Bài toán biên dạng tuần hoàn với toán tử thuần nhất dương cho phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: BÀI TỐN BIÊN DẠNG TUẦN HỒN VỚI TỐN TỬ THUẦN NHẤT DƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “Phương trình vi phân tuyến tính hệ số vài ứng dụng” đạt số kết sau đây: - Trình bày có hệ thống kiến thức sở lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính - Trình bày phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số biến thiên - Trình bày phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số - Trình bày ứng dụng thực tế phương trình vi phân tuyến tính ứng dụng vật lý, hố học, mơ hình tăng trưởng, ứng dụng kinh tế 758 2 Một số kết liên quan Trong toàn luận văn, ký hiệu J(R) Jacobson vành R U (R) tập hợp tất phần tử khả nghịch vành R có đơn vị Trong [?], tác giả định nghĩa vành R gọi U J -vành + J(R) = U (R) Cho S vành, khơng thiết phải có đơn vị, vị nhóm S◦ = (S, ◦) S tập hợp S với phép tốn ◦:S×S →S (x, y) 7→ x ◦ y = x + y − xy Mặt khác, S vành có đơn vị, S◦ đẳng cấu với vị nhóm (S, ) R với đẳng cấu ◦ : (S, ◦) → (S, ) x 7→ − x Cụ thể, y ∈ S khả nghịch vị nhóm S◦ (được gọi phần tử tựa khả nghịch hay phần tử tựa quy) − y phần tử khả nghịch vành S nhóm phần tử khả nghịch U (S) S đẳng cấu với nhóm U◦ (S) phần tử tựa khả nghịch S Phần tử nghịch đảo y S◦ gọi tựa nghịch đảo y Ta biết I = J(S) iđêan lớn S thỏa mãn U◦ (I) = I Bổ đề ([?], Bổ đề 1.1) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) U (R) = + J(R), hay R U J -vành; (2) U (R/J(R)) = {1}; (3) C(R) iđêan R (khi C(R) = J(R)), với C(R) tập phần tử tựa quy R; (4) rb − cr ∈ J(R), r ∈ R b, c ∈ C(R); (5) ru − vr ∈ J(R), u, v ∈ U (R) r ∈ R; (6) U (R) + U (R) ⊆ J(R) (khi U (R) + U (R) = J(R)) Một vành gọi hữu hạn Dedekind ab = ba = với a, b hai phần tử vành Mệnh đề ([?], Mệnh đề 1.3) Cho R U J -vành Khi (1) ∈ J(R); (2) Nếu R thể, R ∼ = F2 ; (3) R rút gọn (khơng có phần tử lũy linh khác khơng) R giao hốn; (4) Nếu x, y ∈ R thỏa mãn xy ∈ J(R) yx ∈ J(R) xRy, yRx ⊆ J(R); (5) Giả sử I ⊆ J(R) iđêan R Khi R U J -vành R/I U J -vành; (6) R hữu hạn Dedekind; Y (7) Vành Ri U J -vành vành Ri U J -vành với i∈I i ∈ I Một vành R gọi nửa địa phương vành thương R/J(R) tổng trực tiếp iđêan phải cực tiểu Mệnh đề ([?], Mệnh đề 1.4) Vành nửa địa phương R U J -vành R/J(R) ≃ F2 × × F2 Cho R vành có đơn vị Ta ký hiệu Mn (R) vành ma trận cấp n × n R Định lý ([?], Định lý 3) Cho R vành tùy ý, có đơn vị n > Khi đó, phần tử Mn (R) tổng ba phần tử khả nghịch