THÔNG TIN TÀI LIỆU
BË GIO DÖC V O TO I HÅC THI NGUYN PhÔm Th Thu BI TON BIN CHO MậT VI LẻP PH×ÌNG TRNH C CHÙA TON TÛ ELLIPTIC SUY BIN MNH LUN N TIN S TON HÅC Th¡i nguy¶n - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn BË GIO DÖC V O TO I HÅC THI NGUYN PhÔm Th Thu BI TON BIN CHO MậT VI LẻP PHìèNG TRNH C CHA TON T ELLIPTIC SUY BIN MNH Chuyản ngnh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 62 46 01 02 LUN N TIN S TON HÅC Ng÷íi hữợng dăn khoa hồc PGS.TSKH NGUYN MINH TR ThĂi nguyản - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Líi cam oan Tỉi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi CĂc kát quÊ viát chung vợi tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ cừa luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt ký cổng trẳnh khoa hồc cừa khĂc TĂc giÊ PhÔm Thõy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun i http://www.lrc-tnu.edu.vn Líi c£m ìn Luªn Ăn ữủc thỹc hiằn v hon thnh tÔi khoa ToĂn thuởc trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v nghiảm khưc cừa PGS TSKH Nguyạn Minh Trẵ ThƯy  truyÃn cho tĂc giÊ kián thực, kinh nghiằm hồc têp v nghiản cựu khoa hồc Vợi tĐm lỏng tri Ơn sƠu sưc, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt ối vợi thƯy TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy, cổ giĂo cĂc anh chà em nghi¶n cùu sinh, cao håc seminar Bở mổn GiÊi tẵch khoa ToĂn trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản v Phỏng Phữỡng trẳnh vi phƠn - Viằn ToĂn hồc  luổn giúp ù, ëng vi¶n t¡c gi£ nghi¶n cùu khoa håc v cuëc sèng T¡c gi£ xin c£m ìn Ban Gi¡m ốc Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban Sau Ôi hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc Phỏng Ban chực nông, Phỏng Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm khoa ToĂn to n thº gi¡o vi¶n khoa, °c bi»t l tê GiÊi tẵch  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu v ho n th nh luªn ¡n Ci cịng, t¡c gi£ xin by tọ lỏng biát ỡn tợi nhỳng ngữới thƠn v bÔn b  giúp ù, ởng viản, khẵch lằ tĂc giÊ hon thnh luên Ăn TĂc giÊ PhÔm th Thõy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun ii http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MƯC LƯC Trang Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mởt số kỵ hiằu luªn ¡n iv M Ưu Chữỡng Nghiằm khổng tƯm thữớng cừa bi toĂn biản ối vợi phữỡng trẳnh elliptic suy bián mÔnh nỷa tuyán tẵnh 1.1 Sỹ khổng tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng 17 1.2 CĂc nh lỵ nhúng 31 1.3 Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu 45 1.4 V½ dư minh håa 68 Ch÷ìng D¡ng i»u nghi»m thới gian tián vổ cừa phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh cõ chựa toĂn tỷ elliptic suy bián mÔnh 74 2.1 Hằ gradient 75 2.2 H» khæng gradient 86 16 Kát luên v kián ngh 97 Danh möc cĂc cổng trẳnh khoa hồc cõ liản quan án luên ¡n 99 T i li»u tham kh£o 100 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mët số kỵ hiằu luên Ăn RN khổng gian vectỡ thüc