dửng y = x−x 0 v s = t−t 0 bián ời (1.50) th nh phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt: y 0 = ˆf(ay +bs αy+ βs), (1.53) trong õ(x 0 , t 0 )l nghiằm duy nhĐt cừa hằax+by+c = 0, αx+βy+γ = 0.
Phương trình vi phân Bernoulli có dạng tổng quát như sau: \( x' = f(t)x + g(t)x^n \) với \( n \neq 0, 1 \) Nếu đặt \( y = x^{1-n} \), phương trình (1.54) trở thành phương trình tuyến tính: \( y' = (1-n)f(t)y + (1-n)g(t) \) Lưu ý rằng nếu \( n = 0 \) hoặc \( n = 1 \), phương trình sẽ trở thành phương trình tuyến tính và có thể giải một cách đơn giản.
Phương trình Riccati là phương trình có dạng: \( x' = f(t)x + g(t)x^2 + h(t) \) Việc giải phương trình này thường thực hiện thông qua việc biết một nghiệm cụ thể \( x_p(t) \) Để biến đổi phương trình Riccati sang phương trình tuyến tính, ta có thể sử dụng biến đổi \( y = 1/(x - x_p(t)) \) Kết quả là một phương trình tuyến tính: \( y' = -(f(t) + 2x_p(t)g(t)y - g(t)) \) Đây là một trong những phương pháp quan trọng để giải quyết các phương trình phi tuyến thông qua việc chuyển đổi sang dạng tuyến tính.
Chúng ta có thể sử dụng phần mềm toán học như Mathematica để giải phương trình vi phân Cụ thể, hãy xem xét phương trình vi phân sau: x' = sin(t)x.
Khi õ trong phƯn mãm Mathematica ta sỷ dửng cĂc lằnh sau:
Để giải bài toán với hàm số C[1] trong Mathematica, ta có thể sử dụng phương pháp x[t] → e^(-cos[t]) Phương pháp này cho phép chúng ta tìm ra các giá trị ngẫu nhiên và áp dụng điều kiện ban đầu một cách hiệu quả Ngoài ra, chúng ta cũng có thể giải bài toán gián đoạn bằng cách sử dụng các kỹ thuật số học.
Out[2] = x[t] →e 1−cos[t] v v³ ỗ thà cừa nõ bơng cĂch sỷ dửng:
PhƠn tẵch ành tẵnh phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt
Trong phần trữc, việc giải quyết vấn đề thông qua phương pháp cụ thể là rất quan trọng May mắn thay, trong một số tình huống, một giải pháp đơn giản có thể giúp làm rõ những khía cạnh phức tạp của vấn đề Ví dụ, nó có thể áp dụng trong một khu vực nhất định, nơi mà các yếu tố như quy mô và tính chất của vấn đề cần được xem xét kỹ lưỡng.
Trong tình huống có thể giải pháp rõ ràng, một phân tách anh tình có thể cung cấp một cái nhìn tổng quan hơn về cổng thực của một giải pháp Để giải bài toán này, chúng ta cần nhấn mạnh vào bài toán gián đoạn cấp một: x' = f(x), x(0) = x0, trong đó f ∈ C(R) sao cho nghiệm là duy nhất (và dĩ nhiên f ∈ C^1(R)) Phương pháp giải bài toán này đã được đề cập trong mục 1.3 Tuy nhiên, cho một hàm f tùy ý nào đó, chúng ta hoàn toàn có thể tính toán phần F(x) = ∫x f(t) dt.
Giải bài toán dy f(y) hoà hợp với điều kiện giám sát f(x(t)) = t là một thách thức quan trọng trong nghiên cứu toán học Một ví dụ điển hình là mô hình Logistic, được mô tả bằng phương trình x'(t) = (1−x(t))x(t)−h, thể hiện sự phát triển của một quần thể theo thời gian.
Phương trình (1.62) có thể giải được bằng cách tách biến, tạo ra một mối quan hệ rõ ràng giữa các biến Hàm số f(x) = (1−x)x−h cho thấy sự thay đổi của f(x) theo hướng n, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất và sự biến thiên của hàm này.
Náu chúng ta bưt Ưu vợi những nghiằm n y thẳ giÊi phĂp thọa mÂn vợi mồi t Nếu chúng ta bưt Ưu dữợi x 1 thẳ giÊi phĂp s³ giÊm v hởi tử án −∞, thì sẽ có những tác động đáng kể Khi bưt Ưu trản x 1 thẳ giÊi phĂp s³ tông v hởi tử án x 2, điều này cũng sẽ ảnh hưởng đến kết quả Cuối cùng, nếu bưt Ưu trản x 2 thẳ giÊi phĂp s³ giÊm v lÔi hởi tử án x 2, chúng ta sẽ thấy một sự thay đổi rõ rệt trong bối cảnh.
Vợi h = 1 4 thẳ hai nghiằm trũng nhau x1 = x2 những cĂc phƠn tẵch trản văn ữủc Ăp dửng.
Vợi h > 1 4 thẳ khổng cõ nghiằm n o v tĐt cÊ cĂc giÊi phĂp giÊm v hởi tử án −∞.
Vẳ vêy chúng ta cõ mởt bực tranh ho n ch¿nh ch¿ bơng cĂch x²t dĐu cừa f(x)! Hỡn nỳa, chúng ta cõ kát quÊ sau:
Bờ ã 1.5.2 X²t b i toĂn giĂ trà Ưu ặ-tổ-nổm cĐp mởt (1.61), trong õ f ∈ C(R) sao cho phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt.
2) Náu f(x 0 ) 6= 0, thẳ x(t) hởi tử án nghiằm thự nhĐt bản trĂi (f(x 0 ) 0) cừa x 0 Náu khổng cõ nghiằm thẳ nghiằm hởi tử án −∞ tữỡng ựng ∞.
Phương trình vi phân của chúng ta không phải là loại đơn giản, mà là một dạng phức tạp hơn, cụ thể là phương trình Riccati Phương trình này được biểu diễn như sau: x' = x² - t² Đây là một phương trình không thể giải quyết một cách dễ dàng và thường yêu cầu các phương pháp đặc biệt để tìm ra nghiệm trong những trường hợp nhất định.
Chúng ta hãy cố gắng phân tích phương trình này một cách bài bản Trước hết, cần xem xét các giải pháp tồn tại Nếu hàm f(t, x) ∈ C^1(R^2, R), thì với mỗi (t₀, x₀) ∈ R², tồn tại duy nhất một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu: x₀ = f(t, x), x(t₀) = x₀ Điều này có nghĩa là trong một vùng lân cận của t₀, các nghiệm tồn tại với mọi t Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý rằng các nghiệm không tồn tại với mọi t mà không có điều kiện cụ thể nào cho phương trình vi phân.
Mởt h m vi phƠn x + (t) thọa mÂn: x 0 + (t) > f(t, x + (t)), t ∈ [t 0 , T), (1.65) ữủc gồi l nghiằm trản cừa phữỡng trẳnh Tữỡng tỹ, mởt h m vi phƠn x − (t) thọa mÂn: x 0 − (t) < f(t, x − (t)), t ∈ [t 0 , T), (1.66) ữủc gồi l nghiằm dữợi.
Vẵ dử 1.5.3 x+(t) =t l mởt nghiằm trản v x − (t) = −tl mởt nghiằm dữợi cừa phữỡng trẳnh (1.63) vợi mồi t≥ 0.
Bờ ã 1.5.4 Cho x + (t), x − (t) lƯn lữủt l nghiằm trản, nghiằm dữợi cừa phữỡng trẳnh vi phƠn x 0 = f(t, x) trản [t 0 , T) Khi õ vợi mội nghiảm x(t) trản [t 0 , T) ta cõ x(t) < x + (t), t∈ (t 0 , T), x(t 0 ) ≤ x + (t 0 ), (1.67) t÷ìng tü x − (t) < x(t), t∈ (t 0 , T), x(t 0 ) ≥ x − (t 0 ), (1.68) Chùng minh X²t ∆(t) =x + (t)−x(t) Khi â ta câ:
Tõm lÔi, chúng ta  ch¿ ra ữủc nhỳng iãu sau:
• Cõ duy nhĐt mởt nghiằm x 0 (t) hởi tử án ữớng th¯ng x = t.