Mn (R) Cho R vành có đơn vị, phần tử a ∈ R gọi clean a có biểu diễn a = e + u e phần tử lũy đẳng R, u phần tử khả nghịch R Ta ký hiệu Cl(R) tập tất phần tử clean vành R Một vành R gọi clean R = Cl(R) Hệ ([?], Hệ 1.7) Cho R vành Khi đó, điều kiện sau tương đương (i) R vành rút gọn; (ii) U (R[x]) = U (R); (iii) Cl(R[x]) = Cl(R) Cho R vành M song môđun vành R Một mở rộng tầm thường R M T (R, M ) = {(r, m) : r ∈ R m ∈ M }, với phép cộng theo thành phần phép nhân định nghĩa (r, m)(s, n) = (rs, rn + ms) Mệnh đề ([?], Mệnh đề 4.9 (2)) Cho R vành M song môđun R Gọi T (R, M ) mở rộng tầm thường Khi tập phần tử khả nghịch T (R, M ) U (T (R, M )) = T (U (R), M ) Một vành R gọi I -vành iđêan phải lũy linh khác khơng chứa phần tử lũy đẳng khác không Một hệ n2 phần tử {eij } vành R gọi hệ ma trận khả nghịch ( j ̸= j ′ eij ej ′ k = ejk j = j ′ Định lý ([?], Định lý 2.1) Cho R I -vành Nếu a phần tử lũy linh cấp n (nghĩa an = 0, an−1 ̸= 0) an−1 ∈ / J(R) iđêan (a) sinh a chứa hệ n ma trận khả nghịch Xấp xỉ tích chập Lp Ta thấy rằng, cho f ∈ Lp (Ω) với ≤ p < ∞, tồn (fh )h ⊂ C0c (Ω) cho fh → f Lp (Ω) Ta chứng minh tính xấp xỉ này, tìm kiếm xấp xỉ theo hàm quy Chính xác Câu hỏi: (i) Có tồn (fh )h ⊂ C1c cho fh → f Lp (Ω)? (ii) Có thể xây dựng cách rõ ràng xấp xỉ thứ h hàm fh cho f ∈ Lp (Ω)? Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai có ý nghĩa xấp xỉ số Định nghĩa (Friedrichs’ mollifiers) Một dãy mollifiers dãy hàm ϱh : Rn → R, (h = 1, 2, ) cho, với h, ϱ ∈ C∞ (Rn ); (M o1) spt(ϱh ) ⊂ B(0, 1/h); Z ϱh dx = 1; (M o2) (M o3) Rn ϱh (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn (M o4) Ví dụ mollifiers: Khá đơn giản để xây dựng dãy mollifiers, hàm không biến ϱ : Rn → R thỏa mãn n ϱ ∈ C∞ c (R ), spt(ϱ) ⊂ B(0, 1), ϱ ≥ Ví dụ, cho ϱ(x) :=   exp |x| −  |x| < |x| ≥  n Khi dễ thấy ϱ ∈ C∞ c (R ) Hơn nữa, ta có dãy mollifiers định nghĩa ϱh (x) := c hn ϱ(hx), x ∈ Rn , h ∈ N −1 Z c := ϱdx Rn Chú ý: Nếu A, B ⊂ Rn , A ± B ký hiệu tập A ± B := {a ± b : a ∈ A, b ∈ B} Bài tập Chứng minh (i) Nếu A compact B đóng, A + B đóng; (ii) A B compact A + B Mệnh đề (Định nghĩa tính chất mollifiers đầu tiên) Cho f ∈ L1loc (Rn ) (ϱh )h dãy mollifiers Định nghĩa, cho h ∈ N x ∈ Rn , Z fh (x) := (ϱ ∗ f )(x) := ϱh (x − y)f (y)dy, ∀x ∈ Rn Rn Khi (i) Hàm fh : Rn → R is well defined; (ii) fh (x) = (ϱh ∗ f )(x) = (f ∗ ϱh )(x) với x ∈ Rn h ∈ N; (iii) fh (x) ∈ C0 (Rn ) với h Hàm fh gọi mollifiers thứ h f Chứng minh Để đơn giản, ta ký hiệu ϱh ≡ ϱ (i) Theo (Mo2) (Mo4), spt(ϱ) ⊂ B(0, 1/h) Khi Z Z |f (y)ϱ(x − y)|dy = Rn |f (y)ϱ(x − y)|dy B(x,1/h) Z ≤ sup ϱ Rn |f (y)|dy < ∞ B(x,1/h) Do đó, ta thay đổi x ∈ Rn , hàm gx (y) := ϱ(x − y)f (y), y ∈ Rn khả tích Rn , xác định tích phân Z Z R∋ gx (y)dy = ϱ(x − y)f (y)dy = (ϱ ∗ f )f (x), ∀x ∈ Rn Rn Rn (ii) cách thay đổi biến Z (f ∗ ϱ)(x) = f (x − y)ϱ(y)dy Rn (z=x=y) Z f (z)ϱ(x − z)dz = (ϱ ∗ f )(x) = Rn (iii) Cho x ∈ Rn xr → x, ta chứng minh (ϱ ∗ f )(xr ) → (ϱ ∗ f )(x) (1) Chú ý Z (ϱ ∗ f )(xr ) − (ϱ ∗ f )(x) = (ϱ(xr − y) − ϱ(x − y))f (y)dy, ∀r ∈ N (2) Rn Từ dãy (xr )r bị chặn Rn , tồn tập compact K ⊂ Rn thỏa mãn B(xr , 1/h) = xr − B(0, 1/h) ⊂ K, B(x, 1/h) ∈ K, ∀r ∈ N Đặc biệt ϱ(xr − y) − ϱ(x − y) = 0, ∀y ∈ / K, ∀r ∈ N (3) Bởi vì, ϱ ∈ Lip(Rn ), theo (48), tồn L > thỏa |ϱ(xr − y) − ϱ(x − y)| ≤ LχK (y)|xr − x|, ∀y ∈ Rn , ∀r ∈ N Vì ta |ϱ(xr − y)ϱ(x − y)||f (y)| ≤ LχK (y)|f (y)||xr − x|, ∀y ∈ Rn , ∀r ∈ N (4) Từ (47), (48) định lý tính hội tụ bị trội, theo (46) Nhận xét Ký hiệu ∗ tích chập hai hàm khơng gian Rn Lưu ý, kết mệnh đề 25 giữ f ∈ L1loc (Rn ) ϱ ≡ ϱh ∈ C0 (Rn ) thỏa (Mo2) Trên thực tế, xác định tích chập hai hàm g ∈ Lp (Rn ) với ≤ p ≤ ∞ f ∈ L1 (Rn ) Z (g ∗ f )(x) := g(x − y)f (y)dy Rn giữ (g ∗ f ) ∈ Lp (Rn ) ∥g ∗ f ∥Lp (Rn ) ≤ ∥g∥Lp (Rn ) ∥f ∥L1 (Rn ) Định lý (Friedrichs - Sobolev, Xấp xỉ theo tích chập Lp ) Cho f ∈ L1loc (Rn ) (ϱh )h dãy mollifiers Khi (i) f ∗ ϱh ∈ C ∞ (Rn ) với h ∈ N (ii) ∥f ∗ϱ∥Lp (Rn ) ≤ ∥f ∥Lp (Rn ) với h ∈ N, f ∈ Lp (Rn ) với p ∈ [1, ∞] (iii) spt(f ∗ ϱ) ⊂ spte (f ) + B(0, 1/h) với h ∈ N (iv) Nếu f ∈ Lp (Rn ) với ≤ p ≤ ∞, f ∗ ϱh ∈ C ∞ (Rn ) ∩ Lp (Rn ) với h ∈ N, f ∗ ϱh → f h → ∞, Lp (Rn ), biết ≤ p < ∞ Kết cho ta hai kết quan trọng Định lý (Bổ đề tính tốn biến) Cho Ω ⊂ Rn tập mở cho f ∈ L1loc (Ω) Giả sử Z f φdx = 0, ∀φ ∈ Cc∞ (Ω) (∗) Ω Khi f = hầu khắp nơi Ω Chứng minh Chứng minh điều kiện đủ Z |f |dx = với tập compact K ∈ Ω (5) K Thật vậy, theo (50), suy f = hầu khắp nơi K, với tập compact K ∈ Ω Ta có kết luận Ta chứng minh (50) Cho tập compact K ∈ Ω, định nghĩa g : Rn → R   f (x) x ∈ K, f (x) ̸= g(x) := |f (x)|  ngược lại Khi g ∈ L1 (Rn ) spte (g) ⊆ K ⊂ Ω Cho gh := g ∗ ϱh Theo định lý 22 (iii), tồn h = h(K) ∈ N cho spt(g ∗ ϱh ) ⊆ spte (g) + B(0, 1/h) ⊆ K + B(0, 1/h) ⊂ Ω với h > h Do đó, theo định lý 31 (i), (ii), gh ∈ C∞ h > h |gh (x)| ≤ ∥g∥L∞ (Rn ) = 1, ∀x ∈ Rn , ∀h ∈ N (6) c 4n n U n2 ,il+j = i i Từ suy X x∈Ui,j |CDn (x)| = 2n +  n2 4n n(n + 2i + 4) + = i i i n2 , i 43 Áp dụng Mệnh đề ?? ta có X Pr(Ui,j , Dn) = |Ui,j ||Dn | |CDn (x)| = x∈Ui,j n(n + 2i + 4) n + 2i + = 2n i 4n 2n i Vậy ta có điều phải chứng minh Trong ví dụ sau ta tính lại độ giao hốn tương đối nhóm nhóm nhị diện D3 D4 cách áp dụng Mệnh đề ?? Ví dụ (i) Với n = 3, xét nhóm nhị diện D3 (cho Ví dụ ??) Các nhóm D3 R1 = ⟨r⟩, R3 = {1}; T0 = ⟨s⟩, T1 = ⟨rs⟩, T2 = ⟨r2 s⟩; D3 Khi 3+3 3+1 = , Pr(R3 , D3 ) = = 1; 2·3 2·3 3+1 Pr(T0 , D3 ) = Pr(T1 , D3 ) = Pr(T2 , D3 ) = = ; 2·3 Pr(D3 , D3 ) = Pr(D3 ) = Pr(R1 , D3 ) = (ii) Với n = 4, xét nhóm nhị diện D4 (cho Ví dụ ??) Các nhóm D4 R1 = ⟨r⟩, R2 = ⟨r2 ⟩, R4 = {1}; T0 = ⟨s⟩, T1 = ⟨rs⟩, T2 = ⟨r2 s⟩, T3 = ⟨r3 s⟩; U2,0 = ⟨r2 , s⟩, U2,1 = ⟨r2 , rs⟩; D4 Khi Pr(R1 , D4 ) = 4+2·1 4+2·2 4+4 = , Pr(R2 , D4 ) = = 1, Pr(R4 , D4 ) = = 1; 2·4 2·4 2·4 Pr(T0 , D4 ) = Pr(T1 , D4 ) = Pr(T2 , D4 ) = Pr(T3 , D4 ) = Pr(U2,0 , D4 ) = Pr(U2,1 , D4 ) = 4+2 = ; 2·4 4+2·2+4 = ; Pr(D4 , D4 ) = Pr(D4 ) = 4·4 44 12 Không gian hàm liên tục C0 (Ω) Định nghĩa (i) Cho tập A ⊂ Rn , C0 (A) := {f : A → R, f liên tục x ∈ A} (ii) Cho K ⊂ Rn tập compact cho f ∈ C0 (K) Ta ký hiệu ∥f ∥∞ số thực không âm xác định ∥f ∥∞ = ∥f ∥∞,K = sup |f (x)| x∈K ∥.∥∞ gọi chuẩn (hay chuẩn vô cùng) Định lý 17 Cho Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn Khi (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) khơng gian Banach vơ hạn chiều Chứng minh Ta giới hạn n = Ω = (a, b) ta phải chứng minh (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) không gian định chuẩn vô hạn chiều R Ta chứng minh khơng gian Banach Nghĩa phải dãy Cauchy (fh )h ⊂ (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) hội tụ (tại phần tử thuộc không gian) Giả sử (fh )h dãy Cauchy, theo định nghĩa ta có, ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho ∥fh − fk ∥∞ = sup |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k x∈Ω Điều có nghĩa ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k, ∀x ∈ Ω (39) Từ (19), (fh (x))h ⊂ R dãy Cauchy Do dó: ∃f (x) := lim fh (x), h→∞ ∀x ∈ Ω (40) Từ (20), lấy qua giới hạn (19), cho k → ∞ ta ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − f (x)| ≤ ϵ ∀h ≥ k, x ∈ Ω, theo định nghĩa fh → f Ω Do dó f ∈ C0 (Ω) 45 Tính compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Bây tìm hiểu đặc trưng tập compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Đầu tiên ta nhớ lại số khái niệm kết quan trọng liên quan đến chủ đề compact không gian metric Định nghĩa Cho (X, d) khơng gian metric ký hiệu B(x, r) hình cầu mở X , tâm x bán kính r > với x ∈ X (i) Điểm x0 ∈ X gọi điểm giới hạn tập A ⊂ X A ∩ (B(x0 , r)\{x0 }) ̸= ∅, ∀r > (ii) Tập A ⊂ X gọi bị chặn tồn R0 > cho d(x, y) ≤ R0 với x, y ∈ A (iii) Tập A ∩ X gọi bị chặn hoàn toàn với ϵ > 0, A phủ họ hữu hạn hình cầu B(x1 , ϵ), B(x2 , ϵ), , B(xN , ϵ), nghĩa A ⊂ ∪N i=1 B(xi , ϵ) (iv) Họ A ⊂ X gọi compact dãy dãy A có dãy hội tụ điểm thuộc A (v) Tập A ⊂ X gọi có tính chất Bolzano-Weierstrass (BW) tập vô hạn A có điểm giới hạn thuộc A Nhận xét Dễ thấy tập bị chặn hoàn toàn tập bị chặn, điều ngược lại không không gian topo (X, τ ) tập hợp compact tập hợp compact dãy có tính chất (BW) Các tính chất khơng cịn giữ trường hợp tổng quát Định lý 18 (Các tiên đề chuẩn tập compact không gian metric) Nếu A tập không gian metric (X, d), ta có điều sau tương đương: (i) A compact; (ii) A compact dãy; (iii) (A, d) đầy đủ bị chặn hồn tồn; 46 (iv) A có tính chất BW Nhận xét Nếu (X, d) đầy đủ, A ⊆ X đóng (A, d) đầy đủ Hệ Cho A ⊂ Rn Khi đó: A compact ⇔ A đóng bị chặn Định lý 19 (Riesz) Cho (E, ∥.∥) không gian định chuẩn ta ký hiệu BE := {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1} Khi BE compact dimR E < ∞ Nhận xét Định lý 54 cho tập A bị chặn không gian định chuẩn vô hạn chiều (E, ∥.∥) không thiết phải bị chặn hồn tồn Ví dụ A = BE Định nghĩa Cho A ⊂ Rn Một họ tập F ⊂ C0 (A) gọi tựa liên tục với ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > cho f ∈ F, |f (x) − f (y)| < ϵ với x, y ∈ A thỏa |x − y| < δ Ta thêm tiên đề chuẩn tập compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) K ⊂ Rn compact Định lý 20 (Arzelà - Ascoli) Cho K ⊂ Rn compact giả sử F ⊂ C0 (K) Khi F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) F là: (i) đóng (C0 (K), ∥.∥∞ ); (ii) bị chặn (C0 (K), ∥.∥∞ ); (iii) liên tục Hệ Cho K ⊂ Rn compact cho F ⊂ C0 (K) Giả sử F bị chặn liên tục Khi F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) Cụ thể hệ cho ta kết đặc biệt sau Hệ Cho fh : [a, b] → R, (h = 1, 2, ) dãy hàm liên tục Giả sử rằng: (i) ∃M > cho |f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], ∀h 47 (ii) (fh )h liên tục đều, nghĩa là, ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > cho |fh (x) − fh (y)| < ϵ, ∀x, y ∈ [a, b] với |x − y| < δ, ∀h Khi ta có dãy (fhk )k hàm f ∈ C0 ([a, b]) thỏa mãn fhk → f [a, b] Định lý 21 Giả sử M > số cho trước F = {f ∈ C1 ([a, b]) : ∥.∥C1 ≤ M } Khi F tập compact tương đối (C0 ([a, b]), ∥.