N chi·u C k (Ω) khæng gian c¡c h m khÊ vi liản tửc án cĐp k trản miÃn Lp (Ω) khỉng gian c¡c h m lơy thøa bªc p khÊ tẵch Lebesgue trản miÃn Ox Oy Oz x ∆y ∆z ∂ ∂ vectì c¡c to¡n tû Ôo hm Ox = , , cĐp theo x ∂x1 ∂xN1 ∂ ∂ vectì c¡c to¡n tû Ôo hm Oy = , , cĐp theo y ∂y1 ∂yN2 ∂ ∂ , , c§p theo z vectỡ cĂc toĂn tỷ Ôo hm Oz = ∂z1 ∂zN3 N1 ∂ P To¡n tû Laplace theo bi¸n x : ∆x = i=1 ∂xi N2 ∂ P To¡n tû Laplace theo bi¸n y : ∆y = j=1 ∂yj N3 ∂ P To¡n tû Laplace theo bi¸n z : ∆z = l=1 zl (., ) Tẵch vổ hữợng khổng gian L2 (Ω) Pα,β Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u, vỵi α, β ≥ 0, α + β > 0, !β N α N2 P P |x|2α = x2i , |y|2β = yj2 , i=1 j=1 dx = dx1 dx2 dxN1 , dy = dy1 dy2 dyN2 , dz = dz1 dz2 dzN3 C(X, Y ) khổng gian cĂc Ănh xÔ liản töc tø X v o Y C (X, Y ) khổng gian cĂc Ănh xÔ khÊ vi Frchet liản tửc tø X v o Y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv http://www.lrc-tnu.edu.vn Mð ¦u Lỵ chồn à ti Bi toĂn biản luổn l chừ à nghiản cựu ữủc nhiÃu chuyản gia quan tƠm bi nhỳng ựng dửng rởng rÂi cừa nõ cĂc ngnh vêt lỵ, hõa hồc v sinh hồc c biằt l viằc nghiản cựu iÃu kiằn tỗn tÔi v khổng tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn biản cõ chựa toĂn tỷ elliptic suy bián l khõ, phực tÔp Do vêy cĂc kát quÊ Ôt ữủc chiám v trẵ quan trồng phĂt trin lỵ thuyát toĂn hồc Vợi cĂc lỵ nảu trản chúng tổi  chồn à ti nghiản cựu cho luên Ăn cừa mẳnh l "Bi toĂn biản cho mởt vi lợp phữỡng trẳnh cõ chựa toĂn tỷ elliptic suy bián mÔnh" Mửc ẵch cừa à ti luên Ăn 2.1 Mửc ẵch quan trồng thự nhĐt Mửc ẵch quan trồng thự nhĐt cừa luên Ăn l ch ữủc số mụ tợi hÔn cừa nh lỵ nhúng cho khổng gian Sobolev cõ trồng liản kát vợi toĂn tỷ elliptic suy bián mÔnh Tứ kát quÊ õ chúng tổi chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn biản cõ chựa phữỡng trẳnh elliptic suy bián mÔnh nỷa tuyán tẵnh 2.2 Mửc ẵch quan trồng thự L ữa ữủc ỗng nhĐt thực kiºu Pohozaev, tø â chóng tỉi chùng minh ÷đc sü khổng tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng cho bi toĂn biản ối vợi phữỡng trẳnh elliptic suy bián mÔnh nỷa tuyán tẵnh 2.3 Mửc ẵch quan trồng thự Chúng tổi  chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi nghiằm, sỹ tỗn tÔi nghiằm ton cửc, sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc cừa bi toĂn biản ban Ưu cõ chựa phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh cõ toĂn tỷ elliptic suy bián mÔnh S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hai trữớng hủp: số hÔng phi tuyán cõ ở tông nhọ hỡn ở tông tợi hÔn v số hÔng phi tuyán cõ ở tông tuý ỵ ối tữủng nghiản cựu ối tữủng nghiản cựu cừa luên Ăn l xt bi toĂn biản v bi toĂn biản giĂ tr ban Ưu cõ chựa toĂn tỷ elliptic suy bián mÔnh P, u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u, vỵi α, β ≥ 0, α + β > Phữỡng phĂp nghiản cựu Chúng tổi thu thêp, tờng hủp, vên dửng cĂc kián thực liản quan tợi à ti nghiản cựu Luên Ăn sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp bián ời tẵch phƠn, phữỡng phĂp bián