• TĐt cÊ cĂc nghiằm trản x 0 (t) cuối cũng s³ hởi tử án +∞ trong thới gian húu h¤n.
• TĐt cÊ cĂc nghiằm dữợi x 0 (t) hởi tử án ữớng th¯ng x = −t.
Rõ ràng, những cơn nhức tưởng tủy có thể áp dụng cho bài toán phương trình cấp một x = f(t, x), và chúng ta có thể thu được một bậc tranh khái hoạc chính và các giải pháp Tuy nhiên, do quan trọng mà chúng ta thường gặp phải phương trình nằm trong không gian hai chiều (t, x) ∈ R² Nếu ta xét phương trình hoặc hệ phương trình có cấp cao hơn, thì cần nhiều chiều hơn Trong R², một đường cong chia không gian của chúng ta thành hai phần: một bản thể và một bản dữ liệu đường cong Cách duy nhất để đi từ vùng này qua vùng khác là vượt qua đường cong Trong không gian nhiều hơn hai chiều, thì điều này không còn đúng nữa và cho phép các giải pháp phức tạp hơn Trong thực tế, các phương trình trong không gian ba chiều (hoặc nhiều hơn) sẽ thường không thể tìm ra các giải pháp một cách đơn giản Hàm f được gọi là Lipschitz liên tục nếu phương trình trong không gian thực hai chiều, với với không gian thực nhất, nếu:
Để đảm bảo tính chất Lipschitz của hàm f liên tục trên miền cừa f, ta có thể sử dụng định nghĩa |x−y| (1.69) để xác định sự khác biệt giữa các hàm x(t) và y(t) Nếu x(t) và y(t) là hai hàm vi phân thỏa mãn điều kiện x(t₀) ≤ y(t₀) và x'(t) - f(t, x(t)) ≤ y'(t) - f(t, y(t)) trong khoảng [t₀, T), thì ta có thể khẳng định rằng x(t) ≤ y(t) cho mọi t ∈ [t₀, T) Hơn nữa, nếu x(t) < y(t) tại một thời điểm t nào đó, điều này sẽ dẫn đến sự ổn định của các giá trị trong khoảng thời gian này.
Chựng minh Chựng minh bơng phÊn chựng GiÊ sỷ iãu ngữủc lÔi Sau õ chúng ta tẳm mởt v i giĂ trà t 1 sao cho x(t 1 ) = y(t 1 ) v x(t) > y(t) vợi mồi t∈ (t 1 , t 1 +ε) °t ∆(t) =x(t)−y(t) v chú ỵ:
Để đảm bảo tính ổn định trong hệ thống, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức sau: ∆ 0 (t) = x 0 (t)−y 0 (t) ≤ f(t, x(t))−f(t, y(t)) ≤ L∆(t), với t ∈ [t1, t1 +ε) Điều này có nghĩa là ∆(t) = ∆(t)e^(-Lt) thỏa mãn ∆(t) ≤ 0 Do đó, nếu ∆(t) ≤ ∆(t 1) = 0, chúng ta có thể kết luận rằng x(t) ≤ y(t) cho mọi t ∈ [t 0 , T) Điều này thể hiện sự ổn định trong mô hình được đề cập.
Vẳ vêy, phƯn Ưu tiản l úng º ch¿ ra phƯn thự hai, têp ∆(t) y(t)−x(t) khổng Ơm bði phƯn thự nhĐt Sau õ, nhữ ð trữớng hủp trữợc,
Mởt v i hằ quÊ cõ giĂ trà trong khi lữu ỵ:
Trữợc hát, náu x(t) v y(t) l hai nghiằm vợi x(t 0 ) ≤ y(t 0 ), thẳ x(t) ≤ y(t) vợi mồi t ≥ t 0 °c biằt, trong trữớng hủp x(t 0 ) = y(t 0 ) thẳ iãu n y cho thĐy tẵnh duy nhĐt cừa giÊi phĂp: x(t) =y(t).
Chúng ta có thể mở rộng khái niệm của nghiệm trạng bằng cách chú ý rằng \( x + (t) \geq f(t, x + (t)) \) Sau đó, ta có \( x + (t_0) \geq x(t_0) \) và \( x + (t) \geq x(t) \) với mọi \( t \geq t_0 \) Điều này cho thấy rằng nghiệm thực nghiệm ngược lại với thời gian, và tôi mong rằng nó sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về quá trình này.
PhƠn tẵch ành tẵnh cĂc phữỡng trẳnh tuƯn ho n cĐp mởt
Phương trình x 0 (t) = (1 − x(t))x(t) − h(1 − sin(2πt)) mô tả sự thay đổi của biến x theo thời gian t, với h là một hằng số dương Trong thực tế, chúng ta có thể thay thế 1 − sin(2πt) bằng một hàm tuần hoàn g(t), từ đó phân tích dữ liệu theo cách hiệu quả hơn.
Dưới đây là nội dung đã được viết lại:Giải pháp bứt ưu cho bài toán giá trị lớn nhất với điều kiện giá trị ban đầu x1 và giá trị khác x2 > x1, trong khi các giải pháp bứt ưu cho x1 phần kẹp tới −∞ Tại thời điểm t, số phên của giá trị ban đầu x bắt đầu sau một chu kỳ Chính xác hơn, giải pháp bứt ưu từ t=0 là φ(t, x) Sau đó, chúng ta có thể giới thiệu hình ảnh Poincaré tổng quát.
Bơng cĂch xƠy dỹng, mởt iãu kiằn ban Ưu x 0 s³ tữỡng ựng vợi mởt giÊi phĂp tuƯn ho n khi v ch¿ khi x 0 l iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ Poincar²,
P(x0) = x0 Trong lý thuyết, sự phát triển từ trạng thái duy nhất của bài toán giá trị tối ưu và φ(t + 1, x) dẫn đến việc thỏa mãn x0 = f(t, x) nếu f(t+1, x) = f(t, x) Do đó, φ(t+1, x0) = φ(t, x0) khi vế trái bằng vế phải trong thời gian ban đầu t=0, nghĩa là φ(1, x0) = φ(0, x0) = x0 Chúng ta bắt đầu tối ưu bằng cách tính toán ô hình của P(x) như sau: θ(t, x) = ∂.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình động học φ(t, x) được mô tả bởi công thức φ 0 (t, x) = (1−φ(t, x))φ(t, x)−h(1−sin(2πt) Tiếp theo, từ đó, chúng ta thu được phương trình θ 0 (t, x) = (1−2φ(t, x))θ(t, x) Với giả thiết φ(t, x) là một biến đã biết, chúng ta có thể sử dụng công thức (1.38) để phát triển phương trình (1.75), dẫn đến kết quả cuối cùng θ(t, x) = exp( ).
(1−2φ(s, x))ds) (1.76) Thay t=1 v o (1.76) ta thu ữủc:
(1−2φ(s, x))ds) (1.77) M°c dũ cõ v´ cổng thực n y giúp ẵch rĐt ẵt vẳ chúng ta khổng biát ữủc φ(t, x), những ẵt nhĐt nõ cho chúng ta biát rơng P 0 (x) > 0, cõ nghắa l ,
Hỡn nỳa, vi phƠn biºu thực (1.77) mởt lƯn nỳa, ta thu ữủc:
Để phân tích phương trình (1.78), chúng ta cần xem xét điều kiện θ(s, x)ds)P 0(x) < 0 và θ(t, x) > 0 Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các biến số trong mô hình Hơn nữa, việc xác định P(x) là rất quan trọng, vì nó ảnh hưởng đến sự ổn định và tính chất của hệ thống Các trường hợp hợp lý sẽ dẫn đến việc xác định các tham số h một cách chính xác Cuối cùng, việc sử dụng ψ(t, x) = ∂ sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của các biến trong mô hình này.
∂hφ(t, x), (1.79) v vi phƠn phữỡng trẳnh  cho ối vợi h ta thu ữủc: ψ(t, x) = (1−2φ(t, x))ψ(t, x) + (1−sin(2πt)) (1.80)
Do õ, vẳ ψ(0, x) = ∂h ∂ φ(0, x) = ∂h ∂ x = 0, phữỡng trẳnh (1.40) ngử ỵ rơng: ψ(t, x) Z
(1−2φ(r, x))dr)(1−sin(2πs))ds < 0, (1.81) v thay t = 1 ta thu ữủc:
∂hP h (x) < 0, (1.82) trong õ, ta thảm h v o phƯn ch¿ mửc º nhĐn mÔnh sỹ phử thuởc v o h.
Hỡn nỳa, vợi h = 0 ta cõ:
1 + (e−1)x có hai điểm bắt đầu x1 = 0 và x2 = 1 Khi hàm này tiếp xúc tại những điểm này, giá trị hàm trở nên rõ ràng hơn Trạng thái giá trị này thể hiện một cách hoàn hảo và tỉ mỉ, cho thấy sự liên kết giữa các biến trong hàm.
P(x) < 0 vợi mồi x ∈ R. º ho n th nh lêp luên cừa chúng ta, giÊ sỷ h < h c v x 1 < x 2 l hai iºm bĐt ởng cừa P(x) XĂc ành cĂc lƯn l°p cừa P(x) bði P 0 (x) = x v
Trong khoảng \( -\infty < x < x_1 \) và \( x \in (x_1, x_2) \), ta có \( P(x) \) là một hàm liên tục Khi đó, điều kiện \( P(x_1) < P(x) < P(x_2) = x_2 \) cho thấy rằng \( P(x) \) có tính chất tăng Hơn nữa, nếu \( P(x) < x \), thì \( P_n(x) \) là một dãy đơn điệu tăng Với \( x_0 \in (x, x_2] \), ta có \( P(x_0) = P(\lim_{n \to \infty} P_n(x)) = \lim_{n \to \infty} P_{n+1}(x) = x_0 \), suy ra \( x_0 \) là một điểm cố định, tức là \( x_0 = x_2 \) Các trường hợp khác cũng tương tự.
Vẳ vêy, vợi x < x 1 giÊi phĂp hởi tử án −∞ v vợi x > x 1 ta cõ: n→∞lim |φ(n, x)−x 2 | = 0, (1.85) ngử ỵ rơng: n→∞lim |φ(n, x)−φ(t, x 2 )| = 0 (1.86)X²t tữỡng tỹ cho trữớng hủp h = hc v h > hc.
CH×ÌNG2BI TON GI TRÀ U
ành lẵ iºm bĐt ởng
Cho X l mởt khổng gian vector thỹc Mởt chuân trản X l mởt Ănh xÔ ||.|| : X → [0,∞) thọa mÂn cĂc mằnh ã sau:
(iii) ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| vợi x, y ∈ X (bĐt ¯ng thực tam giĂc).
Tứ bĐt ¯ng thực tam giĂc ta cụng cõ bĐt ¯ng thực tam giĂc Êo:
Không gian tuyến tính chuẩn C°p (X, ||.||) được định nghĩa là một không gian vector chuẩn X Nếu có một dãy vector {f_n} hội tụ đến vector f khi lim n→∞ ||f_n − f|| = 0, thì ta có thể nói rằng f_n → f hoặc lim n→∞ f_n = f Hơn nữa, nếu X và Y là hai không gian tuyến tính chuẩn, ánh xạ F: X → Y được gọi là liên tục nếu f_n → f thì F(f_n) → F(f) Phép cộng các vector và phép nhân vô hướng với một số thực cũng là các phép toán liên tục trong không gian này.
Khi nghiên cứu về không gian Banach, ta cần hiểu rằng không gian này được định nghĩa dựa trên các dãy Cauchy Một không gian lành mạnh được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ Điều này có nghĩa là tính chất hội tụ của các dãy Cauchy là yếu tố quan trọng trong việc xác định tính chất của không gian Banach.
Vẵ dử 2.1.1 Ró r ng R n (ho°c C n ) l mởt khổng gian Banach vợi chuân Euclide thổng thữớng:
Gồi I l mởt khoÊng compact v x²t cĂc h m liản tửc C(I) trản khoÊng õ Chúng tÔo th nh mởt khổng gian vector náu cĂc ph²p toĂn cởng v ph²p toĂn nhƠn ữủc xĂc ành Hỡn nỳa, C(I) trð th nh mởt khổng gian ành chuân náu ta ành nghắa:
Mởt dÂy x n (t) hởi tử án x(t) khi v ch¿ khi: n→∞lim ||x n −x|| = lim n→∞sup t∈I
Có nghĩa l trong ngổn ngỳ cừa giÊi tẵch thỹc, x n hởi tử ãu ánx Bây giờ x²t trữớng hủp xn ch¿ l mởt dÂy Cauchy, thẳ xn(t) rõ ràng là mởt dÂy Cauchy cừa số thỹc bĐt kẳ t ∈ I Đặc biệt, do R cõ tẵnh Ưy ừ, x n (t) cõ giợi hÔn án x(t) vợi mồi t Vì vậy, ta cõ h m giợi hÔn x(t) Hơn nữa, cho m → ∞ trong:
Đối với mọi ε > 0 và t ∈ I, nếu |x_n(t) - x(t)| ≤ ε cho mọi n > N, thì x_n(t) hội tụ đến x(t) Tuy nhiên, chúng ta không chắc chắn rằng x_n(t) có thuộc không gian vector C(I) hay không Để xác định điều này, cần tìm một δ sao cho |t - s| < δ, đảm bảo rằng x_n(t) gần x(t) trong khoảng thời gian I.
|x(t)−x(s)| < ε Chồn n sao cho ||x n −x|| < ε/3 v δ sao cho |t−s| < δ thẳ |x n (t)−x n (s)| < ε/3 Khi õ, |t−s| < δ suy ra:
Do õ, x(t) ∈ C(I) v do õ mội dÂy Cauchy trong C(I) hởi tử Ho°c nõi cĂch khĂc, C(I) l mởt khổng gian Banach.
Mởt iºm bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ K : C ⊆ X → C l mởt phƯn tỷ x ∈ C sao cho K(x) = x Hỡn nỳa, K ữủc gồi l co ữủc náu cõ mởt hơng số co θ ∈ [0,1) sao cho:
Ta công câ K n (x) = K(K n−1 (x)), K 0 (x) =x. ành lẵ 2.1.2 (Nguyản lẵ co Ănh xÔ) Cho X l mởt khổng gian Banach,
C l mởt têp con khĂc rộng õng trong X v cho K : C → C l co ữủc, khi õ K cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng x¯∈ C sao cho:
Chùng minh Chùng minh duy nh§t:
Gi£ sû K(¯x) = ¯x v K(˜x) = ˜x, khi â ta câ:
||¯x−x||˜ = ||K(¯x)−K(˜x)|| ≤ θ||¯x−x||,˜ suy ra x¯ l iºm cè ành duy nh§t.
Tữỡng tỹ nhữ vêy ta cõ:
||x n+1 −x n || ≤ θ||x n −x n−1 || ≤ ≤ θ n ||x 1 −x 0 ||, v Ăp dửng bĐt ¯ng thực tam giĂc (vợi n > m)
Do õ x n l dÂy Cauchy v hởi tử tợi x.¯ Hỡn nỳa
||K(¯x)−x||¯ = lim n→∞||x n+1 −x n || = 0 ch¿ ra rơng x¯ l mởt iºm bĐt ởng v biºu thực (2.8) ữủc suy ra tứ (2.9) khi cho n→ ∞.
Sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm
Bồi dưỡng sự hiểu biết về các phương trình vi phân là rất quan trọng để phát triển kiến thức cho bài toán giá trị đầu vào (IVP) sau đây: x' = f(t, x), với điều kiện x(t0) = x0 Hàm số f thuộc lớp liên tục C(U, R^n), trong đó U là một tập con mở của R^(n+1) và (t0, x0) nằm trong U.
Trữợc hát, lĐy tẵch phƠn cÊ hai vá ối vợi t, ta thĐy rơng phữỡng trẳnh (2.10) tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnh tẵch phƠn sau: x(t) =x 0 +
Z t 0 t f(s, x(s))ds (2.11) º ỵ rơng x 0 (t) = x 0 l mởt nghiằm gƯn úng tÔi ẵt nhĐt giĂ trà t n o õ Thay x0(t) v o phữỡng trẳnh tẵch phƠn, ta thu ữủc mởt nghiằm gƯn óng kh¡c: x1(t) =x0 +
Z t 0 t f(s, x0(s))ds (2.12) L°p lÔi quĂ trẳnh n y ta thu ữủc mởt chuội cĂc nghiằm xĐp x¿: xm(t) = K m (x0)(t), K(x)(t) = x0 +
Để giải quyết bài toán, chúng ta xem xét phương trình tích phân (2.13) với điều kiện biên xác định bởi phương trình vi phân (2.11) Trong trường hợp t0 = 0, ta phân tích sự hội tụ của các hàm số trong không gian Banach, cụ thể là không gian C([0, T], R^n) với T > 0 Để thực hiện điều này, chúng ta cần xác định một tập con C ⊆ X sao cho ánh xạ K : C → C Cuối cùng, chúng ta sẽ khảo sát sự tồn tại của nghiệm trong khoảng lân cận δ xung quanh điểm x0.
Vẳ U l têp mð v (0, x 0 ) ∈ U ta cõ thº chồn V = [0, T]ìB δ (x 0 ) ⊃ U, trong õ B δ (x 0 ) = {x∈ R n ||x−x 0 | < δ}, v viát tưt:
(t,x)∈V |f(t, x)|, (2.14) trong õ maximum tỗn tÔi do tẵnh liản tửc cừa f v tẵnh compact cừa V. Khi â:
|f(, x(s))|ds ≤ tM, (2.15) bĐt cự khi n o ỗ thà cừa x(t) nơm trong V, cõ nghắa l
M}, (2.16) ta cõ T 0 M ≤δ v ỗ thà cừaK(x) bà giợi hÔn [0, T 0 ] mởt lƯn nỳa trong V.
Trong trữớng hủp °c biằt M = 0 thẳ M δ = ∞ sao cho T 0 = min{T,∞} T Hỡn nỳa, chú ỵ rơng vẳ [0, T 0 ] ⊆ [0, T], hơng số M cụng s³ r ng buởc
Vẳ vêy, náu ta chồn X = C([0, t 0 ],R n ) l khổng gian Banach, vợi chuân
|x(t)|, v C = {x ∈ X| ||x−x 0 || ≤δ} l mởt têp con õng, thẳ K : C →C l co ữủc. º ch¿ ra iãu n y, chúng ta cƯn ữợc lữủng:
Ró r ng, vẳ f liản tửc, ta biát rơng |f(s, x(s))−f(s, y(s))| l nhọ náu
Giá trị tuyệt đối của |x(s)−y(s)| có thể nhỏ hơn một giá trị nhất định Tuy nhiên, để điều này xảy ra, cần phải có một điều kiện mạnh mẽ hơn: Định nghĩa Lipschitz cho hàm số liên tục trong không gian số thực Điều này có nghĩa là với mọi tập hợp compact V 0 nằm trong U, chúng ta có thể đạt được kết quả mong muốn.
|x(s)−y(s)|, (2.19) vợi iãu kiằn l ỗ thà cừa cÊ x(t) v y(t) nơm trong V 0 Nõi cĂch khĂc:
Đối với hai điểm x và y thuộc tập C, ta có bất đẳng thức ||K(x)−K(y)|| ≤ LT₀ ||x−y|| Nếu như T₀ < L⁻¹, thì hàm K sẽ có tính duy nhất theo nguyên tắc Picard-Lindelöf Cụ thể, nếu f ∈ C(U, Rⁿ) với U là một tập con mở của Rⁿ⁺¹ và (t₀, x₀) ∈ U, đồng thời f là hàm Lipschitz liên tục, thì sẽ tồn tại duy nhất một nghiệm x(t) ∈ C¹(I) cho bài toán giá trị ban đầu IVP (2.10), trong đó I là một khoảng lớn hơn t₀.
Cử thí hơn, trong khoảng thời gian V = [t0, t0+T], ta có Bδ(x¯0) ⊂ U và M là giá trị lớn nhất của |f| trên V Khi đó, tồn tại một giá trị t ∈ [t0, t0 + T0] và T0 = min{T, Mδ} Kết quả cho thấy rằng tồn tại một khoảng [t0 - T, t0] có ý nghĩa quan trọng.
Bờ ã 2.2.2 GiÊ sỷ f ∈ C k (U,R n ), k ≥ 1, trong õ U l têp con mð cừa R n+1 , v (t 0 , x 0 ) ∈ U Khi õ nghiằm àa phữỡng x¯ cừa IVP (2.10) l
Mð rởng ành lẵ Picard - Lindel f
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá thảm ảnh của Picard - Lindelöf Để chuẩn bị, cần mở rộng một số khái niệm cơ bản Thực tế, nhấn mạnh vào chứng minh của nó, quan sát cho thấy chúng ta có thể thay thế một số điều kiện nhất định Theo Weissinger, cho không gian Banach X và tập con C trong X, ta có thể xác định một ánh xạ K: C → C thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
||K n (x)−K n (y)|| ≤ θ n ||x−y||, x, y ∈ C, (2.21) vợi P ∞ n=1 θ n < ∞ Khi õ K cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng x¯ sao cho:
Mục tiêu ưu tiên của chúng ta là tìm ra một số giả thuyết cho sự tồn tại của nghiệm trong khoảng thời gian T0 Sử dụng định lý Weissinger, chúng ta có thể khẳng định rằng nếu hàm f thuộc C(U, R^n) trong một tập con U của R^(n+1) và f là hàm Lipschitz liên tục, thì tồn tại một khoảng thời gian T > 0 sao cho [t0, t0 + T] nằm trong Bδ(x̄0) ⊂ U.
Chú ỵ rưng M(t) l khổng giÊm v kẵ hiằu T0 thổng qua:
Khi õ nghiằm àa phữỡng duy nhĐt x(t)¯ cừa phữỡng trẳnh IVP (2.10) ữủc cho bði: ¯ x = lim m→∞K m (x 0 ) ∈ C 1 ([t 0 , t 0 + T 0 ],B δ (x¯ 0 )), (2.27) trong õ K m (x0) ữủc ành nghắa ð (2.13), v thọa mÂn : sup t 0 ≤t≤T 0
Chựng minh Chồn t 0 = 0 º ỡn giÊn hõa cổng thực Mửc tiảu cừa chúng ta l xĂc minh cĂc giÊ ành cừa ành lẵ 2.4 chồn X = C([0, T 0 ],R n ) vợi chu©n ||x|| = max
|x(t)| v C = {x ∈ X| ||x−x 0 || ≤ δ}. Ưu tiản, náu x ∈ C ta cõ:
|f(s, x(s))|ds ≤M(t) ≤ δ, t ∈ [0, T 0 ], cõ nghắa l , K(x) ∈ C °c biằt, iãu n y giÊi thẵch sỹ lỹa chồn T 0 Tiáp theo ta chựng minh
|x(s)−y(s)|, (2.29) trong õ, L 1 (t) =R 0 t L(s)ds Bơng ph²p quy nÔp, ta cõ:
Do õ K thọa mÂn iãu kiằn cừa ành lẵ 2.4 m cuối cũng ta cõ ữủc: sup
Náu f(t, x) được xác định với mọi x ∈ R n, cho phép chúng ta thiết lập một hàm số Lipschitz Điều này có nghĩa là chúng ta có thể nói nhiều hơn và phân tích trong không gian này Hằng số 2.3.3 cho thấy [t0, T] ⊂ R n và U.
|x−y| , (2.32) thẳ x¯ ữủc xĂc ành vợi mồi t ∈ [t 0 , T]. °c biằt, náu U = R n+1 v R −T T L(t)dt < ∞ vợi mồi T > 0, thẳ x¯ ữủc xĂc ành vợi mồi t∈ R.
Chựng minh Trong trữớng hủp n y chúng ta cõ thº chồn têpC õng trong khổng gian Banach X = C([0, T],R n ) v tián h nh chựng minh nhữ ành lẵ trữợc vợi T0 = T.
Chú ỵ rơng hằ quÊ n y Ăp dửng cho vẵ dử náu phữỡng trẳnh vi phƠn l tuyán tẵnh, cõ nghắa l f(t, x) = A(t)x + b(t), trong đó A(t) là một ma trận và b(t) là một vector Thay vào đó, mởt vẵ dử x²t: x(0) = sgn(t)x, với x(0) = 1.
Khi õ x(t) = exp(|t|) ữủc coi l mởt nghiằm m°c dũ nõ khổng cõ vi ph¥n t¤i t= 0.
Sỹ phử thuởc cừa nghiằm v o iãu kiằn ban Ưu
Bờ ã 2.4.1 (BĐt ¯ng thực Gronwall) GiÊ sỷ ψ(t) thọa mÂn: ψ(t) ≤ α(t) +
Z s t β(r)dr)ds, t∈ [0, T] (2.35) Hỡn nỳa, náu α(s) ≤ α(t) vợi s ≤ t, thẳ ψ(t) ≤α(t) exp(
Chựng minh °t φ(t) = exp(−R 0 t β(s)ds) Khi õ tứ cổng thực (2.34), ta câ: d dtφ(t)
Tẵch phƠn hai vá bĐt ¯ng thực theo t v chia cho φ(t) ta thu ữủc:
Thảm α(t) ð cÊ hai vá v lÔi sỷ dửng (2.34) ta thu ữủc iãu phÊi chựng minh thù nh§t.
(βψ(s) +γ)ds, t ∈ [0, T], (2.37) vợi cĂc hơng số Â cho α ∈ R, β ≥ 0, v γ ∈ R, thẳ khi õ: ψ(t) ≤αexp(βt) + γ β(exp(βt)−1), t∈ [0, T] (2.38) Trong trữớng hủp β = 0 thẳ vá bản phÊi ữủc thay bði giợi hÔn cừa nõ ψ(t) ≤ α+γt.
Bài viết này đề cập đến việc xem xét tính well-posed của bài toán giá trị ban đầu (IVP) Cụ thể, cho hai hàm f và g thuộc không gian c(U, R^n), với f là một hàm Lipschitz liên tục, bài toán IVP được xác định bởi hai phương trình x(t) và y(t) với các điều kiện khởi đầu x(t0) = x0 và y(t0) = y0.
|f(t, x)−g(t, x)|, (2.41) vợi V ⊂ U l cĂc têp chựa ỗ thà cừa x(t) v y(t).
Chùng minh º ìn gi£n °t t 0 = 0 Ta câ
Sỹ xĂc ành h m lĐy tẵch phƠn ch¿ ra:
Tứ (2.38) cho thấy rằng cần phải chứng minh Đặc biệt, không thể hiểu nghĩa của IVP (2.10) mà không xét đến φ(t, t₀, x₀) (2.42) như một điều kiện ban đầu Khi áp dụng điều kiện này, trong trường hợp đặc biệt f = g, ta sẽ có những kết quả rõ ràng hơn.
Đối với hàm φ(t, t₀, x₀), ta có bất đẳng thức |φ(t, t₀, x₀) − φ(t, t₀, y₀)| ≤ |x₀ − y₀|e^(L|t−t₀|), cho thấy sự phụ thuộc của φ vào giá trị ban đầu Điều này chứng tỏ rằng hàm φ là liên tục và có tính Lipschitz trong không gian U Xung quanh mỗi điểm (t₀, x₀) thuộc U, có thể tìm được một tập hợp compact I ⊂ U sao cho φ(t, s, x) ∈ C(I).
B,R n ) Hỡn nỳa, φ(t, t0, x0) l Lipschits liản tửc,
(t,x)∈V |f(t, x)|, (2.45) vợi V ⊂ U l cĂc têp compact chựa I ìφ(I ìI ìB).
Chứng minh rằng trong phần chứng minh của đoạn 2.2, ta có thể tìm ra một tập hợp compact V = [t₀ - ε, t₀ + ε] sao cho φ(t, t₀, x₀) tồn tại với điều kiện |t - t₀| ≤ ε.
Khi õ tỗn tÔi φ(t, t 1 , x 1 ) sao cho |t−t 1 | ≤ ε/2 vợi mồi |t 1 −t 0 | ≤ε/2 v
Do õ, chúng ta cõ thº chồn I = [t0 −ε/2, t0 +ε/2 v B = B δ/2 (x0).
+|R s t f(r, φ(r, s 0 , y 0 ))dr|, trong õ số hÔng thự nhĐt ta sỷ dửng (1.43) Hỡn nỳa, số hÔng thự ba ró r ng cõ thº ữợc tẵnh bơng M|t− s| º tẵnh số hÔng thự hai, ta °t
Để chứng minh định lý Gronwall, chúng ta xem xét hàm φ(t, t₀, x₀) = φ(t - t₀, 0, x₀) và áp dụng điều kiện φ(t, x₀) = φ(t, 0, x₀) trong trường hợp cụ thể.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, các điều kiện trước đó không phải lúc nào cũng tốt và ta cần phải khai niệm về phương trình tối ưu Do đó, ta sẽ xem xét các hàm số φ(t, t0, x) liên quan đến x Khi các điều kiện tương ứng cụ thể áp dụng cho φ0(t, t0, x) theo quy tắc tối ưu, ta sẽ thu được các kết quả cần thiết.
Do õ, náu ta giÊ thiát rơng ta cõ thº hoĂn ời và trẵ cĂc Ôo h m riảng ð vá trĂi,
∂x(t, t 0 , x) (2.48) thọa mÂn phữỡng trẳnh bián số phƠn ly: y 0 = A(t, x)y, A(t, x) = ∂f
∂x(t, φ(t, t 0 , x)) (2.49) Chú ỵ rơng phữỡng trẳnh n y l tuyát tẵnh v phữỡng trẳnh tẵch phƠn t÷ìng ùng l : y(t) = I+
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm φ(t, t₀, x) và sự phụ thuộc của nó vào biến x, với điều kiện ∂φ/∂x(t₀, t₀, x) = I Để phân tích tính liên tục của hàm φ, chúng ta cần xác định một tập hợp IìB ⊆ U xung quanh điểm (t₀, x₀) sao cho φ(t, s, x) thuộc C^k(IìB, Rⁿ) Hơn nữa, đạo hàm ∂t∂φ(t, s, x) cũng cần thuộc C^k(IìB, Rⁿ), và nếu D^k là một ô hẹp của φ, thì D^kφ sẽ thỏa mãn phương trình vi phân cấp cao hơn.
∂tφ(t, s, x) = D k f(t, φ(t, s, x)) (2.51) °c biằt, phữỡng trẳnh n y tuyán tẵnh trong D k φ v nõ cụng theo sau tẵnh to¡n ¤o h m c§p cao hìn t÷ìng ùng.
Chứng minh rằng bậc thang của các biến phụ thuộc không thể giới hạn hơn so với thiết kế rộng rãi của chúng ta Tổ hợp của các hàm φ(t, x) = φ(t, 0, x) cho thấy sự tồn tại của một tập I ⊆ U sao cho φ(t, x₀) là liên tục và được thiết lập thành dạng trữ trước, đồng thời đảm bảo hiểu ngắn gọn về nghiệm cũ.
Ta có thể xác định hàm φ(t, x) trong không gian thời gian cho x₁ ∈ B, với điều kiện x₁ = 0 để thuận tiện cho việc chứng minh Khoảng I = (−T, T) và B là miền chứa x₀ sao cho bao quanh I nằm trong U.
Viát tưt φ(t) = φ(t, x 1 ), A(t) = A(t, x 1 ) v kẵ hiằu ψ(t) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thự nhĐt ψ 0 (t) =A(t)ψ(t) vợi iãu kiằn ban Ưu tữỡng ựng ψ(t 0 ) = I Têp θ(t, x) = φ(t, x)−φ(t)−ψ(t)x
|x| , thẳ ∂φ ∂x tÔi x 1 = 0 s³ tỗn tÔi náu ta cõ thº ch¿ ra rơng lim x→0θ(t, x) = 0. GiÊ ành f ∈ C 1 ngử ỵ rơng: f(y) =f(x) + ∂f
∂x(x)||. é Ơy ||.|| dũng º ch¿ chuân ma trên Bði tẵnh liản tửc ãu cừa cĂc Ôo h m riảng ∂f ∂x trong mởt lƠn cên cừa x 1 = 0 ta suy ra lim y→x|R(y, x)| = 0.
BƠy giớ tẵch phƠn v lĐy cĂc giĂ trà tuyằt ối (chú ỵ θ(0, x) = 0 v sỷ dửng (2.43)) ta thu ữủc
Khi nghiên cứu bài toán Gronwall, ta có điều kiện |θ(t, x)| ≥ R(x) exp(¯ R 0 T ||A(s)||ds) Với giới hạn lim y→x|R(y, x)| = 0, ta suy ra lim x→0R(x) = 0 và lim x→0θ(t, x) = 0 Hơn nữa, đạo hàm ∂φ/∂x (t, x) thuộc C^0, cho thấy tính liên tục của phương trình biến thiên thực Đối với trường hợp k = 1, điều kiện cần thiết là φ(t, x) ∈ C^1 và ∂φ/∂x (t, x) giải quyết phương trình biến thiên thực Trong trường hợp chung k ≥ 1, ta cần đảm bảo điều kiện yêu cầu cho k và cho f ∈ C^(k+1).
∂x(t, x) ∈ C k , cũng vợi Bờ ã 2.3, ch¿ ra rơng φ(t, x) ∈ C k+1
Trong thực tế, chúng ta có thể xem xét sự phụ thuộc của hàm số vào một số tham số λ ∈ Λ⊆ R^p và giải phương trình vi phân x'(t) = f(t, x, λ), với điều kiện ban đầu x(t₀) = x₀ Hàm f được coi là liên tục bậc k trong miền U × Λ, với k ≥ 1 Xung quanh mỗi điểm (t₀, x₀, λ₀) ∈ U × Λ, tồn tại một tập hợp I ⊆ B × Λ₀ sao cho hàm φ(t, s, x, λ) thuộc C^k(I × I × B × Λ₀, R^n).
Lẵ thuyát nhiạu loÔn chẵnh quy
Mởt b i toĂn dÔng: x 0 = f(t, x, ε), x(t 0 ) =x 0 , (2.55) ữủc biát án nhữ mởt b i toĂn nhiạu loÔn chẵnh quy.
Náu ta giÊ sỷ f ∈ C 1 thẳ ành lẵ 2.11 Êm bÊo rơng iãu tữỡng tỹ l úng vợi nghiằm φ(t, ε), trong õ ta khổng hiºn thà sỹ phử thuởc cừa iãu kiằn ban Ưu (t0, x0) º ỡn giÊn hõa cổng thực °c biằt, ta cõ cổng thực Taylor mð rởng nhữ sau: φ(t, ε) = φ 0 (t) +φ 1 (t)ε+o(ε) (2.56) trong mởt lƠn cên cừa ε.
Rỗng, số hằng không nhiều luôn φ₀(t) = φ(t,0) được xác định như là nghiệm của phương trình không nhiều lớn φ₀₀ = f₀(t, φ₀), φ₀(t₀) = x₀ Hơn nữa, đạo hàm φ₁(t) = ∂ε/∂φ(t, ε)|ε=0, giải phương trình biến số phân ly tương ứng φ₀₁ = f₁₀(t, φ₀(t))φ₁ + φ₁₁(t, φ₀(t)), φ₁(t₀) = 0, trong đó f₁₀(t, x) = ∂x/∂f(t, x, 0) và f₁₁(t, x) = ∂ε/∂f(t, x, ε)|ε=0 Điều kiện φ₁(t₀) = 0 thể hiện rằng x₀ không phụ thuộc vào ε, có nghĩa là φ₁(t₀) = ∂ε/∂φ(t₀, ε)|ε=0 = ∂ε/∂x₀|ε=0 = 0.
Phương trình v = φ(t, ε) = ge^(-εt) - (1/ε) mô tả sự chuyển động của vật thể chịu tác động của trọng lực và lực cản Với điều kiện ban đầu v(0) = 0 và ε ≥ 0, ta có thể giải phương trình này để tìm ra vận tốc v(t) Qua việc phân tích, ta nhận thấy rằng φ'(t) = -gt, từ đó suy ra rằng v(t) = -g(t - εt²) Kết quả này cho thấy mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian trong trường hợp có lực cản.
Phép khai triển Taylor có thể được áp dụng cho các hàm số chính xác, tuy nhiên, cần lưu ý rằng phương pháp này chỉ cho ra kết quả chính xác trong một khoảng thời gian nhất định Trong thực tế, khi ε > 0, hàm v(t) có thể phân kỳ đến vô cùng, trong khi hàm chính xác lại có giới hạn xác định.
Rõ ràng chúng ta có thể mở rộng quá trình này để có được phép tính gần đúng hơn: Giả sử f ∈ C^k (U, R^n), k ≥ 1 và cố định một điểm (t0, x0, ε0) ∈ U Cho φ(t, ε) ∈ C^k (U_0, R^n) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu x0 = f(t, x, ε), x(t0) = x0.
X j=0 φ j (t) j! (ε−ε 0 ) j +o((ε−ε 0 ) k ), (2.60) trong õ hằ số cõ thº thu ữủc bơng cĂch giÊi ằ quy: φ 0 j = f j (t, φ 0 , φ 1 , , φ j , ε 0 ), φ j (t 0 ) x 0 , j = 0,
0, j ≥ 1, (2.61) trong õ h m f j ữủc ành nghắa ằ quy thổng qua: f j+1 (t, x 0 , , x j+1 , ε) = ∂f ∂ε j (t, x 0 , , x j , ε) + j
(2.62) Náu ta giÊ sỷ f ∈ C k+1 số hÔng sai số s³ l O((ε −ε 0 ) k+1 ) ãu vợi mồi t∈ I.
Tẵnh dÂn ữủc cừa cĂc nghiằm
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (IVP) được xác định bởi phương trình vi phân Để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của các nghiệm, giả sử hàm f là hàm Lipschitz Gọi φ1 và φ2 là hai nghiệm của IVP trong các khoảng I1 và I2 tương ứng Khi I = I1 ∩ I2 (T−, T+) và (t−, t+) là khoảng tối đa mà hai nghiệm trùng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng (t−, t+) = (T−, T+) Thực tế, hai nghiệm sẽ luôn trùng nhau trong khoảng t+ bền vững Khi xét IVP với điều kiện giới hạn u(x(t+)) = φ1(t+) = φ2(t+), ta thấy rằng hai nghiệm trùng nhau trong khoảng lớn hơn t+ bền vững của phương trình Điều này cho thấy rằng t+ = T+ và tương ứng t− = T−.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các nghiệm φ(t) và φ1(t), t ∈ I1, φ2(t), t ∈ I2, với trần I1 ∪ I2 Thực tế, nếu có thêm một số điều kiện nhất định, ta có thể thu được một nghiệm duy nhất và xác định trần của một số không tối ưu Hình 2.6.1 minh họa rằng bài toán giá trị ban đầu (IVP) (2.10) có một nghiệm duy nhất (điều kiện của hình 2.5 được thỏa mãn) Khi đó, tồn tại một nghiệm tối ưu được xác định trong khoảng không tối ưu I (t0, x0) (T − (t0, x0), T + (t0, x0)).
Chựng minh Cho S l têp tĐt cÊ cĂc nghiằm φ cừa (2.10) ữủc xĂc ành trản khoÊng I φ Cho I = S φ∈S
I φ , l mởt têp mð Hỡn nỳa, náu t 1 > t 0 ∈ I thẳt 1 ∈ I φ vợi mởt v iφv do õ,[t 0 , t 1 ) ⊆ I φ ⊆ I.Tữỡng tỹ, vợit 1 < t 0 v do õ I l mởt khoÊng mð chựat 0 Trong trữớng hủp riảng, I = (T − , T + ).
Ta có φ max (t) tràn I với φ max (t) = φ(t), φ ∈ S, t ∈ I φ Bằng cách xác định giá trị của φ, ta có thể đảm bảo rằng hai giá trị của φ cụng cho giá trị giống nhau Hơn nữa, với mỗi t > t1, tồn tại một giá trị φ ∈ S sao cho t1 ∈ I φ và φ max (t) = φ(t) với t ∈ (t0 - ε, t0 + ε), cho thấy rằng φ max là một hàm liên tục Bằng cách xây dựng một hàm nào đó, chúng ta có thể xác định rằng nó sẽ tồn tại trong một khoảng lớn hơn.
Nghiệm ức tầm thấy đã được xác định là nghiệm tối ưu Một nghiệm ức xác định với mọi t ∈ R được gọi là một nghiệm tối ưu cục bộ Rõ ràng, mọi nghiệm tối ưu cục bộ đều là nghiệm tối ưu.
Bờ ã 2.6.2 Cho φ(t) là một nghiệm của phương trình (1.10) được xác định trên khoảng (t − , t + ) Khi tồn tại một miền rỗng án khoáng (t − , t + + ε) với ε > 0, thì sẽ tồn tại một dãy t m ∈ (t − , t + ) sao cho lim m→∞ (tm, φ(tm)) = (t+, y) ∈ U Từ đó, ta có thể suy ra mối liên hệ với t −.
Chựng minh GiÊ sỷ cõ mởt h m thọa mÂn (2.64), Ưu tiản, ta thĐy rơng trong trữớng hủp n y: t→tlim+ φ(t) = y (2.65)
Do õ Ôo h m cừa nõ s³ cƯn phÊi tông, iãu n y l khổng thº vẳ f(t, x) hởi tử gƯn y Chẵnh xĂc hỡn, vẳ U l têp mð nản cõ mởt v i giĂ trà δ > 0 sao cho V = [t + − δ, t + ] × B δ (y) ⊂ U v M = max
Trong bài viết này, ta xem xét điều kiện (t,x)∈V |f(t, x)| < ∞ Sau khi chuyển qua một dãy con, ta có thể chọn t m ∈ (t + −δ, t + ), với φ(t m ) ∈ B δ (y) và t m < t m+1 Nếu (2.65) sai, ta có thể tìm một dãy τ m → t + sao cho |φ(τ m ) −y| ≥ γ > 0 Điều này dẫn đến việc chồn γ < δ và τ m ≥t m Thêm vào đó, theo hình thức trung gian, ta có yêu cầu |φ(t m )−y| = γ và |φ(t)−y| < γ cho t ∈ [t m , τ m].
|f(s, φ(s))|ds+|φ(t m )−y| ≤ M|τ m −t m |+|φ(t m )−y|, trong õ vá phÊi hởi tử án 0 khi m → ∞ iãu n y dăn án mƠu thuăn, do õ (2.65) ữủc chựng minh.
Bài viết này thảo luận về việc xác định một nghiệm φ(t) của bài toán giá trị ban đầu (IVP) trong khoảng (t - ε, t + ε) Chúng ta có thể gần đúng φ(t) và φ(t)˜ tại t +, từ đó thu được một hàm trơn trong khoảng (t - ε, t + ε) Đặc biệt, hàm này có liên quan đến f(t +, y), cho thấy nó là một hàm liên tục Hệ quả 2.6.3 nêu rõ rằng nếu φ(t) là một nghiệm của (2.10) trong khoảng (t - ε, t + ε), thì tồn tại một tập compact [t0, t+] trong C ⊂ U sao cho φ(tm) ∈ C với chuỗi tm ∈ [t0, t+] hội tụ về t+ Khi đó, tồn tại một miền rỗng trong khoảng (t - ε, t + +ε) với ε > 0.
Trong trữớng hủp riảng, náu cõ mởt têp compact C vợi mồi t + > t 0 (C cõ thº phử thuởc v o t+), khi õ nghiằm tỗn tÔi vợi mồi t > t0.
Chựng minh Cho t m → t + Do tẵnh compact nản φ(t m ) cõ m dÂy con hởi tử v suy ra iãu phÊi chựng minh tứ bờ ã trữợc.
Hằng số 2.6.4 cho I (t₀, x₀) = (T - (t₀, x₀), T + (t₀, x₀)) là khoảng tối ưu mở của một nghiệm bù tối ưu x(t₀) = x₀ Nếu T + = T + (t₀, x₀) < ∞, thì nghiệm phải còn lại cuối cùng trong một tập compact C với [t₀, T +] ⊂ U tối tiểu cho bài toán T + Hằng số 2.6.5 chỉ ra rằng với U = R và Rⁿ, tồn tại một T > 0 có hằng số.
|f(t, x)| ≤M(T) +L(T)|x|, (t, x) ∈ [−T, T]×R n (2.66) Khi õ tĐt cÊ nghiằm cừa IVP (2.10) ữủc xĂc ành vợi mồi t ∈ R.
Chựng minh Sỷ dửng Ănh giĂ ð trản cho f ta cõ:
(M +L|φ(s)|)ds, t ∈ [0, T]∩I, v vợi cĂch biºu diạn khĂc (2.38) cừa bĐt ¯ng thực Gronwall ta cõ ữủc:
Do õ φ nơm trong mởt quÊ cƯu compact v kát quÊ ữủc ch¿ ra bði bờ ã trữợc õ.
Phữỡng phĂp Euler v ành lẵ Peano
Náu φ(t) là một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu, theo ảnh hưởng của Taylor, ta có: φ(t₀ + h) = x₀ + φ₀(t₀)h + o(h) = x₀ + f(t₀, x₀)h + o(h) Để xác định một nghiệm xấp xỉ, chúng ta áp dụng phương pháp Euler, được thiết lập như sau: xh(tm + 1) = xh(tm) + f(tm, xh(tm))h, với tm = t₀ + mh Quá trình này cho phép tính toán gần đúng nghiệm của phương trình vi phân.
Ta nghiên cứu về sự hội tụ của các hàm mũ trong không gian compact Để chứng minh điều này, ta quan sát các hàm mũ và nhận thấy rằng chúng tạo thành một họ các hàm liên tục Họ hàm này được xác định trên một khoảng compact, và do đó, theo định lý Arzel-Ascoli, chúng ta có thể kết luận rằng họ hàm này hội tụ đều.
N, trản mởt khoÊng compact I l liản tửc ãu, cõ nghắa l , vợi mồi ε > 0 cõ mởt δ > 0 (ởc lêp vợi m) sao cho:
|x m (t)−x m (s)| ≤ ε nu |t−s| < δ, m∈ N (2.69) Náu dÂy {x m } bà ch°n, thẳ cõ mởt dÂy con hởi tử ãu.