∥∞ ); Chứng minh định lý 37 Tính đầy đủ: Giả sử có (i), (ii) (iii) ta F compact Theo tính chất tập compact định lý 11 ta F compact dãy Vì dãy (fh )h ∈ F có dãy (fhk )k hội tụ hàm f ∈ F , nghĩa là, ∥fhk − f ∥∞ → k → ∞ Nhớ K compact tách Giả sử D := {xi : i ∈ N} đếm trù mật K F bị chặn nghĩa tồn M1 > thỏa mãn ∥f − g∥∞ ≤ M1 , ∀f, g ∈ F Cụ thể ta thay f0 ∈ F , đó: ∥f0 − fh ∥∞ ≤ M1 , ∀h ∈ N Hơn ∥fh ∥∞ = ∥(fh − f0 ) + f0 ∥∞ ≤ ∥fh − f0 ∥∞ + ∥f0 ∥∞ ≤ M1 + ∥f0 ∥∞ := M2 Do ta có số M2 > thỏa mãn |fh (x)| ≤ M2 , ∀x ∈ K, ∀h Bây ta xây dựng dãy hội tụ theo trình chéo Cantor Bước 1: (fh (x1 ))h dãy số thực [−M2 , M2 ] Suy dãy có dãy (fh(1) (x1 ))h hội tụ R; 48 Bước 2: Xét dãy (fh(1) (x2 ))h ⊂ [−M2 , M2 ] Do dãy (fh(2) (x2 ))h hội tụ Chú ý dãy (fh(2) (x1 ))h hội tụ có dãy (fh(1) (x1 ))h hội tụ Tiếp tục trình ta Bước k: Một dãy (fh(k) )h (fh(k−1) )h thỏa mãn (fhk (xj ))h hội tụ với j = 1, k Ta có tình sau đây: Định nghĩa: gk := fkk : K → R Lưu ý rằng, i = 1, 2, , dãy (gk )k≥i dãy (fki )k≥i Cụ thể, dãy (gk )k dãy (fh )h theo cách xây dựng ∀x ∈ D (41) (gk )k hội tụ (C0 (K), ∥.∥∞ ) (42) (gk (x))k hội tụ R Tiếp tục trình ta Sử dụng giả thiết F liên tục đều, tức ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > : x, y ∈ K |x−y| < δ ⇒ |f (x)−f (y)| < ϵ, ∀f ∈ F (43) Với ϵ > thay đổi tùy ý, δ thay đổi Bởi K bị chặn hồn tồn, σ > có họ hữu hạn hình cầu B(x1 , σ), , B(xN , σ) Rn thỏa mãn N = N (σ), xi ∈ K với i = 1, , N n [ K⊂ B(xi , σ) i=1 Do tính trù mật D K , tồn yi ∈ D ∩ B(xi , σ) với i = 1, , N Cụ thể n \ K⊂ B(yi , 2σ) i=1 Vì ta chọn σ = δ/2 Khi tồn N = N (σ) = N (δ) = N (ϵ) D′ := {y1 , , yn } ⊂ D thỏa mãn K⊂ N [ i=1 B(yi , δ) (44) 49 Từ (21) dãy (gk (y1 ))k , , (gk (yN ))k , ¯ hội tụ, có số nguyên k¯ = k(ϵ) với |gk (yi ) − gr (yi )|, ϵ ¯ ∀i = 1, , N ∀k, r > k, Theo (24) (23) ∀x ∈ K, ∃yi ∈ D′ thỏa |x − yi | < δ ⇒ |gk (x) − gk (yi )| < ϵ, ∀k ∈ N Từ ta có |gk (x)−gr (x)| ≤ |gk (x)−gk (yi )|+|gk (yi )−gr (yi )|+|gr (yi )−gr (x)| ≤ ϵ+ϵ+ϵ = 3ϵ ∀x ∈ K ¯ với k, r ≥ k¯ Điều có nghĩa ϵ > tồn k¯ = k(ϵ) thỏa ∥gk − gr ∥∞ ≤ 3ϵ ¯ ∀k, r > k Nghĩa (gk )k dãy Cauchy (C0 (K), ∥.∥∞ ) Từ (C0 (K), ∥.∥∞ ) đầy đủ F đóng, suy tồn f ∈ F thỏa mãn lim ∥gk − f ∥∞ = k→∞ Từ (gk )k dãy dãy (fh )h , phải F compact dãy Sự cần thiết: Cần rằng, F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) ta có (i), (ii) (iii) Giả sử F compact không gian metric (C0 (K), ∥.∥∞ ), đó, theo tính chất tập compact khơng gian metric, F đóng bị chặn hồn tồn bị chặn Chỉ F liên tục đều, nghĩa ta phải chứng minh (23) Theo phản chứng, giả sử ∃ϵ0 > : ∀ > 0, ∃fδ ∈ F, xδ , yδ ∈ K với |xδ −yδ | < δ |fδ (xδ )−fδ (yδ )| ≥ ϵ0 Chọn δ = 1/h ký hiệu fh := f1/h , xh := x1/h yh := y1/h Khi ta xây dựng ba dãy (fh )h ⊂ F, (xh )h , (yh )h ⊂ K |xh − yh | < 1/h, |fh (xh ) − f (yh )| ≥ ϵ > 0, ∀h (45) Từ F K compact, tồn ba dãy (fh )h ⊂ F, (xh )h , (yh )h ⊂ K thỏa mãn lim xh = lim yh = z ∈ K fh → f ∈ F K h→∞ h→∞ 50 Khi tồn lim fh (xh lim fh (yh ) = f (z) h→∞ h→∞ Lấy qua giới hạn (25) ta có mâu thuẫn Do đó, ta có điều phải chứng minh 13 Các khái niệm Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán mà ta gọi phép cộng phép nhân thỏa mãn: R nhóm aben với phép tốn cộng, R nửa nhóm với phép tốn nhân phép toán nhân phân phối với phép toán cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz, với x, y, z ∈ R Phần tử trung hòa phép cộng ký hiệu (thường gọi phần tử khơng) Phần tử đơn vị phép nhân có ký hiệu Nếu vành có nhiều phần tử có đơn vị ̸= Định nghĩa 10 Tập A vành R gọi vành R A vành hai phép toán cộng nhân R (bao gồm tính đóng hai phép tốn A) Định nghĩa 11 Iđêan trái (phải) vành R vành A thỏa mãn điều kiện ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R Vành I R vừa iđêan trái, vừa iđêan phải gọi iđêan vành R Cho I iđêan vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} gọi tập thương R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng hai phép toán (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I, với x, y ∈ R 51 Định nghĩa 12 Tập thương R/I với hai phép toán xác định lập thành vành gọi vành thương R theo I Định nghĩa 13 Cho R vành có đơn vị 1R Một R-môđun phải M bao gồm (M, +) nhóm aben tốn tử · : M × R → M thỏa mãn (1) (x + y) · r = x · r + y · r, (2) x · (r + s) = x · r + x · s, (3) (xr) · s = x · (rs), (4) x · 1R = x, r, s ∈ R x, y phần tử tùy ý M Lúc R gọi vành sở, M R-môđun phải ta thường ký hiệu MR Tương tự ta đinh nghĩa R-môđun trái Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S -bên trái (ký hiệu S MR ) a) M R-môđun phải M S -mơđun trái b) Ta phải có (sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M ) Định nghĩa 14 Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M (ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR ), A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân hạn chế A Định nghĩa 15 (1) Môđun MR gọi đơn M ̸= với A ≤ M A = A = M , nghĩa M ̸= M có hai mơđun M (2) Vành R gọi đơn R ̸= với A ≤R RR A = A = 0, nghĩa R ̸= R có hai iđêan hai phía R (3) Môđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu môđun M A ̸= với B ≤ M thỏa mãn B < A B = (4) Tương tự, môđun A ≤ M gọi môđun cực đại A ̸= M với B ≤ M thỏa mãn B > A B = M 52 Bổ đề MR đơn M ̸= ∀m ∈ M, m ̸= M = mR Cho MR N ≤ MR Vì N nhóm nhóm cộng aben M nên nhóm thương M/N nhóm aben (theo phần lý thuyết nhóm) Các phần tử M/N lớp ghép x + N N M phép toán cộng (x + N ) + (y + N ) = x + y + N Ta cần xây dựng phép nhân môđun để M/N trở thành môđun phải Định lý 22 Cho MR N ≤ M (i) Quy tắc M/N × R → M/N cho (m + N, r) → (m + N )r = mr + N phép nhân mơđun (ii) Nhóm aben M/N với phép tốn nhân mơđun trở thành R-môđun phải Định nghĩa 16 M/N xác định Định lý ?? gọi môđun thương môđun M môđun N 14 Không gian hàm liên tục C0 (Ω) Định nghĩa 17 (i) Cho tập A ⊂ Rn , C0 (A) := {f : A → R, f liên tục x ∈ A} (ii) Cho K ⊂ Rn tập compact cho f ∈ C0 (K) Ta ký hiệu ∥f ∥∞ số thực không âm xác định ∥f ∥∞ = ∥f ∥∞,K = sup |f (x)| x∈K ∥.∥∞ gọi chuẩn (hay chuẩn vô cùng) Định lý 23 Cho Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn Khi (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) không gian Banach vô hạn chiều Chứng minh Ta giới hạn n = Ω = (a, b) ta phải chứng minh (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) không gian định chuẩn vô hạn chiều R Ta chứng minh khơng gian Banach Nghĩa phải dãy 53 Cauchy (fh )h ⊂ (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) hội tụ (tại phần tử thuộc không gian) Giả sử (fh )h dãy Cauchy, theo định nghĩa ta có, ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho ∥fh − fk ∥∞ = sup |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k x∈Ω Điều có nghĩa ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k, ∀x ∈ Ω (46) Từ (19), (fh (x))h ⊂ R dãy Cauchy Do dó: ∃f (x) := lim fh (x), h→∞ ∀x ∈ Ω (47) Từ (20), lấy qua giới hạn (19), cho k → ∞ ta ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − f (x)| ≤ ϵ ∀h ≥ k, x ∈ Ω, theo định nghĩa fh → f Ω Do dó f ∈ C0 (Ω) Tính compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Bây tìm hiểu đặc trưng tập compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Đầu tiên ta nhớ lại số khái niệm kết quan trọng liên quan đến chủ đề compact không gian metric Định nghĩa 18 Cho (X, d) không gian metric ký hiệu B(x, r) hình cầu mở X , tâm x bán kính r > với x ∈ X (i) Điểm x0 ∈ X gọi điểm giới hạn tập A ⊂ X A ∩ (B(x0 , r)\{x0 }) ̸= ∅, ∀r > (ii) Tập A ⊂ X gọi bị chặn tồn R0 > cho d(x, y) ≤ R0 với x, y ∈ A (iii) Tập A ∩ X gọi bị chặn hoàn toàn với ϵ > 0, A phủ họ hữu hạn hình cầu B(x1 , ϵ), B(x2 , ϵ), , B(xN , ϵ), nghĩa A ⊂ ∪N i=1 B(xi , ϵ)