phƠn, cĂc phữỡng phĂp chựng minh lỵ thuyát cừa cĂc bi toĂn biản suy bián phi tuyán vợi sỹ iÃu chnh phị hđp cho lỵp to¡n tû Pα,β Ngo i cỏn sỷ dửng phữỡng phĂp im bĐt ởng chựng minh cho sỹ tỗn tÔi nghiằm ton cửc v tỗn tÔi têp hút ton cửc cừa nỷa nhõm S(t) sinh bi phữỡng trẳnh parabolic vợi cĂc iÃu kiằn thẵch hủp tr÷íng hđp h» gradient v ph÷ìng ph¡p Galerkin tr÷íng hđp h» khỉng gradient Têng quan v· · ti luên Ăn Tứ buời sỡ khai cừa lỵ thuyát phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ngữới ta  quan tƠm tợi tẵnh chĐt nh tẵnh cừa nghiằm cừa phữỡng trẳnh hay hằ phữỡng trẳnh Ôo hm riảng, õ ở trỡn v tẵnh giÊi tẵch ữủc nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm c biằt ở trỡn cừa nghiằm ữủc mổ t£ c¡c lỵp to¡n tû elliptic °c bi»t l to¡n tû Grushin Gk u = ∆x u + |x|2k ∆y u vỵi (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1 +N2 , N1 , N2 ≥ 1, k ∈ Z+ , [27] nh toĂn hồc ngữới Nga Grushin  Ôt ữủc cĂc kát quÊ Ăng k ã Náu k = thẳ G0 l elliptic miÃn ã Náu k > th¼ Gk khỉng l elliptic mi·n Ω ⊂ RN1 +N2 câ giao kh¡c réng vỵi m°t x = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nh to¡n håc Grushin  chựng minh ữủc náu Gk u l hm khÊ vi vổ hÔn miÃn thẳ u cụng khÊ vi vổ hÔn miÃn v cĂc tẵnh chĐt a phữỡng cừa Gk ữủc tĂc giÊ nghiản cựu khĂ Ưy ừ [27] Nhữ  biát, mởt nhỳng toĂn tỷ elliptic ữủc nghiản cựu nhiÃu â l to¡n tû Laplace ∆u = ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + ∂x21 ∂x22 x2n Nghiản cựu và sỹ tỗn tÔi nghiằm, hay khổng tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn biản nỷa tuyán tẵnh chựa toĂn tỷ Laplace  ữủc nhiÃu nh toĂn hồc têp trung nghiản cựu bưt Ưu tứ nỷa thá k thự hai mữỡi Trong cổng trẳnh [35] (1965), S Pohozaev  xt bi toĂn biản u + f (u) = Ω, (1) u = trản , vợi l miÃn giợi nởi Rn (n ≥ 2), f (u) = λu + |u|p−1 u Kát quÊ Ôt ữủc cổng trẳnh ny l ã Náu n = 2, < p < , thẳ bi toĂn (1) luổn cõ nghiằm khổng tƯm thữớng ã N¸u n ≥ 3, λ = 0, p ≥ khỉng cõ nghiằm dữỡng n+2 v l hẳnh sao, thẳ b i to¡n (1) n−2 n+2 , th¼ b i to¡n (1) cõ nghiằm dữỡng n2 n+2 Bi vêy n gi¡ trà p0 = l gi¡ trà r§t °c bi»t Gi¡ trà n−2 2n li¶n quan p0 + = l giĂ tr tợi hÔn ta cõ nh lỵ nhúng n2 Sobolev, p0 ữủc gồi l số mụ Sobolev tợi hÔn cừa bi toĂn (1) cho toĂn tỷ Laplace ã Náu n 3, = 0, < p < Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn án nôm 1983, hai nh to¡n håc H Brezis v L Nirenberg [16]  cổng bố kát quÊ tỗn tÔi nghiằm dữỡng cừa b i to¡n n+2 −∆u = λu + u n−2 Ω, (2) u = tr¶n ∂Ω, vợi l miÃn b chn cõ biản trỡn Rn , n ≥ K¸t qu£ kh¯ng ành rơng ã Khi n bi toĂn (2) cõ nghiằm dữỡng náu < < , vợi l giĂ tr riảng Ưu tiản cừa toĂn tỷ Laplace ựng vợi iÃu kiằn Dirichlet ã Khi n = iÃu kiằn tỗn tÔi nghiằm l < < < l hẳnh cƯu, = Nhỳng kát quÊ mang tẵnh tiản phong ny vợi cĂc bi toĂn m ữủc t  thúc ây hng trôm cổng trẳnh nghiản cùu sau â (xem [6, 7, 11, 17, 39] còng vợi cĂc ti liằu tham khÊo km theo) Nhữ vêy sỹ tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng, tỗn tÔi nghiằm dữỡng cừa cĂc