Chứng minh rằng cho chuỗi {t_j} ∞ j=1 ⊂ I, với x_m(t_1) đã chọn, ta có thể chọn một chuỗi con {x(1)m(t)} sao cho {x(1)m(t_1)} hội tử Tương tự, ta có thể chọn một chuỗi con {x(2)m(t)} từ {x(1)m(t)} mà hội tử tại t_2 (vì nó luôn hội tử tại t_1 và là một chuỗi con của {x(1)m(t)}) Bằng phép quy nạp, ta thu được một chuỗi {x(j)m(t)} hội tử tại t_1, , t_j Chuỗi này dẫn đến x_m(t) = x(m)m(t) do nó hội tử với mỗi t = t_j Ta sẽ chứng minh rằng nó hội tử tại mỗi t.
Cố ành ε > 0 v chồn δ sao cho vợi|t−s| < δ thẳ |x m (t)−x m (s)| ≤ ε 3 CĂc quÊ cƯuBδ(tj) phừI v bði tẵnh compact, ta nõi 1 ≤ j ≤ p Hỡn nỳa, chồn N ε sao cho |˜x m (t j )−x˜ n (t j )| ≤ ε 3 vợi n, m ≥ N ε v 1 ≤j ≤ p.
BƠy giớ chồn t v lữu ỵ rơng t ∈ B δ (t j ) vợi j bĐt kẳ Nhữ vêy:
|˜xm(t)−x˜n(t)| ≤ |˜xm(t)−x˜m(tj)|+|˜xm(tj)−x˜n(tj)|
+|˜x n (t j )−x˜ n (t)| ≤ ε vợi n, m ≥ N ε , suy ra x˜ m l dÂy Cauchy Bơng cĂch ho n th nh C(I,R n ) nõ cõ mởt giợi hÔn.
Chẵnh xĂc hỡn, chồn δ, T > 0 sao cho V = [t 0 , t 0 +T]ìB δ (x 0 ) ⊂ U v cho:
Do õ bĐt kẳ dÂy con n o cừa hồ x h (t) l liản tửc ãu v cõ mởt dÂy con hởi tử ãu φ m (t) → φ(t) Nõ văn cỏn cho ta thĐy rơng giợi hÔn φ(t) giÊi quyết b i toĂn giĂ trà Ưu (2.10) Ta s³ ch¿ ra iãu n y bơng cĂch xĂc minh phữỡng trẳnh tẵch phƠn tữỡng ựng (2.11) cố ành Vẳ f liản tửc ãu trản.
V, ta cõ thº tẳm mởt dÂy ∆(h) → 0 khi h →0, sao cho
|f(s, y)−f(t, x)| ≤∆(h)vi|y −x| ≤M h, |s−t| ≤ h (2.72) º cõ thº ữợc tẵnh sỹ khĂc biằt giỳa vá trĂi v vá phÊi cừa (2.11) vợi x h (t) ta chồn m vợi t ≤ t m v viát lÔi: x h (t) = x 0 + m−1
X(s)f(t j , x h (t j ))ds, (2.73) trong õ X(s) = 1 vợi s ∈ [t 0 , t] v X(s) = 0 vợi nhỳng giĂ trà s khĂc. Khi â:
Tứ õ ch¿ ra rơng φ thỹc sỹ l mởt nghiằm nhữ sau: φ(t) = lim m→∞φ m (t) =x 0 + lim m→∞
(2.75) vẳ ta cõ thº hoĂn và giỳa giợi hÔn v tẵch phƠn bði hởi tử ãu. ành lẵ 2.7.2 (Peano) GiÊ sỷ f liản tửc trản V = [t 0 , t 0 +T]ìB δ (x 0 ) ⊂
Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt nghiằm cừa b i toĂn giĂ trà Ưu (2.10) vợi t∈ [t 0 , t 0 + T] chùa trong B δ (x 0 ), trong â T 0 = min{T, M δ }.
Nhên x²t rơng thuêt toĂn Euler là phương pháp phù hợp để tính toán bậc số cừa nghiằm xĐp x¿ và yêu cầu ảnh hưởng f tÔi mởt iºm bĐt ởng Một khía cạnh quan trọng là xác định rõ ràng x h (t) hởi tử, với điều kiện f là Lipschitz Bằng cách áp dụng (2.29) với x(t) = x h (t) và y(t) = K(x h )(t), ta có thể tiến hành các bước tiếp theo trong quá trình tính toán.
Sỷ dửng kẵ hiằu tữỡng tỹ nhữ trong chựng minh cừa ành lẵ 2.2 Cho n→ ∞ ta thu ữủc:
||x h −φ|| ≤ T 0 e LT 0 ∆(h), t ∈ [t 0 , t 0 +T 0 ], (2.77) Vẳ ữợc lữủng ð trản (2.74) vợi t = t 0 +T 0 ta cõ:
||x h −K(x h )|| ≤ T 0 ∆(h) (2.78) Lữu ỵ rơng náu ta cõ thº xĂc ành mởt hơng số Lipschitz L 0 sao cho
|f(t, x)−f(s, x)| ≤L0|t−s|, khi õ ta cõ thº chồn ∆(h) = (L0+LM)h.
Phương pháp Euler là một kỹ thuật đơn giản để tính toán các nghiệm của phương trình vi phân, nhưng thường gặp sai số trong các phép tính thực tế Trong các phép tính này, người ta thường sử dụng sai số lớn để đánh giá độ chính xác Nếu có sự khác biệt lớn giữa hai kết quả, kích thước bước sẽ được điều chỉnh để cải thiện độ chính xác Mặc dù phương pháp Euler không phải là phương pháp chính xác nhất hiện nay, nhưng nó cho phép tính toán nhanh hơn so với nhiều phương pháp phức tạp khác Kết quả của phương pháp Euler được tính theo công thức: \( x_{m+1} = x_m + h \).
(2.80) ữủc gồi l thuêt toĂn Runge Kutta.
Sau mởt thới gian nghiản cựu, luên vôn  Ôt ữủc mởt số kát quÊ sau:
1) Hằ thống lÔi cĂc kián thực cỡ sð trong lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn nhữ: Phữỡng trẳnh Newton, PhƠn loÔi phữỡng trẳnh vi phƠn, Phữỡng trẳnh ặ - tổ - nổm cĐp mởt, nghiằm tữớng minh cừa phữỡng trẳnh vi phƠn, Phữỡng trẳnh ành tẵnh,
2) Mổ phọng mởt số hiằn tữủng vêt lẵ kắ thuêt dữợi dÔng phữỡng trẳnh vi phƠn ho°c hằ phữỡng trẳnh vi phƠn.
3) Nghiản cựu vã b i toĂn vợi giĂ trà Ưu v ựng dửng
4) Chựng minh chi tiát mởt số ành lẵ cỡ bÊn cừa lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn nhữ: ành lẵ vã sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm, ành lẵ Picard
- Lindelof, Mð rởng ành lẵ Picard - Lindelf, bĐt ¯ng thực Gronwall.
5) Nghiản cựu vã b i toĂn nhiạu loÔn chẵnh quy, nghiản cựu vã phữỡng phĂp Euler v ành lẵ Peano trong viằc tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh vi phƠn
[1] Ho ng Hỳu ữớng (1975), Lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc v Trung hồc chuyản nghiằp H Nởi.
[2] Nguyạn Thá Ho n, TrƯn Vôn Nhung (2005), B i têp phữỡng trẳnh vi phƠn, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc.
[3] Nguyạn Thá Ho n, PhÔm Phu (2007), Cỡ sð phữỡng trẳnh vi phƠn v lẵ thuyát ờn ành, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc H Nởi.
[4] Lả HÊi Trung (2019) GiĂo trẳnh phữỡng trẳnh vi phƠn - sai phƠn, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Nđng, Nh xuĐt bÊn Thổng tin v Truyãn thổng.
[5] Gerald Teschl (2008), Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems.
[6] N Piskunov, English Translation (1981), Differential and Integral Cal- culus II, Mir Publisher.
[7] David Lomen, David LoveLock NewYork (1999), Differential Equa- tion, John Willey Sons, Inc.