Tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ TÂM TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ TÂM TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Đình Bình Thái Nguyên, năm 2013 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn T.S Nguyễn Đình Bình Các kết phát biểu Luận văn hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình tác giả khác Thái Ngun, tháng năm 2013 Tác giả Dương Thị Tâm Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Tiến sĩ Nguyễn Đình Bình, Bộ Khoa học Cơng nghệ Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lòng quý mến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Khoa Sau đại học, Khoa Toán trường Đại học sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K19 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trình làm luận văn giúp tác giả hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Tác giả Dương Thị Tâm i Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm 1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.3 Tập hút toàn cục 1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Tập hút toàn cục 1.3.3 Sự tồn tập hút toàn cục 1.4 Tập hút trình đơn trị 1.5 Tập hút lùi (Pullback attractors) 1.5.1 Tập hút lùi tập bị chặn cố định 1.5.2 Tập hút lùi họ tập phụ thuộc thời gian 1.6 Một số bất đẳng thức thường dùng SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 2.1 Đặt toán 2.1.1 Các giả thiết toán 2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu toán 2.2 Sự tồn nghiệm yếu toán i 5 7 11 13 15 15 20 24 26 26 26 27 28 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI TRONG S02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) 39 3.1 Sự tồn tập hút lùi L2p−2 (Ω) 39 3.2 Sự tồn tập hút lùi S02 (Ω) 48 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lịch sử phát triển lý chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất nhiều q trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn trình truyền nhiệt khuếch tán, q trình truyền sóng học chất lỏng, phản ứng hóa học, mơ hình quần thể sinh học, Việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Các vấn đề đặt nghiên cứu tính đặt tốn (sự tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm theo kiện cho) tính chất định tính nghiệm (tính trơn, dáng điêu tiệm cận nghiệm, ) Sau nghiên cứu tính đặt toán, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ động lực tương lai, từ ta có điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Về mặt toán học, điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu mới, phát triển mạnh mẽ khoảng ba thập kỉ gần Lí thuyết hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều Lí thuyết nằm giao chuyên ngành Lí thuyết hệ động lực, Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Lí thuyết phương trình vi phân thường (xem Bảng phân loại toán học năm 2010) Bài tốn lí thuyết nghiên cứu tồn tính chất tập hút, chẳng hạn đánh giá số chiều fractal số chiều Hausdorff, phụ thuộc liên tục tập hút theo tham biến, tính trơn tập hút, xác định modes, Tập hút toàn cục cổ điển tập compact, bất biến, hút tất quỹ đạo hệ chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ Cụ thể với quỹ đạo cho trước hệ khoảng thời gian T tùy ý, ta tìm quỹ đạo nằm tập hút toàn cục mà dáng điệu thời gian đủ lớn hai quỹ đạo sai khác đủ nhỏ khoảng có độ dài T Tuy nhiên, tập hút tồn cục áp dụng cho trường hợp ôtônôm, nhiều q trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian Do cần phải mở rộng khái niệm tập hút cho hệ động lực không ôtônôm Việc mở rộng nghiên cứu tập hút dẫn đến khái niệm tập hút cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn thời gian t tiến vơ hạn, sau khái niệm tập hút lùi cho trường hợp quỹ đạo nghiệm thời gian t tiến vô hạn Trong ba thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết tập hút nhiều lớp phương trình vi phân đạo hàm riêng (xem,chẳng hạn, chuyên khảo [3] tổng quan [2]) Một lớp phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu nhiều lớp phương trình parabolic Lớp phương trình mơ tả nhiều q trình vật lí, hóa học sinh học trình truyền nhiệt, trình phản ứng khuếch tán, mơ hình tốn học sinh học quần thể, Sự tồn tập hút toàn cục phương trình hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính khơng suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, miền bị chặn không bị chặn (xem [7], [11]) Tính liên tục tập hút tồn cục toán parabolic nghiên cứu cơng trình [2], [6], [7], [10] Trong năm gần đây, tồn tập hút lùi chứng minh cho phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến ([4], [5], [12]), phương trình parabolic với điều kiện biên động lực [13] Cho đến nay, kết lí thuyết tập hút lùi phương trình parabolic khơng suy biến phong phú hoàn thiện Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình phi tuyến cịn Việc nghiên cứu tồn tính chất tập hút lớp phương trình parabolic phi tuyến vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học hứa hẹn có nhiều ứng dụng tốn thực tế Với lí trên, lựa chọn vấn đề chứng minh tồn nghiệm yếu chứng minh tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến làm nội dung nghiên cứu Luận văn với tên gọi "Tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến" Phương pháp nghiên cứu • Chứng minh tồn nghiệm yếu: sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với bổ đề compact (thường gọi phương pháp compact tài liệu) • Chứng minh tồn tập hút: sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều, nói riêng phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận Mục đích luận văn Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tồn nghiệm yếu tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Grushin miền bị chặn - Nghiên cứu toán:    ut − Gs u + f (u) = g(t, x), (t, x) ∈ Qτ,T = (τ, T ] × Ω,   u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (τ, T ],     u(x, τ ) = u (x), x ∈ Ω, τ Gs u = ∆x1 u + |x1 |2s ∆x2 u, x = (x1 , x2 ) ∈ Ω ⊂ RN1 × RN2 , s ≥ 0, toán tử Grushin, uτ ∈ L2 (Ω) Đối với tốn này, chúng tơi nghiên cứu: • Chứng minh tồn nghiệm yếu tốn (2.1) • Chứng minh tồn tập hút lùi không gian S02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) Bố cục Luận văn Luận văn bao gồm: Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Trình bày khái niệm kết tổng quát tập hút lùi toàn cục, tập hút tập hút lùi, kết khơng gian hàm tốn tử sử dụng luận văn số kiến thức bổ trợ khác Chương Nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán Chương Chứng minh tồn tập hút lùi S02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) 39 Chương SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI TRONG S02(Ω) ∩ L2p−2(Ω) 3.1 Sự tồn tập hút lùi L2p−2(Ω) Trong phần ta chứng minh tồn tập hút lùi L2p−2 (Ω) Để chứng minh điều ta cần thêm điều kiện hàm g Zt eλ1 t ||g (t)||m Lm (Ω) dt < +∞, ∀t ∈ R, (3.1) −∞ m, m0 định nghĩa (3.7) Bổ đề 3.1.1 Quá trình {U (t, τ )} sinh toán (2.1) có tập hấp thụ lùi L2p−2 (Ω) Chứng minh Nhân (2.1) với |u|p−2 u lấy tích phân Ω, ta  Z Z  ut |u|p−2 udx + (p − 1) |∇x1 u|2 + |x1 |2s |∇x2 u|2 |u|p−2 dx Ω Ω Z + Ω f (u) |u|p−2 udx = Z Ω g(t)|u| p−2 udx (3.2) 40 Từ (2.2) Lp (Ω) ⊂ Lp−2 (Ω), ta có  Z Z  p−2 p p f (u)|u| udx ≥ C1 |u| − C2 |u|p−2 dx ≥ C1 ||u||2p−2 L2p−2 (Ω) − C2 |u|p Ω Ω Mặt khác, theo Bất đẳng thức Cauchy, ta có Z ut |u|p−2 udx