bi toĂn biản chựa toĂn tỷ elliptic Ôt ữủc tữỡng ối trồn vàn Mởt cĂch tữỡng tỹ, cĂc vĐn à lÔi ữủc t ối vợi bi toĂn cõ chựa toĂn tỷ elliptic suy bián Vo nôm 1998 [42, 43], N M Trẵ  xt bi to¡n bi¶n −Lk u + f (u) = Ω, (3) u = tr¶n ∂Ω, ∂ 2u 2k ∂ u â Ω l mi·n giỵi nëi R , Lk u = +x , (k ≥ 1), ∂x2 ∂y f (u) = u|u|1 CĂc kát quÊ Ôt ữủc Ơy l v Ω l Lk - h¼nh th¼ bi toĂn (3) khổng cõ nghiằm khổng k tƯm thữớng •γ≥ • < γ < b i to¡n (3) cõ nghiằm khổng tƯm thữớng Bi vêy coi k 4+k giĂ tr l số mụ Sobolev tợi hÔn cho toĂn tû Lk k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn −1 Z1 ≤ Z1 −1 Z1 Z1 ≤ |f1 (t, tˆ1 )| n+1 YZ i=2 ≤ Z1 × h −1 Z1 n+1 YZ −1 i=2 |fi (t, tˆi )|n dt1 n1 dt2 dtn+1 −1 −1 Z1 |fi (t, tˆi )|dt1 dtn+1 −1 i=2 −1 −1 −1 |f1 (t, tˆ1 )| −1 i=1 Z1 n+1 Y Z1 n |f1 (t, tˆ1 )| dt2 dtn+1 n1 −1 |fi (t, tˆi )|n dt1 n−1 dt2 dtn+1 i n−1 n −1 ≤ Z1 −1 Z1 |fi (t, tˆi )|n dt2 dtn+1 n1 −1 Z1 n+1 n1 YZ n × |fi (t, tˆi )| dt1 dt2 dti−1 dti+1 dtn+1 i=2 −1 −1 = n+1 YZ i=1 −1 Z1 ˆi |fi (t, tˆi )|dt n1 Tứ õ suy bĐt ng thực cƯn chùng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 nh lỵ 1.2.2 GiÊ sû ≤ p < Nα,β Khi â p S1,0 (Ω) ⊂L p.Nα,β Nα,β −p − (Ω) vỵi måi d÷ìng õ nhä Chùng minh º chùng minh ành lỵ ch cƯn chựng minh vợi mội ừ nhọ thẳ tỗn tÔi mởt hơng số dữỡng C cho câ b§t ¯ng thùc ||u|| p.Nα,β − Nα,β −p L (Ω) p ≤ C||u||S1,0 (Ω) , (1.12) thäa mÂn vợi mồi hm u C01 () Khổng mĐt t½nh têng qu¡t chóng ta câ thº gi£ sû Ω ⊂ [−1, 1] × × [−1, 1] := ΠN (x,y,z) v h m u = ð b¶n | {z } N lƯn ngoi Vợi mồi (x, y, z) ∈ Ω chóng ta câ Zxi u(x, y, z) = ∂u (x1 , , xi−1 , θ, xi+1 , , xN1 , y1 , , yN2 , z1 , , zN3 )dθ ∂θ −1 Do â ∂u |u(x, y, z)| ≤ ∂xi 1 L (Π (xi := Ai (x, y, z; xˆi ) = Ai , ∀(x, y, z) ∈ Ω, i = 1, N1 )) Vẳ vêy vợi mồi (x, y, z) |u(x, y, z)|δ1 ≤ Aδi , δ1 = N1 + αN3 , i = 1, N1 N1 (N1 + N2 + N3 (1 + α + β) − 1) Tữỡng tỹ, vợi mồi (x, y, z) ∂u δ2 δ2 |u(x, y, z)| ≤ ∂yj 1 L (Π := (Bj (x, y, z, yˆj ))δ2 := Bjδ2 , (yj ) ) vỵi δ2 = V N2 + βN3 , j = 1, N2 N2 (N1 + N2 + N3 (1 + α + β) − 1)
δ3 ∂u |u(x, y, z)|δ3 ≤ ∂zl 1 L (Π := (Cl (x, y, z, zˆl ))δ3 := Clδ3 , (zl ) ) vỵi δ3 = − ˜ , l = 1, N3 , N1 + N2 + N3 (1 + α + β) − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 ˜δ = N1 δ1 + N2 δ2 + N3 δ3 , â dữỡng ừ nhọ Chúng ta kỵ hiằu N â Z ˜ |u|Nδ dxdydz Ω Z −αN3 δ3 ≤ |x| |y| −βN3 δ3 N1 Y ,N2 ,N3 i,j,l=1 ΠN (x,y,z) Z −αN3 δ3 ≤ |x| −βN3 δ3 |y| N +N2 NY ,N2 N i,j=1 δ1 1−(N3 −1)δ3 Ai N3 −1 Cl dz (N3 −1)δ3 l=1 Π(z)3 Z Π(z)3 N3 Z Y N Π(x,y) × Aδi Bjδ2 Clδ3 dzdxdy δ2 1−(N3 −1)δ3 Bj dz 1−(N3 −1)δ3 dxdy := I1 p dưng Bê · 1.2.1 vỵi n = N3 Ôt ữủc N3 Z Y n Π(z) = N3 Z Y l=1 N3 −1 Cl dz (N3 −1)δ3 ≤ l=1 N3 Z Y l=1 ˆl Cl dz δ N −1 Π(z3 ,zˆ ) l N3 N3 δ Y Y δ3 δ := (Cˆl (x, y)) := Cˆl , dz β ∂u |x| |y| α ∂zl l=1 N Π(z)3 l=1 v ¡p dưng b§t ¯ng thùc Holder Z NY ,N2 N i,j=1 Π(z)3 ≤ δ1 1−(N3 −1)δ3 Ai N1 Z Y i=1 N Π(z)3 Ai dz δ2 1−(N3 −1)δ3 Bj dz N2 Z δ Y j=1 1−(N3 −1)δ3 Bj dz δ N Π(z)3 N1 Z Z1 N2 Z Z1 δ1 Y δ Y ∂u
Ngày đăng: 18/10/2023, 21:12
Xem thêm: